Theorem ablsimpgprmd 20051

Description: An abelian simple group has prime order. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsimpgprmd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsimpgprmd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsimpgprmd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Assertion

Ref	Expression
ablsimpgprmd	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)

Proof of Theorem ablsimpgprmd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (♯‘𝐵) = 1)
2		ablsimpgprmd.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
3	2	simpggrpd 20031	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4		ablsimpgprmd.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
6	4, 5	grpidcl 18900	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
7	3, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
9		ablsimpgprmd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
10	4, 9, 2	ablsimpgfind 20046	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 ∈ Fin)
12	1, 8, 11	hash1elsn 14299	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = {(0g‘𝐺)})
13	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
14	4, 5, 13	simpgntrivd 20034	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → ¬ 𝐵 = {(0g‘𝐺)})
15	12, 14	pm2.65da 817	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (♯‘𝐵) = 1)
16	4, 3, 10	hashfingrpnn 18907	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
17		elnn1uz2 12843	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐵) = 1 ∨ (♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘2)))
18	16, 17	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) = 1 ∨ (♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘2)))
19	18	ord 865	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (♯‘𝐵) = 1 → (♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘2)))
20	15, 19	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘2))
21	9, 2	ablsimpgcygd 20042	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CycGrp)
22	21	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝐺 ∈ CycGrp)
23		simp3 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑦 ∥ (♯‘𝐵))
24	10	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
25		simp2 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑦 ∈ ℕ)
26	4, 22, 23, 24, 25	fincygsubgodexd 20049	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑥) = 𝑦)
27		simpl1 1193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → 𝜑)
28	27, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
29		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺))
30		ablnsg 19781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝐺) = (SubGrp‘𝐺))
31	27, 9, 30	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → (NrmSGrp‘𝐺) = (SubGrp‘𝐺))
32	29, 31	eleqtrrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
33	4, 5, 28, 32	simpgnsgeqd 20037	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → (𝑥 = {(0g‘𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵))
34		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = {(0g‘𝐺)}) → 𝑥 = {(0g‘𝐺)})
35	34	fveq2d 6839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = {(0g‘𝐺)}) → (♯‘𝑥) = (♯‘{(0g‘𝐺)}))
36		simplrr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = {(0g‘𝐺)}) → (♯‘𝑥) = 𝑦)
37	5	fvexi 6849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
38		hashsng 14297	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ V → (♯‘{(0g‘𝐺)}) = 1)
39	37, 38	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = {(0g‘𝐺)}) → (♯‘{(0g‘𝐺)}) = 1)
40	35, 36, 39	3eqtr3d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = {(0g‘𝐺)}) → 𝑦 = 1)
41	40	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → (𝑥 = {(0g‘𝐺)} → 𝑦 = 1))
42		simplrr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (♯‘𝑥) = 𝑦)
43		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
44	43	fveq2d 6839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵))
45	42, 44	eqtr3d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑦 = (♯‘𝐵))
46	45	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → (𝑥 = 𝐵 → 𝑦 = (♯‘𝐵)))
47	41, 46	orim12d 967	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → ((𝑥 = {(0g‘𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵))))
48	33, 47	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵)))
49	26, 48	rexlimddv 3144	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵)))
50	49	3exp 1120	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∥ (♯‘𝐵) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵)))))
51	50	ralrimiv 3128	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 ∥ (♯‘𝐵) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵))))
52		isprm2 16614	. 2 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℙ ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 ∥ (♯‘𝐵) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵)))))
53	20, 51, 52	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3441  {csn 4581   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  Fincfn 8888  1c1 11032  ℕcn 12150  2c2 12205  ℤ_≥cuz 12756  ♯chash 14258   ∥ cdvds 16184  ℙcprime 16603  Basecbs 17141  0_gc0g 17364  Grpcgrp 18868  SubGrpcsubg 19055  NrmSGrpcnsg 19056  Abelcabl 19715  CycGrpccyg 19811  SimpGrpcsimpg 20026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-inf2 9555  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108  ax-pre-sup 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-oadd 8404  df-omul 8405  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-sup 9350  df-inf 9351  df-oi 9420  df-card 9856  df-acn 9859  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-n0 12407  df-z 12494  df-uz 12757  df-rp 12911  df-fz 13429  df-fl 13717  df-mod 13795  df-seq 13930  df-exp 13990  df-hash 14259  df-cj 15027  df-re 15028  df-im 15029  df-sqrt 15163  df-abs 15164  df-dvds 16185  df-gcd 16427  df-prm 16604  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-ress 17163  df-plusg 17195  df-0g 17366  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18714  df-grp 18871  df-minusg 18872  df-sbg 18873  df-mulg 19003  df-subg 19058  df-nsg 19059  df-od 19462  df-cmn 19716  df-abl 19717  df-cyg 19812  df-simpg 20027

This theorem is referenced by:  ablsimpgd  20052