Theorem hashcl 14313

Description: Closure of the ♯ function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashcl	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem hashcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2724	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
2	1	hashgval 14290	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
3		ficardom 9952	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
4	1	hashgf1o 13933	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1of 6823	. . . . 5 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0
7	6	ffvelcdmi 7075	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) ∈ ω → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
8	3, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
9	2, 8	eqeltrrd 2826	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   ↦ cmpt 5221   ↾ cres 5668  ⟶wf 6529  –1-1-onto→wf1o 6532  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  ωcom 7848  reccrdg 8404  Fincfn 8935  cardccrd 9926  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  ℕ₀cn0 12469  ♯chash 14287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-hash 14288

This theorem is referenced by:  hashclb  14315  isfinite4  14319  hashnncl  14323  hashdom  14336  hashsdom  14338  hashun2  14340  hashun3  14341  hashunx  14343  1elfz0hash  14347  hashssdif  14369  hashdifpr  14372  hashunlei  14382  hashsslei  14383  hashxplem  14390  hashmap  14392  hashfun  14394  hashreshashfun  14396  fnfz0hashnn0  14404  fnfzo0hashnn0  14407  hashbclem  14408  hashf1lem2  14414  hashf1  14415  hashfac  14416  fz1isolem  14419  seqcoll2  14423  hashge2el2dif  14438  hashtpg  14443  hash1to3  14449  fi1uzind  14455  brfi1indALT  14458  lencl  14480  wrdnfi  14495  ccatval2  14525  ofccat  14913  isercoll  15611  fz1f1o  15653  o1fsum  15756  hashiun  15765  hash2iun1dif1  15767  ackbijnn  15771  incexclem  15779  incexc  15780  incexc2  15781  climcndslem1  15792  climcndslem2  15793  sumodd  16328  phicl2  16700  phiprmpw  16708  sumhash  16828  prmreclem3  16850  prmreclem4  16851  prmreclem5  16852  4sqlem11  16887  vdwlem11  16923  vdwlem12  16924  vdwlem13  16925  ramlb  16951  0ram  16952  ramub1lem1  16958  ramub1lem2  16959  hashfinmndnn  18674  lagsubg2  19110  lagsubg  19111  psgnunilem4  19407  odhash3  19486  gexdvds3  19500  sylow1lem1  19508  sylow1lem5  19512  pgpfi  19515  pgpssslw  19524  sylow2alem2  19528  sylow2a  19529  sylow2blem3  19532  sylow3lem3  19539  sylow3lem4  19540  sylow3lem6  19542  cyggex2  19807  ablfacrplem  19977  ablfacrp2  19979  ablfac1c  19983  ablfac1eulem  19984  ablfac1eu  19985  pgpfac1lem2  19987  pgpfaclem2  19994  ablfaclem3  19999  fincygsubgodd  20024  prmgrpsimpgd  20026  0ringnnzr  20415  cygznlem1  21429  cygznlem2a  21430  cygznlem3  21432  cygth  21434  mdet1  22425  chpscmatgsumbin  22668  chpscmatgsummon  22669  tsmsxp  23981  fta1glem2  26024  fta1blem  26026  fta1lem  26161  vieta1lem2  26165  birthday  26802  ppif  26978  isnsqf  26983  muf  26988  0sgm  26992  mule1  26996  ppidif  27011  mumul  27029  musum  27039  ppiub  27053  chpub  27069  dchrabs  27109  sumdchr2  27119  dchrhash  27120  lgsquadlem1  27229  lgsquadlem2  27230  lgsquadlem3  27231  rpvmasum2  27361  dchrisum0re  27362  pntlemr  27451  pntlemj  27452  fusgredgfi  29051  hashnbusgrnn0  29102  nbusgrvtxm1  29105  vtxdgfival  29195  vtxdgfisnn0  29201  vtxdginducedm1fi  29270  finsumvtxdg2ssteplem4  29274  finsumvtxdgeven  29278  upgrwlkdvdelem  29462  clwwlkndivn  29802  konigsberglem5  29978  frrusgrord0lem  30061  numclwwlk1  30083  numclwwlk3  30107  numclwwlk5  30110  numclwwlk6  30112  frgrregord013  30117  frgrogt3nreg  30119  friendshipgt3  30120  friendship  30121  hashxpe  32488  cycpmconjslem2  32782  cyc3conja  32784  elrspunidl  33015  esumcst  33550  hasheuni  33572  coinfliplem  33966  coinflippv  33971  ballotlemfelz  33978  ballotlemfp1  33979  ballotlemgun  34012  ballotth  34025  reprlt  34120  hashreprin  34121  derangf  34648  derangen2  34654  subfacp1lem1  34659  erdszelem8  34678  erdsze2lem1  34683  snmlff  34809  poimirlem26  37004  poimirlem27  37005  poimirlem28  37006  rrnequiv  37193  rrntotbnd  37194  frlmvscadiccat  41573  fsuppind  41651  eldioph2lem1  41987  isnumbasgrplem3  42336  rp-isfinite5  42757  fzisoeu  44495  stoweidlem26  45227  fourierdlem36  45344  fourierdlem52  45359  fourierdlem102  45409  fourierdlem114  45421  rrndistlt  45491  hoicvrrex  45757  pgrple2abl  47230  pgrpgt2nabl  47231