Theorem ablsimpgprmd 20159

Description: An abelian simple group has prime order. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsimpgprmd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsimpgprmd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsimpgprmd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Assertion

Ref	Expression
ablsimpgprmd	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)

Proof of Theorem ablsimpgprmd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (♯‘𝐵) = 1)
2		ablsimpgprmd.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
3	2	simpggrpd 20139	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4		ablsimpgprmd.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
6	4, 5	grpidcl 19005	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
7	3, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
9		ablsimpgprmd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
10	4, 9, 2	ablsimpgfind 20154	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 ∈ Fin)
12	1, 8, 11	hash1elsn 14420	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = {(0g‘𝐺)})
13	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
14	4, 5, 13	simpgntrivd 20142	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → ¬ 𝐵 = {(0g‘𝐺)})
15	12, 14	pm2.65da 816	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (♯‘𝐵) = 1)
16	4, 3, 10	hashfingrpnn 19012	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
17		elnn1uz2 12990	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐵) = 1 ∨ (♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘2)))
18	16, 17	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) = 1 ∨ (♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘2)))
19	18	ord 863	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (♯‘𝐵) = 1 → (♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘2)))
20	15, 19	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘2))
21	9, 2	ablsimpgcygd 20150	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CycGrp)
22	21	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝐺 ∈ CycGrp)
23		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑦 ∥ (♯‘𝐵))
24	10	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
25		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑦 ∈ ℕ)
26	4, 22, 23, 24, 25	fincygsubgodexd 20157	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑥) = 𝑦)
27		simpl1 1191	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → 𝜑)
28	27, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
29		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺))
30		ablnsg 19889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝐺) = (SubGrp‘𝐺))
31	27, 9, 30	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → (NrmSGrp‘𝐺) = (SubGrp‘𝐺))
32	29, 31	eleqtrrd 2847	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
33	4, 5, 28, 32	simpgnsgeqd 20145	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → (𝑥 = {(0g‘𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵))
34		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = {(0g‘𝐺)}) → 𝑥 = {(0g‘𝐺)})
35	34	fveq2d 6924	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = {(0g‘𝐺)}) → (♯‘𝑥) = (♯‘{(0g‘𝐺)}))
36		simplrr 777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = {(0g‘𝐺)}) → (♯‘𝑥) = 𝑦)
37	5	fvexi 6934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
38		hashsng 14418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ V → (♯‘{(0g‘𝐺)}) = 1)
39	37, 38	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = {(0g‘𝐺)}) → (♯‘{(0g‘𝐺)}) = 1)
40	35, 36, 39	3eqtr3d 2788	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = {(0g‘𝐺)}) → 𝑦 = 1)
41	40	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → (𝑥 = {(0g‘𝐺)} → 𝑦 = 1))
42		simplrr 777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (♯‘𝑥) = 𝑦)
43		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
44	43	fveq2d 6924	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵))
45	42, 44	eqtr3d 2782	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑦 = (♯‘𝐵))
46	45	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → (𝑥 = 𝐵 → 𝑦 = (♯‘𝐵)))
47	41, 46	orim12d 965	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → ((𝑥 = {(0g‘𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵))))
48	33, 47	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵)))
49	26, 48	rexlimddv 3167	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵)))
50	49	3exp 1119	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∥ (♯‘𝐵) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵)))))
51	50	ralrimiv 3151	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 ∥ (♯‘𝐵) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵))))
52		isprm2 16729	. 2 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℙ ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 ∥ (♯‘𝐵) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵)))))
53	20, 51, 52	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  Vcvv 3488  {csn 4648   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  Fincfn 9003  1c1 11185  ℕcn 12293  2c2 12348  ℤ_≥cuz 12903  ♯chash 14379   ∥ cdvds 16302  ℙcprime 16718  Basecbs 17258  0_gc0g 17499  Grpcgrp 18973  SubGrpcsubg 19160  NrmSGrpcnsg 19161  Abelcabl 19823  CycGrpccyg 19919  SimpGrpcsimpg 20134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-acn 10011  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-gcd 16541  df-prm 16719  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-nsg 19164  df-od 19570  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-cyg 19920  df-simpg 20135

This theorem is referenced by:  ablsimpgd  20160