Theorem hash0 14416

Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hash0	⊢ (♯‘∅) = 0

Proof of Theorem hash0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. 2 ⊢ ∅ = ∅
2		0ex 5325	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		hasheq0 14412	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅)
5	1, 4	mpbir 231	1 ⊢ (♯‘∅) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  ∅c0 4352  ‘cfv 6573  0cc0 11184  ♯chash 14379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-hash 14380

This theorem is referenced by:  hashrabrsn  14421  hashrabsn01  14422  hashrabsn1  14423  hashge0  14436  elprchashprn2  14445  hash1  14453  hashsn01  14465  hashgt12el  14471  hashgt12el2  14472  hashfzo  14478  hashfzp1  14480  hashxplem  14482  hashmap  14484  hashbc  14502  hashf1lem2  14505  hashf1  14506  hash2pwpr  14525  wrdnfi  14596  lsw0g  14614  ccatlid  14634  ccatrid  14635  rev0  14812  repswsymballbi  14828  fsumconst  15838  incexclem  15884  incexc  15885  fprodconst  16026  sumodd  16436  hashgcdeq  16836  prmreclem4  16966  prmreclem5  16967  0hashbc  17054  ramz2  17071  cshws0  17149  psgnunilem2  19537  psgnunilem4  19539  psgn0fv0  19553  psgnsn  19562  psgnprfval1  19564  efginvrel2  19769  efgredleme  19785  efgcpbllemb  19797  frgpnabllem1  19915  gsumconst  19976  ltbwe  22085  fta1g  26229  fta1  26368  birthdaylem3  27014  ppi1  27225  musum  27252  rpvmasum  27588  umgrislfupgrlem  29157  lfuhgr1v0e  29289  vtxdg0e  29510  vtxdlfgrval  29521  rusgr1vtxlem  29623  wspn0  29957  rusgrnumwwlkl1  30001  rusgr0edg  30006  clwwlknonel  30127  clwwlknon1le1  30133  0ewlk  30146  0wlk  30148  0wlkon  30152  0pth  30157  0clwlk  30162  0crct  30165  0cycl  30166  eupth0  30246  eulerpathpr  30272  wlkl0  30399  f1ocnt  32807  hashxpe  32814  chnub  32984  1arithidom  33530  lvecdim0  33619  fldext2chn  33719  esumcst  34027  cntmeas  34190  ballotlemfval0  34460  signsvtn0  34547  signstfvneq0  34549  signstfveq0  34554  signsvf0  34557  lpadright  34661  derangsn  35138  subfacp1lem6  35153  poimirlem25  37605  poimirlem26  37606  poimirlem27  37607  poimirlem28  37608  unitscyglem4  42155  rp-isfinite6  43480  fzisoeu  45215  upwordnul  46799