Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashrabsn01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashrabsn01 13730
 Description: The size of a restricted class abstraction restricted to a singleton is either 0 or 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
hashrabsn01 ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem hashrabsn01
StepHypRef Expression
1 eqid 2822 . 2 {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}
2 rabrsn 4634 . 2 ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} → ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ ∨ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}))
3 fveqeq2 6661 . . . 4 ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 𝑁 ↔ (♯‘∅) = 𝑁))
4 eqcom 2829 . . . . . . 7 ((♯‘∅) = 𝑁𝑁 = (♯‘∅))
54biimpi 219 . . . . . 6 ((♯‘∅) = 𝑁𝑁 = (♯‘∅))
6 hash0 13724 . . . . . 6 (♯‘∅) = 0
75, 6syl6eq 2873 . . . . 5 ((♯‘∅) = 𝑁𝑁 = 0)
87orcd 870 . . . 4 ((♯‘∅) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
93, 8syl6bi 256 . . 3 ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
10 fveqeq2 6661 . . . 4 ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 𝑁 ↔ (♯‘{𝐴}) = 𝑁))
11 eqcom 2829 . . . . . . . . 9 ((♯‘{𝐴}) = 𝑁𝑁 = (♯‘{𝐴}))
1211biimpi 219 . . . . . . . 8 ((♯‘{𝐴}) = 𝑁𝑁 = (♯‘{𝐴}))
13 hashsng 13726 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V → (♯‘{𝐴}) = 1)
1412, 13sylan9eqr 2879 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ (♯‘{𝐴}) = 𝑁) → 𝑁 = 1)
1514olcd 871 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ (♯‘{𝐴}) = 𝑁) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
1615ex 416 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → ((♯‘{𝐴}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
17 snprc 4627 . . . . . 6 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
18 fveqeq2 6661 . . . . . . 7 ({𝐴} = ∅ → ((♯‘{𝐴}) = 𝑁 ↔ (♯‘∅) = 𝑁))
1918, 8syl6bi 256 . . . . . 6 ({𝐴} = ∅ → ((♯‘{𝐴}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
2017, 19sylbi 220 . . . . 5 𝐴 ∈ V → ((♯‘{𝐴}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
2116, 20pm2.61i 185 . . . 4 ((♯‘{𝐴}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
2210, 21syl6bi 256 . . 3 ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
239, 22jaoi 854 . 2 (({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ ∨ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}) → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
241, 2, 23mp2b 10 1 ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  {crab 3134  Vcvv 3469  ∅c0 4265  {csn 4539  ‘cfv 6334  0cc0 10526  1c1 10527  ♯chash 13686 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-hash 13687 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator