Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashen1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashen1 13730
 Description: A set has size 1 if and only if it is equinumerous to the ordinal 1. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
hashen1 (𝐴𝑉 → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ≈ 1o))

Proof of Theorem hashen1
StepHypRef Expression
1 0ex 5176 . . . . . 6 ∅ ∈ V
2 hashsng 13729 . . . . . 6 (∅ ∈ V → (♯‘{∅}) = 1)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 (♯‘{∅}) = 1
43eqcomi 2807 . . . 4 1 = (♯‘{∅})
54a1i 11 . . 3 (𝐴𝑉 → 1 = (♯‘{∅}))
65eqeq2d 2809 . 2 (𝐴𝑉 → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ (♯‘𝐴) = (♯‘{∅})))
7 simpr 488 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘{∅})) → (♯‘𝐴) = (♯‘{∅}))
8 1nn0 11904 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
93, 8eqeltri 2886 . . . . . . . 8 (♯‘{∅}) ∈ ℕ0
10 hashvnfin 13720 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘{∅}) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) → 𝐴 ∈ Fin))
119, 10mpan2 690 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) → 𝐴 ∈ Fin))
1211imp 410 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘{∅})) → 𝐴 ∈ Fin)
13 snfi 8580 . . . . . 6 {∅} ∈ Fin
14 hashen 13706 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ {∅} ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) ↔ 𝐴 ≈ {∅}))
1512, 13, 14sylancl 589 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘{∅})) → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) ↔ 𝐴 ≈ {∅}))
167, 15mpbid 235 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘{∅})) → 𝐴 ≈ {∅})
1716ex 416 . . 3 (𝐴𝑉 → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) → 𝐴 ≈ {∅}))
18 hasheni 13707 . . 3 (𝐴 ≈ {∅} → (♯‘𝐴) = (♯‘{∅}))
1917, 18impbid1 228 . 2 (𝐴𝑉 → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) ↔ 𝐴 ≈ {∅}))
20 df1o2 8102 . . . . 5 1o = {∅}
2120eqcomi 2807 . . . 4 {∅} = 1o
2221breq2i 5039 . . 3 (𝐴 ≈ {∅} ↔ 𝐴 ≈ 1o)
2322a1i 11 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴 ≈ {∅} ↔ 𝐴 ≈ 1o))
246, 19, 233bitrd 308 1 (𝐴𝑉 → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ≈ 1o))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441  ∅c0 4243  {csn 4525   class class class wbr 5031  ‘cfv 6325  1oc1o 8081   ≈ cen 8492  Fincfn 8495  1c1 10530  ℕ0cn0 11888  ♯chash 13689 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-fz 12889  df-hash 13690 This theorem is referenced by:  hash1elsn  13731  euhash1  13780  0ring  20040  0ring01eqbi  20043  lfuhgr3  32494  spthcycl  32504
 Copyright terms: Public domain W3C validator