Theorem hashen1 14409

Description: A set has size 1 if and only if it is equinumerous to the ordinal 1. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
hashen1	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ≈ 1o))

Proof of Theorem hashen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5307	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
2		hashsng 14408	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ V → (♯‘{∅}) = 1)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘{∅}) = 1
4	3	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ 1 = (♯‘{∅})
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 1 = (♯‘{∅}))
6	5	eqeq2d 2748	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ (♯‘𝐴) = (♯‘{∅})))
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘{∅})) → (♯‘𝐴) = (♯‘{∅}))
8		1nn0 12542	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9	3, 8	eqeltri 2837	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘{∅}) ∈ ℕ0
10		hashvnfin 14399	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘{∅}) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) → 𝐴 ∈ Fin))
11	9, 10	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) → 𝐴 ∈ Fin))
12	11	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘{∅})) → 𝐴 ∈ Fin)
13		snfi 9083	. . . . . 6 ⊢ {∅} ∈ Fin
14		hashen 14386	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {∅} ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) ↔ 𝐴 ≈ {∅}))
15	12, 13, 14	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘{∅})) → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) ↔ 𝐴 ≈ {∅}))
16	7, 15	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) = (♯‘{∅})) → 𝐴 ≈ {∅})
17	16	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) → 𝐴 ≈ {∅}))
18		hasheni 14387	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ {∅} → (♯‘𝐴) = (♯‘{∅}))
19	17, 18	impbid1 225	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) ↔ 𝐴 ≈ {∅}))
20		df1o2 8513	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
21	20	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ {∅} = 1o
22	21	breq2i 5151	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ {∅} ↔ 𝐴 ≈ 1o)
23	22	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ≈ {∅} ↔ 𝐴 ≈ 1o))
24	6, 19, 23	3bitrd 305	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ≈ 1o))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480  ∅c0 4333  {csn 4626   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  1_oc1o 8499   ≈ cen 8982  Fincfn 8985  1c1 11156  ℕ₀cn0 12526  ♯chash 14369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370

This theorem is referenced by:  hash1elsn  14410  euhash1  14459  0ring  20526  0ring01eqbi  20532  lfuhgr3  35125  spthcycl  35134