Theorem hashv01gt1 14340

Description: The size of a set is either 0 or 1 or greater than 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hashv01gt1	⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))

Proof of Theorem hashv01gt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashnn0pnf 14337	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝑀) = +∞))
2		elnn0 12507	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 ↔ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝑀) = 0))
3		exmidne 2939	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑀) = 1 ∨ (♯‘𝑀) ≠ 1)
4		nngt1ne1 12274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ → (1 < (♯‘𝑀) ↔ (♯‘𝑀) ≠ 1))
5	4	orbi2d 913	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ → (((♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)) ↔ ((♯‘𝑀) = 1 ∨ (♯‘𝑀) ≠ 1)))
6	3, 5	mpbiri 257	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ → ((♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
7	6	olcd 872	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ ((♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀))))
8		3orass 1087	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)) ↔ ((♯‘𝑀) = 0 ∨ ((♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀))))
9	7, 8	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
10		3mix1 1327	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑀) = 0 → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
11	9, 10	jaoi 855	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑀) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝑀) = 0) → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
12	2, 11	sylbi 216	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
13		1re 11246	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
14		ltpnf 13135	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 < +∞
16		breq2 5153	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑀) = +∞ → (1 < (♯‘𝑀) ↔ 1 < +∞))
17	15, 16	mpbiri 257	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑀) = +∞ → 1 < (♯‘𝑀))
18	17	3mix3d 1335	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑀) = +∞ → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
19	12, 18	jaoi 855	. 2 ⊢ (((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝑀) = +∞) → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
20	1, 19	syl 17	1 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 845   ∨ w3o 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929   class class class wbr 5149  ‘cfv 6549  ℝcr 11139  0cc0 11140  1c1 11141  +∞cpnf 11277   < clt 11280  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12505  ♯chash 14325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-n0 12506  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12856  df-hash 14326

This theorem is referenced by:  hashge2el2difr  14478  symgvalstruct  19363  symgvalstructOLD  19364  01eq0ringOLD  20480  tgldimor  28378  frgrwopreg  30205