Theorem hash0 13549

Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hash0	⊢ (♯‘∅) = 0

Proof of Theorem hash0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2780	. 2 ⊢ ∅ = ∅
2		0ex 5072	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		hasheq0 13545	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅)
5	1, 4	mpbir 223	1 ⊢ (♯‘∅) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 198   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  Vcvv 3417  ∅c0 4181  ‘cfv 6193  0cc0 10341  ♯chash 13511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2752  ax-sep 5064  ax-nul 5071  ax-pow 5123  ax-pr 5190  ax-un 7285  ax-cnex 10397  ax-resscn 10398  ax-1cn 10399  ax-icn 10400  ax-addcl 10401  ax-addrcl 10402  ax-mulcl 10403  ax-mulrcl 10404  ax-mulcom 10405  ax-addass 10406  ax-mulass 10407  ax-distr 10408  ax-i2m1 10409  ax-1ne0 10410  ax-1rid 10411  ax-rnegex 10412  ax-rrecex 10413  ax-cnre 10414  ax-pre-lttri 10415  ax-pre-lttrn 10416  ax-pre-ltadd 10417  ax-pre-mulgt0 10418

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2551  df-eu 2589  df-clab 2761  df-cleq 2773  df-clel 2848  df-nfc 2920  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3419  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4182  df-if 4354  df-pw 4427  df-sn 4445  df-pr 4447  df-tp 4449  df-op 4451  df-uni 4718  df-int 4755  df-iun 4799  df-br 4935  df-opab 4997  df-mpt 5014  df-tr 5036  df-id 5316  df-eprel 5321  df-po 5330  df-so 5331  df-fr 5370  df-we 5372  df-xp 5417  df-rel 5418  df-cnv 5419  df-co 5420  df-dm 5421  df-rn 5422  df-res 5423  df-ima 5424  df-pred 5991  df-ord 6037  df-on 6038  df-lim 6039  df-suc 6040  df-iota 6157  df-fun 6195  df-fn 6196  df-f 6197  df-f1 6198  df-fo 6199  df-f1o 6200  df-fv 6201  df-riota 6943  df-ov 6985  df-oprab 6986  df-mpo 6987  df-om 7403  df-1st 7507  df-2nd 7508  df-wrecs 7756  df-recs 7818  df-rdg 7856  df-1o 7911  df-er 8095  df-en 8313  df-dom 8314  df-sdom 8315  df-fin 8316  df-card 9168  df-pnf 10482  df-mnf 10483  df-xr 10484  df-ltxr 10485  df-le 10486  df-sub 10678  df-neg 10679  df-nn 11446  df-n0 11714  df-z 11800  df-uz 12065  df-fz 12715  df-hash 13512

This theorem is referenced by:  hashrabrsn  13552  hashrabsn01  13553  hashrabsn1  13554  hashge0  13567  elprchashprn2  13576  hash1  13584  hashsn01  13596  hashgt12el  13602  hashgt12el2  13603  hashfzo  13609  hashfzp1  13611  hashxplem  13613  hashmap  13615  hashbc  13630  hashf1lem2  13633  hashf1  13634  hash2pwpr  13651  wrdnfi  13716  lsw0g  13735  ccatlid  13755  ccatrid  13756  rev0  13989  repswsymballbi  14005  fsumconst  15011  incexclem  15057  incexc  15058  fprodconst  15198  sumodd  15605  hashgcdeq  15988  prmreclem4  16117  prmreclem5  16118  0hashbc  16205  ramz2  16222  cshws0  16297  psgnunilem2  18397  psgnunilem4  18399  psgn0fv0  18413  psgnsn  18422  psgnprfval1  18424  efginvrel2  18623  efgredleme  18640  efgcpbllemb  18653  frgpnabllem1  18761  gsumconst  18819  ltbwe  19978  fta1g  24479  fta1  24615  birthdaylem3  25248  ppi1  25458  musum  25485  rpvmasum  25819  umgrislfupgrlem  26625  lfuhgr1v0e  26754  vtxdg0e  26974  vtxdlfgrval  26985  rusgr1vtxlem  27087  wspn0  27445  rusgrnumwwlkl1  27489  rusgr0edg  27494  clwwlknonel  27638  clwwlknon1le1  27644  0ewlk  27658  0wlk  27660  0wlkon  27664  0pth  27669  0clwlk  27674  0crct  27677  0cycl  27678  eupth0  27758  eulerpathpr  27785  wlkl0  27935  f1ocnt  30296  hashxpe  30300  lvecdim0  30666  esumcst  30998  cntmeas  31162  ballotlemfval0  31431  signsvtn0  31518  signsvtn0OLD  31519  signstfvneq0  31521  signstfveq0  31526  signstfveq0OLD  31527  signsvf0  31530  lpadright  31635  derangsn  32042  subfacp1lem6  32057  poimirlem25  34398  poimirlem26  34399  poimirlem27  34400  poimirlem28  34401  rp-isfinite6  39321  fzisoeu  41031