Theorem hashbc0 17163

Description: The set of subsets of size zero is the singleton of the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ramval.c	⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})

Assertion

Ref	Expression
hashbc0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴𝐶0) = {∅})

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑖   𝐴,𝑎,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑏)   𝐶(𝑖, 𝑎, 𝑏)   𝑉(𝑖, 𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem hashbc0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12602	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		ramval.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
3	2	hashbcval 17160	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐶0) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0})
4	1, 3	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴𝐶0) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0})
5		hasheq0 14487	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V → ((♯‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = ∅))
6	5	elv 3456	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = ∅)
7	6	anbi2i 635	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 0) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 = ∅))
8		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → 𝑥 = ∅)
9		0elpw 5317	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐴
10	8, 9	eqeltrdi 2869	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
11	10	pm4.71ri 570	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 = ∅))
12	7, 11	bitr4i 281	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 0) ↔ 𝑥 = ∅)
13	12	abbii 2828	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 0)} = {𝑥 ∣ 𝑥 = ∅}
14		df-rab 3414	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 0)}
15		df-sn 4585	. . 3 ⊢ {∅} = {𝑥 ∣ 𝑥 = ∅}
16	13, 14, 15	3eqtr4i 2794	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} = {∅}
17	4, 16	eqtrdi 2812	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴𝐶0) = {∅})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2739  {crab 3413  Vcvv 3451  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  {csn 4584  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  0cc0 11181  ℕ₀cn0 12587  ♯chash 14454

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-hash 14455

This theorem is used by:  0ram  17178