Theorem hashcl 13462

Description: Closure of the ♯ function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashcl	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem hashcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2777	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
2	1	hashgval 13438	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
3		ficardom 9120	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
4	1	hashgf1o 13089	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1of 6391	. . . . 5 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0
7	6	ffvelrni 6622	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) ∈ ω → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
8	3, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
9	2, 8	eqeltrrd 2859	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  Vcvv 3397   ↦ cmpt 4965   ↾ cres 5357  ⟶wf 6131  –1-1-onto→wf1o 6134  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ωcom 7343  reccrdg 7788  Fincfn 8241  cardccrd 9094  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275  ℕ₀cn0 11642  ♯chash 13435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-hash 13436

This theorem is referenced by:  hashclb  13464  isfinite4  13468  hashnncl  13472  hashdom  13483  hashsdom  13485  hashun2  13487  hashun3  13488  hashunx  13490  1elfz0hash  13494  hashssdif  13514  hashdifpr  13517  hashunlei  13526  hashsslei  13527  hashxplem  13534  hashmap  13536  hashfun  13538  hashreshashfun  13540  fnfz0hashnn0  13546  fnfzo0hashnn0  13549  hashbclem  13550  hashf1lem2  13554  hashf1  13555  hashfac  13556  fz1isolem  13559  seqcoll2  13563  hashge2el2dif  13576  hashtpg  13581  hash1to3  13587  fi1uzind  13593  brfi1indALT  13596  lencl  13621  wrdnfi  13637  wrdnfiOLD  13638  ccatval2  13668  splfv1  13898  splfv1OLD  13899  splfv2a  13900  splfv2aOLD  13901  ofccat  14117  isercoll  14806  fz1f1o  14848  o1fsum  14949  hashiun  14958  hash2iun1dif1  14960  ackbijnn  14964  incexclem  14972  incexc  14973  incexc2  14974  climcndslem1  14985  climcndslem2  14986  sumodd  15518  phicl2  15877  phiprmpw  15885  sumhash  16004  prmreclem3  16026  prmreclem4  16027  prmreclem5  16028  4sqlem11  16063  vdwlem11  16099  vdwlem12  16100  vdwlem13  16101  ramlb  16127  0ram  16128  ramub1lem1  16134  ramub1lem2  16135  lagsubg2  18039  lagsubg  18040  psgnunilem4  18301  odhash3  18375  gexdvds3  18389  sylow1lem1  18397  sylow1lem5  18401  pgpfi  18404  pgpssslw  18413  sylow2alem2  18417  sylow2a  18418  sylow2blem3  18421  sylow3lem3  18428  sylow3lem4  18429  sylow3lem6  18431  cyggex2  18684  ablfacrplem  18851  ablfacrp2  18853  ablfac1c  18857  ablfac1eulem  18858  ablfac1eu  18859  pgpfac1lem2  18861  pgpfaclem2  18868  ablfaclem3  18873  0ringnnzr  19666  cygznlem1  20310  cygznlem2a  20311  cygznlem3  20313  cygth  20315  mdet1  20812  chpscmatgsumbin  21056  chpscmatgsummon  21057  tsmsxp  22366  fta1glem2  24363  fta1blem  24365  fta1lem  24499  vieta1lem2  24503  birthday  25133  ppif  25308  isnsqf  25313  muf  25318  0sgm  25322  mule1  25326  ppidif  25341  mumul  25359  musum  25369  ppiub  25381  chpub  25397  dchrabs  25437  sumdchr2  25447  dchrhash  25448  lgsquadlem1  25557  lgsquadlem2  25558  lgsquadlem3  25559  rpvmasum2  25653  dchrisum0re  25654  pntlemr  25743  pntlemj  25744  fusgredgfi  26672  hashnbusgrnn0  26724  nbusgrvtxm1  26727  vtxdgfival  26817  vtxdgfisnn0  26823  vtxdginducedm1fi  26892  finsumvtxdg2ssteplem4  26896  finsumvtxdgeven  26900  upgrwlkdvdelem  27088  clwwlkndivn  27478  konigsberglem5  27676  frrusgrord0lem  27761  numclwwlk1  27798  numclwwlk3  27831  numclwwlk5  27834  numclwwlk6  27836  frgrregord013  27841  frgrogt3nreg  27843  friendshipgt3  27844  friendship  27845  esumcst  30737  hasheuni  30759  coinfliplem  31153  coinflippv  31158  ballotlemfelz  31165  ballotlemfp1  31166  ballotlemgun  31199  ballotth  31212  ofcccat  31234  signshf  31281  reprlt  31313  hashreprin  31314  derangf  31763  derangen2  31769  subfacp1lem1  31774  erdszelem8  31793  erdsze2lem1  31798  snmlff  31924  poimirlem26  34055  poimirlem27  34056  poimirlem28  34057  rrnequiv  34252  rrntotbnd  34253  eldioph2lem1  38275  isnumbasgrplem3  38626  rp-isfinite5  38812  fzisoeu  40415  stoweidlem26  41162  fourierdlem36  41279  fourierdlem52  41294  fourierdlem102  41344  fourierdlem114  41356  rrndistlt  41426  hoicvrrex  41689  pgrple2abl  43153  pgrpgt2nabl  43154