Theorem hashcl 13713

Description: Closure of the ♯ function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashcl	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem hashcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2798	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
2	1	hashgval 13689	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
3		ficardom 9374	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
4	1	hashgf1o 13334	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1of 6590	. . . . 5 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0
7	6	ffvelrni 6827	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) ∈ ω → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
8	3, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
9	2, 8	eqeltrrd 2891	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ↦ cmpt 5110   ↾ cres 5521  ⟶wf 6320  –1-1-onto→wf1o 6323  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ωcom 7560  reccrdg 8028  Fincfn 8492  cardccrd 9348  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529  ℕ₀cn0 11885  ♯chash 13686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-hash 13687

This theorem is referenced by:  hashclb  13715  isfinite4  13719  hashnncl  13723  hashdom  13736  hashsdom  13738  hashun2  13740  hashun3  13741  hashunx  13743  1elfz0hash  13747  hashssdif  13769  hashdifpr  13772  hashunlei  13782  hashsslei  13783  hashxplem  13790  hashmap  13792  hashfun  13794  hashreshashfun  13796  fnfz0hashnn0  13802  fnfzo0hashnn0  13805  hashbclem  13806  hashf1lem2  13810  hashf1  13811  hashfac  13812  fz1isolem  13815  seqcoll2  13819  hashge2el2dif  13834  hashtpg  13839  hash1to3  13845  fi1uzind  13851  brfi1indALT  13854  lencl  13876  wrdnfi  13891  ccatval2  13923  ofccat  14320  isercoll  15016  fz1f1o  15059  o1fsum  15160  hashiun  15169  hash2iun1dif1  15171  ackbijnn  15175  incexclem  15183  incexc  15184  incexc2  15185  climcndslem1  15196  climcndslem2  15197  sumodd  15729  phicl2  16095  phiprmpw  16103  sumhash  16222  prmreclem3  16244  prmreclem4  16245  prmreclem5  16246  4sqlem11  16281  vdwlem11  16317  vdwlem12  16318  vdwlem13  16319  ramlb  16345  0ram  16346  ramub1lem1  16352  ramub1lem2  16353  hashfinmndnn  17920  lagsubg2  18333  lagsubg  18334  psgnunilem4  18617  odhash3  18693  gexdvds3  18707  sylow1lem1  18715  sylow1lem5  18719  pgpfi  18722  pgpssslw  18731  sylow2alem2  18735  sylow2a  18736  sylow2blem3  18739  sylow3lem3  18746  sylow3lem4  18747  sylow3lem6  18749  cyggex2  19010  ablfacrplem  19180  ablfacrp2  19182  ablfac1c  19186  ablfac1eulem  19187  ablfac1eu  19188  pgpfac1lem2  19190  pgpfaclem2  19197  ablfaclem3  19202  fincygsubgodd  19227  prmgrpsimpgd  19229  0ringnnzr  20035  cygznlem1  20258  cygznlem2a  20259  cygznlem3  20261  cygth  20263  mdet1  21206  chpscmatgsumbin  21449  chpscmatgsummon  21450  tsmsxp  22760  fta1glem2  24767  fta1blem  24769  fta1lem  24903  vieta1lem2  24907  birthday  25540  ppif  25715  isnsqf  25720  muf  25725  0sgm  25729  mule1  25733  ppidif  25748  mumul  25766  musum  25776  ppiub  25788  chpub  25804  dchrabs  25844  sumdchr2  25854  dchrhash  25855  lgsquadlem1  25964  lgsquadlem2  25965  lgsquadlem3  25966  rpvmasum2  26096  dchrisum0re  26097  pntlemr  26186  pntlemj  26187  fusgredgfi  27115  hashnbusgrnn0  27166  nbusgrvtxm1  27169  vtxdgfival  27259  vtxdgfisnn0  27265  vtxdginducedm1fi  27334  finsumvtxdg2ssteplem4  27338  finsumvtxdgeven  27342  upgrwlkdvdelem  27525  clwwlkndivn  27865  konigsberglem5  28041  frrusgrord0lem  28124  numclwwlk1  28146  numclwwlk3  28170  numclwwlk5  28173  numclwwlk6  28175  frgrregord013  28180  frgrogt3nreg  28182  friendshipgt3  28183  friendship  28184  hashxpe  30555  cycpmconjslem2  30847  cyc3conja  30849  elrspunidl  31014  esumcst  31432  hasheuni  31454  coinfliplem  31846  coinflippv  31851  ballotlemfelz  31858  ballotlemfp1  31859  ballotlemgun  31892  ballotth  31905  reprlt  32000  hashreprin  32001  derangf  32528  derangen2  32534  subfacp1lem1  32539  erdszelem8  32558  erdsze2lem1  32563  snmlff  32689  poimirlem26  35083  poimirlem27  35084  poimirlem28  35085  rrnequiv  35273  rrntotbnd  35274  frlmvscadiccat  39440  fsuppind  39456  eldioph2lem1  39701  isnumbasgrplem3  40049  rp-isfinite5  40225  fzisoeu  41932  stoweidlem26  42668  fourierdlem36  42785  fourierdlem52  42800  fourierdlem102  42850  fourierdlem114  42862  rrndistlt  42932  hoicvrrex  43195  pgrple2abl  44767  pgrpgt2nabl  44768