Theorem hashcl 14291

Description: Closure of the ♯ function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashcl	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem hashcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
2	1	hashgval 14268	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
3		ficardom 9885	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
4	1	hashgf1o 13906	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1of 6782	. . . . 5 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0
7	6	ffvelcdmi 7037	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) ∈ ω → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
8	3, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
9	2, 8	eqeltrrd 2838	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ↦ cmpt 5181   ↾ cres 5634  ⟶wf 6496  –1-1-onto→wf1o 6499  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ωcom 7818  reccrdg 8350  Fincfn 8895  cardccrd 9859  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041  ℕ₀cn0 12413  ♯chash 14265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-hash 14266

This theorem is referenced by:  hashclb  14293  isfinite4  14297  hashnncl  14301  hashdom  14314  hashsdom  14316  hashun2  14318  hashun3  14319  hashunx  14321  1elfz0hash  14325  hashssdif  14347  hashdifpr  14350  hashunlei  14360  hashsslei  14361  hashxplem  14368  hashmap  14370  hashfun  14372  hashreshashfun  14374  fnfz0hashnn0  14383  fnfzo0hashnn0  14386  hashbclem  14387  hashf1lem2  14391  hashf1  14392  hashfac  14393  fz1isolem  14396  seqcoll2  14400  hashge2el2dif  14415  hashtpg  14420  hash1to3  14427  fi1uzind  14442  brfi1indALT  14445  lencl  14468  wrdnfi  14483  ccatval2  14513  ofccat  14904  isercoll  15603  fz1f1o  15645  o1fsum  15748  hashiun  15757  hash2iun1dif1  15759  ackbijnn  15763  incexclem  15771  incexc  15772  incexc2  15773  climcndslem1  15784  climcndslem2  15785  sumodd  16327  phicl2  16707  phiprmpw  16715  sumhash  16836  prmreclem3  16858  prmreclem4  16859  prmreclem5  16860  4sqlem11  16895  vdwlem11  16931  vdwlem12  16932  vdwlem13  16933  ramlb  16959  0ram  16960  ramub1lem1  16966  ramub1lem2  16967  chnpolfz  18568  hashfinmndnn  18688  lagsubg2  19135  lagsubg  19136  psgnunilem4  19438  odhash3  19517  gexdvds3  19531  sylow1lem1  19539  sylow1lem5  19543  pgpfi  19546  pgpssslw  19555  sylow2alem2  19559  sylow2a  19560  sylow2blem3  19563  sylow3lem3  19570  sylow3lem4  19571  sylow3lem6  19573  cyggex2  19838  ablfacrplem  20008  ablfacrp2  20010  ablfac1c  20014  ablfac1eulem  20015  ablfac1eu  20016  pgpfac1lem2  20018  pgpfaclem2  20025  ablfaclem3  20030  fincygsubgodd  20055  prmgrpsimpgd  20057  0ringnnzr  20470  cygznlem1  21533  cygznlem2a  21534  cygznlem3  21536  cygth  21538  mdet1  22557  chpscmatgsumbin  22800  chpscmatgsummon  22801  tsmsxp  24111  fta1glem2  26142  fta1blem  26144  fta1lem  26283  vieta1lem2  26287  birthday  26932  ppif  27108  isnsqf  27113  muf  27118  0sgm  27122  mule1  27126  ppidif  27141  mumul  27159  musum  27169  ppiub  27183  chpub  27199  dchrabs  27239  sumdchr2  27249  dchrhash  27250  lgsquadlem1  27359  lgsquadlem2  27360  lgsquadlem3  27361  rpvmasum2  27491  dchrisum0re  27492  pntlemr  27581  pntlemj  27582  fusgredgfi  29410  hashnbusgrnn0  29461  nbusgrvtxm1  29464  vtxdgfival  29555  vtxdgfisnn0  29561  vtxdginducedm1fi  29630  finsumvtxdg2ssteplem4  29634  finsumvtxdgeven  29638  upgrwlkdvdelem  29821  clwwlkndivn  30167  konigsberglem5  30343  frrusgrord0lem  30426  numclwwlk1  30448  numclwwlk3  30472  numclwwlk5  30475  numclwwlk6  30477  frgrregord013  30482  frgrogt3nreg  30484  friendshipgt3  30485  friendship  30486  hashxpe  32898  cycpmconjslem2  33249  cyc3conja  33251  gsumind  33438  elrspunidl  33521  esplyfval2  33742  esplympl  33744  esplyfval3  33749  esplyfvaln  33751  esplyind  33752  esplyindfv  33753  esplyfvn  33754  vietadeg1  33755  vietalem  33756  vieta  33757  exsslsb  33774  esumcst  34241  hasheuni  34263  coinfliplem  34657  coinflippv  34662  ballotlemfelz  34669  ballotlemfp1  34670  ballotlemgun  34703  ballotth  34716  reprlt  34797  hashreprin  34798  derangf  35384  derangen2  35390  subfacp1lem1  35395  erdszelem8  35414  erdsze2lem1  35419  snmlff  35545  poimirlem26  37897  poimirlem27  37898  poimirlem28  37899  rrnequiv  38086  rrntotbnd  38087  hashscontpowcl  42490  aks6d1c2lem4  42497  hashnexinj  42498  aks6d1c2  42500  aks6d1c6lem3  42542  unitscyglem1  42565  unitscyglem2  42566  unitscyglem4  42568  frlmvscadiccat  42876  fsuppind  42948  eldioph2lem1  43117  isnumbasgrplem3  43462  rp-isfinite5  43873  fzisoeu  45662  stoweidlem26  46384  fourierdlem36  46501  fourierdlem52  46516  fourierdlem102  46566  fourierdlem114  46578  rrndistlt  46648  hoicvrrex  46914  pgrple2abl  48725  pgrpgt2nabl  48726