MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hash0 14273
Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hash0 (♯‘∅) = 0

Proof of Theorem hash0
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . 2 ∅ = ∅
2 0ex 5265 . . 3 ∅ ∈ V
3 hasheq0 14269 . . 3 (∅ ∈ V → ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅))
42, 3ax-mp 5 . 2 ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅)
51, 4mpbir 230 1 (♯‘∅) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3444  c0 4283  cfv 6497  0cc0 11056  chash 14236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-hash 14237
This theorem is referenced by:  hashrabrsn  14278  hashrabsn01  14279  hashrabsn1  14280  hashge0  14293  elprchashprn2  14302  hash1  14310  hashsn01  14322  hashgt12el  14328  hashgt12el2  14329  hashfzo  14335  hashfzp1  14337  hashxplem  14339  hashmap  14341  hashbc  14356  hashf1lem2  14361  hashf1  14362  hash2pwpr  14381  wrdnfi  14442  lsw0g  14460  ccatlid  14480  ccatrid  14481  rev0  14658  repswsymballbi  14674  fsumconst  15680  incexclem  15726  incexc  15727  fprodconst  15866  sumodd  16275  hashgcdeq  16666  prmreclem4  16796  prmreclem5  16797  0hashbc  16884  ramz2  16901  cshws0  16979  psgnunilem2  19282  psgnunilem4  19284  psgn0fv0  19298  psgnsn  19307  psgnprfval1  19309  efginvrel2  19514  efgredleme  19530  efgcpbllemb  19542  frgpnabllem1  19656  gsumconst  19716  ltbwe  21461  fta1g  25548  fta1  25684  birthdaylem3  26319  ppi1  26529  musum  26556  rpvmasum  26890  umgrislfupgrlem  28115  lfuhgr1v0e  28244  vtxdg0e  28464  vtxdlfgrval  28475  rusgr1vtxlem  28577  wspn0  28911  rusgrnumwwlkl1  28955  rusgr0edg  28960  clwwlknonel  29081  clwwlknon1le1  29087  0ewlk  29100  0wlk  29102  0wlkon  29106  0pth  29111  0clwlk  29116  0crct  29119  0cycl  29120  eupth0  29200  eulerpathpr  29226  wlkl0  29353  f1ocnt  31752  hashxpe  31758  lvecdim0  32359  esumcst  32719  cntmeas  32882  ballotlemfval0  33152  signsvtn0  33239  signstfvneq0  33241  signstfveq0  33246  signsvf0  33249  lpadright  33354  derangsn  33821  subfacp1lem6  33836  poimirlem25  36149  poimirlem26  36150  poimirlem27  36151  poimirlem28  36152  rp-isfinite6  41878  fzisoeu  43621  upwordnul  45205
  Copyright terms: Public domain W3C validator