Theorem bra11 29975

Description: The bra function maps vectors one-to-one onto the set of continuous linear functionals. (Contributed by NM, 26-May-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bra11	⊢ bra: ℋ–1-1-onto→(LinFn ∩ ContFn)

Proof of Theorem bra11

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hilex 28866	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ V
2	1	mptex 6970	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑦 ·ih 𝑥)) ∈ V
3		df-bra 29717	. . 3 ⊢ bra = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑦 ·ih 𝑥)))
4	2, 3	fnmpti 6467	. 2 ⊢ bra Fn ℋ
5		rnbra 29974	. 2 ⊢ ran bra = (LinFn ∩ ContFn)
6		fveq1 6650	. . . . . 6 ⊢ ((bra‘𝑥) = (bra‘𝑦) → ((bra‘𝑥)‘𝑧) = ((bra‘𝑦)‘𝑧))
7		braval 29811	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑥)‘𝑧) = (𝑧 ·ih 𝑥))
8	7	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑥)‘𝑧) = (𝑧 ·ih 𝑥))
9		braval 29811	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑦)‘𝑧) = (𝑧 ·ih 𝑦))
10	9	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑦)‘𝑧) = (𝑧 ·ih 𝑦))
11	8, 10	eqeq12d 2775	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (((bra‘𝑥)‘𝑧) = ((bra‘𝑦)‘𝑧) ↔ (𝑧 ·ih 𝑥) = (𝑧 ·ih 𝑦)))
12	6, 11	syl5ib 247	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑥) = (bra‘𝑦) → (𝑧 ·ih 𝑥) = (𝑧 ·ih 𝑦)))
13	12	ralrimdva 3116	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑥) = (bra‘𝑦) → ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑧 ·ih 𝑥) = (𝑧 ·ih 𝑦)))
14		hial2eq2 28974	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (∀𝑧 ∈ ℋ (𝑧 ·ih 𝑥) = (𝑧 ·ih 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
15	13, 14	sylibd 242	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑥) = (bra‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
16	15	rgen2 3130	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((bra‘𝑥) = (bra‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
17		dff1o6 7017	. 2 ⊢ (bra: ℋ–1-1-onto→(LinFn ∩ ContFn) ↔ (bra Fn ℋ ∧ ran bra = (LinFn ∩ ContFn) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((bra‘𝑥) = (bra‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
18	4, 5, 16, 17	mpbir3an 1339	1 ⊢ bra: ℋ–1-1-onto→(LinFn ∩ ContFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∀wral 3068   ∩ cin 3853   ↦ cmpt 5105  ran crn 5518   Fn wfn 6323  –1-1-onto→wf1o 6327  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143   ℋchba 28786   ·_ih csp 28789  ContFnccnfn 28820  LinFnclf 28821  bracbr 28823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5149  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-inf2 9122  ax-cc 9880  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637  ax-pre-sup 10638  ax-addf 10639  ax-mulf 10640  ax-hilex 28866  ax-hfvadd 28867  ax-hvcom 28868  ax-hvass 28869  ax-hv0cl 28870  ax-hvaddid 28871  ax-hfvmul 28872  ax-hvmulid 28873  ax-hvmulass 28874  ax-hvdistr1 28875  ax-hvdistr2 28876  ax-hvmul0 28877  ax-hfi 28946  ax-his1 28949  ax-his2 28950  ax-his3 28951  ax-his4 28952  ax-hcompl 29069

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rmo 3076  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-int 4832  df-iun 4878  df-iin 4879  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-se 5477  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-of 7398  df-om 7573  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-supp 7829  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-oadd 8109  df-omul 8110  df-er 8292  df-map 8411  df-pm 8412  df-ixp 8473  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-fin 8524  df-fsupp 8852  df-fi 8893  df-sup 8924  df-inf 8925  df-oi 8992  df-card 9386  df-acn 9389  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-div 11321  df-nn 11660  df-2 11722  df-3 11723  df-4 11724  df-5 11725  df-6 11726  df-7 11727  df-8 11728  df-9 11729  df-n0 11920  df-z 12006  df-dec 12123  df-uz 12268  df-q 12374  df-rp 12416  df-xneg 12533  df-xadd 12534  df-xmul 12535  df-ioo 12768  df-ico 12770  df-icc 12771  df-fz 12925  df-fzo 13068  df-fl 13196  df-seq 13404  df-exp 13465  df-hash 13726  df-cj 14491  df-re 14492  df-im 14493  df-sqrt 14627  df-abs 14628  df-clim 14878  df-rlim 14879  df-sum 15076  df-struct 16528  df-ndx 16529  df-slot 16530  df-base 16532  df-sets 16533  df-ress 16534  df-plusg 16621  df-mulr 16622  df-starv 16623  df-sca 16624  df-vsca 16625  df-ip 16626  df-tset 16627  df-ple 16628  df-ds 16630  df-unif 16631  df-hom 16632  df-cco 16633  df-rest 16739  df-topn 16740  df-0g 16758  df-gsum 16759  df-topgen 16760  df-pt 16761  df-prds 16764  df-xrs 16818  df-qtop 16823  df-imas 16824  df-xps 16826  df-mre 16900  df-mrc 16901  df-acs 16903  df-mgm 17903  df-sgrp 17952  df-mnd 17963  df-submnd 18008  df-mulg 18277  df-cntz 18499  df-cmn 18960  df-psmet 20143  df-xmet 20144  df-met 20145  df-bl 20146  df-mopn 20147  df-fbas 20148  df-fg 20149  df-cnfld 20152  df-top 21579  df-topon 21596  df-topsp 21618  df-bases 21631  df-cld 21704  df-ntr 21705  df-cls 21706  df-nei 21783  df-cn 21912  df-cnp 21913  df-lm 21914  df-t1 21999  df-haus 22000  df-tx 22247  df-hmeo 22440  df-fil 22531  df-fm 22623  df-flim 22624  df-flf 22625  df-xms 23007  df-ms 23008  df-tms 23009  df-cfil 23940  df-cau 23941  df-cmet 23942  df-grpo 28360  df-gid 28361  df-ginv 28362  df-gdiv 28363  df-ablo 28412  df-vc 28426  df-nv 28459  df-va 28462  df-ba 28463  df-sm 28464  df-0v 28465  df-vs 28466  df-nmcv 28467  df-ims 28468  df-dip 28568  df-ssp 28589  df-ph 28680  df-cbn 28730  df-hnorm 28835  df-hba 28836  df-hvsub 28838  df-hlim 28839  df-hcau 28840  df-sh 29074  df-ch 29088  df-oc 29119  df-ch0 29120  df-nmfn 29712  df-nlfn 29713  df-cnfn 29714  df-lnfn 29715  df-bra 29717

This theorem is referenced by:  bracnln  29976  cnvbraval  29977  cnvbracl  29978  cnvbrabra  29979  bracnvbra  29980  bracnlnval  29981