Theorem hashrabsn1 14414

Description: If the size of a restricted class abstraction restricted to a singleton is 1, the condition of the class abstraction must hold for the singleton. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hashrabsn1	⊢ ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem hashrabsn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}
2		rabrsn 4723	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} → ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ ∨ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}))
3		fveqeq2 6914	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 ↔ (♯‘∅) = 1))
4		hash0 14407	. . . . . 6 ⊢ (♯‘∅) = 0
5	4	eqeq1i 2741	. . . . 5 ⊢ ((♯‘∅) = 1 ↔ 0 = 1)
6		0ne1 12338	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
7		eqneqall 2950	. . . . . 6 ⊢ (0 = 1 → (0 ≠ 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑))
8	6, 7	mpi 20	. . . . 5 ⊢ (0 = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
9	5, 8	sylbi 217	. . . 4 ⊢ ((♯‘∅) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
10	3, 9	biimtrdi 253	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑))
11		snidg 4659	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ {𝐴})
12	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}) → 𝐴 ∈ {𝐴})
13		eleq2 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} → (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} ↔ 𝐴 ∈ {𝐴}))
14	13	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}) → (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} ↔ 𝐴 ∈ {𝐴}))
15	12, 14	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑})
16		nfcv 2904	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥{𝐴}
17	16	elrabsf 3833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} ↔ (𝐴 ∈ {𝐴} ∧ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
18	17	simprbi 496	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
19	15, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}) → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
20	19	a1d 25	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}) → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑))
21	20	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)))
22		snprc 4716	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
23		eqeq2 2748	. . . . . 6 ⊢ ({𝐴} = ∅ → ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} ↔ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅))
24		ax-1ne0 11225	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 0
25		eqneqall 2950	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 = 0 → (1 ≠ 0 → [𝐴 / 𝑥]𝜑))
26	24, 25	mpi 20	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 = 0 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
27	26	eqcoms 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (0 = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
28	5, 27	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘∅) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
29	3, 28	biimtrdi 253	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑))
30	23, 29	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} = ∅ → ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)))
31	22, 30	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)))
32	21, 31	pm2.61i 182	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑))
33	10, 32	jaoi 857	. 2 ⊢ (({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ ∨ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}) → ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑))
34	1, 2, 33	mp2b 10	1 ⊢ ((♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  {crab 3435  Vcvv 3479  [wsbc 3787  ∅c0 4332  {csn 4625  ‘cfv 6560  0cc0 11156  1c1 11157  ♯chash 14370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-hash 14371

This theorem is referenced by: (None)