Theorem hashxrcl 14354

Description: Extended real closure of the ♯ function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashxrcl	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem hashxrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssre 12512	. . . 4 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
2		ressxr 11294	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
3	1, 2	sstri 3989	. . 3 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
4		pnfxr 11304	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5		snssi 4814	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → {+∞} ⊆ ℝ*)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {+∞} ⊆ ℝ*
7	3, 6	unssi 4185	. 2 ⊢ (ℕ0 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*
8		elex 3490	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
9		hashf 14335	. . . 4 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
10	9	ffvelcdmi 7096	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (♯‘𝐴) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}))
11	8, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}))
12	7, 11	sselid 3978	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  Vcvv 3471   ∪ cun 3945   ⊆ wss 3947  {csn 4630  ‘cfv 6551  ℝcr 11143  +∞cpnf 11281  ℝ^*cxr 11283  ℕ₀cn0 12508  ♯chash 14327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-n0 12509  df-xnn0 12581  df-z 12595  df-uz 12859  df-hash 14328

This theorem is referenced by:  nfile  14356  hashdom  14376  hashinfxadd  14382  hashunx  14383  hashgt0  14385  hashunsnggt  14391  hashle00  14397  hashgt0elex  14398  hashss  14406  hashgt12el  14419  hashgt12el2  14420  hashgt23el  14421  ramtlecl  16974  0ram  16994  isnzr2hash  20463  0ringnnzr  20467  ewlkle  29437  upgrewlkle2  29438  hashxpe  32594  esumcst  33687  esumpinfval  33697  lfuhgr2  34733  acycgr2v  34765  aks6d1c6lem2  41647  aks6d1c7lem2  41657  idomodle  42622