Theorem hashrabsn01 14530

Description: The size of a restricted class abstraction restricted to a singleton is either 0 or 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hashrabsn01	⊢ ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem hashrabsn01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}
2		rabrsn 4685	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} → ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ ∨ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}))
3		fveqeq2 6905	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 𝑁 ↔ (♯‘∅) = 𝑁))
4		eqcom 2770	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘∅) = 𝑁 ↔ 𝑁 = (♯‘∅))
5	4	biimpi 219	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘∅) = 𝑁 → 𝑁 = (♯‘∅))
6		hash0 14524	. . . . . 6 ⊢ (♯‘∅) = 0
7	5, 6	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ ((♯‘∅) = 𝑁 → 𝑁 = 0)
8	7	orcd 887	. . . 4 ⊢ ((♯‘∅) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
9	3, 8	biimtrdi 256	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
10		fveqeq2 6905	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 𝑁 ↔ (♯‘{𝐴}) = 𝑁))
11		eqcom 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘{𝐴}) = 𝑁 ↔ 𝑁 = (♯‘{𝐴}))
12	11	biimpi 219	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘{𝐴}) = 𝑁 → 𝑁 = (♯‘{𝐴}))
13		hashsng 14526	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ V → (♯‘{𝐴}) = 1)
14	12, 13	sylan9eqr 2820	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (♯‘{𝐴}) = 𝑁) → 𝑁 = 1)
15	14	olcd 888	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (♯‘{𝐴}) = 𝑁) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
16	15	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((♯‘{𝐴}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
17		snprc 4678	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
18		fveqeq2 6905	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴} = ∅ → ((♯‘{𝐴}) = 𝑁 ↔ (♯‘∅) = 𝑁))
19	18, 8	biimtrdi 256	. . . . . 6 ⊢ ({𝐴} = ∅ → ((♯‘{𝐴}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
20	17, 19	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ((♯‘{𝐴}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
21	16, 20	pm2.61i 184	. . . 4 ⊢ ((♯‘{𝐴}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
22	10, 21	biimtrdi 256	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
23	9, 22	jaoi 871	. 2 ⊢ (({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ ∨ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}) → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
24	1, 2, 23	mp2b 10	1 ⊢ ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  {crab 3416  Vcvv 3454  ∅c0 4281  {csn 4588  ‘cfv 6547  0cc0 11213  1c1 11214  ♯chash 14487

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-fz 13653  df-hash 14488

This theorem is used by: (None)