Theorem hash0 14290

Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hash0	⊢ (♯‘∅) = 0

Proof of Theorem hash0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. 2 ⊢ ∅ = ∅
2		0ex 5252	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		hasheq0 14286	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅)
5	1, 4	mpbir 231	1 ⊢ (♯‘∅) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440  ∅c0 4285  ‘cfv 6492  0cc0 11026  ♯chash 14253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-hash 14254

This theorem is referenced by:  hashrabrsn  14295  hashrabsn01  14296  hashrabsn1  14297  hashge0  14310  elprchashprn2  14319  hash1  14327  hashsn01  14339  hashgt12el  14345  hashgt12el2  14346  hashfzo  14352  hashfzp1  14354  hashxplem  14356  hashmap  14358  hashbc  14376  hashf1lem2  14379  hashf1  14380  hash2pwpr  14399  wrdnfi  14471  lsw0g  14489  ccatlid  14510  ccatrid  14511  rev0  14687  repswsymballbi  14703  fsumconst  15713  incexclem  15759  incexc  15760  fprodconst  15901  sumodd  16315  hashgcdeq  16717  prmreclem4  16847  prmreclem5  16848  0hashbc  16935  ramz2  16952  cshws0  17029  chnub  18545  chnccats1  18548  chnccat  18549  psgnunilem2  19424  psgnunilem4  19426  psgn0fv0  19440  psgnsn  19449  psgnprfval1  19451  efginvrel2  19656  efgredleme  19672  efgcpbllemb  19684  frgpnabllem1  19802  gsumconst  19863  ltbwe  21999  fta1g  26131  fta1  26272  birthdaylem3  26919  ppi1  27130  musum  27157  rpvmasum  27493  umgrislfupgrlem  29195  lfuhgr1v0e  29327  vtxdg0e  29548  vtxdlfgrval  29559  rusgr1vtxlem  29661  wspn0  29997  rusgrnumwwlkl1  30044  rusgr0edg  30049  clwwlknonel  30170  clwwlknon1le1  30176  0ewlk  30189  0wlk  30191  0wlkon  30195  0pth  30200  0clwlk  30205  0crct  30208  0cycl  30209  eupth0  30289  eulerpathpr  30315  wlkl0  30442  f1ocnt  32880  hashxpe  32887  1arithidom  33618  esplyfval0  33722  vieta  33736  lvecdim0  33763  fldext2chn  33885  esumcst  34220  cntmeas  34383  ballotlemfval0  34653  signsvtn0  34727  signstfvneq0  34729  signstfveq0  34734  signsvf0  34737  lpadright  34841  derangsn  35364  subfacp1lem6  35379  poimirlem25  37842  poimirlem26  37843  poimirlem27  37844  poimirlem28  37845  unitscyglem4  42448  rp-isfinite6  43755  fzisoeu  45544  chnerlem1  47122