MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashcl 13707
Description: Closure of the function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashcl (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem hashcl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2826 . . 3 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
21hashgval 13683 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
3 ficardom 9379 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
41hashgf1o 13329 . . . . 5 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5 f1of 6612 . . . . 5 ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0)
64, 5ax-mp 5 . . . 4 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0
76ffvelrni 6846 . . 3 ((card‘𝐴) ∈ ω → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
83, 7syl 17 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
92, 8eqeltrrd 2919 1 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  Vcvv 3500  cmpt 5143  cres 5556  wf 6348  1-1-ontowf1o 6351  cfv 6352  (class class class)co 7148  ωcom 7568  reccrdg 8036  Fincfn 8498  cardccrd 9353  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529  0cn0 11886  chash 13680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-hash 13681
This theorem is referenced by:  hashclb  13709  isfinite4  13713  hashnncl  13717  hashdom  13730  hashsdom  13732  hashun2  13734  hashun3  13735  hashunx  13737  1elfz0hash  13741  hashssdif  13763  hashdifpr  13766  hashunlei  13776  hashsslei  13777  hashxplem  13784  hashmap  13786  hashfun  13788  hashreshashfun  13790  fnfz0hashnn0  13796  fnfzo0hashnn0  13799  hashbclem  13800  hashf1lem2  13804  hashf1  13805  hashfac  13806  fz1isolem  13809  seqcoll2  13813  hashge2el2dif  13828  hashtpg  13833  hash1to3  13839  fi1uzind  13845  brfi1indALT  13848  lencl  13873  wrdnfi  13889  wrdnfiOLD  13890  ccatval2  13922  ofccat  14319  isercoll  15014  fz1f1o  15057  o1fsum  15158  hashiun  15167  hash2iun1dif1  15169  ackbijnn  15173  incexclem  15181  incexc  15182  incexc2  15183  climcndslem1  15194  climcndslem2  15195  sumodd  15729  phicl2  16095  phiprmpw  16103  sumhash  16222  prmreclem3  16244  prmreclem4  16245  prmreclem5  16246  4sqlem11  16281  vdwlem11  16317  vdwlem12  16318  vdwlem13  16319  ramlb  16345  0ram  16346  ramub1lem1  16352  ramub1lem2  16353  hashfinmndnn  17916  lagsubg2  18271  lagsubg  18272  psgnunilem4  18545  odhash3  18621  gexdvds3  18635  sylow1lem1  18643  sylow1lem5  18647  pgpfi  18650  pgpssslw  18659  sylow2alem2  18663  sylow2a  18664  sylow2blem3  18667  sylow3lem3  18674  sylow3lem4  18675  sylow3lem6  18677  cyggex2  18937  ablfacrplem  19107  ablfacrp2  19109  ablfac1c  19113  ablfac1eulem  19114  ablfac1eu  19115  pgpfac1lem2  19117  pgpfaclem2  19124  ablfaclem3  19129  fincygsubgodd  19154  prmgrpsimpgd  19156  0ringnnzr  19961  cygznlem1  20629  cygznlem2a  20630  cygznlem3  20632  cygth  20634  mdet1  21126  chpscmatgsumbin  21368  chpscmatgsummon  21369  tsmsxp  22678  fta1glem2  24675  fta1blem  24677  fta1lem  24811  vieta1lem2  24815  birthday  25446  ppif  25621  isnsqf  25626  muf  25631  0sgm  25635  mule1  25639  ppidif  25654  mumul  25672  musum  25682  ppiub  25694  chpub  25710  dchrabs  25750  sumdchr2  25760  dchrhash  25761  lgsquadlem1  25870  lgsquadlem2  25871  lgsquadlem3  25872  rpvmasum2  26002  dchrisum0re  26003  pntlemr  26092  pntlemj  26093  fusgredgfi  27021  hashnbusgrnn0  27072  nbusgrvtxm1  27075  vtxdgfival  27165  vtxdgfisnn0  27171  vtxdginducedm1fi  27240  finsumvtxdg2ssteplem4  27244  finsumvtxdgeven  27248  upgrwlkdvdelem  27431  clwwlkndivn  27773  konigsberglem5  27949  frrusgrord0lem  28032  numclwwlk1  28054  numclwwlk3  28078  numclwwlk5  28081  numclwwlk6  28083  frgrregord013  28088  frgrogt3nreg  28090  friendshipgt3  28091  friendship  28092  hashxpe  30442  cycpmconjslem2  30711  cyc3conja  30713  esumcst  31208  hasheuni  31230  coinfliplem  31622  coinflippv  31627  ballotlemfelz  31634  ballotlemfp1  31635  ballotlemgun  31668  ballotth  31681  reprlt  31776  hashreprin  31777  derangf  32299  derangen2  32305  subfacp1lem1  32310  erdszelem8  32329  erdsze2lem1  32334  snmlff  32460  poimirlem26  34785  poimirlem27  34786  poimirlem28  34787  rrnequiv  34981  rrntotbnd  34982  frlmvscadiccat  39010  eldioph2lem1  39222  isnumbasgrplem3  39570  rp-isfinite5  39748  fzisoeu  41432  stoweidlem26  42177  fourierdlem36  42294  fourierdlem52  42309  fourierdlem102  42359  fourierdlem114  42371  rrndistlt  42441  hoicvrrex  42704  pgrple2abl  44245  pgrpgt2nabl  44246
  Copyright terms: Public domain W3C validator