Theorem hash0 14292

Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hash0	⊢ (♯‘∅) = 0

Proof of Theorem hash0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. 2 ⊢ ∅ = ∅
2		0ex 5249	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		hasheq0 14288	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅)
5	1, 4	mpbir 231	1 ⊢ (♯‘∅) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438  ∅c0 4286  ‘cfv 6486  0cc0 11028  ♯chash 14255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-hash 14256

This theorem is referenced by:  hashrabrsn  14297  hashrabsn01  14298  hashrabsn1  14299  hashge0  14312  elprchashprn2  14321  hash1  14329  hashsn01  14341  hashgt12el  14347  hashgt12el2  14348  hashfzo  14354  hashfzp1  14356  hashxplem  14358  hashmap  14360  hashbc  14378  hashf1lem2  14381  hashf1  14382  hash2pwpr  14401  wrdnfi  14473  lsw0g  14491  ccatlid  14511  ccatrid  14512  rev0  14688  repswsymballbi  14704  fsumconst  15715  incexclem  15761  incexc  15762  fprodconst  15903  sumodd  16317  hashgcdeq  16719  prmreclem4  16849  prmreclem5  16850  0hashbc  16937  ramz2  16954  cshws0  17031  psgnunilem2  19392  psgnunilem4  19394  psgn0fv0  19408  psgnsn  19417  psgnprfval1  19419  efginvrel2  19624  efgredleme  19640  efgcpbllemb  19652  frgpnabllem1  19770  gsumconst  19831  ltbwe  21967  fta1g  26091  fta1  26232  birthdaylem3  26879  ppi1  27090  musum  27117  rpvmasum  27453  umgrislfupgrlem  29085  lfuhgr1v0e  29217  vtxdg0e  29438  vtxdlfgrval  29449  rusgr1vtxlem  29551  wspn0  29887  rusgrnumwwlkl1  29931  rusgr0edg  29936  clwwlknonel  30057  clwwlknon1le1  30063  0ewlk  30076  0wlk  30078  0wlkon  30082  0pth  30087  0clwlk  30092  0crct  30095  0cycl  30096  eupth0  30176  eulerpathpr  30202  wlkl0  30329  f1ocnt  32758  hashxpe  32765  chnub  32967  chnccats1  32970  1arithidom  33487  lvecdim0  33581  fldext2chn  33697  esumcst  34032  cntmeas  34195  ballotlemfval0  34466  signsvtn0  34540  signstfvneq0  34542  signstfveq0  34547  signsvf0  34550  lpadright  34654  derangsn  35145  subfacp1lem6  35160  poimirlem25  37627  poimirlem26  37628  poimirlem27  37629  poimirlem28  37630  unitscyglem4  42174  rp-isfinite6  43494  fzisoeu  45285  upwordnul  46865