Theorem hashen1 14323

Description: A set has size 1 if and only if it is equinumerous to the ordinal 1. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
hashen1	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ≈ 1o))

Proof of Theorem hashen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5242	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
2		hashsng 14322	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ V → (♯‘{∅}) = 1)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘{∅}) = 1
4	3	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ 1 = (♯‘{∅})
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 1 = (♯‘{∅}))
6	5	eqeq2d 2748	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ (♯‘𝐴) = (♯‘{∅})))
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘{∅})) → (♯‘𝐴) = (♯‘{∅}))
8		1nn0 12444	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9	3, 8	eqeltri 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘{∅}) ∈ ℕ0
10		hashvnfin 14313	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘{∅}) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) → 𝐴 ∈ Fin))
11	9, 10	mpan2 692	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) → 𝐴 ∈ Fin))
12	11	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘{∅})) → 𝐴 ∈ Fin)
13		snfi 8983	. . . . . 6 ⊢ {∅} ∈ Fin
14		hashen 14300	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {∅} ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) ↔ 𝐴 ≈ {∅}))
15	12, 13, 14	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘{∅})) → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) ↔ 𝐴 ≈ {∅}))
16	7, 15	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘{∅})) → 𝐴 ≈ {∅})
17	16	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) → 𝐴 ≈ {∅}))
18		hasheni 14301	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ {∅} → (♯‘𝐴) = (♯‘{∅}))
19	17, 18	impbid1 225	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) ↔ 𝐴 ≈ {∅}))
20		df1o2 8405	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
21	20	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ {∅} = 1o
22	21	breq2i 5094	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ {∅} ↔ 𝐴 ≈ 1o)
23	22	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ≈ {∅} ↔ 𝐴 ≈ 1o))
24	6, 19, 23	3bitrd 305	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ≈ 1o))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ∅c0 4274  {csn 4568   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  1_oc1o 8391   ≈ cen 8883  Fincfn 8886  1c1 11030  ℕ₀cn0 12428  ♯chash 14283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-hash 14284

This theorem is referenced by:  hash1elsn  14324  euhash1  14373  0ring  20494  0ring01eqbi  20500  lfuhgr3  35318  spthcycl  35327