Theorem hash0 14329

Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hash0	⊢ (♯‘∅) = 0

Proof of Theorem hash0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. 2 ⊢ ∅ = ∅
2		0ex 5242	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		hasheq0 14325	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅)
5	1, 4	mpbir 231	1 ⊢ (♯‘∅) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429  ∅c0 4273  ‘cfv 6498  0cc0 11038  ♯chash 14292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-hash 14293

This theorem is referenced by:  hashrabrsn  14334  hashrabsn01  14335  hashrabsn1  14336  hashge0  14349  elprchashprn2  14358  hash1  14366  hashsn01  14378  hashgt12el  14384  hashgt12el2  14385  hashfzo  14391  hashfzp1  14393  hashxplem  14395  hashmap  14397  hashbc  14415  hashf1lem2  14418  hashf1  14419  hash2pwpr  14438  wrdnfi  14510  lsw0g  14528  ccatlid  14549  ccatrid  14550  rev0  14726  repswsymballbi  14742  fsumconst  15752  incexclem  15801  incexc  15802  fprodconst  15943  sumodd  16357  hashgcdeq  16760  prmreclem4  16890  prmreclem5  16891  0hashbc  16978  ramz2  16995  cshws0  17072  chnub  18588  chnccats1  18591  chnccat  18592  psgnunilem2  19470  psgnunilem4  19472  psgn0fv0  19486  psgnsn  19495  psgnprfval1  19497  efginvrel2  19702  efgredleme  19718  efgcpbllemb  19730  frgpnabllem1  19848  gsumconst  19909  ltbwe  22022  fta1g  26135  fta1  26274  birthdaylem3  26917  ppi1  27127  musum  27154  rpvmasum  27489  umgrislfupgrlem  29191  lfuhgr1v0e  29323  vtxdg0e  29543  vtxdlfgrval  29554  rusgr1vtxlem  29656  wspn0  29992  rusgrnumwwlkl1  30039  rusgr0edg  30044  clwwlknonel  30165  clwwlknon1le1  30171  0ewlk  30184  0wlk  30186  0wlkon  30190  0pth  30195  0clwlk  30200  0crct  30203  0cycl  30204  eupth0  30284  eulerpathpr  30310  wlkl0  30437  f1ocnt  32873  hashxpe  32880  1arithidom  33597  esplyfval0  33708  vieta  33724  lvecdim0  33751  fldext2chn  33872  esumcst  34207  cntmeas  34370  ballotlemfval0  34640  signsvtn0  34714  signstfvneq0  34716  signstfveq0  34721  signsvf0  34724  lpadright  34828  derangsn  35352  subfacp1lem6  35367  poimirlem25  37966  poimirlem26  37967  poimirlem27  37968  poimirlem28  37969  unitscyglem4  42637  rp-isfinite6  43945  fzisoeu  45733  chnerlem1  47312