MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashrabsn1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashrabsn1 14274
Description: If the size of a restricted class abstraction restricted to a singleton is 1, the condition of the class abstraction must hold for the singleton. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
hashrabsn1 ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem hashrabsn1
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . 2 {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}
2 rabrsn 4685 . 2 ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} → ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ ∨ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}))
3 fveqeq2 6851 . . . 4 ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 ↔ (♯‘∅) = 1))
4 hash0 14267 . . . . . 6 (♯‘∅) = 0
54eqeq1i 2741 . . . . 5 ((♯‘∅) = 1 ↔ 0 = 1)
6 0ne1 12224 . . . . . 6 0 ≠ 1
7 eqneqall 2954 . . . . . 6 (0 = 1 → (0 ≠ 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑))
86, 7mpi 20 . . . . 5 (0 = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
95, 8sylbi 216 . . . 4 ((♯‘∅) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
103, 9syl6bi 252 . . 3 ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑))
11 snidg 4620 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ {𝐴})
1211adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}) → 𝐴 ∈ {𝐴})
13 eleq2 2826 . . . . . . . . 9 ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} → (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} ↔ 𝐴 ∈ {𝐴}))
1413adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}) → (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} ↔ 𝐴 ∈ {𝐴}))
1512, 14mpbird 256 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑})
16 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 𝑥{𝐴}
1716elrabsf 3787 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} ↔ (𝐴 ∈ {𝐴} ∧ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
1817simprbi 497 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
1915, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}) → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
2019a1d 25 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}) → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑))
2120ex 413 . . . 4 (𝐴 ∈ V → ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)))
22 snprc 4678 . . . . 5 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
23 eqeq2 2748 . . . . . 6 ({𝐴} = ∅ → ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} ↔ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅))
24 ax-1ne0 11120 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 0
25 eqneqall 2954 . . . . . . . . . 10 (1 = 0 → (1 ≠ 0 → [𝐴 / 𝑥]𝜑))
2624, 25mpi 20 . . . . . . . . 9 (1 = 0 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
2726eqcoms 2744 . . . . . . . 8 (0 = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
285, 27sylbi 216 . . . . . . 7 ((♯‘∅) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
293, 28syl6bi 252 . . . . . 6 ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑))
3023, 29syl6bi 252 . . . . 5 ({𝐴} = ∅ → ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)))
3122, 30sylbi 216 . . . 4 𝐴 ∈ V → ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)))
3221, 31pm2.61i 182 . . 3 ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑))
3310, 32jaoi 855 . 2 (({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ ∨ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}) → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑))
341, 2, 33mp2b 10 1 ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  {crab 3407  Vcvv 3445  [wsbc 3739  c0 4282  {csn 4586  cfv 6496  0cc0 11051  1c1 11052  chash 14230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-hash 14231
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator