Theorem hashcl 14309

Description: Closure of the ♯ function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashcl	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem hashcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
2	1	hashgval 14286	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
3		ficardom 9876	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
4	1	hashgf1o 13924	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1of 6774	. . . . 5 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0
7	6	ffvelcdmi 7029	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) ∈ ω → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
8	3, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
9	2, 8	eqeltrrd 2838	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ↦ cmpt 5167   ↾ cres 5626  ⟶wf 6488  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ωcom 7810  reccrdg 8341  Fincfn 8886  cardccrd 9850  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032  ℕ₀cn0 12428  ♯chash 14283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-hash 14284

This theorem is referenced by:  hashclb  14311  isfinite4  14315  hashnncl  14319  hashdom  14332  hashsdom  14334  hashun2  14336  hashun3  14337  hashunx  14339  1elfz0hash  14343  hashssdif  14365  hashdifpr  14368  hashunlei  14378  hashsslei  14379  hashxplem  14386  hashmap  14388  hashfun  14390  hashreshashfun  14392  fnfz0hashnn0  14401  fnfzo0hashnn0  14404  hashbclem  14405  hashf1lem2  14409  hashf1  14410  hashfac  14411  fz1isolem  14414  seqcoll2  14418  hashge2el2dif  14433  hashtpg  14438  hash1to3  14445  fi1uzind  14460  brfi1indALT  14463  lencl  14486  wrdnfi  14501  ccatval2  14531  ofccat  14922  isercoll  15621  fz1f1o  15663  fsumconst1  15744  o1fsum  15767  hashiun  15776  hash2iun1dif1  15778  ackbijnn  15784  incexclem  15792  incexc  15793  incexc2  15794  climcndslem1  15805  climcndslem2  15806  sumodd  16348  phicl2  16729  phiprmpw  16737  sumhash  16858  prmreclem3  16880  prmreclem4  16881  prmreclem5  16882  4sqlem11  16917  vdwlem11  16953  vdwlem12  16954  vdwlem13  16955  ramlb  16981  0ram  16982  ramub1lem1  16988  ramub1lem2  16989  chnpolfz  18590  hashfinmndnn  18710  lagsubg2  19160  lagsubg  19161  psgnunilem4  19463  odhash3  19542  gexdvds3  19556  sylow1lem1  19564  sylow1lem5  19568  pgpfi  19571  pgpssslw  19580  sylow2alem2  19584  sylow2a  19585  sylow2blem3  19588  sylow3lem3  19595  sylow3lem4  19596  sylow3lem6  19598  cyggex2  19863  ablfacrplem  20033  ablfacrp2  20035  ablfac1c  20039  ablfac1eulem  20040  ablfac1eu  20041  pgpfac1lem2  20043  pgpfaclem2  20050  ablfaclem3  20055  fincygsubgodd  20080  prmgrpsimpgd  20082  0ringnnzr  20493  cygznlem1  21556  cygznlem2a  21557  cygznlem3  21559  cygth  21561  mdet1  22576  chpscmatgsumbin  22819  chpscmatgsummon  22820  tsmsxp  24130  fta1glem2  26144  fta1blem  26146  fta1lem  26284  vieta1lem2  26288  birthday  26931  ppif  27107  isnsqf  27112  muf  27117  0sgm  27121  mule1  27125  ppidif  27140  mumul  27158  musum  27168  ppiub  27181  chpub  27197  dchrabs  27237  sumdchr2  27247  dchrhash  27248  lgsquadlem1  27357  lgsquadlem2  27358  lgsquadlem3  27359  rpvmasum2  27489  dchrisum0re  27490  pntlemr  27579  pntlemj  27580  fusgredgfi  29408  hashnbusgrnn0  29459  nbusgrvtxm1  29462  vtxdgfival  29553  vtxdgfisnn0  29559  vtxdginducedm1fi  29628  finsumvtxdg2ssteplem4  29632  finsumvtxdgeven  29636  upgrwlkdvdelem  29819  clwwlkndivn  30165  konigsberglem5  30341  frrusgrord0lem  30424  numclwwlk1  30446  numclwwlk3  30470  numclwwlk5  30473  numclwwlk6  30475  frgrregord013  30480  frgrogt3nreg  30482  friendshipgt3  30483  friendship  30484  hashxpe  32895  cycpmconjslem2  33231  cyc3conja  33233  gsumind  33420  elrspunidl  33503  esplyfval2  33724  esplympl  33726  esplyfval3  33731  esplyfvaln  33733  esplyind  33734  esplyindfv  33735  esplyfvn  33736  vietadeg1  33737  vietalem  33738  vieta  33739  exsslsb  33756  esumcst  34223  hasheuni  34245  coinfliplem  34639  coinflippv  34644  ballotlemfelz  34651  ballotlemfp1  34652  ballotlemgun  34685  ballotth  34698  reprlt  34779  hashreprin  34780  derangf  35366  derangen2  35372  subfacp1lem1  35377  erdszelem8  35396  erdsze2lem1  35401  snmlff  35527  poimirlem26  37981  poimirlem27  37982  poimirlem28  37983  rrnequiv  38170  rrntotbnd  38171  hashscontpowcl  42573  aks6d1c2lem4  42580  hashnexinj  42581  aks6d1c2  42583  aks6d1c6lem3  42625  unitscyglem1  42648  unitscyglem2  42649  unitscyglem4  42651  frlmvscadiccat  42965  fsuppind  43037  eldioph2lem1  43206  isnumbasgrplem3  43551  rp-isfinite5  43962  fzisoeu  45751  stoweidlem26  46472  fourierdlem36  46589  fourierdlem52  46604  fourierdlem102  46654  fourierdlem114  46666  rrndistlt  46736  hoicvrrex  47002  pgrple2abl  48853  pgrpgt2nabl  48854