MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashen1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashen1 14406
Description: A set has size 1 if and only if it is equinumerous to the ordinal 1. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
hashen1 (𝐴𝑉 → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ≈ 1o))

Proof of Theorem hashen1
StepHypRef Expression
1 0ex 5313 . . . . . 6 ∅ ∈ V
2 hashsng 14405 . . . . . 6 (∅ ∈ V → (♯‘{∅}) = 1)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 (♯‘{∅}) = 1
43eqcomi 2744 . . . 4 1 = (♯‘{∅})
54a1i 11 . . 3 (𝐴𝑉 → 1 = (♯‘{∅}))
65eqeq2d 2746 . 2 (𝐴𝑉 → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ (♯‘𝐴) = (♯‘{∅})))
7 simpr 484 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘{∅})) → (♯‘𝐴) = (♯‘{∅}))
8 1nn0 12540 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
93, 8eqeltri 2835 . . . . . . . 8 (♯‘{∅}) ∈ ℕ0
10 hashvnfin 14396 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘{∅}) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) → 𝐴 ∈ Fin))
119, 10mpan2 691 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) → 𝐴 ∈ Fin))
1211imp 406 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘{∅})) → 𝐴 ∈ Fin)
13 snfi 9082 . . . . . 6 {∅} ∈ Fin
14 hashen 14383 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ {∅} ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) ↔ 𝐴 ≈ {∅}))
1512, 13, 14sylancl 586 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘{∅})) → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) ↔ 𝐴 ≈ {∅}))
167, 15mpbid 232 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘{∅})) → 𝐴 ≈ {∅})
1716ex 412 . . 3 (𝐴𝑉 → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) → 𝐴 ≈ {∅}))
18 hasheni 14384 . . 3 (𝐴 ≈ {∅} → (♯‘𝐴) = (♯‘{∅}))
1917, 18impbid1 225 . 2 (𝐴𝑉 → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) ↔ 𝐴 ≈ {∅}))
20 df1o2 8512 . . . . 5 1o = {∅}
2120eqcomi 2744 . . . 4 {∅} = 1o
2221breq2i 5156 . . 3 (𝐴 ≈ {∅} ↔ 𝐴 ≈ 1o)
2322a1i 11 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴 ≈ {∅} ↔ 𝐴 ≈ 1o))
246, 19, 233bitrd 305 1 (𝐴𝑉 → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ≈ 1o))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  c0 4339  {csn 4631   class class class wbr 5148  cfv 6563  1oc1o 8498  cen 8981  Fincfn 8984  1c1 11154  0cn0 12524  chash 14366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367
This theorem is referenced by:  hash1elsn  14407  euhash1  14456  0ring  20543  0ring01eqbi  20549  lfuhgr3  35104  spthcycl  35114
  Copyright terms: Public domain W3C validator