Theorem hash0 14491

Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hash0	⊢ (♯‘∅) = 0

Proof of Theorem hash0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. 2 ⊢ ∅ = ∅
2		0ex 5261	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		hasheq0 14487	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅)
5	1, 4	mpbir 234	1 ⊢ (♯‘∅) = 0

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  ∅c0 4279  ‘cfv 6531  0cc0 11181  ♯chash 14454

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-hash 14455

This theorem is used by:  hashrabrsn  14496  hashrabsn01  14497  hashrabsn1  14498  hashge0  14511  elprchashprn2  14520  hash1  14528  hashsn01  14541  hashgt12el  14547  hashgt12el2  14548  hashfzo  14554  hashfzp1  14556  hashxplem  14558  hashmap  14560  hashbc  14578  hashf1lem2  14581  hashf1  14582  hash2pwpr  14601  wrdnfi  14673  lsw0g  14691  ccatlid  14712  ccatrid  14713  rev0  14893  repswsymballbi  14911  fsumconst  15936  incexclem  15985  incexc  15986  fprodconst  16125  sumodd  16538  hashgcdeq  16947  prmreclem4  17077  prmreclem5  17078  0hashbc  17165  ramz2  17182  cshws0  17259  chnub  18776  chnccats1  18779  chnccat  18780  psgnunilem2  19689  psgnunilem4  19691  psgn0fv0  19705  psgnsn  19714  psgnprfval1  19716  efginvrel2  19921  efgredleme  19937  efgcpbllemb  19949  frgpnabllem1  20067  gsumconst  20128  ltbwe  22333  fta1g  26468  fta1  26611  birthdaylem3  27263  ppi1  27473  musum  27500  rpvmasum  27835  umgrislfupgrlem  29682  lfuhgr1v0e  29817  vtxdg0e  30037  vtxdlfgrval  30048  rusgr1vtxlem  30150  wspn0  30495  rusgrnumwwlkl1  30542  rusgr0edg  30547  clwwlknonel  30668  clwwlknon1le1  30674  0ewlk  30687  0wlk  30689  0wlkon  30693  0pth  30698  0clwlk  30703  0crct  30706  0cycl  30707  eupth0  30797  eulerpathpr  30823  wlkl0  30950  f1ocnt  33374  hashxpe  33381  1arithidom  34051  esplyfval0  34178  vieta  34194  lvecdim0  34221  fldext2chn  34342  esumcst  34677  cntmeas  34841  ballotlemfval0  35111  signsvtn0  35182  signstfvneq0  35184  signstfveq0  35189  signsvf0  35192  lpadright  35299  derangsn  35904  subfacp1lem6  35919  poimirlem25  38531  poimirlem26  38532  poimirlem27  38533  poimirlem28  38534  unitscyglem4  43216  rp-isfinite6  44477  fzisoeu  46259  chnerlem1  47836