Theorem hashrabsn1 14346

Description: If the size of a restricted class abstraction restricted to a singleton is 1, the condition of the class abstraction must hold for the singleton. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hashrabsn1	⊢ ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem hashrabsn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}
2		rabrsn 4691	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} → ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ ∨ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}))
3		fveqeq2 6870	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 ↔ (♯‘∅) = 1))
4		hash0 14339	. . . . . 6 ⊢ (♯‘∅) = 0
5	4	eqeq1i 2735	. . . . 5 ⊢ ((♯‘∅) = 1 ↔ 0 = 1)
6		0ne1 12264	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
7		eqneqall 2937	. . . . . 6 ⊢ (0 = 1 → (0 ≠ 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑))
8	6, 7	mpi 20	. . . . 5 ⊢ (0 = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
9	5, 8	sylbi 217	. . . 4 ⊢ ((♯‘∅) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
10	3, 9	biimtrdi 253	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑))
11		snidg 4627	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ {𝐴})
12	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}) → 𝐴 ∈ {𝐴})
13		eleq2 2818	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} → (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} ↔ 𝐴 ∈ {𝐴}))
14	13	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}) → (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} ↔ 𝐴 ∈ {𝐴}))
15	12, 14	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑})
16		nfcv 2892	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥{𝐴}
17	16	elrabsf 3802	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} ↔ (𝐴 ∈ {𝐴} ∧ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
18	17	simprbi 496	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
19	15, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}) → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
20	19	a1d 25	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}) → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑))
21	20	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)))
22		snprc 4684	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
23		eqeq2 2742	. . . . . 6 ⊢ ({𝐴} = ∅ → ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} ↔ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅))
24		ax-1ne0 11144	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 0
25		eqneqall 2937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 = 0 → (1 ≠ 0 → [𝐴 / 𝑥]𝜑))
26	24, 25	mpi 20	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 = 0 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
27	26	eqcoms 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (0 = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
28	5, 27	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘∅) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
29	3, 28	biimtrdi 253	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑))
30	23, 29	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} = ∅ → ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)))
31	22, 30	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)))
32	21, 31	pm2.61i 182	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑))
33	10, 32	jaoi 857	. 2 ⊢ (({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ ∨ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}) → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑))
34	1, 2, 33	mp2b 10	1 ⊢ ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  {crab 3408  Vcvv 3450  [wsbc 3756  ∅c0 4299  {csn 4592  ‘cfv 6514  0cc0 11075  1c1 11076  ♯chash 14302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-hash 14303

This theorem is referenced by: (None)