Theorem hash0 13727

Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hash0	⊢ (♯‘∅) = 0

Proof of Theorem hash0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. 2 ⊢ ∅ = ∅
2		0ex 5210	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		hasheq0 13723	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅)
5	1, 4	mpbir 233	1 ⊢ (♯‘∅) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 208   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3494  ∅c0 4290  ‘cfv 6354  0cc0 10536  ♯chash 13689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12892  df-hash 13690

This theorem is referenced by:  hashrabrsn  13732  hashrabsn01  13733  hashrabsn1  13734  hashge0  13747  elprchashprn2  13756  hash1  13764  hashsn01  13776  hashgt12el  13782  hashgt12el2  13783  hashfzo  13789  hashfzp1  13791  hashxplem  13793  hashmap  13795  hashbc  13810  hashf1lem2  13813  hashf1  13814  hash2pwpr  13833  wrdnfi  13898  lsw0g  13917  ccatlid  13939  ccatrid  13940  rev0  14125  repswsymballbi  14141  fsumconst  15144  incexclem  15190  incexc  15191  fprodconst  15331  sumodd  15738  hashgcdeq  16125  prmreclem4  16254  prmreclem5  16255  0hashbc  16342  ramz2  16359  cshws0  16434  psgnunilem2  18622  psgnunilem4  18624  psgn0fv0  18638  psgnsn  18647  psgnprfval1  18649  efginvrel2  18852  efgredleme  18868  efgcpbllemb  18880  frgpnabllem1  18992  gsumconst  19053  ltbwe  20252  fta1g  24760  fta1  24896  birthdaylem3  25530  ppi1  25740  musum  25767  rpvmasum  26101  umgrislfupgrlem  26906  lfuhgr1v0e  27035  vtxdg0e  27255  vtxdlfgrval  27266  rusgr1vtxlem  27368  wspn0  27702  rusgrnumwwlkl1  27746  rusgr0edg  27751  clwwlknonel  27873  clwwlknon1le1  27879  0ewlk  27892  0wlk  27894  0wlkon  27898  0pth  27903  0clwlk  27908  0crct  27911  0cycl  27912  eupth0  27992  eulerpathpr  28018  wlkl0  28145  f1ocnt  30524  hashxpe  30528  lvecdim0  31005  esumcst  31322  cntmeas  31485  ballotlemfval0  31753  signsvtn0  31840  signstfvneq0  31842  signstfveq0  31847  signsvf0  31850  lpadright  31955  derangsn  32417  subfacp1lem6  32432  poimirlem25  34916  poimirlem26  34917  poimirlem27  34918  poimirlem28  34919  rp-isfinite6  39882  fzisoeu  41565