Theorem hash0 14435

Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hash0	⊢ (♯‘∅) = 0

Proof of Theorem hash0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. 2 ⊢ ∅ = ∅
2		0ex 5268	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		hasheq0 14431	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅)
5	1, 4	mpbir 234	1 ⊢ (♯‘∅) = 0

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  ∅c0 4282  ‘cfv 6537  0cc0 11128  ♯chash 14398

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-hash 14399

This theorem is used by:  hashrabrsn  14440  hashrabsn01  14441  hashrabsn1  14442  hashge0  14455  elprchashprn2  14464  hash1  14472  hashsn01  14485  hashgt12el  14491  hashgt12el2  14492  hashfzo  14498  hashfzp1  14500  hashxplem  14502  hashmap  14504  hashbc  14522  hashf1lem2  14525  hashf1  14526  hash2pwpr  14545  wrdnfi  14617  lsw0g  14635  ccatlid  14656  ccatrid  14657  rev0  14837  repswsymballbi  14855  fsumconst  15880  incexclem  15929  incexc  15930  fprodconst  16071  sumodd  16484  hashgcdeq  16887  prmreclem4  17017  prmreclem5  17018  0hashbc  17105  ramz2  17122  cshws0  17199  chnub  18716  chnccats1  18719  chnccat  18720  psgnunilem2  19628  psgnunilem4  19630  psgn0fv0  19644  psgnsn  19653  psgnprfval1  19655  efginvrel2  19860  efgredleme  19876  efgcpbllemb  19888  frgpnabllem1  20006  gsumconst  20067  ltbwe  22266  fta1g  26402  fta1  26545  birthdaylem3  27198  ppi1  27408  musum  27435  rpvmasum  27770  umgrislfupgrlem  29587  lfuhgr1v0e  29722  vtxdg0e  29942  vtxdlfgrval  29953  rusgr1vtxlem  30055  wspn0  30400  rusgrnumwwlkl1  30447  rusgr0edg  30452  clwwlknonel  30573  clwwlknon1le1  30579  0ewlk  30592  0wlk  30594  0wlkon  30598  0pth  30603  0clwlk  30608  0crct  30611  0cycl  30612  eupth0  30702  eulerpathpr  30728  wlkl0  30855  f1ocnt  33279  hashxpe  33286  1arithidom  33955  esplyfval0  34082  vieta  34098  lvecdim0  34125  fldext2chn  34246  esumcst  34581  cntmeas  34745  ballotlemfval0  35015  signsvtn0  35086  signstfvneq0  35088  signstfveq0  35093  signsvf0  35096  lpadright  35203  derangsn  35757  subfacp1lem6  35772  poimirlem25  38402  poimirlem26  38403  poimirlem27  38404  poimirlem28  38405  unitscyglem4  43072  rp-isfinite6  44366  fzisoeu  46141  chnerlem1  47718