Theorem hashxrcl 14392

Description: Extended real closure of the ♯ function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashxrcl	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem hashxrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssre 12507	. . . 4 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
2		ressxr 11252	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
3	1, 2	sstri 3954	. . 3 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
4		pnfxr 11262	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5		snssi 4756	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → {+∞} ⊆ ℝ*)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {+∞} ⊆ ℝ*
7	3, 6	unssi 4152	. 2 ⊢ (ℕ0 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*
8		elex 3484	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
9		hashf 14373	. . . 4 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
10	9	ffvelcdmi 7079	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (♯‘𝐴) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}))
11	8, 10	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}))
12	7, 11	sselid 3943	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ∪ cun 3911   ⊆ wss 3913  {csn 4594  ‘cfv 6537  ℝcr 11098  +∞cpnf 11239  ℝ^*cxr 11241  ℕ₀cn0 12503  ♯chash 14365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-uz 12862  df-hash 14366

This theorem is referenced by:  nfile  14394  hashdom  14414  hashinfxadd  14420  hashunx  14421  hashgt0  14423  hashunsnggt  14429  hashle00  14435  hashgt0elex  14436  hashss  14444  hashpss  14445  hashgt12el  14458  hashgt12el2  14459  hashgt23el  14460  ramtlecl  17059  0ram  17079  isnzr2hash  20602  0ringnnzr  20608  ewlkle  29895  upgrewlkle2  29896  hashxpe  33092  lbslelsp  33932  extdgfialglem1  34026  esumcst  34397  esumpinfval  34407  lfuhgr2  35509  acycgr2v  35540  aks6d1c6lem2  42827  aks6d1c7lem2  42837  unitscyglem5  42855  idomodle  43809  hashnnltb  45623