Theorem divgt0d 12201

Description: The ratio of two positive numbers is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
divgt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
divgt0d.3	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
divgt0d.4	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
divgt0d	⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem divgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		divgt0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3		divgt0d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		divgt0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
5		divgt0 12134	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 / 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 839	1 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153   < clt 11293   / cdiv 11918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919

This theorem is referenced by:  gtndiv  12693  nndivdvds  16296  nnoddm1d2  16420  bitsfzo  16469  sqgcd  16596  qredeu  16692  pythagtriplem19  16867  pcadd  16923  znidomb  21598  tangtx  26562  cos02pilt1  26583  cosne0  26586  jensenlem2  27046  bposlem6  27348  lgseisenlem1  27434  2sqlem8  27485  omssubadd  34282  knoppndvlem19  36513  knoppndvlem21  36515  itg2addnclem  37658  3lexlogpow2ineq2  42041  3lexlogpow5ineq5  42042  aks6d1c1  42098  aks6d1c4  42106  aks6d1c2  42112  oexpreposd  42336  flt4lem6  42645  pellexlem2  42818  sumnnodd  45586  sinaover2ne0  45824  ioodvbdlimc1lem1  45887  ioodvbdlimc1lem2  45888  ioodvbdlimc2lem  45890  stoweidlem36  45992  stoweidlem52  46008  dirkertrigeqlem3  46056  fourierdlem24  46087  fourierdlem79  46141  hoiqssbllem2  46579  nneven  47623  blennngt2o2  48442