Theorem hashcl 14312

Description: Closure of the ♯ function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashcl	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem hashcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
2	1	hashgval 14289	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
3		ficardom 9952	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
4	1	hashgf1o 13932	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1of 6830	. . . . 5 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0
7	6	ffvelcdmi 7082	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) ∈ ω → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
8	3, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
9	2, 8	eqeltrrd 2834	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ↦ cmpt 5230   ↾ cres 5677  ⟶wf 6536  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ωcom 7851  reccrdg 8405  Fincfn 8935  cardccrd 9926  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  ℕ₀cn0 12468  ♯chash 14286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-hash 14287

This theorem is referenced by:  hashclb  14314  isfinite4  14318  hashnncl  14322  hashdom  14335  hashsdom  14337  hashun2  14339  hashun3  14340  hashunx  14342  1elfz0hash  14346  hashssdif  14368  hashdifpr  14371  hashunlei  14381  hashsslei  14382  hashxplem  14389  hashmap  14391  hashfun  14393  hashreshashfun  14395  fnfz0hashnn0  14403  fnfzo0hashnn0  14406  hashbclem  14407  hashf1lem2  14413  hashf1  14414  hashfac  14415  fz1isolem  14418  seqcoll2  14422  hashge2el2dif  14437  hashtpg  14442  hash1to3  14448  fi1uzind  14454  brfi1indALT  14457  lencl  14479  wrdnfi  14494  ccatval2  14524  ofccat  14912  isercoll  15610  fz1f1o  15652  o1fsum  15755  hashiun  15764  hash2iun1dif1  15766  ackbijnn  15770  incexclem  15778  incexc  15779  incexc2  15780  climcndslem1  15791  climcndslem2  15792  sumodd  16327  phicl2  16697  phiprmpw  16705  sumhash  16825  prmreclem3  16847  prmreclem4  16848  prmreclem5  16849  4sqlem11  16884  vdwlem11  16920  vdwlem12  16921  vdwlem13  16922  ramlb  16948  0ram  16949  ramub1lem1  16955  ramub1lem2  16956  hashfinmndnn  18638  lagsubg2  19065  lagsubg  19066  psgnunilem4  19359  odhash3  19438  gexdvds3  19452  sylow1lem1  19460  sylow1lem5  19464  pgpfi  19467  pgpssslw  19476  sylow2alem2  19480  sylow2a  19481  sylow2blem3  19484  sylow3lem3  19491  sylow3lem4  19492  sylow3lem6  19494  cyggex2  19759  ablfacrplem  19929  ablfacrp2  19931  ablfac1c  19935  ablfac1eulem  19936  ablfac1eu  19937  pgpfac1lem2  19939  pgpfaclem2  19946  ablfaclem3  19951  fincygsubgodd  19976  prmgrpsimpgd  19978  0ringnnzr  20294  cygznlem1  21113  cygznlem2a  21114  cygznlem3  21116  cygth  21118  mdet1  22094  chpscmatgsumbin  22337  chpscmatgsummon  22338  tsmsxp  23650  fta1glem2  25675  fta1blem  25677  fta1lem  25811  vieta1lem2  25815  birthday  26448  ppif  26623  isnsqf  26628  muf  26633  0sgm  26637  mule1  26641  ppidif  26656  mumul  26674  musum  26684  ppiub  26696  chpub  26712  dchrabs  26752  sumdchr2  26762  dchrhash  26763  lgsquadlem1  26872  lgsquadlem2  26873  lgsquadlem3  26874  rpvmasum2  27004  dchrisum0re  27005  pntlemr  27094  pntlemj  27095  fusgredgfi  28571  hashnbusgrnn0  28622  nbusgrvtxm1  28625  vtxdgfival  28715  vtxdgfisnn0  28721  vtxdginducedm1fi  28790  finsumvtxdg2ssteplem4  28794  finsumvtxdgeven  28798  upgrwlkdvdelem  28982  clwwlkndivn  29322  konigsberglem5  29498  frrusgrord0lem  29581  numclwwlk1  29603  numclwwlk3  29627  numclwwlk5  29630  numclwwlk6  29632  frgrregord013  29637  frgrogt3nreg  29639  friendshipgt3  29640  friendship  29641  hashxpe  32006  cycpmconjslem2  32301  cyc3conja  32303  elrspunidl  32534  esumcst  33049  hasheuni  33071  coinfliplem  33465  coinflippv  33470  ballotlemfelz  33477  ballotlemfp1  33478  ballotlemgun  33511  ballotth  33524  reprlt  33619  hashreprin  33620  derangf  34147  derangen2  34153  subfacp1lem1  34158  erdszelem8  34177  erdsze2lem1  34182  snmlff  34308  poimirlem26  36502  poimirlem27  36503  poimirlem28  36504  rrnequiv  36691  rrntotbnd  36692  frlmvscadiccat  41077  fsuppind  41159  eldioph2lem1  41483  isnumbasgrplem3  41832  rp-isfinite5  42253  fzisoeu  43996  stoweidlem26  44728  fourierdlem36  44845  fourierdlem52  44860  fourierdlem102  44910  fourierdlem114  44922  rrndistlt  44992  hoicvrrex  45258  pgrple2abl  46994  pgrpgt2nabl  46995