MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashbc0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashbc0 16336
Description: The set of subsets of size zero is the singleton of the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ramval.c 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
Assertion
Ref Expression
hashbc0 (𝐴𝑉 → (𝐴𝐶0) = {∅})
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑖   𝐴,𝑎,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑏)   𝐶(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑖,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hashbc0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 11906 . . 3 0 ∈ ℕ0
2 ramval.c . . . 4 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
32hashbcval 16333 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐶0) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0})
41, 3mpan2 687 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴𝐶0) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0})
5 hasheq0 13719 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ V → ((♯‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = ∅))
65elv 3505 . . . . . 6 ((♯‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = ∅)
76anbi2i 622 . . . . 5 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 0) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 = ∅))
8 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → 𝑥 = ∅)
9 0elpw 5253 . . . . . . 7 ∅ ∈ 𝒫 𝐴
108, 9syl6eqel 2926 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
1110pm4.71ri 561 . . . . 5 (𝑥 = ∅ ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 = ∅))
127, 11bitr4i 279 . . . 4 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 0) ↔ 𝑥 = ∅)
1312abbii 2891 . . 3 {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 0)} = {𝑥𝑥 = ∅}
14 df-rab 3152 . . 3 {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 0)}
15 df-sn 4565 . . 3 {∅} = {𝑥𝑥 = ∅}
1613, 14, 153eqtr4i 2859 . 2 {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} = {∅}
174, 16syl6eq 2877 1 (𝐴𝑉 → (𝐴𝐶0) = {∅})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  {cab 2804  {crab 3147  Vcvv 3500  c0 4295  𝒫 cpw 4542  {csn 4564  cfv 6354  (class class class)co 7150  cmpo 7152  0cc0 10531  0cn0 11891  chash 13685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12888  df-hash 13686
This theorem is referenced by:  0ram  16351
  Copyright terms: Public domain W3C validator