Theorem hashv01gt1 14381

Description: The size of a set is either 0 or 1 or greater than 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hashv01gt1	⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))

Proof of Theorem hashv01gt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashnn0pnf 14378	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝑀) = +∞))
2		elnn0 12506	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 ↔ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝑀) = 0))
3		exmidne 2974	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑀) = 1 ∨ (♯‘𝑀) ≠ 1)
4		nngt1ne1 12265	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ → (1 < (♯‘𝑀) ↔ (♯‘𝑀) ≠ 1))
5	4	orbi2d 928	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ → (((♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)) ↔ ((♯‘𝑀) = 1 ∨ (♯‘𝑀) ≠ 1)))
6	3, 5	mpbiri 261	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ → ((♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
7	6	olcd 887	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ ((♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀))))
8		3orass 1104	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)) ↔ ((♯‘𝑀) = 0 ∨ ((♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀))))
9	7, 8	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
10		3mix1 1347	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑀) = 0 → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
11	9, 10	jaoi 870	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑀) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝑀) = 0) → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
12	2, 11	sylbi 220	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
13		1re 11208	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
14		ltpnf 13145	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 < +∞
16		breq2 5117	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑀) = +∞ → (1 < (♯‘𝑀) ↔ 1 < +∞))
17	15, 16	mpbiri 261	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑀) = +∞ → 1 < (♯‘𝑀))
18	17	3mix3d 1355	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑀) = +∞ → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
19	12, 18	jaoi 870	. 2 ⊢ (((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝑀) = +∞) → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))
20	1, 19	syl 18	1 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑀) = 0 ∨ (♯‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 860   ∨ w3o 1100   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  ℝcr 11099  0cc0 11100  1c1 11101  +∞cpnf 11240   < clt 11243  ℕcn 12233  ℕ₀cn0 12504  ♯chash 14366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12863  df-hash 14367

This theorem is referenced by:  hashge2el2difr  14518  symgvalstruct  19467  01eq0ringOLD  20615  tgldimor  28737  frgrwopreg  30615