Theorem hash0 14186

Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hash0	⊢ (♯‘∅) = 0

Proof of Theorem hash0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. 2 ⊢ ∅ = ∅
2		0ex 5255	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		hasheq0 14182	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅)
5	1, 4	mpbir 230	1 ⊢ (♯‘∅) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3442  ∅c0 4273  ‘cfv 6483  0cc0 10976  ♯chash 14149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-int 4899  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7785  df-1st 7903  df-2nd 7904  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-1o 8371  df-er 8573  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-fin 8812  df-card 9800  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-nn 12079  df-n0 12339  df-z 12425  df-uz 12688  df-fz 13345  df-hash 14150

This theorem is referenced by:  hashrabrsn  14191  hashrabsn01  14192  hashrabsn1  14193  hashge0  14206  elprchashprn2  14215  hash1  14223  hashsn01  14235  hashgt12el  14241  hashgt12el2  14242  hashfzo  14248  hashfzp1  14250  hashxplem  14252  hashmap  14254  hashbc  14269  hashf1lem2  14274  hashf1  14275  hash2pwpr  14294  wrdnfi  14355  lsw0g  14373  ccatlid  14393  ccatrid  14394  rev0  14575  repswsymballbi  14591  fsumconst  15601  incexclem  15647  incexc  15648  fprodconst  15787  sumodd  16196  hashgcdeq  16587  prmreclem4  16717  prmreclem5  16718  0hashbc  16805  ramz2  16822  cshws0  16900  psgnunilem2  19199  psgnunilem4  19201  psgn0fv0  19215  psgnsn  19224  psgnprfval1  19226  efginvrel2  19428  efgredleme  19444  efgcpbllemb  19456  frgpnabllem1  19569  gsumconst  19629  ltbwe  21350  fta1g  25437  fta1  25573  birthdaylem3  26208  ppi1  26418  musum  26445  rpvmasum  26779  umgrislfupgrlem  27780  lfuhgr1v0e  27909  vtxdg0e  28129  vtxdlfgrval  28140  rusgr1vtxlem  28242  wspn0  28576  rusgrnumwwlkl1  28620  rusgr0edg  28625  clwwlknonel  28746  clwwlknon1le1  28752  0ewlk  28765  0wlk  28767  0wlkon  28771  0pth  28776  0clwlk  28781  0crct  28784  0cycl  28785  eupth0  28865  eulerpathpr  28891  wlkl0  29018  f1ocnt  31408  hashxpe  31412  lvecdim0  31986  esumcst  32327  cntmeas  32490  ballotlemfval0  32760  signsvtn0  32847  signstfvneq0  32849  signstfveq0  32854  signsvf0  32857  lpadright  32962  derangsn  33429  subfacp1lem6  33444  poimirlem25  35958  poimirlem26  35959  poimirlem27  35960  poimirlem28  35961  rp-isfinite6  41499  fzisoeu  43226  upwordnul  44797