Theorem hashcl 14258

Description: Closure of the ♯ function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashcl	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem hashcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
2	1	hashgval 14235	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
3		ficardom 9849	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
4	1	hashgf1o 13873	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1of 6758	. . . . 5 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0
7	6	ffvelcdmi 7011	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) ∈ ω → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
8	3, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
9	2, 8	eqeltrrd 2832	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ↦ cmpt 5167   ↾ cres 5613  ⟶wf 6472  –1-1-onto→wf1o 6475  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ωcom 7791  reccrdg 8323  Fincfn 8864  cardccrd 9823  0cc0 11001  1c1 11002   + caddc 11004  ℕ₀cn0 12376  ♯chash 14232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-hash 14233

This theorem is referenced by:  hashclb  14260  isfinite4  14264  hashnncl  14268  hashdom  14281  hashsdom  14283  hashun2  14285  hashun3  14286  hashunx  14288  1elfz0hash  14292  hashssdif  14314  hashdifpr  14317  hashunlei  14327  hashsslei  14328  hashxplem  14335  hashmap  14337  hashfun  14339  hashreshashfun  14341  fnfz0hashnn0  14350  fnfzo0hashnn0  14353  hashbclem  14354  hashf1lem2  14358  hashf1  14359  hashfac  14360  fz1isolem  14363  seqcoll2  14367  hashge2el2dif  14382  hashtpg  14387  hash1to3  14394  fi1uzind  14409  brfi1indALT  14412  lencl  14435  wrdnfi  14450  ccatval2  14480  ofccat  14871  isercoll  15570  fz1f1o  15612  o1fsum  15715  hashiun  15724  hash2iun1dif1  15726  ackbijnn  15730  incexclem  15738  incexc  15739  incexc2  15740  climcndslem1  15751  climcndslem2  15752  sumodd  16294  phicl2  16674  phiprmpw  16682  sumhash  16803  prmreclem3  16825  prmreclem4  16826  prmreclem5  16827  4sqlem11  16862  vdwlem11  16898  vdwlem12  16899  vdwlem13  16900  ramlb  16926  0ram  16927  ramub1lem1  16933  ramub1lem2  16934  chnpolfz  18534  hashfinmndnn  18654  lagsubg2  19101  lagsubg  19102  psgnunilem4  19404  odhash3  19483  gexdvds3  19497  sylow1lem1  19505  sylow1lem5  19509  pgpfi  19512  pgpssslw  19521  sylow2alem2  19525  sylow2a  19526  sylow2blem3  19529  sylow3lem3  19536  sylow3lem4  19537  sylow3lem6  19539  cyggex2  19804  ablfacrplem  19974  ablfacrp2  19976  ablfac1c  19980  ablfac1eulem  19981  ablfac1eu  19982  pgpfac1lem2  19984  pgpfaclem2  19991  ablfaclem3  19996  fincygsubgodd  20021  prmgrpsimpgd  20023  0ringnnzr  20435  cygznlem1  21498  cygznlem2a  21499  cygznlem3  21501  cygth  21503  mdet1  22511  chpscmatgsumbin  22754  chpscmatgsummon  22755  tsmsxp  24065  fta1glem2  26096  fta1blem  26098  fta1lem  26237  vieta1lem2  26241  birthday  26886  ppif  27062  isnsqf  27067  muf  27072  0sgm  27076  mule1  27080  ppidif  27095  mumul  27113  musum  27123  ppiub  27137  chpub  27153  dchrabs  27193  sumdchr2  27203  dchrhash  27204  lgsquadlem1  27313  lgsquadlem2  27314  lgsquadlem3  27315  rpvmasum2  27445  dchrisum0re  27446  pntlemr  27535  pntlemj  27536  fusgredgfi  29298  hashnbusgrnn0  29349  nbusgrvtxm1  29352  vtxdgfival  29443  vtxdgfisnn0  29449  vtxdginducedm1fi  29518  finsumvtxdg2ssteplem4  29522  finsumvtxdgeven  29526  upgrwlkdvdelem  29709  clwwlkndivn  30052  konigsberglem5  30228  frrusgrord0lem  30311  numclwwlk1  30333  numclwwlk3  30357  numclwwlk5  30360  numclwwlk6  30362  frgrregord013  30367  frgrogt3nreg  30369  friendshipgt3  30370  friendship  30371  hashxpe  32781  cycpmconjslem2  33116  cyc3conja  33118  gsumind  33302  elrspunidl  33385  esplympl  33580  exsslsb  33601  esumcst  34068  hasheuni  34090  coinfliplem  34484  coinflippv  34489  ballotlemfelz  34496  ballotlemfp1  34497  ballotlemgun  34530  ballotth  34543  reprlt  34624  hashreprin  34625  derangf  35204  derangen2  35210  subfacp1lem1  35215  erdszelem8  35234  erdsze2lem1  35239  snmlff  35365  poimirlem26  37686  poimirlem27  37687  poimirlem28  37688  rrnequiv  37875  rrntotbnd  37876  hashscontpowcl  42153  aks6d1c2lem4  42160  hashnexinj  42161  aks6d1c2  42163  aks6d1c6lem3  42205  unitscyglem1  42228  unitscyglem2  42229  unitscyglem4  42231  frlmvscadiccat  42539  fsuppind  42623  eldioph2lem1  42793  isnumbasgrplem3  43138  rp-isfinite5  43550  fzisoeu  45341  stoweidlem26  46064  fourierdlem36  46181  fourierdlem52  46196  fourierdlem102  46246  fourierdlem114  46258  rrndistlt  46328  hoicvrrex  46594  pgrple2abl  48396  pgrpgt2nabl  48397