Theorem hashrabsn01 14362

Description: The size of a restricted class abstraction restricted to a singleton is either 0 or 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hashrabsn01	⊢ ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem hashrabsn01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2725	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}
2		rabrsn 4724	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} → ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ ∨ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}))
3		fveqeq2 6900	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 𝑁 ↔ (♯‘∅) = 𝑁))
4		eqcom 2732	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘∅) = 𝑁 ↔ 𝑁 = (♯‘∅))
5	4	biimpi 215	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘∅) = 𝑁 → 𝑁 = (♯‘∅))
6		hash0 14356	. . . . . 6 ⊢ (♯‘∅) = 0
7	5, 6	eqtrdi 2781	. . . . 5 ⊢ ((♯‘∅) = 𝑁 → 𝑁 = 0)
8	7	orcd 871	. . . 4 ⊢ ((♯‘∅) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
9	3, 8	biimtrdi 252	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
10		fveqeq2 6900	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 𝑁 ↔ (♯‘{𝐴}) = 𝑁))
11		eqcom 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘{𝐴}) = 𝑁 ↔ 𝑁 = (♯‘{𝐴}))
12	11	biimpi 215	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘{𝐴}) = 𝑁 → 𝑁 = (♯‘{𝐴}))
13		hashsng 14358	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ V → (♯‘{𝐴}) = 1)
14	12, 13	sylan9eqr 2787	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (♯‘{𝐴}) = 𝑁) → 𝑁 = 1)
15	14	olcd 872	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (♯‘{𝐴}) = 𝑁) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
16	15	ex 411	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((♯‘{𝐴}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
17		snprc 4717	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
18		fveqeq2 6900	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴} = ∅ → ((♯‘{𝐴}) = 𝑁 ↔ (♯‘∅) = 𝑁))
19	18, 8	biimtrdi 252	. . . . . 6 ⊢ ({𝐴} = ∅ → ((♯‘{𝐴}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
20	17, 19	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ((♯‘{𝐴}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
21	16, 20	pm2.61i 182	. . . 4 ⊢ ((♯‘{𝐴}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
22	10, 21	biimtrdi 252	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
23	9, 22	jaoi 855	. 2 ⊢ (({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ ∨ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}) → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
24	1, 2, 23	mp2b 10	1 ⊢ ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419  Vcvv 3463  ∅c0 4318  {csn 4624  ‘cfv 6542  0cc0 11136  1c1 11137  ♯chash 14319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-hash 14320

This theorem is referenced by: (None)