Theorem hash0 14423

Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hash0	⊢ (♯‘∅) = 0

Proof of Theorem hash0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. 2 ⊢ ∅ = ∅
2		0ex 5275	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		hasheq0 14419	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅)
5	1, 4	mpbir 234	1 ⊢ (♯‘∅) = 0

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458  ∅c0 4289  ‘cfv 6543  0cc0 11118  ♯chash 14386

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-hash 14387

This theorem is used by:  hashrabrsn  14428  hashrabsn01  14429  hashrabsn1  14430  hashge0  14443  elprchashprn2  14452  hash1  14460  hashsn01  14473  hashgt12el  14479  hashgt12el2  14480  hashfzo  14486  hashfzp1  14488  hashxplem  14490  hashmap  14492  hashbc  14510  hashf1lem2  14513  hashf1  14514  hash2pwpr  14533  wrdnfi  14605  lsw0g  14623  ccatlid  14644  ccatrid  14645  rev0  14825  repswsymballbi  14843  fsumconst  15867  incexclem  15916  incexc  15917  fprodconst  16058  sumodd  16471  hashgcdeq  16874  prmreclem4  17004  prmreclem5  17005  0hashbc  17092  ramz2  17109  cshws0  17186  chnub  18703  chnccats1  18706  chnccat  18707  psgnunilem2  19596  psgnunilem4  19598  psgn0fv0  19612  psgnsn  19621  psgnprfval1  19623  efginvrel2  19828  efgredleme  19844  efgcpbllemb  19856  frgpnabllem1  19974  gsumconst  20035  ltbwe  22232  fta1g  26364  fta1  26506  birthdaylem3  27155  ppi1  27365  musum  27392  rpvmasum  27727  umgrislfupgrlem  29509  lfuhgr1v0e  29641  vtxdg0e  29861  vtxdlfgrval  29872  rusgr1vtxlem  29974  wspn0  30310  rusgrnumwwlkl1  30357  rusgr0edg  30362  clwwlknonel  30483  clwwlknon1le1  30489  0ewlk  30502  0wlk  30504  0wlkon  30508  0pth  30513  0clwlk  30518  0crct  30521  0cycl  30522  eupth0  30602  eulerpathpr  30628  wlkl0  30755  f1ocnt  33182  hashxpe  33189  1arithidom  33858  esplyfval0  33985  vieta  34001  lvecdim0  34028  fldext2chn  34149  esumcst  34484  cntmeas  34648  ballotlemfval0  34918  signsvtn0  34989  signstfvneq0  34991  signstfveq0  34996  signsvf0  34999  lpadright  35106  derangsn  35683  subfacp1lem6  35698  poimirlem25  38337  poimirlem26  38338  poimirlem27  38339  poimirlem28  38340  unitscyglem4  43006  rp-isfinite6  44285  fzisoeu  46060  chnerlem1  47639