Theorem hashrabsn01 14088

Description: The size of a restricted class abstraction restricted to a singleton is either 0 or 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hashrabsn01	⊢ ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem hashrabsn01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}
2		rabrsn 4660	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} → ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ ∨ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}))
3		fveqeq2 6783	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 𝑁 ↔ (♯‘∅) = 𝑁))
4		eqcom 2745	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘∅) = 𝑁 ↔ 𝑁 = (♯‘∅))
5	4	biimpi 215	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘∅) = 𝑁 → 𝑁 = (♯‘∅))
6		hash0 14082	. . . . . 6 ⊢ (♯‘∅) = 0
7	5, 6	eqtrdi 2794	. . . . 5 ⊢ ((♯‘∅) = 𝑁 → 𝑁 = 0)
8	7	orcd 870	. . . 4 ⊢ ((♯‘∅) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
9	3, 8	syl6bi 252	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
10		fveqeq2 6783	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 𝑁 ↔ (♯‘{𝐴}) = 𝑁))
11		eqcom 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘{𝐴}) = 𝑁 ↔ 𝑁 = (♯‘{𝐴}))
12	11	biimpi 215	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘{𝐴}) = 𝑁 → 𝑁 = (♯‘{𝐴}))
13		hashsng 14084	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ V → (♯‘{𝐴}) = 1)
14	12, 13	sylan9eqr 2800	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (♯‘{𝐴}) = 𝑁) → 𝑁 = 1)
15	14	olcd 871	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (♯‘{𝐴}) = 𝑁) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
16	15	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((♯‘{𝐴}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
17		snprc 4653	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
18		fveqeq2 6783	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴} = ∅ → ((♯‘{𝐴}) = 𝑁 ↔ (♯‘∅) = 𝑁))
19	18, 8	syl6bi 252	. . . . . 6 ⊢ ({𝐴} = ∅ → ((♯‘{𝐴}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
20	17, 19	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ((♯‘{𝐴}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
21	16, 20	pm2.61i 182	. . . 4 ⊢ ((♯‘{𝐴}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
22	10, 21	syl6bi 252	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
23	9, 22	jaoi 854	. 2 ⊢ (({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ ∨ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}) → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
24	1, 2, 23	mp2b 10	1 ⊢ ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068  Vcvv 3432  ∅c0 4256  {csn 4561  ‘cfv 6433  0cc0 10871  1c1 10872  ♯chash 14044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-hash 14045

This theorem is referenced by: (None)