Theorem hashcl 13999

Description: Closure of the ♯ function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashcl	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem hashcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
2	1	hashgval 13975	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
3		ficardom 9650	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
4	1	hashgf1o 13619	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1of 6700	. . . . 5 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0
7	6	ffvelrni 6942	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) ∈ ω → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
8	3, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
9	2, 8	eqeltrrd 2840	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ↦ cmpt 5153   ↾ cres 5582  ⟶wf 6414  –1-1-onto→wf1o 6417  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ωcom 7687  reccrdg 8211  Fincfn 8691  cardccrd 9624  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805  ℕ₀cn0 12163  ♯chash 13972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-hash 13973

This theorem is referenced by:  hashclb  14001  isfinite4  14005  hashnncl  14009  hashdom  14022  hashsdom  14024  hashun2  14026  hashun3  14027  hashunx  14029  1elfz0hash  14033  hashssdif  14055  hashdifpr  14058  hashunlei  14068  hashsslei  14069  hashxplem  14076  hashmap  14078  hashfun  14080  hashreshashfun  14082  fnfz0hashnn0  14088  fnfzo0hashnn0  14091  hashbclem  14092  hashf1lem2  14098  hashf1  14099  hashfac  14100  fz1isolem  14103  seqcoll2  14107  hashge2el2dif  14122  hashtpg  14127  hash1to3  14133  fi1uzind  14139  brfi1indALT  14142  lencl  14164  wrdnfi  14179  ccatval2  14211  ofccat  14608  isercoll  15307  fz1f1o  15350  o1fsum  15453  hashiun  15462  hash2iun1dif1  15464  ackbijnn  15468  incexclem  15476  incexc  15477  incexc2  15478  climcndslem1  15489  climcndslem2  15490  sumodd  16025  phicl2  16397  phiprmpw  16405  sumhash  16525  prmreclem3  16547  prmreclem4  16548  prmreclem5  16549  4sqlem11  16584  vdwlem11  16620  vdwlem12  16621  vdwlem13  16622  ramlb  16648  0ram  16649  ramub1lem1  16655  ramub1lem2  16656  hashfinmndnn  18317  lagsubg2  18732  lagsubg  18733  psgnunilem4  19020  odhash3  19096  gexdvds3  19110  sylow1lem1  19118  sylow1lem5  19122  pgpfi  19125  pgpssslw  19134  sylow2alem2  19138  sylow2a  19139  sylow2blem3  19142  sylow3lem3  19149  sylow3lem4  19150  sylow3lem6  19152  cyggex2  19413  ablfacrplem  19583  ablfacrp2  19585  ablfac1c  19589  ablfac1eulem  19590  ablfac1eu  19591  pgpfac1lem2  19593  pgpfaclem2  19600  ablfaclem3  19605  fincygsubgodd  19630  prmgrpsimpgd  19632  0ringnnzr  20453  cygznlem1  20686  cygznlem2a  20687  cygznlem3  20689  cygth  20691  mdet1  21658  chpscmatgsumbin  21901  chpscmatgsummon  21902  tsmsxp  23214  fta1glem2  25236  fta1blem  25238  fta1lem  25372  vieta1lem2  25376  birthday  26009  ppif  26184  isnsqf  26189  muf  26194  0sgm  26198  mule1  26202  ppidif  26217  mumul  26235  musum  26245  ppiub  26257  chpub  26273  dchrabs  26313  sumdchr2  26323  dchrhash  26324  lgsquadlem1  26433  lgsquadlem2  26434  lgsquadlem3  26435  rpvmasum2  26565  dchrisum0re  26566  pntlemr  26655  pntlemj  26656  fusgredgfi  27595  hashnbusgrnn0  27646  nbusgrvtxm1  27649  vtxdgfival  27739  vtxdgfisnn0  27745  vtxdginducedm1fi  27814  finsumvtxdg2ssteplem4  27818  finsumvtxdgeven  27822  upgrwlkdvdelem  28005  clwwlkndivn  28345  konigsberglem5  28521  frrusgrord0lem  28604  numclwwlk1  28626  numclwwlk3  28650  numclwwlk5  28653  numclwwlk6  28655  frgrregord013  28660  frgrogt3nreg  28662  friendshipgt3  28663  friendship  28664  hashxpe  31029  cycpmconjslem2  31324  cyc3conja  31326  elrspunidl  31508  esumcst  31931  hasheuni  31953  coinfliplem  32345  coinflippv  32350  ballotlemfelz  32357  ballotlemfp1  32358  ballotlemgun  32391  ballotth  32404  reprlt  32499  hashreprin  32500  derangf  33030  derangen2  33036  subfacp1lem1  33041  erdszelem8  33060  erdsze2lem1  33065  snmlff  33191  poimirlem26  35730  poimirlem27  35731  poimirlem28  35732  rrnequiv  35920  rrntotbnd  35921  frlmvscadiccat  40163  fsuppind  40202  eldioph2lem1  40498  isnumbasgrplem3  40846  rp-isfinite5  41022  fzisoeu  42729  stoweidlem26  43457  fourierdlem36  43574  fourierdlem52  43589  fourierdlem102  43639  fourierdlem114  43651  rrndistlt  43721  hoicvrrex  43984  pgrple2abl  45589  pgrpgt2nabl  45590