Theorem hashcl 14420

Description: Closure of the ♯ function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashcl	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem hashcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
2	1	hashgval 14397	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
3		ficardom 9966	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
4	1	hashgf1o 14035	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1of 6817	. . . . 5 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0
7	6	ffvelcdmi 7076	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) ∈ ω → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
8	3, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
9	2, 8	eqeltrrd 2861	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ↦ cmpt 5186   ↾ cres 5657  ⟶wf 6529  –1-1-onto→wf1o 6532  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ωcom 7862  reccrdg 8398  Fincfn 8952  cardccrd 9940  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127  ℕ₀cn0 12528  ♯chash 14394

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-hash 14395

This theorem is used by:  hashclb  14422  isfinite4  14426  hashnncl  14430  hashdom  14443  hashsdom  14445  hashun2  14447  hashun3  14448  hashunx  14450  1elfz0hash  14454  hashssdif  14477  hashdifpr  14480  hashunlei  14490  hashsslei  14491  hashxplem  14498  hashmap  14500  hashfun  14502  hashreshashfun  14504  fnfz0hashnn0  14513  fnfzo0hashnn0  14516  hashbclem  14517  hashf1lem2  14521  hashf1  14522  hashfac  14523  fz1isolem  14526  seqcoll2  14530  hashge2el2dif  14545  hashtpg  14550  hash1to3  14557  fi1uzind  14572  brfi1indALT  14575  lencl  14598  wrdnfi  14613  ccatval2  14643  ofccat  15042  isercoll  15755  fz1f1o  15796  fsumconst1  15877  o1fsum  15900  hashiun  15909  hash2iun1dif1  15911  ackbijnn  15917  incexclem  15925  incexc  15926  incexc2  15927  climcndslem1  15938  climcndslem2  15939  sumodd  16478  phicl2  16859  phiprmpw  16867  sumhash  16988  prmreclem3  17010  prmreclem4  17011  prmreclem5  17012  4sqlem11  17047  vdwlem11  17083  vdwlem12  17084  vdwlem13  17085  ramlb  17111  0ram  17112  ramub1lem1  17118  ramub1lem2  17119  chnpolfz  18721  hashfinmndnn  18854  lagsubg2  19322  lagsubg  19323  psgnunilem4  19624  odhash3  19703  gexdvds3  19717  sylow1lem1  19725  sylow1lem5  19729  pgpfi  19732  pgpssslw  19741  sylow2alem2  19745  sylow2a  19746  sylow2blem3  19749  sylow3lem3  19756  sylow3lem4  19757  sylow3lem6  19759  cyggex2  20024  ablfacrplem  20194  ablfacrp2  20196  ablfac1c  20200  ablfac1eulem  20201  ablfac1eu  20202  pgpfac1lem2  20204  pgpfaclem2  20211  ablfaclem3  20216  fincygsubgodd  20241  prmgrpsimpgd  20243  0ringnnzr  20686  cygznlem1  21779  cygznlem2a  21780  cygznlem3  21782  cygth  21784  mdet1  22823  chpscmatgsumbin  23069  chpscmatgsummon  23070  tsmsxp  24381  fta1glem2  26394  fta1blem  26396  fta1lem  26537  vieta1lem2  26543  birthday  27191  ppif  27366  isnsqf  27371  muf  27376  0sgm  27380  mule1  27384  ppidif  27399  mumul  27417  musum  27427  ppiub  27440  chpub  27456  dchrabs  27496  sumdchr2  27506  dchrhash  27507  lgsquadlem1  27616  lgsquadlem2  27617  lgsquadlem3  27618  rpvmasum2  27748  dchrisum0re  27749  pntlemr  27838  pntlemj  27839  fusgredgfi  29785  hashnbusgrnn0  29836  nbusgrvtxm1  29839  vtxdgfival  29929  vtxdgfisnn0  29935  vtxdginducedm1fi  30004  finsumvtxdg2ssteplem4  30008  finsumvtxdgeven  30012  upgrwlkdvdelem  30201  clwwlkndivn  30550  konigsberglem5  30736  frrusgrord0lem  30819  numclwwlk1  30841  numclwwlk3  30865  numclwwlk5  30868  numclwwlk6  30870  frgrregord013  30875  frgrogt3nreg  30877  friendshipgt3  30878  friendship  30879  hashxpe  33278  cycpmconjslem2  33595  cyc3conja  33597  gsumind  33785  elrspunidl  33856  esplyfval2  34075  esplympl  34077  esplyfval3  34082  esplyfvaln  34084  esplyind  34085  esplyindfv  34086  esplyfvn  34087  vietadeg1  34088  vietalem  34089  vieta  34090  exsslsb  34107  esumcst  34573  hasheuni  34595  coinfliplem  34990  coinflippv  34995  ballotlemfelz  35002  ballotlemfp1  35003  ballotlemgun  35036  ballotth  35049  reprlt  35127  hashreprin  35128  derangf  35747  derangen2  35753  subfacp1lem1  35758  erdszelem8  35777  erdsze2lem1  35782  snmlff  35908  poimirlem26  38395  poimirlem27  38396  poimirlem28  38397  findcard4  38463  rrnequiv  38585  rrntotbnd  38586  hashscontpowcl  42986  aks6d1c2lem4  42993  hashnexinj  42994  aks6d1c2  42996  aks6d1c6lem3  43038  unitscyglem1  43061  unitscyglem2  43062  unitscyglem4  43064  frlmvscadiccat  43394  fsuppind  43436  eldioph2lem1  43605  isnumbasgrplem3  43946  rp-isfinite5  44357  fzisoeu  46133  stoweidlem26  46854  fourierdlem36  46971  fourierdlem52  46986  fourierdlem102  47036  fourierdlem114  47048  rrndistlt  47118  hoicvrrex  47384  pgrple2abl  49295  pgrpgt2nabl  49296