MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashrabsn1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashrabsn1 14410
Description: If the size of a restricted class abstraction restricted to a singleton is 1, the condition of the class abstraction must hold for the singleton. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
hashrabsn1 ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem hashrabsn1
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . 2 {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}
2 rabrsn 4729 . 2 ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} → ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ ∨ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}))
3 fveqeq2 6916 . . . 4 ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 ↔ (♯‘∅) = 1))
4 hash0 14403 . . . . . 6 (♯‘∅) = 0
54eqeq1i 2740 . . . . 5 ((♯‘∅) = 1 ↔ 0 = 1)
6 0ne1 12335 . . . . . 6 0 ≠ 1
7 eqneqall 2949 . . . . . 6 (0 = 1 → (0 ≠ 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑))
86, 7mpi 20 . . . . 5 (0 = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
95, 8sylbi 217 . . . 4 ((♯‘∅) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
103, 9biimtrdi 253 . . 3 ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑))
11 snidg 4665 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ {𝐴})
1211adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}) → 𝐴 ∈ {𝐴})
13 eleq2 2828 . . . . . . . . 9 ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} → (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} ↔ 𝐴 ∈ {𝐴}))
1413adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}) → (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} ↔ 𝐴 ∈ {𝐴}))
1512, 14mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑})
16 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 𝑥{𝐴}
1716elrabsf 3840 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} ↔ (𝐴 ∈ {𝐴} ∧ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
1817simprbi 496 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
1915, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}) → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
2019a1d 25 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}) → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑))
2120ex 412 . . . 4 (𝐴 ∈ V → ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)))
22 snprc 4722 . . . . 5 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
23 eqeq2 2747 . . . . . 6 ({𝐴} = ∅ → ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} ↔ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅))
24 ax-1ne0 11222 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 0
25 eqneqall 2949 . . . . . . . . . 10 (1 = 0 → (1 ≠ 0 → [𝐴 / 𝑥]𝜑))
2624, 25mpi 20 . . . . . . . . 9 (1 = 0 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
2726eqcoms 2743 . . . . . . . 8 (0 = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
285, 27sylbi 217 . . . . . . 7 ((♯‘∅) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
293, 28biimtrdi 253 . . . . . 6 ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑))
3023, 29biimtrdi 253 . . . . 5 ({𝐴} = ∅ → ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)))
3122, 30sylbi 217 . . . 4 𝐴 ∈ V → ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)))
3221, 31pm2.61i 182 . . 3 ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑))
3310, 32jaoi 857 . 2 (({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ ∨ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}) → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑))
341, 2, 33mp2b 10 1 ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  {crab 3433  Vcvv 3478  [wsbc 3791  c0 4339  {csn 4631  cfv 6563  0cc0 11153  1c1 11154  chash 14366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator