Theorem hashcl 14309

Description: Closure of the ♯ function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashcl	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem hashcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
2	1	hashgval 14286	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
3		ficardom 9876	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
4	1	hashgf1o 13924	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1of 6767	. . . . 5 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0
7	6	ffvelcdmi 7024	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) ∈ ω → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
8	3, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
9	2, 8	eqeltrrd 2840	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ↦ cmpt 5153   ↾ cres 5620  ⟶wf 6481  –1-1-onto→wf1o 6484  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ωcom 7806  reccrdg 8338  Fincfn 8883  cardccrd 9850  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032  ℕ₀cn0 12428  ♯chash 14283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-hash 14284

This theorem is referenced by:  hashclb  14311  isfinite4  14315  hashnncl  14319  hashdom  14332  hashsdom  14334  hashun2  14336  hashun3  14337  hashunx  14339  1elfz0hash  14343  hashssdif  14365  hashdifpr  14368  hashunlei  14378  hashsslei  14379  hashxplem  14386  hashmap  14388  hashfun  14390  hashreshashfun  14392  fnfz0hashnn0  14401  fnfzo0hashnn0  14404  hashbclem  14405  hashf1lem2  14409  hashf1  14410  hashfac  14411  fz1isolem  14414  seqcoll2  14418  hashge2el2dif  14433  hashtpg  14438  hash1to3  14445  fi1uzind  14460  brfi1indALT  14463  lencl  14486  wrdnfi  14501  ccatval2  14531  ofccat  14922  isercoll  15621  fz1f1o  15663  fsumconst1  15744  o1fsum  15767  hashiun  15776  hash2iun1dif1  15778  ackbijnn  15784  incexclem  15792  incexc  15793  incexc2  15794  climcndslem1  15805  climcndslem2  15806  sumodd  16348  phicl2  16729  phiprmpw  16737  sumhash  16858  prmreclem3  16880  prmreclem4  16881  prmreclem5  16882  4sqlem11  16917  vdwlem11  16953  vdwlem12  16954  vdwlem13  16955  ramlb  16981  0ram  16982  ramub1lem1  16988  ramub1lem2  16989  chnpolfz  18590  hashfinmndnn  18710  lagsubg2  19160  lagsubg  19161  psgnunilem4  19463  odhash3  19542  gexdvds3  19556  sylow1lem1  19564  sylow1lem5  19568  pgpfi  19571  pgpssslw  19580  sylow2alem2  19584  sylow2a  19585  sylow2blem3  19588  sylow3lem3  19595  sylow3lem4  19596  sylow3lem6  19598  cyggex2  19863  ablfacrplem  20033  ablfacrp2  20035  ablfac1c  20039  ablfac1eulem  20040  ablfac1eu  20041  pgpfac1lem2  20043  pgpfaclem2  20050  ablfaclem3  20055  fincygsubgodd  20080  prmgrpsimpgd  20082  0ringnnzr  20497  cygznlem1  21541  cygznlem2a  21542  cygznlem3  21544  cygth  21546  mdet1  22584  chpscmatgsumbin  22827  chpscmatgsummon  22828  tsmsxp  24138  fta1glem2  26152  fta1blem  26154  fta1lem  26291  vieta1lem2  26295  birthday  26936  ppif  27111  isnsqf  27116  muf  27121  0sgm  27125  mule1  27129  ppidif  27144  mumul  27162  musum  27172  ppiub  27185  chpub  27201  dchrabs  27241  sumdchr2  27251  dchrhash  27252  lgsquadlem1  27361  lgsquadlem2  27362  lgsquadlem3  27363  rpvmasum2  27493  dchrisum0re  27494  pntlemr  27583  pntlemj  27584  fusgredgfi  29412  hashnbusgrnn0  29463  nbusgrvtxm1  29466  vtxdgfival  29556  vtxdgfisnn0  29562  vtxdginducedm1fi  29631  finsumvtxdg2ssteplem4  29635  finsumvtxdgeven  29639  upgrwlkdvdelem  29822  clwwlkndivn  30168  konigsberglem5  30344  frrusgrord0lem  30427  numclwwlk1  30449  numclwwlk3  30473  numclwwlk5  30476  numclwwlk6  30478  frgrregord013  30483  frgrogt3nreg  30485  friendshipgt3  30486  friendship  30487  hashxpe  32899  cycpmconjslem2  33236  cyc3conja  33238  gsumind  33428  elrspunidl  33511  esplyfval2  33749  esplympl  33751  esplyfval3  33756  esplyfvaln  33758  esplyind  33759  esplyindfv  33760  esplyfvn  33761  vietadeg1  33762  vietalem  33763  vieta  33764  exsslsb  33781  esumcst  34247  hasheuni  34269  coinfliplem  34663  coinflippv  34668  ballotlemfelz  34675  ballotlemfp1  34676  ballotlemgun  34709  ballotth  34722  reprlt  34803  hashreprin  34804  derangf  35396  derangen2  35402  subfacp1lem1  35407  erdszelem8  35426  erdsze2lem1  35431  snmlff  35557  poimirlem26  38013  poimirlem27  38014  poimirlem28  38015  rrnequiv  38202  rrntotbnd  38203  hashscontpowcl  42605  aks6d1c2lem4  42612  hashnexinj  42613  aks6d1c2  42615  aks6d1c6lem3  42657  unitscyglem1  42680  unitscyglem2  42681  unitscyglem4  42683  frlmvscadiccat  42996  fsuppind  43040  eldioph2lem1  43209  isnumbasgrplem3  43550  rp-isfinite5  43961  fzisoeu  45748  stoweidlem26  46469  fourierdlem36  46586  fourierdlem52  46601  fourierdlem102  46651  fourierdlem114  46663  rrndistlt  46733  hoicvrrex  46999  pgrple2abl  48856  pgrpgt2nabl  48857