Theorem hashcl 14321

Description: Closure of the ♯ function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashcl	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem hashcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
2	1	hashgval 14298	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
3		ficardom 9914	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
4	1	hashgf1o 13936	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1of 6800	. . . . 5 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0
7	6	ffvelcdmi 7055	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) ∈ ω → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
8	3, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
9	2, 8	eqeltrrd 2829	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ↦ cmpt 5188   ↾ cres 5640  ⟶wf 6507  –1-1-onto→wf1o 6510  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ωcom 7842  reccrdg 8377  Fincfn 8918  cardccrd 9888  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071  ℕ₀cn0 12442  ♯chash 14295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-hash 14296

This theorem is referenced by:  hashclb  14323  isfinite4  14327  hashnncl  14331  hashdom  14344  hashsdom  14346  hashun2  14348  hashun3  14349  hashunx  14351  1elfz0hash  14355  hashssdif  14377  hashdifpr  14380  hashunlei  14390  hashsslei  14391  hashxplem  14398  hashmap  14400  hashfun  14402  hashreshashfun  14404  fnfz0hashnn0  14413  fnfzo0hashnn0  14416  hashbclem  14417  hashf1lem2  14421  hashf1  14422  hashfac  14423  fz1isolem  14426  seqcoll2  14430  hashge2el2dif  14445  hashtpg  14450  hash1to3  14457  fi1uzind  14472  brfi1indALT  14475  lencl  14498  wrdnfi  14513  ccatval2  14543  ofccat  14935  isercoll  15634  fz1f1o  15676  o1fsum  15779  hashiun  15788  hash2iun1dif1  15790  ackbijnn  15794  incexclem  15802  incexc  15803  incexc2  15804  climcndslem1  15815  climcndslem2  15816  sumodd  16358  phicl2  16738  phiprmpw  16746  sumhash  16867  prmreclem3  16889  prmreclem4  16890  prmreclem5  16891  4sqlem11  16926  vdwlem11  16962  vdwlem12  16963  vdwlem13  16964  ramlb  16990  0ram  16991  ramub1lem1  16997  ramub1lem2  16998  hashfinmndnn  18678  lagsubg2  19126  lagsubg  19127  psgnunilem4  19427  odhash3  19506  gexdvds3  19520  sylow1lem1  19528  sylow1lem5  19532  pgpfi  19535  pgpssslw  19544  sylow2alem2  19548  sylow2a  19549  sylow2blem3  19552  sylow3lem3  19559  sylow3lem4  19560  sylow3lem6  19562  cyggex2  19827  ablfacrplem  19997  ablfacrp2  19999  ablfac1c  20003  ablfac1eulem  20004  ablfac1eu  20005  pgpfac1lem2  20007  pgpfaclem2  20014  ablfaclem3  20019  fincygsubgodd  20044  prmgrpsimpgd  20046  0ringnnzr  20434  cygznlem1  21476  cygznlem2a  21477  cygznlem3  21479  cygth  21481  mdet1  22488  chpscmatgsumbin  22731  chpscmatgsummon  22732  tsmsxp  24042  fta1glem2  26074  fta1blem  26076  fta1lem  26215  vieta1lem2  26219  birthday  26864  ppif  27040  isnsqf  27045  muf  27050  0sgm  27054  mule1  27058  ppidif  27073  mumul  27091  musum  27101  ppiub  27115  chpub  27131  dchrabs  27171  sumdchr2  27181  dchrhash  27182  lgsquadlem1  27291  lgsquadlem2  27292  lgsquadlem3  27293  rpvmasum2  27423  dchrisum0re  27424  pntlemr  27513  pntlemj  27514  fusgredgfi  29252  hashnbusgrnn0  29303  nbusgrvtxm1  29306  vtxdgfival  29397  vtxdgfisnn0  29403  vtxdginducedm1fi  29472  finsumvtxdg2ssteplem4  29476  finsumvtxdgeven  29480  upgrwlkdvdelem  29666  clwwlkndivn  30009  konigsberglem5  30185  frrusgrord0lem  30268  numclwwlk1  30290  numclwwlk3  30314  numclwwlk5  30317  numclwwlk6  30319  frgrregord013  30324  frgrogt3nreg  30326  friendshipgt3  30327  friendship  30328  hashxpe  32732  cycpmconjslem2  33112  cyc3conja  33114  elrspunidl  33399  exsslsb  33592  esumcst  34053  hasheuni  34075  coinfliplem  34470  coinflippv  34475  ballotlemfelz  34482  ballotlemfp1  34483  ballotlemgun  34516  ballotth  34529  reprlt  34610  hashreprin  34611  derangf  35155  derangen2  35161  subfacp1lem1  35166  erdszelem8  35185  erdsze2lem1  35190  snmlff  35316  poimirlem26  37640  poimirlem27  37641  poimirlem28  37642  rrnequiv  37829  rrntotbnd  37830  hashscontpowcl  42108  aks6d1c2lem4  42115  hashnexinj  42116  aks6d1c2  42118  aks6d1c6lem3  42160  unitscyglem1  42183  unitscyglem2  42184  unitscyglem4  42186  frlmvscadiccat  42494  fsuppind  42578  eldioph2lem1  42748  isnumbasgrplem3  43094  rp-isfinite5  43506  fzisoeu  45298  stoweidlem26  46024  fourierdlem36  46141  fourierdlem52  46156  fourierdlem102  46206  fourierdlem114  46218  rrndistlt  46288  hoicvrrex  46554  pgrple2abl  48353  pgrpgt2nabl  48354