Theorem hash0 14541

Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hash0	⊢ (♯‘∅) = 0

Proof of Theorem hash0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. 2 ⊢ ∅ = ∅
2		0ex 5265	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		hasheq0 14537	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅)
5	1, 4	mpbir 234	1 ⊢ (♯‘∅) = 0

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ∅c0 4281  ‘cfv 6561  0cc0 11230  ♯chash 14504

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-fz 13670  df-hash 14505

This theorem is used by:  hashrabrsn  14546  hashrabsn01  14547  hashrabsn1  14548  hashge0  14561  elprchashprn2  14570  hash1  14578  hashsn01  14591  hashgt12el  14597  hashgt12el2  14598  hashfzo  14604  hashfzp1  14606  hashxplem  14608  hashmap  14610  hashbc  14628  hashf1lem2  14631  hashf1  14632  hash2pwpr  14651  wrdnfi  14723  lsw0g  14741  ccatlid  14762  ccatrid  14763  rev0  14944  repswsymballbi  14962  fsumconst  15988  incexclem  16037  incexc  16038  fprodconst  16177  sumodd  16590  hashgcdeq  16999  prmreclem4  17129  prmreclem5  17130  0hashbc  17217  ramz2  17234  cshws0  17311  chnub  18828  chnccats1  18831  chnccat  18832  psgnunilem2  19742  psgnunilem4  19744  psgn0fv0  19758  psgnsn  19767  psgnprfval1  19769  efginvrel2  19974  efgredleme  19990  efgcpbllemb  20002  frgpnabllem1  20120  gsumconst  20181  ltbwe  22386  fta1g  26521  fta1  26662  birthdaylem3  27314  ppi1  27524  musum  27551  rpvmasum  27886  umgrislfupgrlem  29733  lfuhgr1v0e  29868  vtxdg0e  30088  vtxdlfgrval  30099  rusgr1vtxlem  30201  wspn0  30546  rusgrnumwwlkl1  30593  rusgr0edg  30598  clwwlknonel  30719  clwwlknon1le1  30725  0ewlk  30738  0wlk  30740  0wlkon  30744  0pth  30749  0clwlk  30754  0crct  30757  0cycl  30758  eupth0  30848  eulerpathpr  30874  wlkl0  31001  f1ocnt  33465  hashxpe  33472  1arithidom  34153  esplyfval0  34279  vieta  34295  lvecdim0  34322  fldext2chn  34443  esumcst  34778  cntmeas  34942  ballotlemfval0  35211  signsvtn0  35282  signstfvneq0  35284  signstfveq0  35289  signsvf0  35292  lpadright  35399  derangsn  36115  subfacp1lem6  36130  poimirlem25  38768  poimirlem26  38769  poimirlem27  38770  poimirlem28  38771  unitscyglem4  43451  rp-isfinite6  44722  fzisoeu  46531  chnerlem1  48107