Theorem hashen1 14293

Description: A set has size 1 if and only if it is equinumerous to the ordinal 1. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
hashen1	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ≈ 1o))

Proof of Theorem hashen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5252	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
2		hashsng 14292	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ V → (♯‘{∅}) = 1)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘{∅}) = 1
4	3	eqcomi 2745	. . . 4 ⊢ 1 = (♯‘{∅})
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 1 = (♯‘{∅}))
6	5	eqeq2d 2747	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ (♯‘𝐴) = (♯‘{∅})))
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘{∅})) → (♯‘𝐴) = (♯‘{∅}))
8		1nn0 12417	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9	3, 8	eqeltri 2832	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘{∅}) ∈ ℕ0
10		hashvnfin 14283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘{∅}) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) → 𝐴 ∈ Fin))
11	9, 10	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) → 𝐴 ∈ Fin))
12	11	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘{∅})) → 𝐴 ∈ Fin)
13		snfi 8980	. . . . . 6 ⊢ {∅} ∈ Fin
14		hashen 14270	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {∅} ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) ↔ 𝐴 ≈ {∅}))
15	12, 13, 14	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘{∅})) → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) ↔ 𝐴 ≈ {∅}))
16	7, 15	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘{∅})) → 𝐴 ≈ {∅})
17	16	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) → 𝐴 ≈ {∅}))
18		hasheni 14271	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ {∅} → (♯‘𝐴) = (♯‘{∅}))
19	17, 18	impbid1 225	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) ↔ 𝐴 ≈ {∅}))
20		df1o2 8404	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
21	20	eqcomi 2745	. . . 4 ⊢ {∅} = 1o
22	21	breq2i 5106	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ {∅} ↔ 𝐴 ≈ 1o)
23	22	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ≈ {∅} ↔ 𝐴 ≈ 1o))
24	6, 19, 23	3bitrd 305	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ≈ 1o))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440  ∅c0 4285  {csn 4580   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  1_oc1o 8390   ≈ cen 8880  Fincfn 8883  1c1 11027  ℕ₀cn0 12401  ♯chash 14253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-hash 14254

This theorem is referenced by:  hash1elsn  14294  euhash1  14343  0ring  20459  0ring01eqbi  20465  lfuhgr3  35314  spthcycl  35323