Theorem hashv01gt1 14412

Description: The size of a set is either 0 or 1 or greater than 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hashv01gt1	⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))

Proof of Theorem hashv01gt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashnn0pnf 14409	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝑀) = +∞))
2		elnn0 12533	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 ↔ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝑀) = 0))
3		exmidne 2965	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑀) = 1 ∨ (♯‘𝑀) ≠ 1)
4		nngt1ne1 12292	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ → (1 < (♯‘𝑀) ↔ (♯‘𝑀) ≠ 1))
5	4	orbi2d 929	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ → (((♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)) ↔ ((♯‘𝑀) = 1 ∨ (♯‘𝑀) ≠ 1)))
6	3, 5	mpbiri 261	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ → ((♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
7	6	olcd 888	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ ((♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀))))
8		3orass 1106	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)) ↔ ((♯‘𝑀) = 0 ∨ ((♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀))))
9	7, 8	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
10		3mix1 1349	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑀) = 0 → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
11	9, 10	jaoi 871	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑀) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝑀) = 0) → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
12	2, 11	sylbi 220	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
13		1re 11235	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
14		ltpnf 13174	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 < +∞
16		breq2 5107	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑀) = +∞ → (1 < (♯‘𝑀) ↔ 1 < +∞))
17	15, 16	mpbiri 261	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑀) = +∞ → 1 < (♯‘𝑀))
18	17	3mix3d 1357	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑀) = +∞ → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
19	12, 18	jaoi 871	. 2 ⊢ (((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝑀) = +∞) → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
20	1, 19	syl 18	1 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128  +∞cpnf 11267   < clt 11270  ℕcn 12260  ℕ₀cn0 12531  ♯chash 14397

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-hash 14398

This theorem is used by:  hashge2el2difr  14549  symgvalstruct  19527  01eq0ringOLD  20695  tgldimor  28847  frgrwopreg  30806