MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divgt0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divgt0d 11563
Description: The ratio of two positive numbers is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltp1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
divgt0d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
divgt0d.3 (𝜑 → 0 < 𝐴)
divgt0d.4 (𝜑 → 0 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
divgt0d (𝜑 → 0 < (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem divgt0d
StepHypRef Expression
1 ltp1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 divgt0d.3 . 2 (𝜑 → 0 < 𝐴)
3 divgt0d.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 divgt0d.4 . 2 (𝜑 → 0 < 𝐵)
5 divgt0 11496 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 / 𝐵))
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 834 1 (𝜑 → 0 < (𝐴 / 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525   < clt 10663   / cdiv 11285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286
This theorem is referenced by:  gtndiv  12047  nndivdvds  15604  nnoddm1d2  15725  bitsfzo  15772  sqgcd  15897  qredeu  15990  pythagtriplem19  16158  pcadd  16213  znidomb  20636  tangtx  25018  cos02pilt1  25038  cosne0  25041  jensenlem2  25492  bposlem6  25792  lgseisenlem1  25878  2sqlem8  25929  omssubadd  31457  knoppndvlem19  33766  knoppndvlem21  33768  itg2addnclem  34824  oexpreposd  39057  pellexlem2  39305  sumnnodd  41787  sinaover2ne0  42025  ioodvbdlimc1lem1  42092  ioodvbdlimc1lem2  42093  ioodvbdlimc2lem  42095  stoweidlem36  42198  stoweidlem52  42214  dirkertrigeqlem3  42262  fourierdlem24  42293  fourierdlem79  42347  hoiqssbllem2  42782  nneven  43740  blennngt2o2  44580
  Copyright terms: Public domain W3C validator