Theorem hashcl 14307

Description: Closure of the ♯ function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashcl	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem hashcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
2	1	hashgval 14284	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
3		ficardom 9874	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
4	1	hashgf1o 13922	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1of 6772	. . . . 5 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0
7	6	ffvelcdmi 7027	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) ∈ ω → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
8	3, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
9	2, 8	eqeltrrd 2838	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ↦ cmpt 5167   ↾ cres 5624  ⟶wf 6486  –1-1-onto→wf1o 6489  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ωcom 7808  reccrdg 8339  Fincfn 8884  cardccrd 9848  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030  ℕ₀cn0 12426  ♯chash 14281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-hash 14282

This theorem is referenced by:  hashclb  14309  isfinite4  14313  hashnncl  14317  hashdom  14330  hashsdom  14332  hashun2  14334  hashun3  14335  hashunx  14337  1elfz0hash  14341  hashssdif  14363  hashdifpr  14366  hashunlei  14376  hashsslei  14377  hashxplem  14384  hashmap  14386  hashfun  14388  hashreshashfun  14390  fnfz0hashnn0  14399  fnfzo0hashnn0  14402  hashbclem  14403  hashf1lem2  14407  hashf1  14408  hashfac  14409  fz1isolem  14412  seqcoll2  14416  hashge2el2dif  14431  hashtpg  14436  hash1to3  14443  fi1uzind  14458  brfi1indALT  14461  lencl  14484  wrdnfi  14499  ccatval2  14529  ofccat  14920  isercoll  15619  fz1f1o  15661  fsumconst1  15742  o1fsum  15765  hashiun  15774  hash2iun1dif1  15776  ackbijnn  15782  incexclem  15790  incexc  15791  incexc2  15792  climcndslem1  15803  climcndslem2  15804  sumodd  16346  phicl2  16727  phiprmpw  16735  sumhash  16856  prmreclem3  16878  prmreclem4  16879  prmreclem5  16880  4sqlem11  16915  vdwlem11  16951  vdwlem12  16952  vdwlem13  16953  ramlb  16979  0ram  16980  ramub1lem1  16986  ramub1lem2  16987  chnpolfz  18588  hashfinmndnn  18708  lagsubg2  19158  lagsubg  19159  psgnunilem4  19461  odhash3  19540  gexdvds3  19554  sylow1lem1  19562  sylow1lem5  19566  pgpfi  19569  pgpssslw  19578  sylow2alem2  19582  sylow2a  19583  sylow2blem3  19586  sylow3lem3  19593  sylow3lem4  19594  sylow3lem6  19596  cyggex2  19861  ablfacrplem  20031  ablfacrp2  20033  ablfac1c  20037  ablfac1eulem  20038  ablfac1eu  20039  pgpfac1lem2  20041  pgpfaclem2  20048  ablfaclem3  20053  fincygsubgodd  20078  prmgrpsimpgd  20080  0ringnnzr  20491  cygznlem1  21554  cygznlem2a  21555  cygznlem3  21557  cygth  21559  mdet1  22575  chpscmatgsumbin  22818  chpscmatgsummon  22819  tsmsxp  24129  fta1glem2  26146  fta1blem  26148  fta1lem  26286  vieta1lem2  26290  birthday  26935  ppif  27111  isnsqf  27116  muf  27121  0sgm  27125  mule1  27129  ppidif  27144  mumul  27162  musum  27172  ppiub  27186  chpub  27202  dchrabs  27242  sumdchr2  27252  dchrhash  27253  lgsquadlem1  27362  lgsquadlem2  27363  lgsquadlem3  27364  rpvmasum2  27494  dchrisum0re  27495  pntlemr  27584  pntlemj  27585  fusgredgfi  29413  hashnbusgrnn0  29464  nbusgrvtxm1  29467  vtxdgfival  29558  vtxdgfisnn0  29564  vtxdginducedm1fi  29633  finsumvtxdg2ssteplem4  29637  finsumvtxdgeven  29641  upgrwlkdvdelem  29824  clwwlkndivn  30170  konigsberglem5  30346  frrusgrord0lem  30429  numclwwlk1  30451  numclwwlk3  30475  numclwwlk5  30478  numclwwlk6  30480  frgrregord013  30485  frgrogt3nreg  30487  friendshipgt3  30488  friendship  30489  hashxpe  32900  cycpmconjslem2  33236  cyc3conja  33238  gsumind  33425  elrspunidl  33508  esplyfval2  33729  esplympl  33731  esplyfval3  33736  esplyfvaln  33738  esplyind  33739  esplyindfv  33740  esplyfvn  33741  vietadeg1  33742  vietalem  33743  vieta  33744  exsslsb  33761  esumcst  34228  hasheuni  34250  coinfliplem  34644  coinflippv  34649  ballotlemfelz  34656  ballotlemfp1  34657  ballotlemgun  34690  ballotth  34703  reprlt  34784  hashreprin  34785  derangf  35371  derangen2  35377  subfacp1lem1  35382  erdszelem8  35401  erdsze2lem1  35406  snmlff  35532  poimirlem26  37978  poimirlem27  37979  poimirlem28  37980  rrnequiv  38167  rrntotbnd  38168  hashscontpowcl  42570  aks6d1c2lem4  42577  hashnexinj  42578  aks6d1c2  42580  aks6d1c6lem3  42622  unitscyglem1  42645  unitscyglem2  42646  unitscyglem4  42648  frlmvscadiccat  42962  fsuppind  43034  eldioph2lem1  43203  isnumbasgrplem3  43548  rp-isfinite5  43959  fzisoeu  45748  stoweidlem26  46469  fourierdlem36  46586  fourierdlem52  46601  fourierdlem102  46651  fourierdlem114  46663  rrndistlt  46733  hoicvrrex  46999  pgrple2abl  48838  pgrpgt2nabl  48839