Theorem hashcl 14541

Description: Closure of the ♯ function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashcl	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem hashcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
2	1	hashgval 14518	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
3		ficardom 10079	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
4	1	hashgf1o 14154	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶1-1ontoℕ0
5		f1of 6854	. . . . 5 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶1-1ontoℕ0 → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0
7	6	ffvelcdmi 7115	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) ∈ ω → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
8	3, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
9	2, 8	eqeltrrd 2865	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ↦ cmpt 5192   ↾ cres 5660  ⟶wf 6562  ⟶1-1ontowf1o 6565  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ωcom 7911  reccrdg 8455  Fincfn 9011  cardccrd 10053  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242  ℕ₀cn0 12646  ♯chash 14515

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-hash 14516

This theorem is used by:  hashclb  14543  isfinite4  14547  hashnncl  14551  hashdom  14564  hashsdom  14566  hashun2  14568  hashun3  14569  hashunx  14571  1elfz0hash  14575  hashssdif  14598  hashdifpr  14601  hashunlei  14611  hashsslei  14612  hashxplem  14619  hashmap  14621  hashfun  14623  hashreshashfun  14625  fnfz0hashnn0  14634  fnfzo0hashnn0  14637  hashbclem  14638  hashf1lem2  14642  hashf1  14643  hashfac  14644  fz1isolem  14647  seqcoll2  14651  hashge2el2dif  14666  hashtpg  14671  hash1to3  14678  fi1uzind  14693  brfi1indALT  14696  lencl  14719  wrdnfi  14734  ccatval2  14764  ofccat  15165  isercoll  15879  fz1f1o  15920  fsumconst1  16001  o1fsum  16024  hashiun  16033  hash2iun1dif1  16035  ackbijnn  16041  incexclem  16049  incexc  16050  incexc2  16051  climcndslem1  16062  climcndslem2  16063  sumodd  16602  phicl2  16989  phiprmpw  16997  sumhash  17118  prmreclem3  17140  prmreclem4  17141  prmreclem5  17142  4sqlem11  17177  vdwlem11  17213  vdwlem12  17214  vdwlem13  17215  ramlb  17241  0ram  17242  ramub1lem1  17248  ramub1lem2  17249  chnpolfz  18857  hashfinmndnn  18991  lagsubg2  19459  lagsubg  19460  psgnunilem4  19762  odhash3  19841  gexdvds3  19855  sylow1lem1  19863  sylow1lem5  19867  pgpfi  19870  pgpssslw  19879  sylow2alem2  19883  sylow2a  19884  sylow2blem3  19887  sylow3lem3  19894  sylow3lem4  19895  sylow3lem6  19897  cyggex2  20162  ablfacrplem  20332  ablfacrp2  20334  ablfac1c  20338  ablfac1eulem  20339  ablfac1eu  20340  pgpfac1lem2  20342  pgpfaclem2  20349  ablfaclem3  20354  fincygsubgodd  20379  prmgrpsimpgd  20381  0ringnnzr  20827  cygznlem1  21927  cygznlem2a  21928  cygznlem3  21930  cygth  21932  mdet1  22971  chpscmatgsumbin  23217  chpscmatgsummon  23218  tsmsxp  24529  fta1glem2  26542  fta1blem  26544  fta1lem  26683  vieta1lem2  26689  birthday  27339  ppif  27514  isnsqf  27519  muf  27524  0sgm  27528  mule1  27532  ppidif  27547  mumul  27565  musum  27575  ppiub  27588  chpub  27604  dchrabs  27644  sumdchr2  27654  dchrhash  27655  lgsquadlem1  27764  lgsquadlem2  27765  lgsquadlem3  27766  rpvmasum2  27896  dchrisum0re  27897  pntlemr  27986  pntlemj  27987  fusgredgfi  29963  hashnbusgrnn0  30014  nbusgrvtxm1  30017  vtxdgfival  30107  vtxdgfisnn0  30113  vtxdginducedm1fi  30182  finsumvtxdg2ssteplem4  30186  finsumvtxdgeven  30190  upgrwlkdvdelem  30379  clwwlkndivn  30728  konigsberglem5  30914  frrusgrord0lem  30997  numclwwlk1  31019  numclwwlk3  31043  numclwwlk5  31046  numclwwlk6  31048  frgrregord013  31053  frgrogt3nreg  31055  friendshipgt3  31056  friendship  31057  hashxpe  33495  cycpmconjslem2  33815  cyc3conja  33817  gsumind  34010  elrspunidl  34082  esplyfval2  34308  esplympl  34310  esplyfval3  34315  esplyfvaln  34317  esplyind  34318  esplyindfv  34319  esplyfvn  34320  vietadeg1  34321  vietalem  34322  vieta  34323  exsslsb  34340  esumcst  34806  hasheuni  34828  coinfliplem  35222  coinflippv  35227  ballotlemfelz  35234  ballotlemfp1  35235  ballotlemgun  35268  ballotth  35281  reprlt  35359  hashreprin  35360  derangf  36141  derangen2  36147  subfacp1lem1  36152  erdszelem8  36171  erdsze2lem1  36176  snmlff  36302  poimirlem26  38832  poimirlem27  38833  poimirlem28  38834  findcard4  38900  rrnequiv  39035  rrntotbnd  39036  hashscontpowcl  43436  aks6d1c2lem4  43443  hashnexinj  43444  aks6d1c2  43446  aks6d1c6lem3  43488  unitscyglem1  43511  unitscyglem2  43512  unitscyglem4  43514  frlmvscadiccat  43839  fsuppind  43884  eldioph2lem1  44037  isnumbasgrplem3  44372  rp-isfinite5  44779  fzisoeu  46589  stoweidlem26  47309  fourierdlem36  47426  fourierdlem52  47441  fourierdlem102  47491  fourierdlem114  47503  rrndistlt  47573  hoicvrrex  47839  pgrple2abl  49808  pgrpgt2nabl  49809