Theorem hash0 14276

Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hash0	⊢ (♯‘∅) = 0

Proof of Theorem hash0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. 2 ⊢ ∅ = ∅
2		0ex 5247	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		hasheq0 14272	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅)
5	1, 4	mpbir 231	1 ⊢ (♯‘∅) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437  ∅c0 4282  ‘cfv 6486  0cc0 11013  ♯chash 14239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-hash 14240

This theorem is referenced by:  hashrabrsn  14281  hashrabsn01  14282  hashrabsn1  14283  hashge0  14296  elprchashprn2  14305  hash1  14313  hashsn01  14325  hashgt12el  14331  hashgt12el2  14332  hashfzo  14338  hashfzp1  14340  hashxplem  14342  hashmap  14344  hashbc  14362  hashf1lem2  14365  hashf1  14366  hash2pwpr  14385  wrdnfi  14457  lsw0g  14475  ccatlid  14496  ccatrid  14497  rev0  14673  repswsymballbi  14689  fsumconst  15699  incexclem  15745  incexc  15746  fprodconst  15887  sumodd  16301  hashgcdeq  16703  prmreclem4  16833  prmreclem5  16834  0hashbc  16921  ramz2  16938  cshws0  17015  chnub  18530  chnccats1  18533  chnccat  18534  psgnunilem2  19409  psgnunilem4  19411  psgn0fv0  19425  psgnsn  19434  psgnprfval1  19436  efginvrel2  19641  efgredleme  19657  efgcpbllemb  19669  frgpnabllem1  19787  gsumconst  19848  ltbwe  21980  fta1g  26103  fta1  26244  birthdaylem3  26891  ppi1  27102  musum  27129  rpvmasum  27465  umgrislfupgrlem  29102  lfuhgr1v0e  29234  vtxdg0e  29455  vtxdlfgrval  29466  rusgr1vtxlem  29568  wspn0  29904  rusgrnumwwlkl1  29951  rusgr0edg  29956  clwwlknonel  30077  clwwlknon1le1  30083  0ewlk  30096  0wlk  30098  0wlkon  30102  0pth  30107  0clwlk  30112  0crct  30115  0cycl  30116  eupth0  30196  eulerpathpr  30222  wlkl0  30349  f1ocnt  32787  hashxpe  32794  1arithidom  33509  lvecdim0  33640  fldext2chn  33762  esumcst  34097  cntmeas  34260  ballotlemfval0  34530  signsvtn0  34604  signstfvneq0  34606  signstfveq0  34611  signsvf0  34614  lpadright  34718  derangsn  35235  subfacp1lem6  35250  poimirlem25  37706  poimirlem26  37707  poimirlem27  37708  poimirlem28  37709  unitscyglem4  42312  rp-isfinite6  43636  fzisoeu  45426  chnerlem1  47005