Theorem hashv01gt1 13518

Description: The size of a set is either 0 or 1 or greater than 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hashv01gt1	⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))

Proof of Theorem hashv01gt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashnn0pnf 13515	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝑀) = +∞))
2		elnn0 11707	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 ↔ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝑀) = 0))
3		exmidne 2970	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑀) = 1 ∨ (♯‘𝑀) ≠ 1)
4		nngt1ne1 11467	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ → (1 < (♯‘𝑀) ↔ (♯‘𝑀) ≠ 1))
5	4	orbi2d 900	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ → (((♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)) ↔ ((♯‘𝑀) = 1 ∨ (♯‘𝑀) ≠ 1)))
6	3, 5	mpbiri 250	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ → ((♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
7	6	olcd 861	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ ((♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀))))
8		3orass 1072	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)) ↔ ((♯‘𝑀) = 0 ∨ ((♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀))))
9	7, 8	sylibr 226	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
10		3mix1 1311	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑀) = 0 → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
11	9, 10	jaoi 844	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑀) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝑀) = 0) → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
12	2, 11	sylbi 209	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
13		1re 10437	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
14		ltpnf 12330	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 < +∞
16		breq2 4929	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑀) = +∞ → (1 < (♯‘𝑀) ↔ 1 < +∞))
17	15, 16	mpbiri 250	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑀) = +∞ → 1 < (♯‘𝑀))
18	17	3mix3d 1319	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑀) = +∞ → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
19	12, 18	jaoi 844	. 2 ⊢ (((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝑀) = +∞) → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
20	1, 19	syl 17	1 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 834   ∨ w3o 1068   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   ≠ wne 2960   class class class wbr 4925  ‘cfv 6185  ℝcr 10332  0cc0 10333  1c1 10334  +∞cpnf 10469   < clt 10472  ℕcn 11437  ℕ₀cn0 11705  ♯chash 13503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-card 9160  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-n0 11706  df-xnn0 11778  df-z 11792  df-uz 12057  df-hash 13504

This theorem is referenced by:  hashge2el2difr  13648  01eq0ring  19778  tgldimor  26005  frgrwopreg  27872