Theorem hashxrcl 14373

Description: Extended real closure of the ♯ function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashxrcl	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem hashxrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssre 12503	. . . 4 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
2		ressxr 11277	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
3	1, 2	sstri 3968	. . 3 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
4		pnfxr 11287	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5		snssi 4784	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → {+∞} ⊆ ℝ*)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {+∞} ⊆ ℝ*
7	3, 6	unssi 4166	. 2 ⊢ (ℕ0 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*
8		elex 3480	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
9		hashf 14354	. . . 4 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
10	9	ffvelcdmi 7072	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (♯‘𝐴) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}))
11	8, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}))
12	7, 11	sselid 3956	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   ∪ cun 3924   ⊆ wss 3926  {csn 4601  ‘cfv 6530  ℝcr 11126  +∞cpnf 11264  ℝ^*cxr 11266  ℕ₀cn0 12499  ♯chash 14346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12851  df-hash 14347

This theorem is referenced by:  nfile  14375  hashdom  14395  hashinfxadd  14401  hashunx  14402  hashgt0  14404  hashunsnggt  14410  hashle00  14416  hashgt0elex  14417  hashss  14425  hashgt12el  14438  hashgt12el2  14439  hashgt23el  14440  ramtlecl  17018  0ram  17038  isnzr2hash  20477  0ringnnzr  20483  ewlkle  29531  upgrewlkle2  29532  hashxpe  32732  hashpss  32734  lbslelsp  33583  esumcst  34040  esumpinfval  34050  lfuhgr2  35087  acycgr2v  35118  aks6d1c6lem2  42130  aks6d1c7lem2  42140  unitscyglem5  42158  idomodle  43162