Theorem hash0 14320

Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hash0	⊢ (♯‘∅) = 0

Proof of Theorem hash0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. 2 ⊢ ∅ = ∅
2		0ex 5242	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		hasheq0 14316	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅)
5	1, 4	mpbir 231	1 ⊢ (♯‘∅) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ∅c0 4274  ‘cfv 6492  0cc0 11029  ♯chash 14283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-hash 14284

This theorem is referenced by:  hashrabrsn  14325  hashrabsn01  14326  hashrabsn1  14327  hashge0  14340  elprchashprn2  14349  hash1  14357  hashsn01  14369  hashgt12el  14375  hashgt12el2  14376  hashfzo  14382  hashfzp1  14384  hashxplem  14386  hashmap  14388  hashbc  14406  hashf1lem2  14409  hashf1  14410  hash2pwpr  14429  wrdnfi  14501  lsw0g  14519  ccatlid  14540  ccatrid  14541  rev0  14717  repswsymballbi  14733  fsumconst  15743  incexclem  15792  incexc  15793  fprodconst  15934  sumodd  16348  hashgcdeq  16751  prmreclem4  16881  prmreclem5  16882  0hashbc  16969  ramz2  16986  cshws0  17063  chnub  18579  chnccats1  18582  chnccat  18583  psgnunilem2  19461  psgnunilem4  19463  psgn0fv0  19477  psgnsn  19486  psgnprfval1  19488  efginvrel2  19693  efgredleme  19709  efgcpbllemb  19721  frgpnabllem1  19839  gsumconst  19900  ltbwe  22032  fta1g  26145  fta1  26285  birthdaylem3  26930  ppi1  27141  musum  27168  rpvmasum  27503  umgrislfupgrlem  29205  lfuhgr1v0e  29337  vtxdg0e  29558  vtxdlfgrval  29569  rusgr1vtxlem  29671  wspn0  30007  rusgrnumwwlkl1  30054  rusgr0edg  30059  clwwlknonel  30180  clwwlknon1le1  30186  0ewlk  30199  0wlk  30201  0wlkon  30205  0pth  30210  0clwlk  30215  0crct  30218  0cycl  30219  eupth0  30299  eulerpathpr  30325  wlkl0  30452  f1ocnt  32888  hashxpe  32895  1arithidom  33612  esplyfval0  33723  vieta  33739  lvecdim0  33766  fldext2chn  33888  esumcst  34223  cntmeas  34386  ballotlemfval0  34656  signsvtn0  34730  signstfvneq0  34732  signstfveq0  34737  signsvf0  34740  lpadright  34844  derangsn  35368  subfacp1lem6  35383  poimirlem25  37980  poimirlem26  37981  poimirlem27  37982  poimirlem28  37983  unitscyglem4  42651  rp-isfinite6  43963  fzisoeu  45751  chnerlem1  47328