Theorem hash0 14323

Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hash0	⊢ (♯‘∅) = 0

Proof of Theorem hash0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. 2 ⊢ ∅ = ∅
2		0ex 5306	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		hasheq0 14319	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅)
5	1, 4	mpbir 230	1 ⊢ (♯‘∅) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  ∅c0 4321  ‘cfv 6540  0cc0 11106  ♯chash 14286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-hash 14287

This theorem is referenced by:  hashrabrsn  14328  hashrabsn01  14329  hashrabsn1  14330  hashge0  14343  elprchashprn2  14352  hash1  14360  hashsn01  14372  hashgt12el  14378  hashgt12el2  14379  hashfzo  14385  hashfzp1  14387  hashxplem  14389  hashmap  14391  hashbc  14408  hashf1lem2  14413  hashf1  14414  hash2pwpr  14433  wrdnfi  14494  lsw0g  14512  ccatlid  14532  ccatrid  14533  rev0  14710  repswsymballbi  14726  fsumconst  15732  incexclem  15778  incexc  15779  fprodconst  15918  sumodd  16327  hashgcdeq  16718  prmreclem4  16848  prmreclem5  16849  0hashbc  16936  ramz2  16953  cshws0  17031  psgnunilem2  19357  psgnunilem4  19359  psgn0fv0  19373  psgnsn  19382  psgnprfval1  19384  efginvrel2  19589  efgredleme  19605  efgcpbllemb  19617  frgpnabllem1  19735  gsumconst  19796  ltbwe  21590  fta1g  25676  fta1  25812  birthdaylem3  26447  ppi1  26657  musum  26684  rpvmasum  27018  umgrislfupgrlem  28371  lfuhgr1v0e  28500  vtxdg0e  28720  vtxdlfgrval  28731  rusgr1vtxlem  28833  wspn0  29167  rusgrnumwwlkl1  29211  rusgr0edg  29216  clwwlknonel  29337  clwwlknon1le1  29343  0ewlk  29356  0wlk  29358  0wlkon  29362  0pth  29367  0clwlk  29372  0crct  29375  0cycl  29376  eupth0  29456  eulerpathpr  29482  wlkl0  29609  f1ocnt  32000  hashxpe  32006  lvecdim0  32679  esumcst  33049  cntmeas  33212  ballotlemfval0  33482  signsvtn0  33569  signstfvneq0  33571  signstfveq0  33576  signsvf0  33579  lpadright  33684  derangsn  34149  subfacp1lem6  34164  poimirlem25  36501  poimirlem26  36502  poimirlem27  36503  poimirlem28  36504  rp-isfinite6  42254  fzisoeu  43996  upwordnul  45580