Theorem hashcl 14388

Description: Closure of the ♯ function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashcl	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem hashcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
2	1	hashgval 14365	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
3		ficardom 9943	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
4	1	hashgf1o 14003	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1of 6818	. . . . 5 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0
7	6	ffvelcdmi 7076	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) ∈ ω → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
8	3, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
9	2, 8	eqeltrrd 2870	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ↦ cmpt 5193   ↾ cres 5661  ⟶wf 6530  –1-1-onto→wf1o 6533  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  ωcom 7858  reccrdg 8392  Fincfn 8939  cardccrd 9917  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099  ℕ₀cn0 12500  ♯chash 14362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-hash 14363

This theorem is referenced by:  hashclb  14390  isfinite4  14394  hashnncl  14398  hashdom  14411  hashsdom  14413  hashun2  14415  hashun3  14416  hashunx  14418  1elfz0hash  14422  hashssdif  14445  hashdifpr  14448  hashunlei  14458  hashsslei  14459  hashxplem  14466  hashmap  14468  hashfun  14470  hashreshashfun  14472  fnfz0hashnn0  14481  fnfzo0hashnn0  14484  hashbclem  14485  hashf1lem2  14489  hashf1  14490  hashfac  14491  fz1isolem  14494  seqcoll2  14498  hashge2el2dif  14513  hashtpg  14518  hash1to3  14525  fi1uzind  14540  brfi1indALT  14543  lencl  14566  wrdnfi  14581  ccatval2  14611  ofccat  15002  isercoll  15715  fz1f1o  15757  fsumconst1  15838  o1fsum  15861  hashiun  15870  hash2iun1dif1  15872  ackbijnn  15878  incexclem  15886  incexc  15887  incexc2  15888  climcndslem1  15899  climcndslem2  15900  sumodd  16442  phicl2  16823  phiprmpw  16831  sumhash  16952  prmreclem3  16974  prmreclem4  16975  prmreclem5  16976  4sqlem11  17011  vdwlem11  17047  vdwlem12  17048  vdwlem13  17049  ramlb  17075  0ram  17076  ramub1lem1  17082  ramub1lem2  17083  chnpolfz  18685  hashfinmndnn  18805  lagsubg2  19261  lagsubg  19262  psgnunilem4  19563  odhash3  19642  gexdvds3  19656  sylow1lem1  19664  sylow1lem5  19668  pgpfi  19671  pgpssslw  19680  sylow2alem2  19684  sylow2a  19685  sylow2blem3  19688  sylow3lem3  19695  sylow3lem4  19696  sylow3lem6  19698  cyggex2  19963  ablfacrplem  20133  ablfacrp2  20135  ablfac1c  20139  ablfac1eulem  20140  ablfac1eu  20141  pgpfac1lem2  20143  pgpfaclem2  20150  ablfaclem3  20155  fincygsubgodd  20180  prmgrpsimpgd  20182  0ringnnzr  20605  cygznlem1  21681  cygznlem2a  21682  cygznlem3  21684  cygth  21686  mdet1  22723  chpscmatgsumbin  22966  chpscmatgsummon  22967  tsmsxp  24277  fta1glem2  26291  fta1blem  26293  fta1lem  26433  vieta1lem2  26437  birthday  27081  ppif  27256  isnsqf  27261  muf  27266  0sgm  27270  mule1  27274  ppidif  27289  mumul  27307  musum  27317  ppiub  27330  chpub  27346  dchrabs  27386  sumdchr2  27396  dchrhash  27397  lgsquadlem1  27506  lgsquadlem2  27507  lgsquadlem3  27508  rpvmasum2  27638  dchrisum0re  27639  pntlemr  27728  pntlemj  27729  fusgredgfi  29612  hashnbusgrnn0  29663  nbusgrvtxm1  29666  vtxdgfival  29756  vtxdgfisnn0  29762  vtxdginducedm1fi  29831  finsumvtxdg2ssteplem4  29835  finsumvtxdgeven  29839  upgrwlkdvdelem  30022  clwwlkndivn  30368  konigsberglem5  30544  frrusgrord0lem  30627  numclwwlk1  30649  numclwwlk3  30673  numclwwlk5  30676  numclwwlk6  30678  frgrregord013  30683  frgrogt3nreg  30685  friendshipgt3  30686  friendship  30687  hashxpe  33089  cycpmconjslem2  33412  cyc3conja  33414  gsumind  33604  elrspunidl  33676  esplyfval2  33896  esplympl  33898  esplyfval3  33903  esplyfvaln  33905  esplyind  33906  esplyindfv  33907  esplyfvn  33908  vietadeg1  33909  vietalem  33910  vieta  33911  exsslsb  33928  esumcst  34394  hasheuni  34416  coinfliplem  34810  coinflippv  34815  ballotlemfelz  34822  ballotlemfp1  34823  ballotlemgun  34856  ballotth  34869  reprlt  34947  hashreprin  34948  derangf  35555  derangen2  35561  subfacp1lem1  35566  erdszelem8  35585  erdsze2lem1  35590  snmlff  35716  poimirlem26  38180  poimirlem27  38181  poimirlem28  38182  rrnequiv  38369  rrntotbnd  38370  hashscontpowcl  42772  aks6d1c2lem4  42779  hashnexinj  42780  aks6d1c2  42782  aks6d1c6lem3  42824  unitscyglem1  42847  unitscyglem2  42848  unitscyglem4  42850  frlmvscadiccat  43165  fsuppind  43209  eldioph2lem1  43378  isnumbasgrplem3  43719  rp-isfinite5  44130  fzisoeu  45906  stoweidlem26  46627  fourierdlem36  46744  fourierdlem52  46759  fourierdlem102  46809  fourierdlem114  46821  rrndistlt  46891  hoicvrrex  47157  pgrple2abl  49025  pgrpgt2nabl  49026