Theorem hash0 14405

Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hash0	⊢ (♯‘∅) = 0

Proof of Theorem hash0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. 2 ⊢ ∅ = ∅
2		0ex 5271	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		hasheq0 14401	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅)
5	1, 4	mpbir 234	1 ⊢ (♯‘∅) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  ∅c0 4287  ‘cfv 6538  0cc0 11101  ♯chash 14368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-hash 14369

This theorem is referenced by:  hashrabrsn  14410  hashrabsn01  14411  hashrabsn1  14412  hashge0  14425  elprchashprn2  14434  hash1  14442  hashsn01  14455  hashgt12el  14461  hashgt12el2  14462  hashfzo  14468  hashfzp1  14470  hashxplem  14472  hashmap  14474  hashbc  14492  hashf1lem2  14495  hashf1  14496  hash2pwpr  14515  wrdnfi  14587  lsw0g  14605  ccatlid  14626  ccatrid  14627  rev0  14803  repswsymballbi  14819  fsumconst  15843  incexclem  15892  incexc  15893  fprodconst  16034  sumodd  16447  hashgcdeq  16850  prmreclem4  16980  prmreclem5  16981  0hashbc  17068  ramz2  17085  cshws0  17162  chnub  18679  chnccats1  18682  chnccat  18683  psgnunilem2  19566  psgnunilem4  19568  psgn0fv0  19582  psgnsn  19591  psgnprfval1  19593  efginvrel2  19798  efgredleme  19814  efgcpbllemb  19826  frgpnabllem1  19944  gsumconst  20005  ltbwe  22176  fta1g  26308  fta1  26450  birthdaylem3  27099  ppi1  27309  musum  27336  rpvmasum  27671  umgrislfupgrlem  29453  lfuhgr1v0e  29585  vtxdg0e  29805  vtxdlfgrval  29816  rusgr1vtxlem  29918  wspn0  30254  rusgrnumwwlkl1  30301  rusgr0edg  30306  clwwlknonel  30427  clwwlknon1le1  30433  0ewlk  30446  0wlk  30448  0wlkon  30452  0pth  30457  0clwlk  30462  0crct  30465  0cycl  30466  eupth0  30546  eulerpathpr  30572  wlkl0  30699  f1ocnt  33126  hashxpe  33133  1arithidom  33808  esplyfval0  33935  vieta  33951  lvecdim0  33978  fldext2chn  34099  esumcst  34434  cntmeas  34597  ballotlemfval0  34867  signsvtn0  34938  signstfvneq0  34940  signstfveq0  34945  signsvf0  34948  lpadright  35055  derangsn  35643  subfacp1lem6  35658  poimirlem25  38277  poimirlem26  38278  poimirlem27  38279  poimirlem28  38280  unitscyglem4  42946  rp-isfinite6  44227  fzisoeu  46002  chnerlem1  47581