Theorem hash0 14274

Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hash0	⊢ (♯‘∅) = 0

Proof of Theorem hash0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. 2 ⊢ ∅ = ∅
2		0ex 5245	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		hasheq0 14270	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅)
5	1, 4	mpbir 231	1 ⊢ (♯‘∅) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ∅c0 4283  ‘cfv 6481  0cc0 11006  ♯chash 14237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-hash 14238

This theorem is referenced by:  hashrabrsn  14279  hashrabsn01  14280  hashrabsn1  14281  hashge0  14294  elprchashprn2  14303  hash1  14311  hashsn01  14323  hashgt12el  14329  hashgt12el2  14330  hashfzo  14336  hashfzp1  14338  hashxplem  14340  hashmap  14342  hashbc  14360  hashf1lem2  14363  hashf1  14364  hash2pwpr  14383  wrdnfi  14455  lsw0g  14473  ccatlid  14494  ccatrid  14495  rev0  14671  repswsymballbi  14687  fsumconst  15697  incexclem  15743  incexc  15744  fprodconst  15885  sumodd  16299  hashgcdeq  16701  prmreclem4  16831  prmreclem5  16832  0hashbc  16919  ramz2  16936  cshws0  17013  chnub  18528  chnccats1  18531  chnccat  18532  psgnunilem2  19408  psgnunilem4  19410  psgn0fv0  19424  psgnsn  19433  psgnprfval1  19435  efginvrel2  19640  efgredleme  19656  efgcpbllemb  19668  frgpnabllem1  19786  gsumconst  19847  ltbwe  21980  fta1g  26103  fta1  26244  birthdaylem3  26891  ppi1  27102  musum  27129  rpvmasum  27465  umgrislfupgrlem  29101  lfuhgr1v0e  29233  vtxdg0e  29454  vtxdlfgrval  29465  rusgr1vtxlem  29567  wspn0  29903  rusgrnumwwlkl1  29947  rusgr0edg  29952  clwwlknonel  30073  clwwlknon1le1  30079  0ewlk  30092  0wlk  30094  0wlkon  30098  0pth  30103  0clwlk  30108  0crct  30111  0cycl  30112  eupth0  30192  eulerpathpr  30218  wlkl0  30345  f1ocnt  32780  hashxpe  32787  1arithidom  33500  lvecdim0  33617  fldext2chn  33739  esumcst  34074  cntmeas  34237  ballotlemfval0  34507  signsvtn0  34581  signstfvneq0  34583  signstfveq0  34588  signsvf0  34591  lpadright  34695  derangsn  35212  subfacp1lem6  35227  poimirlem25  37691  poimirlem26  37692  poimirlem27  37693  poimirlem28  37694  unitscyglem4  42237  rp-isfinite6  43557  fzisoeu  45347