Theorem hash0 14366

Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hash0	⊢ (♯‘∅) = 0

Proof of Theorem hash0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2752	. 2 ⊢ ∅ = ∅
2		0ex 5247	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		hasheq0 14362	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅)
5	1, 4	mpbir 233	1 ⊢ (♯‘∅) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 208   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  Vcvv 3444  ∅c0 4276  ‘cfv 6506  0cc0 11059  ♯chash 14329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-card 9883  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-n0 12468  df-z 12555  df-uz 12826  df-fz 13499  df-hash 14330

This theorem is referenced by:  hashrabrsn  14371  hashrabsn01  14372  hashrabsn1  14373  hashge0  14386  elprchashprn2  14395  hash1  14403  hashsn01  14415  hashgt12el  14421  hashgt12el2  14422  hashfzo  14428  hashfzp1  14430  hashxplem  14432  hashmap  14434  hashbc  14452  hashf1lem2  14455  hashf1  14456  hash2pwpr  14475  wrdnfi  14547  lsw0g  14565  ccatlid  14586  ccatrid  14587  rev0  14763  repswsymballbi  14779  fsumconst  15789  incexclem  15838  incexc  15839  fprodconst  15980  sumodd  16394  hashgcdeq  16797  prmreclem4  16927  prmreclem5  16928  0hashbc  17015  ramz2  17032  cshws0  17109  chnub  18626  chnccats1  18629  chnccat  18630  psgnunilem2  19507  psgnunilem4  19509  psgn0fv0  19523  psgnsn  19532  psgnprfval1  19534  efginvrel2  19739  efgredleme  19755  efgcpbllemb  19767  frgpnabllem1  19885  gsumconst  19946  ltbwe  22066  fta1g  26199  fta1  26338  birthdaylem3  26984  ppi1  27194  musum  27221  rpvmasum  27556  umgrislfupgrlem  29258  lfuhgr1v0e  29390  vtxdg0e  29610  vtxdlfgrval  29621  rusgr1vtxlem  29723  wspn0  30059  rusgrnumwwlkl1  30106  rusgr0edg  30111  clwwlknonel  30232  clwwlknon1le1  30238  0ewlk  30251  0wlk  30253  0wlkon  30257  0pth  30262  0clwlk  30267  0crct  30270  0cycl  30271  eupth0  30351  eulerpathpr  30377  wlkl0  30504  f1ocnt  32941  hashxpe  32948  1arithidom  33677  esplyfval0  33805  vieta  33821  lvecdim0  33848  fldext2chn  33969  esumcst  34304  cntmeas  34467  ballotlemfval0  34737  signsvtn0  34811  signstfvneq0  34813  signstfveq0  34818  signsvf0  34821  lpadright  34928  derangsn  35458  subfacp1lem6  35473  poimirlem25  38082  poimirlem26  38083  poimirlem27  38084  poimirlem28  38085  unitscyglem4  42753  rp-isfinite6  44032  fzisoeu  45817  chnerlem1  47396