Theorem hashxrcl 14421

Description: Extended real closure of the ♯ function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashxrcl	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem hashxrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssre 12532	. . . 4 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
2		ressxr 11277	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
3	1, 2	sstri 3940	. . 3 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
4		pnfxr 11287	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5		snssi 4746	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → {+∞} ⊆ ℝ*)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {+∞} ⊆ ℝ*
7	3, 6	unssi 4137	. 2 ⊢ (ℕ0 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*
8		elex 3471	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
9		hashf 14402	. . . 4 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
10	9	ffvelcdmi 7076	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (♯‘𝐴) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}))
11	8, 10	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}))
12	7, 11	sselid 3929	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ‘cfv 6533  ℝcr 11123  +∞cpnf 11264  ℝ^*cxr 11266  ℕ₀cn0 12528  ♯chash 14394

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12888  df-hash 14395

This theorem is used by:  nfile  14423  hashdom  14443  hashinfxadd  14449  hashunx  14450  hashgt0  14452  hashunsnggt  14458  hashle00  14464  hashgt0elex  14465  hashss  14473  hashpss  14474  hashgt12el  14487  hashgt12el2  14488  hashgt23el  14489  ramtlecl  17092  0ram  17112  isnzr2hash  20680  0ringnnzr  20686  lfuhgr2  29606  ewlkle  30065  upgrewlkle2  30066  hashxpe  33278  lbslelsp  34108  extdgfialglem1  34202  esumcst  34573  esumpinfval  34583  acycgr2v  35729  findcard4  38463  aks6d1c6lem2  43037  aks6d1c7lem2  43047  unitscyglem5  43065  idomodle  44032  hashnnltb  45846