Theorem hash0 13724

Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hash0	⊢ (♯‘∅) = 0

Proof of Theorem hash0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2798	. 2 ⊢ ∅ = ∅
2		0ex 5175	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		hasheq0 13720	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅)
5	1, 4	mpbir 234	1 ⊢ (♯‘∅) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441  ∅c0 4243  ‘cfv 6324  0cc0 10526  ♯chash 13686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-hash 13687

This theorem is referenced by:  hashrabrsn  13729  hashrabsn01  13730  hashrabsn1  13731  hashge0  13744  elprchashprn2  13753  hash1  13761  hashsn01  13773  hashgt12el  13779  hashgt12el2  13780  hashfzo  13786  hashfzp1  13788  hashxplem  13790  hashmap  13792  hashbc  13807  hashf1lem2  13810  hashf1  13811  hash2pwpr  13830  wrdnfi  13891  lsw0g  13909  ccatlid  13931  ccatrid  13932  rev0  14117  repswsymballbi  14133  fsumconst  15137  incexclem  15183  incexc  15184  fprodconst  15324  sumodd  15729  hashgcdeq  16116  prmreclem4  16245  prmreclem5  16246  0hashbc  16333  ramz2  16350  cshws0  16427  psgnunilem2  18615  psgnunilem4  18617  psgn0fv0  18631  psgnsn  18640  psgnprfval1  18642  efginvrel2  18845  efgredleme  18861  efgcpbllemb  18873  frgpnabllem1  18986  gsumconst  19047  ltbwe  20712  fta1g  24768  fta1  24904  birthdaylem3  25539  ppi1  25749  musum  25776  rpvmasum  26110  umgrislfupgrlem  26915  lfuhgr1v0e  27044  vtxdg0e  27264  vtxdlfgrval  27275  rusgr1vtxlem  27377  wspn0  27710  rusgrnumwwlkl1  27754  rusgr0edg  27759  clwwlknonel  27880  clwwlknon1le1  27886  0ewlk  27899  0wlk  27901  0wlkon  27905  0pth  27910  0clwlk  27915  0crct  27918  0cycl  27919  eupth0  27999  eulerpathpr  28025  wlkl0  28152  f1ocnt  30551  hashxpe  30555  lvecdim0  31093  esumcst  31432  cntmeas  31595  ballotlemfval0  31863  signsvtn0  31950  signstfvneq0  31952  signstfveq0  31957  signsvf0  31960  lpadright  32065  derangsn  32530  subfacp1lem6  32545  poimirlem25  35082  poimirlem26  35083  poimirlem27  35084  poimirlem28  35085  rp-isfinite6  40226  fzisoeu  41932