Theorem divgt0d 11665

Description: The ratio of two positive numbers is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
divgt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
divgt0d.3	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
divgt0d.4	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
divgt0d	⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem divgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		divgt0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3		divgt0d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		divgt0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
5		divgt0 11598	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 / 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 838	1 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5040  (class class class)co 7182  ℝcr 10626  0cc0 10627   < clt 10765   / cdiv 11387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-po 5452  df-so 5453  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-er 8332  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-div 11388

This theorem is referenced by:  gtndiv  12152  nndivdvds  15720  nnoddm1d2  15843  bitsfzo  15890  sqgcd  16018  qredeu  16111  pythagtriplem19  16282  pcadd  16337  znidomb  20392  tangtx  25262  cos02pilt1  25282  cosne0  25285  jensenlem2  25737  bposlem6  26037  lgseisenlem1  26123  2sqlem8  26174  omssubadd  31849  knoppndvlem19  34365  knoppndvlem21  34367  itg2addnclem  35483  3lexlogpow2ineq2  39719  3lexlogpow5ineq5  39720  oexpreposd  39937  flt4lem6  40107  pellexlem2  40264  sumnnodd  42753  sinaover2ne0  42991  ioodvbdlimc1lem1  43054  ioodvbdlimc1lem2  43055  ioodvbdlimc2lem  43057  stoweidlem36  43159  stoweidlem52  43175  dirkertrigeqlem3  43223  fourierdlem24  43254  fourierdlem79  43308  hoiqssbllem2  43743  nneven  44731  blennngt2o2  45519