Theorem hashxrcl 14406

Description: Extended real closure of the ♯ function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashxrcl	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem hashxrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssre 12557	. . . 4 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
2		ressxr 11334	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
3	1, 2	sstri 4018	. . 3 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
4		pnfxr 11344	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5		snssi 4833	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → {+∞} ⊆ ℝ*)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {+∞} ⊆ ℝ*
7	3, 6	unssi 4214	. 2 ⊢ (ℕ0 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*
8		elex 3509	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
9		hashf 14387	. . . 4 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
10	9	ffvelcdmi 7117	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (♯‘𝐴) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}))
11	8, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}))
12	7, 11	sselid 4006	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ∪ cun 3974   ⊆ wss 3976  {csn 4648  ‘cfv 6573  ℝcr 11183  +∞cpnf 11321  ℝ^*cxr 11323  ℕ₀cn0 12553  ♯chash 14379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-uz 12904  df-hash 14380

This theorem is referenced by:  nfile  14408  hashdom  14428  hashinfxadd  14434  hashunx  14435  hashgt0  14437  hashunsnggt  14443  hashle00  14449  hashgt0elex  14450  hashss  14458  hashgt12el  14471  hashgt12el2  14472  hashgt23el  14473  ramtlecl  17047  0ram  17067  isnzr2hash  20545  0ringnnzr  20551  ewlkle  29641  upgrewlkle2  29642  hashxpe  32814  esumcst  34027  esumpinfval  34037  lfuhgr2  35086  acycgr2v  35118  aks6d1c6lem2  42128  aks6d1c7lem2  42138  unitscyglem5  42156  idomodle  43152