Theorem hash1elsn 14271

Description: A set of size 1 with a known element is the singleton of that element. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
hash1elsn.1	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = 1)
hash1elsn.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
hash1elsn.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hash1elsn	⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝐵})

Proof of Theorem hash1elsn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash1elsn.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = 1)
2		hash1elsn.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		hashen1 14270	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ≈ 1o))
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ≈ 1o))
5	1, 4	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ 1o)
6		en1 8965	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 1o ↔ ∃𝑥 𝐴 = {𝑥})
7	5, 6	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝐴 = {𝑥})
8		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = {𝑥}) → 𝐴 = {𝑥})
9		hash1elsn.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
10	9	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = {𝑥}) → 𝐵 ∈ 𝐴)
11	10, 8	eleqtrd 2840	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = {𝑥}) → 𝐵 ∈ {𝑥})
12		elsni 4603	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ {𝑥} → 𝐵 = 𝑥)
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = {𝑥}) → 𝐵 = 𝑥)
14	13	sneqd 4598	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = {𝑥}) → {𝐵} = {𝑥})
15	8, 14	eqtr4d 2779	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = {𝑥}) → 𝐴 = {𝐵})
16	7, 15	exlimddv 1938	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106  {csn 4586   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  1_oc1o 8405   ≈ cen 8880  1c1 11052  ♯chash 14230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-hash 14231

This theorem is referenced by:  prmgrpsimpgd  19893  ablsimpgprmd  19894