Theorem hash1elsn 14460

Description: A set of size 1 with a known element is the singleton of that element. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
hash1elsn.1	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = 1)
hash1elsn.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
hash1elsn.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hash1elsn	⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝐵})

Proof of Theorem hash1elsn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash1elsn.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = 1)
2		hash1elsn.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		hashen1 14459	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ≈ 1o))
4	2, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ≈ 1o))
5	1, 4	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ 1o)
6		en1 9037	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 1o ↔ ∃𝑥 𝐴 = {𝑥})
7	5, 6	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝐴 = {𝑥})
8		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = {𝑥}) → 𝐴 = {𝑥})
9		hash1elsn.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
10	9	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = {𝑥}) → 𝐵 ∈ 𝐴)
11	10, 8	eleqtrd 2862	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = {𝑥}) → 𝐵 ∈ {𝑥})
12		elsni 4601	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ {𝑥} → 𝐵 = 𝑥)
13	11, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = {𝑥}) → 𝐵 = 𝑥)
14	13	sneqd 4596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = {𝑥}) → {𝐵} = {𝑥})
15	8, 14	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = {𝑥}) → 𝐴 = {𝐵})
16	7, 15	exlimddv 1968	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝐵})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  {csn 4584   class class class wbr 5103  ‘cfv 6535  1_oc1o 8455   ≈ cen 8956  1c1 11150  ♯chash 14419

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-card 9969  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12283  df-n0 12554  df-z 12641  df-uz 12913  df-fz 13587  df-hash 14420

This theorem is used by:  prmgrpsimpgd  20269  ablsimpgprmd  20270