Theorem hash0 14384

Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hash0	⊢ (♯‘∅) = 0

Proof of Theorem hash0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2726	. 2 ⊢ ∅ = ∅
2		0ex 5312	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		hasheq0 14380	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅)
5	1, 4	mpbir 230	1 ⊢ (♯‘∅) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3462  ∅c0 4325  ‘cfv 6554  0cc0 11158  ♯chash 14347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-hash 14348

This theorem is referenced by:  hashrabrsn  14389  hashrabsn01  14390  hashrabsn1  14391  hashge0  14404  elprchashprn2  14413  hash1  14421  hashsn01  14433  hashgt12el  14439  hashgt12el2  14440  hashfzo  14446  hashfzp1  14448  hashxplem  14450  hashmap  14452  hashbc  14470  hashf1lem2  14475  hashf1  14476  hash2pwpr  14495  wrdnfi  14556  lsw0g  14574  ccatlid  14594  ccatrid  14595  rev0  14772  repswsymballbi  14788  fsumconst  15794  incexclem  15840  incexc  15841  fprodconst  15980  sumodd  16390  hashgcdeq  16791  prmreclem4  16921  prmreclem5  16922  0hashbc  17009  ramz2  17026  cshws0  17104  psgnunilem2  19493  psgnunilem4  19495  psgn0fv0  19509  psgnsn  19518  psgnprfval1  19520  efginvrel2  19725  efgredleme  19741  efgcpbllemb  19753  frgpnabllem1  19871  gsumconst  19932  ltbwe  22051  fta1g  26197  fta1  26336  birthdaylem3  26981  ppi1  27192  musum  27219  rpvmasum  27555  umgrislfupgrlem  29058  lfuhgr1v0e  29190  vtxdg0e  29411  vtxdlfgrval  29422  rusgr1vtxlem  29524  wspn0  29858  rusgrnumwwlkl1  29902  rusgr0edg  29907  clwwlknonel  30028  clwwlknon1le1  30034  0ewlk  30047  0wlk  30049  0wlkon  30053  0pth  30058  0clwlk  30063  0crct  30066  0cycl  30067  eupth0  30147  eulerpathpr  30173  wlkl0  30300  f1ocnt  32704  hashxpe  32711  chnub  32881  1arithidom  33412  lvecdim0  33501  fldext2chn  33606  esumcst  33896  cntmeas  34059  ballotlemfval0  34329  signsvtn0  34416  signstfvneq0  34418  signstfveq0  34423  signsvf0  34426  lpadright  34530  derangsn  34998  subfacp1lem6  35013  poimirlem25  37346  poimirlem26  37347  poimirlem27  37348  poimirlem28  37349  rp-isfinite6  43185  fzisoeu  44915  upwordnul  46499