Theorem hashcl 14316

Description: Closure of the ♯ function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashcl	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem hashcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
2	1	hashgval 14293	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
3		ficardom 9956	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
4	1	hashgf1o 13936	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1of 6834	. . . . 5 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0
7	6	ffvelcdmi 7086	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) ∈ ω → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
8	3, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
9	2, 8	eqeltrrd 2835	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ↦ cmpt 5232   ↾ cres 5679  ⟶wf 6540  –1-1-onto→wf1o 6543  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ωcom 7855  reccrdg 8409  Fincfn 8939  cardccrd 9930  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113  ℕ₀cn0 12472  ♯chash 14290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-hash 14291

This theorem is referenced by:  hashclb  14318  isfinite4  14322  hashnncl  14326  hashdom  14339  hashsdom  14341  hashun2  14343  hashun3  14344  hashunx  14346  1elfz0hash  14350  hashssdif  14372  hashdifpr  14375  hashunlei  14385  hashsslei  14386  hashxplem  14393  hashmap  14395  hashfun  14397  hashreshashfun  14399  fnfz0hashnn0  14407  fnfzo0hashnn0  14410  hashbclem  14411  hashf1lem2  14417  hashf1  14418  hashfac  14419  fz1isolem  14422  seqcoll2  14426  hashge2el2dif  14441  hashtpg  14446  hash1to3  14452  fi1uzind  14458  brfi1indALT  14461  lencl  14483  wrdnfi  14498  ccatval2  14528  ofccat  14916  isercoll  15614  fz1f1o  15656  o1fsum  15759  hashiun  15768  hash2iun1dif1  15770  ackbijnn  15774  incexclem  15782  incexc  15783  incexc2  15784  climcndslem1  15795  climcndslem2  15796  sumodd  16331  phicl2  16701  phiprmpw  16709  sumhash  16829  prmreclem3  16851  prmreclem4  16852  prmreclem5  16853  4sqlem11  16888  vdwlem11  16924  vdwlem12  16925  vdwlem13  16926  ramlb  16952  0ram  16953  ramub1lem1  16959  ramub1lem2  16960  hashfinmndnn  18642  lagsubg2  19071  lagsubg  19072  psgnunilem4  19365  odhash3  19444  gexdvds3  19458  sylow1lem1  19466  sylow1lem5  19470  pgpfi  19473  pgpssslw  19482  sylow2alem2  19486  sylow2a  19487  sylow2blem3  19490  sylow3lem3  19497  sylow3lem4  19498  sylow3lem6  19500  cyggex2  19765  ablfacrplem  19935  ablfacrp2  19937  ablfac1c  19941  ablfac1eulem  19942  ablfac1eu  19943  pgpfac1lem2  19945  pgpfaclem2  19952  ablfaclem3  19957  fincygsubgodd  19982  prmgrpsimpgd  19984  0ringnnzr  20302  cygznlem1  21122  cygznlem2a  21123  cygznlem3  21125  cygth  21127  mdet1  22103  chpscmatgsumbin  22346  chpscmatgsummon  22347  tsmsxp  23659  fta1glem2  25684  fta1blem  25686  fta1lem  25820  vieta1lem2  25824  birthday  26459  ppif  26634  isnsqf  26639  muf  26644  0sgm  26648  mule1  26652  ppidif  26667  mumul  26685  musum  26695  ppiub  26707  chpub  26723  dchrabs  26763  sumdchr2  26773  dchrhash  26774  lgsquadlem1  26883  lgsquadlem2  26884  lgsquadlem3  26885  rpvmasum2  27015  dchrisum0re  27016  pntlemr  27105  pntlemj  27106  fusgredgfi  28613  hashnbusgrnn0  28664  nbusgrvtxm1  28667  vtxdgfival  28757  vtxdgfisnn0  28763  vtxdginducedm1fi  28832  finsumvtxdg2ssteplem4  28836  finsumvtxdgeven  28840  upgrwlkdvdelem  29024  clwwlkndivn  29364  konigsberglem5  29540  frrusgrord0lem  29623  numclwwlk1  29645  numclwwlk3  29669  numclwwlk5  29672  numclwwlk6  29674  frgrregord013  29679  frgrogt3nreg  29681  friendshipgt3  29682  friendship  29683  hashxpe  32050  cycpmconjslem2  32345  cyc3conja  32347  elrspunidl  32577  esumcst  33092  hasheuni  33114  coinfliplem  33508  coinflippv  33513  ballotlemfelz  33520  ballotlemfp1  33521  ballotlemgun  33554  ballotth  33567  reprlt  33662  hashreprin  33663  derangf  34190  derangen2  34196  subfacp1lem1  34201  erdszelem8  34220  erdsze2lem1  34225  snmlff  34351  poimirlem26  36562  poimirlem27  36563  poimirlem28  36564  rrnequiv  36751  rrntotbnd  36752  frlmvscadiccat  41128  fsuppind  41210  eldioph2lem1  41546  isnumbasgrplem3  41895  rp-isfinite5  42316  fzisoeu  44058  stoweidlem26  44790  fourierdlem36  44907  fourierdlem52  44922  fourierdlem102  44972  fourierdlem114  44984  rrndistlt  45054  hoicvrrex  45320  pgrple2abl  47089  pgrpgt2nabl  47090