Theorem hash0 14082

Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hash0	⊢ (♯‘∅) = 0

Proof of Theorem hash0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. 2 ⊢ ∅ = ∅
2		0ex 5231	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		hasheq0 14078	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅)
5	1, 4	mpbir 230	1 ⊢ (♯‘∅) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432  ∅c0 4256  ‘cfv 6433  0cc0 10871  ♯chash 14044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-hash 14045

This theorem is referenced by:  hashrabrsn  14087  hashrabsn01  14088  hashrabsn1  14089  hashge0  14102  elprchashprn2  14111  hash1  14119  hashsn01  14131  hashgt12el  14137  hashgt12el2  14138  hashfzo  14144  hashfzp1  14146  hashxplem  14148  hashmap  14150  hashbc  14165  hashf1lem2  14170  hashf1  14171  hash2pwpr  14190  wrdnfi  14251  lsw0g  14269  ccatlid  14291  ccatrid  14292  rev0  14477  repswsymballbi  14493  fsumconst  15502  incexclem  15548  incexc  15549  fprodconst  15688  sumodd  16097  hashgcdeq  16490  prmreclem4  16620  prmreclem5  16621  0hashbc  16708  ramz2  16725  cshws0  16803  psgnunilem2  19103  psgnunilem4  19105  psgn0fv0  19119  psgnsn  19128  psgnprfval1  19130  efginvrel2  19333  efgredleme  19349  efgcpbllemb  19361  frgpnabllem1  19474  gsumconst  19535  ltbwe  21245  fta1g  25332  fta1  25468  birthdaylem3  26103  ppi1  26313  musum  26340  rpvmasum  26674  umgrislfupgrlem  27492  lfuhgr1v0e  27621  vtxdg0e  27841  vtxdlfgrval  27852  rusgr1vtxlem  27954  wspn0  28289  rusgrnumwwlkl1  28333  rusgr0edg  28338  clwwlknonel  28459  clwwlknon1le1  28465  0ewlk  28478  0wlk  28480  0wlkon  28484  0pth  28489  0clwlk  28494  0crct  28497  0cycl  28498  eupth0  28578  eulerpathpr  28604  wlkl0  28731  f1ocnt  31123  hashxpe  31127  lvecdim0  31690  esumcst  32031  cntmeas  32194  ballotlemfval0  32462  signsvtn0  32549  signstfvneq0  32551  signstfveq0  32556  signsvf0  32559  lpadright  32664  derangsn  33132  subfacp1lem6  33147  poimirlem25  35802  poimirlem26  35803  poimirlem27  35804  poimirlem28  35805  rp-isfinite6  41125  fzisoeu  42839  upwordnul  46515