Theorem hash0 14010

Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hash0	⊢ (♯‘∅) = 0

Proof of Theorem hash0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. 2 ⊢ ∅ = ∅
2		0ex 5226	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		hasheq0 14006	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅)
5	1, 4	mpbir 230	1 ⊢ (♯‘∅) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  ∅c0 4253  ‘cfv 6418  0cc0 10802  ♯chash 13972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-hash 13973

This theorem is referenced by:  hashrabrsn  14015  hashrabsn01  14016  hashrabsn1  14017  hashge0  14030  elprchashprn2  14039  hash1  14047  hashsn01  14059  hashgt12el  14065  hashgt12el2  14066  hashfzo  14072  hashfzp1  14074  hashxplem  14076  hashmap  14078  hashbc  14093  hashf1lem2  14098  hashf1  14099  hash2pwpr  14118  wrdnfi  14179  lsw0g  14197  ccatlid  14219  ccatrid  14220  rev0  14405  repswsymballbi  14421  fsumconst  15430  incexclem  15476  incexc  15477  fprodconst  15616  sumodd  16025  hashgcdeq  16418  prmreclem4  16548  prmreclem5  16549  0hashbc  16636  ramz2  16653  cshws0  16731  psgnunilem2  19018  psgnunilem4  19020  psgn0fv0  19034  psgnsn  19043  psgnprfval1  19045  efginvrel2  19248  efgredleme  19264  efgcpbllemb  19276  frgpnabllem1  19389  gsumconst  19450  ltbwe  21155  fta1g  25237  fta1  25373  birthdaylem3  26008  ppi1  26218  musum  26245  rpvmasum  26579  umgrislfupgrlem  27395  lfuhgr1v0e  27524  vtxdg0e  27744  vtxdlfgrval  27755  rusgr1vtxlem  27857  wspn0  28190  rusgrnumwwlkl1  28234  rusgr0edg  28239  clwwlknonel  28360  clwwlknon1le1  28366  0ewlk  28379  0wlk  28381  0wlkon  28385  0pth  28390  0clwlk  28395  0crct  28398  0cycl  28399  eupth0  28479  eulerpathpr  28505  wlkl0  28632  f1ocnt  31025  hashxpe  31029  lvecdim0  31592  esumcst  31931  cntmeas  32094  ballotlemfval0  32362  signsvtn0  32449  signstfvneq0  32451  signstfveq0  32456  signsvf0  32459  lpadright  32564  derangsn  33032  subfacp1lem6  33047  poimirlem25  35729  poimirlem26  35730  poimirlem27  35731  poimirlem28  35732  rp-isfinite6  41023  fzisoeu  42729