Theorem hashcl 14405

Description: Closure of the ♯ function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashcl	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem hashcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
2	1	hashgval 14382	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
3		ficardom 10030	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
4	1	hashgf1o 14022	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1of 6862	. . . . 5 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0
7	6	ffvelcdmi 7117	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) ∈ ω → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
8	3, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
9	2, 8	eqeltrrd 2845	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ↦ cmpt 5249   ↾ cres 5702  ⟶wf 6569  –1-1-onto→wf1o 6572  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ωcom 7903  reccrdg 8465  Fincfn 9003  cardccrd 10004  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187  ℕ₀cn0 12553  ♯chash 14379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-hash 14380

This theorem is referenced by:  hashclb  14407  isfinite4  14411  hashnncl  14415  hashdom  14428  hashsdom  14430  hashun2  14432  hashun3  14433  hashunx  14435  1elfz0hash  14439  hashssdif  14461  hashdifpr  14464  hashunlei  14474  hashsslei  14475  hashxplem  14482  hashmap  14484  hashfun  14486  hashreshashfun  14488  fnfz0hashnn0  14497  fnfzo0hashnn0  14500  hashbclem  14501  hashf1lem2  14505  hashf1  14506  hashfac  14507  fz1isolem  14510  seqcoll2  14514  hashge2el2dif  14529  hashtpg  14534  hash1to3  14541  fi1uzind  14556  brfi1indALT  14559  lencl  14581  wrdnfi  14596  ccatval2  14626  ofccat  15018  isercoll  15716  fz1f1o  15758  o1fsum  15861  hashiun  15870  hash2iun1dif1  15872  ackbijnn  15876  incexclem  15884  incexc  15885  incexc2  15886  climcndslem1  15897  climcndslem2  15898  sumodd  16436  phicl2  16815  phiprmpw  16823  sumhash  16943  prmreclem3  16965  prmreclem4  16966  prmreclem5  16967  4sqlem11  17002  vdwlem11  17038  vdwlem12  17039  vdwlem13  17040  ramlb  17066  0ram  17067  ramub1lem1  17073  ramub1lem2  17074  hashfinmndnn  18789  lagsubg2  19234  lagsubg  19235  psgnunilem4  19539  odhash3  19618  gexdvds3  19632  sylow1lem1  19640  sylow1lem5  19644  pgpfi  19647  pgpssslw  19656  sylow2alem2  19660  sylow2a  19661  sylow2blem3  19664  sylow3lem3  19671  sylow3lem4  19672  sylow3lem6  19674  cyggex2  19939  ablfacrplem  20109  ablfacrp2  20111  ablfac1c  20115  ablfac1eulem  20116  ablfac1eu  20117  pgpfac1lem2  20119  pgpfaclem2  20126  ablfaclem3  20131  fincygsubgodd  20156  prmgrpsimpgd  20158  0ringnnzr  20551  cygznlem1  21608  cygznlem2a  21609  cygznlem3  21611  cygth  21613  mdet1  22628  chpscmatgsumbin  22871  chpscmatgsummon  22872  tsmsxp  24184  fta1glem2  26228  fta1blem  26230  fta1lem  26367  vieta1lem2  26371  birthday  27015  ppif  27191  isnsqf  27196  muf  27201  0sgm  27205  mule1  27209  ppidif  27224  mumul  27242  musum  27252  ppiub  27266  chpub  27282  dchrabs  27322  sumdchr2  27332  dchrhash  27333  lgsquadlem1  27442  lgsquadlem2  27443  lgsquadlem3  27444  rpvmasum2  27574  dchrisum0re  27575  pntlemr  27664  pntlemj  27665  fusgredgfi  29360  hashnbusgrnn0  29411  nbusgrvtxm1  29414  vtxdgfival  29505  vtxdgfisnn0  29511  vtxdginducedm1fi  29580  finsumvtxdg2ssteplem4  29584  finsumvtxdgeven  29588  upgrwlkdvdelem  29772  clwwlkndivn  30112  konigsberglem5  30288  frrusgrord0lem  30371  numclwwlk1  30393  numclwwlk3  30417  numclwwlk5  30420  numclwwlk6  30422  frgrregord013  30427  frgrogt3nreg  30429  friendshipgt3  30430  friendship  30431  hashxpe  32814  cycpmconjslem2  33148  cyc3conja  33150  elrspunidl  33421  esumcst  34027  hasheuni  34049  coinfliplem  34443  coinflippv  34448  ballotlemfelz  34455  ballotlemfp1  34456  ballotlemgun  34489  ballotth  34502  reprlt  34596  hashreprin  34597  derangf  35136  derangen2  35142  subfacp1lem1  35147  erdszelem8  35166  erdsze2lem1  35171  snmlff  35297  poimirlem26  37606  poimirlem27  37607  poimirlem28  37608  rrnequiv  37795  rrntotbnd  37796  hashscontpowcl  42077  aks6d1c2lem4  42084  hashnexinj  42085  aks6d1c2  42087  aks6d1c6lem3  42129  unitscyglem1  42152  unitscyglem2  42153  unitscyglem4  42155  frlmvscadiccat  42461  fsuppind  42545  eldioph2lem1  42716  isnumbasgrplem3  43062  rp-isfinite5  43479  fzisoeu  45215  stoweidlem26  45947  fourierdlem36  46064  fourierdlem52  46079  fourierdlem102  46129  fourierdlem114  46141  rrndistlt  46211  hoicvrrex  46477  pgrple2abl  48090  pgrpgt2nabl  48091