Theorem hash0 14327

Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hash0	⊢ (♯‘∅) = 0

Proof of Theorem hash0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. 2 ⊢ ∅ = ∅
2		0ex 5236	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		hasheq0 14323	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅)
5	1, 4	mpbir 232	1 ⊢ (♯‘∅) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 207   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432  ∅c0 4268  ‘cfv 6492  0cc0 11036  ♯chash 14290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-hash 14291

This theorem is referenced by:  hashrabrsn  14332  hashrabsn01  14333  hashrabsn1  14334  hashge0  14347  elprchashprn2  14356  hash1  14364  hashsn01  14376  hashgt12el  14382  hashgt12el2  14383  hashfzo  14389  hashfzp1  14391  hashxplem  14393  hashmap  14395  hashbc  14413  hashf1lem2  14416  hashf1  14417  hash2pwpr  14436  wrdnfi  14508  lsw0g  14526  ccatlid  14547  ccatrid  14548  rev0  14724  repswsymballbi  14740  fsumconst  15750  incexclem  15799  incexc  15800  fprodconst  15941  sumodd  16355  hashgcdeq  16758  prmreclem4  16888  prmreclem5  16889  0hashbc  16976  ramz2  16993  cshws0  17070  chnub  18586  chnccats1  18589  chnccat  18590  psgnunilem2  19468  psgnunilem4  19470  psgn0fv0  19484  psgnsn  19493  psgnprfval1  19495  efginvrel2  19700  efgredleme  19716  efgcpbllemb  19728  frgpnabllem1  19846  gsumconst  19907  ltbwe  22027  fta1g  26160  fta1  26299  birthdaylem3  26942  ppi1  27152  musum  27179  rpvmasum  27514  umgrislfupgrlem  29216  lfuhgr1v0e  29348  vtxdg0e  29568  vtxdlfgrval  29579  rusgr1vtxlem  29681  wspn0  30017  rusgrnumwwlkl1  30064  rusgr0edg  30069  clwwlknonel  30190  clwwlknon1le1  30196  0ewlk  30209  0wlk  30211  0wlkon  30215  0pth  30220  0clwlk  30225  0crct  30228  0cycl  30229  eupth0  30309  eulerpathpr  30335  wlkl0  30462  f1ocnt  32899  hashxpe  32906  1arithidom  33627  esplyfval0  33755  vieta  33771  lvecdim0  33798  fldext2chn  33919  esumcst  34254  cntmeas  34417  ballotlemfval0  34687  signsvtn0  34761  signstfvneq0  34763  signstfveq0  34768  signsvf0  34771  lpadright  34875  derangsn  35405  subfacp1lem6  35420  poimirlem25  38019  poimirlem26  38020  poimirlem27  38021  poimirlem28  38022  unitscyglem4  42690  rp-isfinite6  43969  fzisoeu  45755  chnerlem1  47334