Theorem hash0 14302

Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hash0	⊢ (♯‘∅) = 0

Proof of Theorem hash0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. 2 ⊢ ∅ = ∅
2		0ex 5254	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		hasheq0 14298	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅)
5	1, 4	mpbir 231	1 ⊢ (♯‘∅) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  ∅c0 4287  ‘cfv 6500  0cc0 11038  ♯chash 14265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-hash 14266

This theorem is referenced by:  hashrabrsn  14307  hashrabsn01  14308  hashrabsn1  14309  hashge0  14322  elprchashprn2  14331  hash1  14339  hashsn01  14351  hashgt12el  14357  hashgt12el2  14358  hashfzo  14364  hashfzp1  14366  hashxplem  14368  hashmap  14370  hashbc  14388  hashf1lem2  14391  hashf1  14392  hash2pwpr  14411  wrdnfi  14483  lsw0g  14501  ccatlid  14522  ccatrid  14523  rev0  14699  repswsymballbi  14715  fsumconst  15725  incexclem  15771  incexc  15772  fprodconst  15913  sumodd  16327  hashgcdeq  16729  prmreclem4  16859  prmreclem5  16860  0hashbc  16947  ramz2  16964  cshws0  17041  chnub  18557  chnccats1  18560  chnccat  18561  psgnunilem2  19436  psgnunilem4  19438  psgn0fv0  19452  psgnsn  19461  psgnprfval1  19463  efginvrel2  19668  efgredleme  19684  efgcpbllemb  19696  frgpnabllem1  19814  gsumconst  19875  ltbwe  22011  fta1g  26143  fta1  26284  birthdaylem3  26931  ppi1  27142  musum  27169  rpvmasum  27505  umgrislfupgrlem  29207  lfuhgr1v0e  29339  vtxdg0e  29560  vtxdlfgrval  29571  rusgr1vtxlem  29673  wspn0  30009  rusgrnumwwlkl1  30056  rusgr0edg  30061  clwwlknonel  30182  clwwlknon1le1  30188  0ewlk  30201  0wlk  30203  0wlkon  30207  0pth  30212  0clwlk  30217  0crct  30220  0cycl  30221  eupth0  30301  eulerpathpr  30327  wlkl0  30454  f1ocnt  32890  hashxpe  32897  1arithidom  33629  esplyfval0  33740  vieta  33756  lvecdim0  33783  fldext2chn  33905  esumcst  34240  cntmeas  34403  ballotlemfval0  34673  signsvtn0  34747  signstfvneq0  34749  signstfveq0  34754  signsvf0  34757  lpadright  34861  derangsn  35383  subfacp1lem6  35398  poimirlem25  37893  poimirlem26  37894  poimirlem27  37895  poimirlem28  37896  unitscyglem4  42565  rp-isfinite6  43871  fzisoeu  45659  chnerlem1  47237