Theorem hashrabrsn 14523

Description: The size of a restricted class abstraction restricted to a singleton is a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hashrabrsn	⊢ (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) ∈ ℕ0

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem hashrabrsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}
2		rabrsn 4681	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} → ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ ∨ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}))
3		fveq2 6890	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = (♯‘∅))
4		hash0 14518	. . . . 5 ⊢ (♯‘∅) = 0
5		0nn0 12628	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6	4, 5	eqeltri 2856	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) ∈ ℕ0
7	3, 6	eqeltrdi 2868	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) ∈ ℕ0)
8		fveq2 6890	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = (♯‘{𝐴}))
9		hashsng 14520	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (♯‘{𝐴}) = 1)
10		1nn0 12629	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
11	9, 10	eqeltrdi 2868	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (♯‘{𝐴}) ∈ ℕ0)
12		snprc 4674	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
13		fveq2 6890	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴} = ∅ → (♯‘{𝐴}) = (♯‘∅))
14	13, 6	eqeltrdi 2868	. . . . . 6 ⊢ ({𝐴} = ∅ → (♯‘{𝐴}) ∈ ℕ0)
15	12, 14	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (♯‘{𝐴}) ∈ ℕ0)
16	11, 15	pm2.61i 184	. . . 4 ⊢ (♯‘{𝐴}) ∈ ℕ0
17	8, 16	eqeltrdi 2868	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) ∈ ℕ0)
18	7, 17	jaoi 871	. 2 ⊢ (({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ ∨ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}) → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) ∈ ℕ0)
19	1, 2, 18	mp2b 10	1 ⊢ (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) ∈ ℕ0

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  Vcvv 3450  ∅c0 4277  {csn 4584  ‘cfv 6543  0cc0 11207  1c1 11208  ℕ₀cn0 12613  ♯chash 14481

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-hash 14482

This theorem is used by: (None)