Theorem ablsimpgprmd 20083

Description: An abelian simple group has prime order. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsimpgprmd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsimpgprmd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsimpgprmd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Assertion

Ref	Expression
ablsimpgprmd	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)

Proof of Theorem ablsimpgprmd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (♯‘𝐵) = 1)
2		ablsimpgprmd.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
3	2	simpggrpd 20063	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4		ablsimpgprmd.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
6	4, 5	grpidcl 18932	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
7	3, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
9		ablsimpgprmd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
10	4, 9, 2	ablsimpgfind 20078	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 ∈ Fin)
12	1, 8, 11	hash1elsn 14324	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = {(0g‘𝐺)})
13	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
14	4, 5, 13	simpgntrivd 20066	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → ¬ 𝐵 = {(0g‘𝐺)})
15	12, 14	pm2.65da 817	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (♯‘𝐵) = 1)
16	4, 3, 10	hashfingrpnn 18939	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
17		elnn1uz2 12866	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐵) = 1 ∨ (♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘2)))
18	16, 17	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) = 1 ∨ (♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘2)))
19	18	ord 865	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (♯‘𝐵) = 1 → (♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘2)))
20	15, 19	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘2))
21	9, 2	ablsimpgcygd 20074	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CycGrp)
22	21	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝐺 ∈ CycGrp)
23		simp3 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑦 ∥ (♯‘𝐵))
24	10	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
25		simp2 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑦 ∈ ℕ)
26	4, 22, 23, 24, 25	fincygsubgodexd 20081	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑥) = 𝑦)
27		simpl1 1193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → 𝜑)
28	27, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
29		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺))
30		ablnsg 19813	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝐺) = (SubGrp‘𝐺))
31	27, 9, 30	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → (NrmSGrp‘𝐺) = (SubGrp‘𝐺))
32	29, 31	eleqtrrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
33	4, 5, 28, 32	simpgnsgeqd 20069	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → (𝑥 = {(0g‘𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵))
34		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = {(0g‘𝐺)}) → 𝑥 = {(0g‘𝐺)})
35	34	fveq2d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = {(0g‘𝐺)}) → (♯‘𝑥) = (♯‘{(0g‘𝐺)}))
36		simplrr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = {(0g‘𝐺)}) → (♯‘𝑥) = 𝑦)
37	5	fvexi 6848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
38		hashsng 14322	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ V → (♯‘{(0g‘𝐺)}) = 1)
39	37, 38	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = {(0g‘𝐺)}) → (♯‘{(0g‘𝐺)}) = 1)
40	35, 36, 39	3eqtr3d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = {(0g‘𝐺)}) → 𝑦 = 1)
41	40	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → (𝑥 = {(0g‘𝐺)} → 𝑦 = 1))
42		simplrr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (♯‘𝑥) = 𝑦)
43		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
44	43	fveq2d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵))
45	42, 44	eqtr3d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑦 = (♯‘𝐵))
46	45	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → (𝑥 = 𝐵 → 𝑦 = (♯‘𝐵)))
47	41, 46	orim12d 967	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → ((𝑥 = {(0g‘𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵))))
48	33, 47	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵)))
49	26, 48	rexlimddv 3145	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵)))
50	49	3exp 1120	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∥ (♯‘𝐵) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵)))))
51	50	ralrimiv 3129	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 ∥ (♯‘𝐵) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵))))
52		isprm2 16642	. 2 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℙ ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 ∥ (♯‘𝐵) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵)))))
53	20, 51, 52	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3430  {csn 4568   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  Fincfn 8886  1c1 11030  ℕcn 12165  2c2 12227  ℤ_≥cuz 12779  ♯chash 14283   ∥ cdvds 16212  ℙcprime 16631  Basecbs 17170  0_gc0g 17393  Grpcgrp 18900  SubGrpcsubg 19087  NrmSGrpcnsg 19088  Abelcabl 19747  CycGrpccyg 19843  SimpGrpcsimpg 20058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-omul 8403  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213  df-gcd 16455  df-prm 16632  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-nsg 19091  df-od 19494  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-cyg 19844  df-simpg 20059

This theorem is referenced by:  ablsimpgd  20084