MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashen1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashen1 14369
Description: A set has size 1 if and only if it is equinumerous to the ordinal 1. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
hashen1 (𝐴𝑉 → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ≈ 1o))

Proof of Theorem hashen1
StepHypRef Expression
1 0ex 5311 . . . . . 6 ∅ ∈ V
2 hashsng 14368 . . . . . 6 (∅ ∈ V → (♯‘{∅}) = 1)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 (♯‘{∅}) = 1
43eqcomi 2737 . . . 4 1 = (♯‘{∅})
54a1i 11 . . 3 (𝐴𝑉 → 1 = (♯‘{∅}))
65eqeq2d 2739 . 2 (𝐴𝑉 → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ (♯‘𝐴) = (♯‘{∅})))
7 simpr 483 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘{∅})) → (♯‘𝐴) = (♯‘{∅}))
8 1nn0 12526 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
93, 8eqeltri 2825 . . . . . . . 8 (♯‘{∅}) ∈ ℕ0
10 hashvnfin 14359 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘{∅}) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) → 𝐴 ∈ Fin))
119, 10mpan2 689 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) → 𝐴 ∈ Fin))
1211imp 405 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘{∅})) → 𝐴 ∈ Fin)
13 snfi 9075 . . . . . 6 {∅} ∈ Fin
14 hashen 14346 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ {∅} ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) ↔ 𝐴 ≈ {∅}))
1512, 13, 14sylancl 584 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘{∅})) → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) ↔ 𝐴 ≈ {∅}))
167, 15mpbid 231 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘{∅})) → 𝐴 ≈ {∅})
1716ex 411 . . 3 (𝐴𝑉 → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) → 𝐴 ≈ {∅}))
18 hasheni 14347 . . 3 (𝐴 ≈ {∅} → (♯‘𝐴) = (♯‘{∅}))
1917, 18impbid1 224 . 2 (𝐴𝑉 → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) ↔ 𝐴 ≈ {∅}))
20 df1o2 8500 . . . . 5 1o = {∅}
2120eqcomi 2737 . . . 4 {∅} = 1o
2221breq2i 5160 . . 3 (𝐴 ≈ {∅} ↔ 𝐴 ≈ 1o)
2322a1i 11 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴 ≈ {∅} ↔ 𝐴 ≈ 1o))
246, 19, 233bitrd 304 1 (𝐴𝑉 → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ≈ 1o))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3473  c0 4326  {csn 4632   class class class wbr 5152  cfv 6553  1oc1o 8486  cen 8967  Fincfn 8970  1c1 11147  0cn0 12510  chash 14329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-hash 14330
This theorem is referenced by:  hash1elsn  14370  euhash1  14419  0ring  20470  0ring01eqbi  20476  lfuhgr3  34762  spthcycl  34772
  Copyright terms: Public domain W3C validator