Theorem hashen1 14305

Description: A set has size 1 if and only if it is equinumerous to the ordinal 1. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
hashen1	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ≈ 1o))

Proof of Theorem hashen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5254	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
2		hashsng 14304	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ V → (♯‘{∅}) = 1)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘{∅}) = 1
4	3	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ 1 = (♯‘{∅})
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 1 = (♯‘{∅}))
6	5	eqeq2d 2748	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ (♯‘𝐴) = (♯‘{∅})))
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘{∅})) → (♯‘𝐴) = (♯‘{∅}))
8		1nn0 12429	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9	3, 8	eqeltri 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘{∅}) ∈ ℕ0
10		hashvnfin 14295	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘{∅}) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) → 𝐴 ∈ Fin))
11	9, 10	mpan2 692	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) → 𝐴 ∈ Fin))
12	11	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘{∅})) → 𝐴 ∈ Fin)
13		snfi 8992	. . . . . 6 ⊢ {∅} ∈ Fin
14		hashen 14282	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {∅} ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) ↔ 𝐴 ≈ {∅}))
15	12, 13, 14	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘{∅})) → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) ↔ 𝐴 ≈ {∅}))
16	7, 15	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘{∅})) → 𝐴 ≈ {∅})
17	16	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) → 𝐴 ≈ {∅}))
18		hasheni 14283	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ {∅} → (♯‘𝐴) = (♯‘{∅}))
19	17, 18	impbid1 225	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) ↔ 𝐴 ≈ {∅}))
20		df1o2 8414	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
21	20	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ {∅} = 1o
22	21	breq2i 5108	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ {∅} ↔ 𝐴 ≈ 1o)
23	22	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ≈ {∅} ↔ 𝐴 ≈ 1o))
24	6, 19, 23	3bitrd 305	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ≈ 1o))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  ∅c0 4287  {csn 4582   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  1_oc1o 8400   ≈ cen 8892  Fincfn 8895  1c1 11039  ℕ₀cn0 12413  ♯chash 14265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-hash 14266

This theorem is referenced by:  hash1elsn  14306  euhash1  14355  0ring  20471  0ring01eqbi  20477  lfuhgr3  35333  spthcycl  35342