Theorem ablsimpgprmd 20186

Description: An abelian simple group has prime order. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsimpgprmd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsimpgprmd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsimpgprmd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Assertion

Ref	Expression
ablsimpgprmd	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)

Proof of Theorem ablsimpgprmd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (♯‘𝐵) = 1)
2		ablsimpgprmd.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
3	2	simpggrpd 20166	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4		ablsimpgprmd.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
6	4, 5	grpidcl 19031	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
7	3, 6	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
8	7	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
9		ablsimpgprmd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
10	4, 9, 2	ablsimpgfind 20181	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
11	10	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 ∈ Fin)
12	1, 8, 11	hash1elsn 14406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = {(0g‘𝐺)})
13	2	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
14	4, 5, 13	simpgntrivd 20169	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → ¬ 𝐵 = {(0g‘𝐺)})
15	12, 14	pm2.65da 828	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (♯‘𝐵) = 1)
16	4, 3, 10	hashfingrpnn 19038	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
17		elnn1uz2 12948	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐵) = 1 ∨ (♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘2)))
18	16, 17	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) = 1 ∨ (♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘2)))
19	18	ord 877	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (♯‘𝐵) = 1 → (♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘2)))
20	15, 19	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘2))
21	9, 2	ablsimpgcygd 20177	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CycGrp)
22	21	3ad2ant1 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝐺 ∈ CycGrp)
23		simp3 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑦 ∥ (♯‘𝐵))
24	10	3ad2ant1 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
25		simp2 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑦 ∈ ℕ)
26	4, 22, 23, 24, 25	fincygsubgodexd 20184	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑥) = 𝑦)
27		simpl1 1208	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → 𝜑)
28	27, 2	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
29		simprl 782	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺))
30		ablnsg 19916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝐺) = (SubGrp‘𝐺))
31	27, 9, 30	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → (NrmSGrp‘𝐺) = (SubGrp‘𝐺))
32	29, 31	eleqtrrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
33	4, 5, 28, 32	simpgnsgeqd 20172	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → (𝑥 = {(0g‘𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵))
34		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = {(0g‘𝐺)}) → 𝑥 = {(0g‘𝐺)})
35	34	fveq2d 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = {(0g‘𝐺)}) → (♯‘𝑥) = (♯‘{(0g‘𝐺)}))
36		simplrr 789	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = {(0g‘𝐺)}) → (♯‘𝑥) = 𝑦)
37	5	fvexi 6895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
38		hashsng 14404	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ V → (♯‘{(0g‘𝐺)}) = 1)
39	37, 38	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = {(0g‘𝐺)}) → (♯‘{(0g‘𝐺)}) = 1)
40	35, 36, 39	3eqtr3d 2804	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = {(0g‘𝐺)}) → 𝑦 = 1)
41	40	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → (𝑥 = {(0g‘𝐺)} → 𝑦 = 1))
42		simplrr 789	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (♯‘𝑥) = 𝑦)
43		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
44	43	fveq2d 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵))
45	42, 44	eqtr3d 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑦 = (♯‘𝐵))
46	45	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → (𝑥 = 𝐵 → 𝑦 = (♯‘𝐵)))
47	41, 46	orim12d 979	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → ((𝑥 = {(0g‘𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵))))
48	33, 47	mpd 16	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵)))
49	26, 48	rexlimddv 3170	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵)))
50	49	3exp 1135	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∥ (♯‘𝐵) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵)))))
51	50	ralrimiv 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 ∥ (♯‘𝐵) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵))))
52		isprm2 16739	. 2 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℙ ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 ∥ (♯‘𝐵) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵)))))
53	20, 51, 52	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∀wral 3077  Vcvv 3453  {csn 4588   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  Fincfn 8942  1c1 11100  ℕcn 12232  2c2 12294  ℤ_≥cuz 12861  ♯chash 14365   ∥ cdvds 16309  ℙcprime 16728  Basecbs 17268  0_gc0g 17491  Grpcgrp 18999  SubGrpcsubg 19185  NrmSGrpcnsg 19186  Abelcabl 19850  CycGrpccyg 19946  SimpGrpcsimpg 20161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-omul 8457  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-card 9924  df-acn 9927  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fz 13535  df-fl 13824  df-mod 13902  df-seq 14037  df-exp 14097  df-hash 14366  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-dvds 16310  df-gcd 16552  df-prm 16729  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-mulg 19133  df-subg 19188  df-nsg 19189  df-od 19597  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-cyg 19947  df-simpg 20162

This theorem is referenced by:  ablsimpgd  20187