MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashcl 14263
Description: Closure of the β™― function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashcl (𝐴 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•0)

Proof of Theorem hashcl
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰) = (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)
21hashgval 14240 . 2 (𝐴 ∈ Fin β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜π΄)) = (β™―β€˜π΄))
3 ficardom 9904 . . 3 (𝐴 ∈ Fin β†’ (cardβ€˜π΄) ∈ Ο‰)
41hashgf1o 13883 . . . . 5 (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰):ω–1-1-ontoβ†’β„•0
5 f1of 6789 . . . . 5 ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰):ω–1-1-ontoβ†’β„•0 β†’ (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰):Ο‰βŸΆβ„•0)
64, 5ax-mp 5 . . . 4 (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰):Ο‰βŸΆβ„•0
76ffvelcdmi 7039 . . 3 ((cardβ€˜π΄) ∈ Ο‰ β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜π΄)) ∈ β„•0)
83, 7syl 17 . 2 (𝐴 ∈ Fin β†’ ((rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜π΄)) ∈ β„•0)
92, 8eqeltrrd 2839 1 (𝐴 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∈ wcel 2107  Vcvv 3448   ↦ cmpt 5193   β†Ύ cres 5640  βŸΆwf 6497  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6500  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Ο‰com 7807  reccrdg 8360  Fincfn 8890  cardccrd 9878  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061  β„•0cn0 12420  β™―chash 14237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-hash 14238
This theorem is referenced by:  hashclb  14265  isfinite4  14269  hashnncl  14273  hashdom  14286  hashsdom  14288  hashun2  14290  hashun3  14291  hashunx  14293  1elfz0hash  14297  hashssdif  14319  hashdifpr  14322  hashunlei  14332  hashsslei  14333  hashxplem  14340  hashmap  14342  hashfun  14344  hashreshashfun  14346  fnfz0hashnn0  14352  fnfzo0hashnn0  14355  hashbclem  14356  hashf1lem2  14362  hashf1  14363  hashfac  14364  fz1isolem  14367  seqcoll2  14371  hashge2el2dif  14386  hashtpg  14391  hash1to3  14397  fi1uzind  14403  brfi1indALT  14406  lencl  14428  wrdnfi  14443  ccatval2  14473  ofccat  14861  isercoll  15559  fz1f1o  15602  o1fsum  15705  hashiun  15714  hash2iun1dif1  15716  ackbijnn  15720  incexclem  15728  incexc  15729  incexc2  15730  climcndslem1  15741  climcndslem2  15742  sumodd  16277  phicl2  16647  phiprmpw  16655  sumhash  16775  prmreclem3  16797  prmreclem4  16798  prmreclem5  16799  4sqlem11  16834  vdwlem11  16870  vdwlem12  16871  vdwlem13  16872  ramlb  16898  0ram  16899  ramub1lem1  16905  ramub1lem2  16906  hashfinmndnn  18580  lagsubg2  18998  lagsubg  18999  psgnunilem4  19286  odhash3  19365  gexdvds3  19379  sylow1lem1  19387  sylow1lem5  19391  pgpfi  19394  pgpssslw  19403  sylow2alem2  19407  sylow2a  19408  sylow2blem3  19411  sylow3lem3  19418  sylow3lem4  19419  sylow3lem6  19421  cyggex2  19681  ablfacrplem  19851  ablfacrp2  19853  ablfac1c  19857  ablfac1eulem  19858  ablfac1eu  19859  pgpfac1lem2  19861  pgpfaclem2  19868  ablfaclem3  19873  fincygsubgodd  19898  prmgrpsimpgd  19900  0ringnnzr  20755  cygznlem1  20989  cygznlem2a  20990  cygznlem3  20992  cygth  20994  mdet1  21966  chpscmatgsumbin  22209  chpscmatgsummon  22210  tsmsxp  23522  fta1glem2  25547  fta1blem  25549  fta1lem  25683  vieta1lem2  25687  birthday  26320  ppif  26495  isnsqf  26500  muf  26505  0sgm  26509  mule1  26513  ppidif  26528  mumul  26546  musum  26556  ppiub  26568  chpub  26584  dchrabs  26624  sumdchr2  26634  dchrhash  26635  lgsquadlem1  26744  lgsquadlem2  26745  lgsquadlem3  26746  rpvmasum2  26876  dchrisum0re  26877  pntlemr  26966  pntlemj  26967  fusgredgfi  28315  hashnbusgrnn0  28366  nbusgrvtxm1  28369  vtxdgfival  28459  vtxdgfisnn0  28465  vtxdginducedm1fi  28534  finsumvtxdg2ssteplem4  28538  finsumvtxdgeven  28542  upgrwlkdvdelem  28726  clwwlkndivn  29066  konigsberglem5  29242  frrusgrord0lem  29325  numclwwlk1  29347  numclwwlk3  29371  numclwwlk5  29374  numclwwlk6  29376  frgrregord013  29381  frgrogt3nreg  29383  friendshipgt3  29384  friendship  29385  hashxpe  31751  cycpmconjslem2  32046  cyc3conja  32048  elrspunidl  32243  esumcst  32702  hasheuni  32724  coinfliplem  33118  coinflippv  33123  ballotlemfelz  33130  ballotlemfp1  33131  ballotlemgun  33164  ballotth  33177  reprlt  33272  hashreprin  33273  derangf  33802  derangen2  33808  subfacp1lem1  33813  erdszelem8  33832  erdsze2lem1  33837  snmlff  33963  poimirlem26  36133  poimirlem27  36134  poimirlem28  36135  rrnequiv  36323  rrntotbnd  36324  frlmvscadiccat  40710  fsuppind  40794  eldioph2lem1  41112  isnumbasgrplem3  41461  rp-isfinite5  41863  fzisoeu  43608  stoweidlem26  44341  fourierdlem36  44458  fourierdlem52  44473  fourierdlem102  44523  fourierdlem114  44535  rrndistlt  44605  hoicvrrex  44871  pgrple2abl  46515  pgrpgt2nabl  46516
  Copyright terms: Public domain W3C validator