Theorem hash0 14390

Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hash0	⊢ (♯‘∅) = 0

Proof of Theorem hash0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. 2 ⊢ ∅ = ∅
2		0ex 5282	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		hasheq0 14386	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅)
5	1, 4	mpbir 231	1 ⊢ (♯‘∅) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464  ∅c0 4313  ‘cfv 6536  0cc0 11134  ♯chash 14353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-hash 14354

This theorem is referenced by:  hashrabrsn  14395  hashrabsn01  14396  hashrabsn1  14397  hashge0  14410  elprchashprn2  14419  hash1  14427  hashsn01  14439  hashgt12el  14445  hashgt12el2  14446  hashfzo  14452  hashfzp1  14454  hashxplem  14456  hashmap  14458  hashbc  14476  hashf1lem2  14479  hashf1  14480  hash2pwpr  14499  wrdnfi  14571  lsw0g  14589  ccatlid  14609  ccatrid  14610  rev0  14787  repswsymballbi  14803  fsumconst  15811  incexclem  15857  incexc  15858  fprodconst  15999  sumodd  16412  hashgcdeq  16814  prmreclem4  16944  prmreclem5  16945  0hashbc  17032  ramz2  17049  cshws0  17126  psgnunilem2  19481  psgnunilem4  19483  psgn0fv0  19497  psgnsn  19506  psgnprfval1  19508  efginvrel2  19713  efgredleme  19729  efgcpbllemb  19741  frgpnabllem1  19859  gsumconst  19920  ltbwe  22007  fta1g  26132  fta1  26273  birthdaylem3  26920  ppi1  27131  musum  27158  rpvmasum  27494  umgrislfupgrlem  29106  lfuhgr1v0e  29238  vtxdg0e  29459  vtxdlfgrval  29470  rusgr1vtxlem  29572  wspn0  29911  rusgrnumwwlkl1  29955  rusgr0edg  29960  clwwlknonel  30081  clwwlknon1le1  30087  0ewlk  30100  0wlk  30102  0wlkon  30106  0pth  30111  0clwlk  30116  0crct  30119  0cycl  30120  eupth0  30200  eulerpathpr  30226  wlkl0  30353  f1ocnt  32784  hashxpe  32791  chnub  32997  chnccats1  33000  1arithidom  33557  lvecdim0  33651  fldext2chn  33767  esumcst  34099  cntmeas  34262  ballotlemfval0  34533  signsvtn0  34607  signstfvneq0  34609  signstfveq0  34614  signsvf0  34617  lpadright  34721  derangsn  35197  subfacp1lem6  35212  poimirlem25  37674  poimirlem26  37675  poimirlem27  37676  poimirlem28  37677  unitscyglem4  42216  rp-isfinite6  43517  fzisoeu  45309  upwordnul  46889