Theorem hashcl 14328

Description: Closure of the ♯ function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashcl	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem hashcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
2	1	hashgval 14305	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
3		ficardom 9921	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
4	1	hashgf1o 13943	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1of 6803	. . . . 5 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0
7	6	ffvelcdmi 7058	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) ∈ ω → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
8	3, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
9	2, 8	eqeltrrd 2830	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ↦ cmpt 5191   ↾ cres 5643  ⟶wf 6510  –1-1-onto→wf1o 6513  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ωcom 7845  reccrdg 8380  Fincfn 8921  cardccrd 9895  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078  ℕ₀cn0 12449  ♯chash 14302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-hash 14303

This theorem is referenced by:  hashclb  14330  isfinite4  14334  hashnncl  14338  hashdom  14351  hashsdom  14353  hashun2  14355  hashun3  14356  hashunx  14358  1elfz0hash  14362  hashssdif  14384  hashdifpr  14387  hashunlei  14397  hashsslei  14398  hashxplem  14405  hashmap  14407  hashfun  14409  hashreshashfun  14411  fnfz0hashnn0  14420  fnfzo0hashnn0  14423  hashbclem  14424  hashf1lem2  14428  hashf1  14429  hashfac  14430  fz1isolem  14433  seqcoll2  14437  hashge2el2dif  14452  hashtpg  14457  hash1to3  14464  fi1uzind  14479  brfi1indALT  14482  lencl  14505  wrdnfi  14520  ccatval2  14550  ofccat  14942  isercoll  15641  fz1f1o  15683  o1fsum  15786  hashiun  15795  hash2iun1dif1  15797  ackbijnn  15801  incexclem  15809  incexc  15810  incexc2  15811  climcndslem1  15822  climcndslem2  15823  sumodd  16365  phicl2  16745  phiprmpw  16753  sumhash  16874  prmreclem3  16896  prmreclem4  16897  prmreclem5  16898  4sqlem11  16933  vdwlem11  16969  vdwlem12  16970  vdwlem13  16971  ramlb  16997  0ram  16998  ramub1lem1  17004  ramub1lem2  17005  hashfinmndnn  18685  lagsubg2  19133  lagsubg  19134  psgnunilem4  19434  odhash3  19513  gexdvds3  19527  sylow1lem1  19535  sylow1lem5  19539  pgpfi  19542  pgpssslw  19551  sylow2alem2  19555  sylow2a  19556  sylow2blem3  19559  sylow3lem3  19566  sylow3lem4  19567  sylow3lem6  19569  cyggex2  19834  ablfacrplem  20004  ablfacrp2  20006  ablfac1c  20010  ablfac1eulem  20011  ablfac1eu  20012  pgpfac1lem2  20014  pgpfaclem2  20021  ablfaclem3  20026  fincygsubgodd  20051  prmgrpsimpgd  20053  0ringnnzr  20441  cygznlem1  21483  cygznlem2a  21484  cygznlem3  21486  cygth  21488  mdet1  22495  chpscmatgsumbin  22738  chpscmatgsummon  22739  tsmsxp  24049  fta1glem2  26081  fta1blem  26083  fta1lem  26222  vieta1lem2  26226  birthday  26871  ppif  27047  isnsqf  27052  muf  27057  0sgm  27061  mule1  27065  ppidif  27080  mumul  27098  musum  27108  ppiub  27122  chpub  27138  dchrabs  27178  sumdchr2  27188  dchrhash  27189  lgsquadlem1  27298  lgsquadlem2  27299  lgsquadlem3  27300  rpvmasum2  27430  dchrisum0re  27431  pntlemr  27520  pntlemj  27521  fusgredgfi  29259  hashnbusgrnn0  29310  nbusgrvtxm1  29313  vtxdgfival  29404  vtxdgfisnn0  29410  vtxdginducedm1fi  29479  finsumvtxdg2ssteplem4  29483  finsumvtxdgeven  29487  upgrwlkdvdelem  29673  clwwlkndivn  30016  konigsberglem5  30192  frrusgrord0lem  30275  numclwwlk1  30297  numclwwlk3  30321  numclwwlk5  30324  numclwwlk6  30326  frgrregord013  30331  frgrogt3nreg  30333  friendshipgt3  30334  friendship  30335  hashxpe  32739  cycpmconjslem2  33119  cyc3conja  33121  elrspunidl  33406  exsslsb  33599  esumcst  34060  hasheuni  34082  coinfliplem  34477  coinflippv  34482  ballotlemfelz  34489  ballotlemfp1  34490  ballotlemgun  34523  ballotth  34536  reprlt  34617  hashreprin  34618  derangf  35162  derangen2  35168  subfacp1lem1  35173  erdszelem8  35192  erdsze2lem1  35197  snmlff  35323  poimirlem26  37647  poimirlem27  37648  poimirlem28  37649  rrnequiv  37836  rrntotbnd  37837  hashscontpowcl  42115  aks6d1c2lem4  42122  hashnexinj  42123  aks6d1c2  42125  aks6d1c6lem3  42167  unitscyglem1  42190  unitscyglem2  42191  unitscyglem4  42193  frlmvscadiccat  42501  fsuppind  42585  eldioph2lem1  42755  isnumbasgrplem3  43101  rp-isfinite5  43513  fzisoeu  45305  stoweidlem26  46031  fourierdlem36  46148  fourierdlem52  46163  fourierdlem102  46213  fourierdlem114  46225  rrndistlt  46295  hoicvrrex  46561  pgrple2abl  48357  pgrpgt2nabl  48358