Theorem hash0 14327

Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hash0	⊢ (♯‘∅) = 0

Proof of Theorem hash0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. 2 ⊢ ∅ = ∅
2		0ex 5308	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		hasheq0 14323	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅)
5	1, 4	mpbir 230	1 ⊢ (♯‘∅) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  ∅c0 4323  ‘cfv 6544  0cc0 11110  ♯chash 14290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-hash 14291

This theorem is referenced by:  hashrabrsn  14332  hashrabsn01  14333  hashrabsn1  14334  hashge0  14347  elprchashprn2  14356  hash1  14364  hashsn01  14376  hashgt12el  14382  hashgt12el2  14383  hashfzo  14389  hashfzp1  14391  hashxplem  14393  hashmap  14395  hashbc  14412  hashf1lem2  14417  hashf1  14418  hash2pwpr  14437  wrdnfi  14498  lsw0g  14516  ccatlid  14536  ccatrid  14537  rev0  14714  repswsymballbi  14730  fsumconst  15736  incexclem  15782  incexc  15783  fprodconst  15922  sumodd  16331  hashgcdeq  16722  prmreclem4  16852  prmreclem5  16853  0hashbc  16940  ramz2  16957  cshws0  17035  psgnunilem2  19363  psgnunilem4  19365  psgn0fv0  19379  psgnsn  19388  psgnprfval1  19390  efginvrel2  19595  efgredleme  19611  efgcpbllemb  19623  frgpnabllem1  19741  gsumconst  19802  ltbwe  21599  fta1g  25685  fta1  25821  birthdaylem3  26458  ppi1  26668  musum  26695  rpvmasum  27029  umgrislfupgrlem  28382  lfuhgr1v0e  28511  vtxdg0e  28731  vtxdlfgrval  28742  rusgr1vtxlem  28844  wspn0  29178  rusgrnumwwlkl1  29222  rusgr0edg  29227  clwwlknonel  29348  clwwlknon1le1  29354  0ewlk  29367  0wlk  29369  0wlkon  29373  0pth  29378  0clwlk  29383  0crct  29386  0cycl  29387  eupth0  29467  eulerpathpr  29493  wlkl0  29620  f1ocnt  32013  hashxpe  32019  lvecdim0  32691  esumcst  33061  cntmeas  33224  ballotlemfval0  33494  signsvtn0  33581  signstfvneq0  33583  signstfveq0  33588  signsvf0  33591  lpadright  33696  derangsn  34161  subfacp1lem6  34176  poimirlem25  36513  poimirlem26  36514  poimirlem27  36515  poimirlem28  36516  rp-isfinite6  42269  fzisoeu  44010  upwordnul  45594