Theorem hashcl 14391

Description: Closure of the ♯ function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashcl	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem hashcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
2	1	hashgval 14368	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
3		ficardom 9998	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
4	1	hashgf1o 14008	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1of 6848	. . . . 5 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0
7	6	ffvelcdmi 7102	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) ∈ ω → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
8	3, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
9	2, 8	eqeltrrd 2839	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  Vcvv 3477   ↦ cmpt 5230   ↾ cres 5690  ⟶wf 6558  –1-1-onto→wf1o 6561  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ωcom 7886  reccrdg 8447  Fincfn 8983  cardccrd 9972  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155  ℕ₀cn0 12523  ♯chash 14365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-hash 14366

This theorem is referenced by:  hashclb  14393  isfinite4  14397  hashnncl  14401  hashdom  14414  hashsdom  14416  hashun2  14418  hashun3  14419  hashunx  14421  1elfz0hash  14425  hashssdif  14447  hashdifpr  14450  hashunlei  14460  hashsslei  14461  hashxplem  14468  hashmap  14470  hashfun  14472  hashreshashfun  14474  fnfz0hashnn0  14483  fnfzo0hashnn0  14486  hashbclem  14487  hashf1lem2  14491  hashf1  14492  hashfac  14493  fz1isolem  14496  seqcoll2  14500  hashge2el2dif  14515  hashtpg  14520  hash1to3  14527  fi1uzind  14542  brfi1indALT  14545  lencl  14567  wrdnfi  14582  ccatval2  14612  ofccat  15004  isercoll  15700  fz1f1o  15742  o1fsum  15845  hashiun  15854  hash2iun1dif1  15856  ackbijnn  15860  incexclem  15868  incexc  15869  incexc2  15870  climcndslem1  15881  climcndslem2  15882  sumodd  16421  phicl2  16801  phiprmpw  16809  sumhash  16929  prmreclem3  16951  prmreclem4  16952  prmreclem5  16953  4sqlem11  16988  vdwlem11  17024  vdwlem12  17025  vdwlem13  17026  ramlb  17052  0ram  17053  ramub1lem1  17059  ramub1lem2  17060  hashfinmndnn  18776  lagsubg2  19224  lagsubg  19225  psgnunilem4  19529  odhash3  19608  gexdvds3  19622  sylow1lem1  19630  sylow1lem5  19634  pgpfi  19637  pgpssslw  19646  sylow2alem2  19650  sylow2a  19651  sylow2blem3  19654  sylow3lem3  19661  sylow3lem4  19662  sylow3lem6  19664  cyggex2  19929  ablfacrplem  20099  ablfacrp2  20101  ablfac1c  20105  ablfac1eulem  20106  ablfac1eu  20107  pgpfac1lem2  20109  pgpfaclem2  20116  ablfaclem3  20121  fincygsubgodd  20146  prmgrpsimpgd  20148  0ringnnzr  20541  cygznlem1  21602  cygznlem2a  21603  cygznlem3  21605  cygth  21607  mdet1  22622  chpscmatgsumbin  22865  chpscmatgsummon  22866  tsmsxp  24178  fta1glem2  26222  fta1blem  26224  fta1lem  26363  vieta1lem2  26367  birthday  27011  ppif  27187  isnsqf  27192  muf  27197  0sgm  27201  mule1  27205  ppidif  27220  mumul  27238  musum  27248  ppiub  27262  chpub  27278  dchrabs  27318  sumdchr2  27328  dchrhash  27329  lgsquadlem1  27438  lgsquadlem2  27439  lgsquadlem3  27440  rpvmasum2  27570  dchrisum0re  27571  pntlemr  27660  pntlemj  27661  fusgredgfi  29356  hashnbusgrnn0  29407  nbusgrvtxm1  29410  vtxdgfival  29501  vtxdgfisnn0  29507  vtxdginducedm1fi  29576  finsumvtxdg2ssteplem4  29580  finsumvtxdgeven  29584  upgrwlkdvdelem  29768  clwwlkndivn  30108  konigsberglem5  30284  frrusgrord0lem  30367  numclwwlk1  30389  numclwwlk3  30413  numclwwlk5  30416  numclwwlk6  30418  frgrregord013  30423  frgrogt3nreg  30425  friendshipgt3  30426  friendship  30427  hashxpe  32816  cycpmconjslem2  33157  cyc3conja  33159  elrspunidl  33435  esumcst  34043  hasheuni  34065  coinfliplem  34459  coinflippv  34464  ballotlemfelz  34471  ballotlemfp1  34472  ballotlemgun  34505  ballotth  34518  reprlt  34612  hashreprin  34613  derangf  35152  derangen2  35158  subfacp1lem1  35163  erdszelem8  35182  erdsze2lem1  35187  snmlff  35313  poimirlem26  37632  poimirlem27  37633  poimirlem28  37634  rrnequiv  37821  rrntotbnd  37822  hashscontpowcl  42101  aks6d1c2lem4  42108  hashnexinj  42109  aks6d1c2  42111  aks6d1c6lem3  42153  unitscyglem1  42176  unitscyglem2  42177  unitscyglem4  42179  frlmvscadiccat  42492  fsuppind  42576  eldioph2lem1  42747  isnumbasgrplem3  43093  rp-isfinite5  43506  fzisoeu  45250  stoweidlem26  45981  fourierdlem36  46098  fourierdlem52  46113  fourierdlem102  46163  fourierdlem114  46175  rrndistlt  46245  hoicvrrex  46511  pgrple2abl  48209  pgrpgt2nabl  48210