Theorem hashbc0 16755

Description: The set of subsets of size zero is the singleton of the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ramval.c	⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})

Assertion

Ref	Expression
hashbc0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴𝐶0) = {∅})

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑖   𝐴,𝑎,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑏)   𝐶(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑖,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hashbc0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12298	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		ramval.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
3	2	hashbcval 16752	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐶0) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0})
4	1, 3	mpan2 689	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴𝐶0) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0})
5		hasheq0 14127	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V → ((♯‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = ∅))
6	5	elv 3443	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = ∅)
7	6	anbi2i 624	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 0) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 = ∅))
8		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → 𝑥 = ∅)
9		0elpw 5287	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐴
10	8, 9	eqeltrdi 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
11	10	pm4.71ri 562	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 = ∅))
12	7, 11	bitr4i 278	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 0) ↔ 𝑥 = ∅)
13	12	abbii 2806	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 0)} = {𝑥 ∣ 𝑥 = ∅}
14		df-rab 3306	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 0)}
15		df-sn 4566	. . 3 ⊢ {∅} = {𝑥 ∣ 𝑥 = ∅}
16	13, 14, 15	3eqtr4i 2774	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} = {∅}
17	4, 16	eqtrdi 2792	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴𝐶0) = {∅})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {cab 2713  {crab 3303  Vcvv 3437  ∅c0 4262  𝒫 cpw 4539  {csn 4565  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307   ∈ cmpo 7309  0cc0 10921  ℕ₀cn0 12283  ♯chash 14094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-card 9745  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-nn 12024  df-n0 12284  df-z 12370  df-uz 12633  df-fz 13290  df-hash 14095

This theorem is referenced by:  0ram  16770