MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablsimpgprmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablsimpgprmd 20136
Description: An abelian simple group has prime order. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ablsimpgprmd.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsimpgprmd.2 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablsimpgprmd.3 (𝜑𝐺 ∈ SimpGrp)
Assertion
Ref Expression
ablsimpgprmd (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)

Proof of Theorem ablsimpgprmd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (♯‘𝐵) = 1)
2 ablsimpgprmd.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ SimpGrp)
32simpggrpd 20116 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
4 ablsimpgprmd.1 . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
5 eqid 2736 . . . . . . . 8 (0g𝐺) = (0g𝐺)
64, 5grpidcl 18984 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
73, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
87adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
9 ablsimpgprmd.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
104, 9, 2ablsimpgfind 20131 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
1110adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 ∈ Fin)
121, 8, 11hash1elsn 14411 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = {(0g𝐺)})
132adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
144, 5, 13simpgntrivd 20119 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐵) = 1) → ¬ 𝐵 = {(0g𝐺)})
1512, 14pm2.65da 816 . . 3 (𝜑 → ¬ (♯‘𝐵) = 1)
164, 3, 10hashfingrpnn 18991 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
17 elnn1uz2 12968 . . . . 5 ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐵) = 1 ∨ (♯‘𝐵) ∈ (ℤ‘2)))
1816, 17sylib 218 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝐵) = 1 ∨ (♯‘𝐵) ∈ (ℤ‘2)))
1918ord 864 . . 3 (𝜑 → (¬ (♯‘𝐵) = 1 → (♯‘𝐵) ∈ (ℤ‘2)))
2015, 19mpd 15 . 2 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ (ℤ‘2))
219, 2ablsimpgcygd 20127 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ CycGrp)
22213ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝐺 ∈ CycGrp)
23 simp3 1138 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑦 ∥ (♯‘𝐵))
24103ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
25 simp2 1137 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑦 ∈ ℕ)
264, 22, 23, 24, 25fincygsubgodexd 20134 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑥) = 𝑦)
27 simpl1 1191 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → 𝜑)
2827, 2syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → 𝐺 ∈ SimpGrp)
29 simprl 770 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺))
30 ablnsg 19866 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝐺) = (SubGrp‘𝐺))
3127, 9, 303syl 18 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → (NrmSGrp‘𝐺) = (SubGrp‘𝐺))
3229, 31eleqtrrd 2843 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
334, 5, 28, 32simpgnsgeqd 20122 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → (𝑥 = {(0g𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵))
34 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = {(0g𝐺)}) → 𝑥 = {(0g𝐺)})
3534fveq2d 6909 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = {(0g𝐺)}) → (♯‘𝑥) = (♯‘{(0g𝐺)}))
36 simplrr 777 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = {(0g𝐺)}) → (♯‘𝑥) = 𝑦)
375fvexi 6919 . . . . . . . . . 10 (0g𝐺) ∈ V
38 hashsng 14409 . . . . . . . . . 10 ((0g𝐺) ∈ V → (♯‘{(0g𝐺)}) = 1)
3937, 38mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = {(0g𝐺)}) → (♯‘{(0g𝐺)}) = 1)
4035, 36, 393eqtr3d 2784 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = {(0g𝐺)}) → 𝑦 = 1)
4140ex 412 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → (𝑥 = {(0g𝐺)} → 𝑦 = 1))
42 simplrr 777 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (♯‘𝑥) = 𝑦)
43 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
4443fveq2d 6909 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵))
4542, 44eqtr3d 2778 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑦 = (♯‘𝐵))
4645ex 412 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → (𝑥 = 𝐵𝑦 = (♯‘𝐵)))
4741, 46orim12d 966 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → ((𝑥 = {(0g𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵))))
4833, 47mpd 15 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑥) = 𝑦)) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵)))
4926, 48rexlimddv 3160 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∥ (♯‘𝐵)) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵)))
50493exp 1119 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∥ (♯‘𝐵) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵)))))
5150ralrimiv 3144 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 ∥ (♯‘𝐵) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵))))
52 isprm2 16720 . 2 ((♯‘𝐵) ∈ ℙ ↔ ((♯‘𝐵) ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 ∥ (♯‘𝐵) → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = (♯‘𝐵)))))
5320, 51, 52sylanbrc 583 1 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  Vcvv 3479  {csn 4625   class class class wbr 5142  cfv 6560  Fincfn 8986  1c1 11157  cn 12267  2c2 12322  cuz 12879  chash 14370  cdvds 16291  cprime 16709  Basecbs 17248  0gc0g 17485  Grpcgrp 18952  SubGrpcsubg 19139  NrmSGrpcnsg 19140  Abelcabl 19800  CycGrpccyg 19896  SimpGrpcsimpg 20111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-omul 8512  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-acn 9983  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-dvds 16292  df-gcd 16533  df-prm 16710  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-nsg 19143  df-od 19547  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-cyg 19897  df-simpg 20112
This theorem is referenced by:  ablsimpgd  20137
  Copyright terms: Public domain W3C validator