Theorem hash0 14403

Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hash0	⊢ (♯‘∅) = 0

Proof of Theorem hash0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. 2 ⊢ ∅ = ∅
2		0ex 5313	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		hasheq0 14399	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅)
5	1, 4	mpbir 231	1 ⊢ (♯‘∅) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478  ∅c0 4339  ‘cfv 6563  0cc0 11153  ♯chash 14366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367

This theorem is referenced by:  hashrabrsn  14408  hashrabsn01  14409  hashrabsn1  14410  hashge0  14423  elprchashprn2  14432  hash1  14440  hashsn01  14452  hashgt12el  14458  hashgt12el2  14459  hashfzo  14465  hashfzp1  14467  hashxplem  14469  hashmap  14471  hashbc  14489  hashf1lem2  14492  hashf1  14493  hash2pwpr  14512  wrdnfi  14583  lsw0g  14601  ccatlid  14621  ccatrid  14622  rev0  14799  repswsymballbi  14815  fsumconst  15823  incexclem  15869  incexc  15870  fprodconst  16011  sumodd  16422  hashgcdeq  16823  prmreclem4  16953  prmreclem5  16954  0hashbc  17041  ramz2  17058  cshws0  17136  psgnunilem2  19528  psgnunilem4  19530  psgn0fv0  19544  psgnsn  19553  psgnprfval1  19555  efginvrel2  19760  efgredleme  19776  efgcpbllemb  19788  frgpnabllem1  19906  gsumconst  19967  ltbwe  22080  fta1g  26224  fta1  26365  birthdaylem3  27011  ppi1  27222  musum  27249  rpvmasum  27585  umgrislfupgrlem  29154  lfuhgr1v0e  29286  vtxdg0e  29507  vtxdlfgrval  29518  rusgr1vtxlem  29620  wspn0  29954  rusgrnumwwlkl1  29998  rusgr0edg  30003  clwwlknonel  30124  clwwlknon1le1  30130  0ewlk  30143  0wlk  30145  0wlkon  30149  0pth  30154  0clwlk  30159  0crct  30162  0cycl  30163  eupth0  30243  eulerpathpr  30269  wlkl0  30396  f1ocnt  32810  hashxpe  32817  chnub  32986  1arithidom  33545  lvecdim0  33634  fldext2chn  33734  esumcst  34044  cntmeas  34207  ballotlemfval0  34477  signsvtn0  34564  signstfvneq0  34566  signstfveq0  34571  signsvf0  34574  lpadright  34678  derangsn  35155  subfacp1lem6  35170  poimirlem25  37632  poimirlem26  37633  poimirlem27  37634  poimirlem28  37635  unitscyglem4  42180  rp-isfinite6  43508  fzisoeu  45251  upwordnul  46834