Theorem hashbc0 17188

Description: The set of subsets of size zero is the singleton of the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ramval.c	⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})

Assertion

Ref	Expression
hashbc0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴𝐶0) = {∅})

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑖   𝐴,𝑎,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑏)   𝐶(𝑖, 𝑎, 𝑏)   𝑉(𝑖, 𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem hashbc0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12624	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		ramval.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
3	2	hashbcval 17185	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐶0) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0})
4	1, 3	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴𝐶0) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0})
5		hasheq0 14510	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V → ((♯‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = ∅))
6	5	elv 3455	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = ∅)
7	6	anbi2i 635	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 0) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 = ∅))
8		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → 𝑥 = ∅)
9		0elpw 5316	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐴
10	8, 9	eqeltrdi 2868	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
11	10	pm4.71ri 570	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 = ∅))
12	7, 11	bitr4i 281	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 0) ↔ 𝑥 = ∅)
13	12	abbii 2827	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 0)} = {𝑥 ∣ 𝑥 = ∅}
14		df-rab 3413	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 0)}
15		df-sn 4585	. . 3 ⊢ {∅} = {𝑥 ∣ 𝑥 = ∅}
16	13, 14, 15	3eqtr4i 2793	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} = {∅}
17	4, 16	eqtrdi 2811	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴𝐶0) = {∅})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {cab 2738  {crab 3412  Vcvv 3450  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  {csn 4584  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  0cc0 11203  ℕ₀cn0 12609  ♯chash 14477

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-hash 14478

This theorem is used by:  0ram  17203