Theorem hashcl 14318

Description: Closure of the ♯ function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashcl	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem hashcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
2	1	hashgval 14295	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
3		ficardom 9885	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
4	1	hashgf1o 13933	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1of 6780	. . . . 5 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0
7	6	ffvelcdmi 7035	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) ∈ ω → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
8	3, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
9	2, 8	eqeltrrd 2837	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ↦ cmpt 5166   ↾ cres 5633  ⟶wf 6494  –1-1-onto→wf1o 6497  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ωcom 7817  reccrdg 8348  Fincfn 8893  cardccrd 9859  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041  ℕ₀cn0 12437  ♯chash 14292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-hash 14293

This theorem is referenced by:  hashclb  14320  isfinite4  14324  hashnncl  14328  hashdom  14341  hashsdom  14343  hashun2  14345  hashun3  14346  hashunx  14348  1elfz0hash  14352  hashssdif  14374  hashdifpr  14377  hashunlei  14387  hashsslei  14388  hashxplem  14395  hashmap  14397  hashfun  14399  hashreshashfun  14401  fnfz0hashnn0  14410  fnfzo0hashnn0  14413  hashbclem  14414  hashf1lem2  14418  hashf1  14419  hashfac  14420  fz1isolem  14423  seqcoll2  14427  hashge2el2dif  14442  hashtpg  14447  hash1to3  14454  fi1uzind  14469  brfi1indALT  14472  lencl  14495  wrdnfi  14510  ccatval2  14540  ofccat  14931  isercoll  15630  fz1f1o  15672  fsumconst1  15753  o1fsum  15776  hashiun  15785  hash2iun1dif1  15787  ackbijnn  15793  incexclem  15801  incexc  15802  incexc2  15803  climcndslem1  15814  climcndslem2  15815  sumodd  16357  phicl2  16738  phiprmpw  16746  sumhash  16867  prmreclem3  16889  prmreclem4  16890  prmreclem5  16891  4sqlem11  16926  vdwlem11  16962  vdwlem12  16963  vdwlem13  16964  ramlb  16990  0ram  16991  ramub1lem1  16997  ramub1lem2  16998  chnpolfz  18599  hashfinmndnn  18719  lagsubg2  19169  lagsubg  19170  psgnunilem4  19472  odhash3  19551  gexdvds3  19565  sylow1lem1  19573  sylow1lem5  19577  pgpfi  19580  pgpssslw  19589  sylow2alem2  19593  sylow2a  19594  sylow2blem3  19597  sylow3lem3  19604  sylow3lem4  19605  sylow3lem6  19607  cyggex2  19872  ablfacrplem  20042  ablfacrp2  20044  ablfac1c  20048  ablfac1eulem  20049  ablfac1eu  20050  pgpfac1lem2  20052  pgpfaclem2  20059  ablfaclem3  20064  fincygsubgodd  20089  prmgrpsimpgd  20091  0ringnnzr  20502  cygznlem1  21546  cygznlem2a  21547  cygznlem3  21549  cygth  21551  mdet1  22566  chpscmatgsumbin  22809  chpscmatgsummon  22810  tsmsxp  24120  fta1glem2  26134  fta1blem  26136  fta1lem  26273  vieta1lem2  26277  birthday  26918  ppif  27093  isnsqf  27098  muf  27103  0sgm  27107  mule1  27111  ppidif  27126  mumul  27144  musum  27154  ppiub  27167  chpub  27183  dchrabs  27223  sumdchr2  27233  dchrhash  27234  lgsquadlem1  27343  lgsquadlem2  27344  lgsquadlem3  27345  rpvmasum2  27475  dchrisum0re  27476  pntlemr  27565  pntlemj  27566  fusgredgfi  29394  hashnbusgrnn0  29445  nbusgrvtxm1  29448  vtxdgfival  29538  vtxdgfisnn0  29544  vtxdginducedm1fi  29613  finsumvtxdg2ssteplem4  29617  finsumvtxdgeven  29621  upgrwlkdvdelem  29804  clwwlkndivn  30150  konigsberglem5  30326  frrusgrord0lem  30409  numclwwlk1  30431  numclwwlk3  30455  numclwwlk5  30458  numclwwlk6  30460  frgrregord013  30465  frgrogt3nreg  30467  friendshipgt3  30468  friendship  30469  hashxpe  32880  cycpmconjslem2  33216  cyc3conja  33218  gsumind  33405  elrspunidl  33488  esplyfval2  33709  esplympl  33711  esplyfval3  33716  esplyfvaln  33718  esplyind  33719  esplyindfv  33720  esplyfvn  33721  vietadeg1  33722  vietalem  33723  vieta  33724  exsslsb  33741  esumcst  34207  hasheuni  34229  coinfliplem  34623  coinflippv  34628  ballotlemfelz  34635  ballotlemfp1  34636  ballotlemgun  34669  ballotth  34682  reprlt  34763  hashreprin  34764  derangf  35350  derangen2  35356  subfacp1lem1  35361  erdszelem8  35380  erdsze2lem1  35385  snmlff  35511  poimirlem26  37967  poimirlem27  37968  poimirlem28  37969  rrnequiv  38156  rrntotbnd  38157  hashscontpowcl  42559  aks6d1c2lem4  42566  hashnexinj  42567  aks6d1c2  42569  aks6d1c6lem3  42611  unitscyglem1  42634  unitscyglem2  42635  unitscyglem4  42637  frlmvscadiccat  42951  fsuppind  43023  eldioph2lem1  43192  isnumbasgrplem3  43533  rp-isfinite5  43944  fzisoeu  45733  stoweidlem26  46454  fourierdlem36  46571  fourierdlem52  46586  fourierdlem102  46636  fourierdlem114  46648  rrndistlt  46718  hoicvrrex  46984  pgrple2abl  48841  pgrpgt2nabl  48842