Theorem hash0 14377

Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hash0	⊢ (♯‘∅) = 0

Proof of Theorem hash0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. 2 ⊢ ∅ = ∅
2		0ex 5256	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		hasheq0 14373	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅)
5	1, 4	mpbir 233	1 ⊢ (♯‘∅) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 208   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  ∅c0 4285  ‘cfv 6517  0cc0 11070  ♯chash 14340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-hash 14341

This theorem is referenced by:  hashrabrsn  14382  hashrabsn01  14383  hashrabsn1  14384  hashge0  14397  elprchashprn2  14406  hash1  14414  hashsn01  14426  hashgt12el  14432  hashgt12el2  14433  hashfzo  14439  hashfzp1  14441  hashxplem  14443  hashmap  14445  hashbc  14463  hashf1lem2  14466  hashf1  14467  hash2pwpr  14486  wrdnfi  14558  lsw0g  14576  ccatlid  14597  ccatrid  14598  rev0  14774  repswsymballbi  14790  fsumconst  15800  incexclem  15849  incexc  15850  fprodconst  15991  sumodd  16405  hashgcdeq  16808  prmreclem4  16938  prmreclem5  16939  0hashbc  17026  ramz2  17043  cshws0  17120  chnub  18637  chnccats1  18640  chnccat  18641  psgnunilem2  19518  psgnunilem4  19520  psgn0fv0  19534  psgnsn  19543  psgnprfval1  19545  efginvrel2  19750  efgredleme  19766  efgcpbllemb  19778  frgpnabllem1  19896  gsumconst  19957  ltbwe  22077  fta1g  26210  fta1  26349  birthdaylem3  26995  ppi1  27205  musum  27232  rpvmasum  27567  umgrislfupgrlem  29269  lfuhgr1v0e  29401  vtxdg0e  29621  vtxdlfgrval  29632  rusgr1vtxlem  29734  wspn0  30070  rusgrnumwwlkl1  30117  rusgr0edg  30122  clwwlknonel  30243  clwwlknon1le1  30249  0ewlk  30262  0wlk  30264  0wlkon  30268  0pth  30273  0clwlk  30278  0crct  30281  0cycl  30282  eupth0  30362  eulerpathpr  30388  wlkl0  30515  f1ocnt  32952  hashxpe  32959  1arithidom  33694  esplyfval0  33822  vieta  33838  lvecdim0  33865  fldext2chn  33986  esumcst  34321  cntmeas  34484  ballotlemfval0  34754  signsvtn0  34828  signstfvneq0  34830  signstfveq0  34835  signsvf0  34838  lpadright  34945  derangsn  35484  subfacp1lem6  35499  poimirlem25  38108  poimirlem26  38109  poimirlem27  38110  poimirlem28  38111  unitscyglem4  42779  rp-isfinite6  44058  fzisoeu  45843  chnerlem1  47422