Theorem hash0 14391

Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hash0	⊢ (♯‘∅) = 0

Proof of Theorem hash0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. 2 ⊢ ∅ = ∅
2		0ex 5261	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		hasheq0 14387	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅)
5	1, 4	mpbir 234	1 ⊢ (♯‘∅) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457  ∅c0 4288  ‘cfv 6525  0cc0 11088  ♯chash 14354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-hash 14355

This theorem is referenced by:  hashrabrsn  14396  hashrabsn01  14397  hashrabsn1  14398  hashge0  14411  elprchashprn2  14420  hash1  14428  hashsn01  14441  hashgt12el  14447  hashgt12el2  14448  hashfzo  14454  hashfzp1  14456  hashxplem  14458  hashmap  14460  hashbc  14478  hashf1lem2  14481  hashf1  14482  hash2pwpr  14501  wrdnfi  14573  lsw0g  14591  ccatlid  14612  ccatrid  14613  rev0  14789  repswsymballbi  14805  fsumconst  15829  incexclem  15878  incexc  15879  fprodconst  16020  sumodd  16434  hashgcdeq  16837  prmreclem4  16967  prmreclem5  16968  0hashbc  17055  ramz2  17072  cshws0  17149  chnub  18666  chnccats1  18669  chnccat  18670  psgnunilem2  19553  psgnunilem4  19555  psgn0fv0  19569  psgnsn  19578  psgnprfval1  19580  efginvrel2  19785  efgredleme  19801  efgcpbllemb  19813  frgpnabllem1  19931  gsumconst  19992  ltbwe  22152  fta1g  26284  fta1  26426  birthdaylem3  27072  ppi1  27282  musum  27309  rpvmasum  27644  umgrislfupgrlem  29377  lfuhgr1v0e  29509  vtxdg0e  29729  vtxdlfgrval  29740  rusgr1vtxlem  29842  wspn0  30178  rusgrnumwwlkl1  30225  rusgr0edg  30230  clwwlknonel  30351  clwwlknon1le1  30357  0ewlk  30370  0wlk  30372  0wlkon  30376  0pth  30381  0clwlk  30386  0crct  30389  0cycl  30390  eupth0  30470  eulerpathpr  30496  wlkl0  30623  f1ocnt  33053  hashxpe  33060  1arithidom  33739  esplyfval0  33866  vieta  33882  lvecdim0  33909  fldext2chn  34030  esumcst  34365  cntmeas  34528  ballotlemfval0  34798  signsvtn0  34869  signstfvneq0  34871  signstfveq0  34876  signsvf0  34879  lpadright  34986  derangsn  35528  subfacp1lem6  35543  poimirlem25  38151  poimirlem26  38152  poimirlem27  38153  poimirlem28  38154  unitscyglem4  42822  rp-isfinite6  44101  fzisoeu  45878  chnerlem1  47457