Theorem divgt0d 12078

Description: The ratio of two positive numbers is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
divgt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
divgt0d.3	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
divgt0d.4	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
divgt0d	⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem divgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		divgt0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3		divgt0d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		divgt0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
5		divgt0 12011	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 / 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 839	1 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7358  ℝcr 11026  0cc0 11027   < clt 11167   / cdiv 11795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796

This theorem is referenced by:  gtndiv  12570  nndivdvds  16189  nnoddm1d2  16314  bitsfzo  16363  sqgcd  16490  qredeu  16586  pythagtriplem19  16762  pcadd  16818  znidomb  21518  tangtx  26454  cos02pilt1  26475  cosne0  26478  jensenlem2  26938  bposlem6  27240  lgseisenlem1  27326  2sqlem8  27377  omssubadd  34450  knoppndvlem19  36788  knoppndvlem21  36790  itg2addnclem  37983  3lexlogpow2ineq2  42490  3lexlogpow5ineq5  42491  aks6d1c1  42547  aks6d1c4  42555  aks6d1c2  42561  oexpreposd  42753  flt4lem6  43090  pellexlem2  43261  sumnnodd  46064  sinaover2ne0  46300  ioodvbdlimc1lem1  46363  ioodvbdlimc1lem2  46364  ioodvbdlimc2lem  46366  stoweidlem36  46468  stoweidlem52  46484  dirkertrigeqlem3  46532  fourierdlem24  46563  fourierdlem79  46617  hoiqssbllem2  47055  nneven  48132  blennngt2o2  49026