Theorem hash0 14332

Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hash0	⊢ (♯‘∅) = 0

Proof of Theorem hash0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. 2 ⊢ ∅ = ∅
2		0ex 5262	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		hasheq0 14328	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅)
5	1, 4	mpbir 231	1 ⊢ (♯‘∅) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447  ∅c0 4296  ‘cfv 6511  0cc0 11068  ♯chash 14295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-hash 14296

This theorem is referenced by:  hashrabrsn  14337  hashrabsn01  14338  hashrabsn1  14339  hashge0  14352  elprchashprn2  14361  hash1  14369  hashsn01  14381  hashgt12el  14387  hashgt12el2  14388  hashfzo  14394  hashfzp1  14396  hashxplem  14398  hashmap  14400  hashbc  14418  hashf1lem2  14421  hashf1  14422  hash2pwpr  14441  wrdnfi  14513  lsw0g  14531  ccatlid  14551  ccatrid  14552  rev0  14729  repswsymballbi  14745  fsumconst  15756  incexclem  15802  incexc  15803  fprodconst  15944  sumodd  16358  hashgcdeq  16760  prmreclem4  16890  prmreclem5  16891  0hashbc  16978  ramz2  16995  cshws0  17072  psgnunilem2  19425  psgnunilem4  19427  psgn0fv0  19441  psgnsn  19450  psgnprfval1  19452  efginvrel2  19657  efgredleme  19673  efgcpbllemb  19685  frgpnabllem1  19803  gsumconst  19864  ltbwe  21951  fta1g  26075  fta1  26216  birthdaylem3  26863  ppi1  27074  musum  27101  rpvmasum  27437  umgrislfupgrlem  29049  lfuhgr1v0e  29181  vtxdg0e  29402  vtxdlfgrval  29413  rusgr1vtxlem  29515  wspn0  29854  rusgrnumwwlkl1  29898  rusgr0edg  29903  clwwlknonel  30024  clwwlknon1le1  30030  0ewlk  30043  0wlk  30045  0wlkon  30049  0pth  30054  0clwlk  30059  0crct  30062  0cycl  30063  eupth0  30143  eulerpathpr  30169  wlkl0  30296  f1ocnt  32725  hashxpe  32732  chnub  32938  chnccats1  32941  1arithidom  33508  lvecdim0  33602  fldext2chn  33718  esumcst  34053  cntmeas  34216  ballotlemfval0  34487  signsvtn0  34561  signstfvneq0  34563  signstfveq0  34568  signsvf0  34571  lpadright  34675  derangsn  35157  subfacp1lem6  35172  poimirlem25  37639  poimirlem26  37640  poimirlem27  37641  poimirlem28  37642  unitscyglem4  42186  rp-isfinite6  43507  fzisoeu  45298  upwordnul  46878