Theorem hash0 14389

Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hash0	⊢ (♯‘∅) = 0

Proof of Theorem hash0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. 2 ⊢ ∅ = ∅
2		0ex 5289	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		hasheq0 14385	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅)
5	1, 4	mpbir 231	1 ⊢ (♯‘∅) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3464  ∅c0 4315  ‘cfv 6542  0cc0 11138  ♯chash 14352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-er 8728  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12250  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12862  df-fz 13531  df-hash 14353

This theorem is referenced by:  hashrabrsn  14394  hashrabsn01  14395  hashrabsn1  14396  hashge0  14409  elprchashprn2  14418  hash1  14426  hashsn01  14438  hashgt12el  14444  hashgt12el2  14445  hashfzo  14451  hashfzp1  14453  hashxplem  14455  hashmap  14457  hashbc  14475  hashf1lem2  14478  hashf1  14479  hash2pwpr  14498  wrdnfi  14569  lsw0g  14587  ccatlid  14607  ccatrid  14608  rev0  14785  repswsymballbi  14801  fsumconst  15809  incexclem  15855  incexc  15856  fprodconst  15997  sumodd  16408  hashgcdeq  16810  prmreclem4  16940  prmreclem5  16941  0hashbc  17028  ramz2  17045  cshws0  17122  psgnunilem2  19486  psgnunilem4  19488  psgn0fv0  19502  psgnsn  19511  psgnprfval1  19513  efginvrel2  19718  efgredleme  19734  efgcpbllemb  19746  frgpnabllem1  19864  gsumconst  19925  ltbwe  22029  fta1g  26164  fta1  26305  birthdaylem3  26951  ppi1  27162  musum  27189  rpvmasum  27525  umgrislfupgrlem  29086  lfuhgr1v0e  29218  vtxdg0e  29439  vtxdlfgrval  29450  rusgr1vtxlem  29552  wspn0  29891  rusgrnumwwlkl1  29935  rusgr0edg  29940  clwwlknonel  30061  clwwlknon1le1  30067  0ewlk  30080  0wlk  30082  0wlkon  30086  0pth  30091  0clwlk  30096  0crct  30099  0cycl  30100  eupth0  30180  eulerpathpr  30206  wlkl0  30333  f1ocnt  32751  hashxpe  32758  chnub  32948  chnccats1  32951  1arithidom  33506  lvecdim0  33598  fldext2chn  33710  esumcst  34005  cntmeas  34168  ballotlemfval0  34439  signsvtn0  34526  signstfvneq0  34528  signstfveq0  34533  signsvf0  34536  lpadright  34640  derangsn  35116  subfacp1lem6  35131  poimirlem25  37593  poimirlem26  37594  poimirlem27  37595  poimirlem28  37596  unitscyglem4  42140  rp-isfinite6  43476  fzisoeu  45257  upwordnul  46840