Theorem ablsimpgprmd 20014

Description: An abelian simple group has prime order. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsimpgprmd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsimpgprmd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsimpgprmd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Assertion

Ref	Expression
ablsimpgprmd	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)

Proof of Theorem ablsimpgprmd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (♯‘𝐵) = 1)
2		ablsimpgprmd.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
3	2	simpggrpd 19994	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4		ablsimpgprmd.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
6	4, 5	grpidcl 18862	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
7	3, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
9		ablsimpgprmd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
10	4, 9, 2	ablsimpgfind 20009	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 ∈ Fin)
12	1, 8, 11	hash1elsn 14296	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = {(0g‘𝐺)})
13	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
14	4, 5, 13	simpgntrivd 19997	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → ¬ 𝐵 = {(0g‘𝐺)})
15	12, 14	pm2.65da 816	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (♯‘𝐵) = 1)
16	4, 3, 10	hashfingrpnn 18869	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
17		elnn1uz2 12844	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐵) = 1 ∨ (♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘2)))
18	16, 17	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) = 1 ∨ (♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘2)))
19	18	ord 864	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (♯‘𝐵) = 1 → (♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘2)))
20	15, 19	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘2))
21	9, 2	ablsimpgcygd 20005	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CycGrp)
22	21	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝐺 ∈ CycGrp)
23		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑦 ∥ (♯‘𝐵))
24	10	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
25		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑦 ∈ ℕ)
26	4, 22, 23, 24, 25	fincygsubgodexd 20012	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑥) = 𝑦)
27		simpl1 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → 𝜑)
28	27, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
29		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺))
30		ablnsg 19744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝐺) = (SubGrp‘𝐺))
31	27, 9, 30	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → (NrmSGrp‘𝐺) = (SubGrp‘𝐺))
32	29, 31	eleqtrrd 2831	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
33	4, 5, 28, 32	simpgnsgeqd 20000	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → (𝑥 = {(0g‘𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵))
34		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = {(0g‘𝐺)}) → 𝑥 = {(0g‘𝐺)})
35	34	fveq2d 6830	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = {(0g‘𝐺)}) → (♯‘𝑥) = (♯‘{(0g‘𝐺)}))
36		simplrr 777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = {(0g‘𝐺)}) → (♯‘𝑥) = 𝑦)
37	5	fvexi 6840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
38		hashsng 14294	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ V → (♯‘{(0g‘𝐺)}) = 1)
39	37, 38	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = {(0g‘𝐺)}) → (♯‘{(0g‘𝐺)}) = 1)
40	35, 36, 39	3eqtr3d 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = {(0g‘𝐺)}) → 𝑦 = 1)
41	40	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → (𝑥 = {(0g‘𝐺)} → 𝑦 = 1))
42		simplrr 777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (♯‘𝑥) = 𝑦)
43		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
44	43	fveq2d 6830	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵))
45	42, 44	eqtr3d 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑦 = (♯‘𝐵))
46	45	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → (𝑥 = 𝐵 → 𝑦 = (♯‘𝐵)))
47	41, 46	orim12d 966	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → ((𝑥 = {(0g‘𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵))))
48	33, 47	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵)))
49	26, 48	rexlimddv 3136	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵)))
50	49	3exp 1119	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∥ (♯‘𝐵) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵)))))
51	50	ralrimiv 3120	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 ∥ (♯‘𝐵) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵))))
52		isprm2 16611	. 2 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℙ ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 ∥ (♯‘𝐵) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵)))))
53	20, 51, 52	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3438  {csn 4579   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  Fincfn 8879  1c1 11029  ℕcn 12146  2c2 12201  ℤ_≥cuz 12753  ♯chash 14255   ∥ cdvds 16181  ℙcprime 16600  Basecbs 17138  0_gc0g 17361  Grpcgrp 18830  SubGrpcsubg 19017  NrmSGrpcnsg 19018  Abelcabl 19678  CycGrpccyg 19774  SimpGrpcsimpg 19989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-dvds 16182  df-gcd 16424  df-prm 16601  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-0g 17363  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-submnd 18676  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-mulg 18965  df-subg 19020  df-nsg 19021  df-od 19425  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-cyg 19775  df-simpg 19990

This theorem is referenced by:  ablsimpgd  20015