MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablsimpgprmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablsimpgprmd 19979
Description: An abelian simple group has prime order. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ablsimpgprmd.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsimpgprmd.2 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablsimpgprmd.3 (𝜑𝐺 ∈ SimpGrp)
Assertion
Ref Expression
ablsimpgprmd (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)

Proof of Theorem ablsimpgprmd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (♯‘𝐵) = 1)
2 ablsimpgprmd.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ SimpGrp)
32simpggrpd 19959 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
4 ablsimpgprmd.1 . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
5 eqid 2732 . . . . . . . 8 (0g𝐺) = (0g𝐺)
64, 5grpidcl 18846 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
73, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
87adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
9 ablsimpgprmd.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
104, 9, 2ablsimpgfind 19974 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
1110adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 ∈ Fin)
121, 8, 11hash1elsn 14327 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = {(0g𝐺)})
132adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
144, 5, 13simpgntrivd 19962 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → ¬ 𝐵 = {(0g𝐺)})
1512, 14pm2.65da 815 . . 3 (𝜑 → ¬ (♯‘𝐵) = 1)
164, 3, 10hashfingrpnn 18853 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
17 elnn1uz2 12905 . . . . 5 ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐵) = 1 ∨ (♯‘𝐵) ∈ (ℤ‘2)))
1816, 17sylib 217 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝐵) = 1 ∨ (♯‘𝐵) ∈ (ℤ‘2)))
1918ord 862 . . 3 (𝜑 → (¬ (♯‘𝐵) = 1 → (♯‘𝐵) ∈ (ℤ‘2)))
2015, 19mpd 15 . 2 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ (ℤ‘2))
219, 2ablsimpgcygd 19970 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ CycGrp)
22213ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝐺 ∈ CycGrp)
23 simp3 1138 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑦 ∥ (♯‘𝐵))
24103ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
25 simp2 1137 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑦 ∈ ℕ)
264, 22, 23, 24, 25fincygsubgodexd 19977 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑥) = 𝑦)
27 simpl1 1191 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → 𝜑)
2827, 2syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
29 simprl 769 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺))
30 ablnsg 19709 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝐺) = (SubGrp‘𝐺))
3127, 9, 303syl 18 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → (NrmSGrp‘𝐺) = (SubGrp‘𝐺))
3229, 31eleqtrrd 2836 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
334, 5, 28, 32simpgnsgeqd 19965 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → (𝑥 = {(0g𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵))
34 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = {(0g𝐺)}) → 𝑥 = {(0g𝐺)})
3534fveq2d 6892 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = {(0g𝐺)}) → (♯‘𝑥) = (♯‘{(0g𝐺)}))
36 simplrr 776 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = {(0g𝐺)}) → (♯‘𝑥) = 𝑦)
375fvexi 6902 . . . . . . . . . 10 (0g𝐺) ∈ V
38 hashsng 14325 . . . . . . . . . 10 ((0g𝐺) ∈ V → (♯‘{(0g𝐺)}) = 1)
3937, 38mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = {(0g𝐺)}) → (♯‘{(0g𝐺)}) = 1)
4035, 36, 393eqtr3d 2780 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = {(0g𝐺)}) → 𝑦 = 1)
4140ex 413 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → (𝑥 = {(0g𝐺)} → 𝑦 = 1))
42 simplrr 776 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (♯‘𝑥) = 𝑦)
43 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
4443fveq2d 6892 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵))
4542, 44eqtr3d 2774 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑦 = (♯‘𝐵))
4645ex 413 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → (𝑥 = 𝐵𝑦 = (♯‘𝐵)))
4741, 46orim12d 963 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → ((𝑥 = {(0g𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵))))
4833, 47mpd 15 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵)))
4926, 48rexlimddv 3161 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵)))
50493exp 1119 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∥ (♯‘𝐵) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵)))))
5150ralrimiv 3145 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 ∥ (♯‘𝐵) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵))))
52 isprm2 16615 . 2 ((♯‘𝐵) ∈ ℙ ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 ∥ (♯‘𝐵) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵)))))
5320, 51, 52sylanbrc 583 1 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  Vcvv 3474  {csn 4627   class class class wbr 5147  cfv 6540  Fincfn 8935  1c1 11107  cn 12208  2c2 12263  cuz 12818  chash 14286  cdvds 16193  cprime 16604  Basecbs 17140  0gc0g 17381  Grpcgrp 18815  SubGrpcsubg 18994  NrmSGrpcnsg 18995  Abelcabl 19643  CycGrpccyg 19739  SimpGrpcsimpg 19954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-nsg 18998  df-od 19390  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-cyg 19740  df-simpg 19955
This theorem is referenced by:  ablsimpgd  19980
  Copyright terms: Public domain W3C validator