Theorem hashrabrsn 14389

Description: The size of a restricted class abstraction restricted to a singleton is a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hashrabrsn	⊢ (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) ∈ ℕ0

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem hashrabrsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2726	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}
2		rabrsn 4733	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} → ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ ∨ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}))
3		fveq2 6901	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = (♯‘∅))
4		hash0 14384	. . . . 5 ⊢ (♯‘∅) = 0
5		0nn0 12539	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6	4, 5	eqeltri 2822	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) ∈ ℕ0
7	3, 6	eqeltrdi 2834	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) ∈ ℕ0)
8		fveq2 6901	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = (♯‘{𝐴}))
9		hashsng 14386	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (♯‘{𝐴}) = 1)
10		1nn0 12540	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
11	9, 10	eqeltrdi 2834	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (♯‘{𝐴}) ∈ ℕ0)
12		snprc 4726	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
13		fveq2 6901	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴} = ∅ → (♯‘{𝐴}) = (♯‘∅))
14	13, 6	eqeltrdi 2834	. . . . . 6 ⊢ ({𝐴} = ∅ → (♯‘{𝐴}) ∈ ℕ0)
15	12, 14	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (♯‘{𝐴}) ∈ ℕ0)
16	11, 15	pm2.61i 182	. . . 4 ⊢ (♯‘{𝐴}) ∈ ℕ0
17	8, 16	eqeltrdi 2834	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) ∈ ℕ0)
18	7, 17	jaoi 855	. 2 ⊢ (({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ ∨ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}) → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) ∈ ℕ0)
19	1, 2, 18	mp2b 10	1 ⊢ (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) ∈ ℕ0

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ wo 845   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3419  Vcvv 3462  ∅c0 4325  {csn 4633  ‘cfv 6554  0cc0 11158  1c1 11159  ℕ₀cn0 12524  ♯chash 14347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-hash 14348

This theorem is referenced by: (None)