HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  bra11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bra11 29799
Description: The bra function maps vectors one-to-one onto the set of continuous linear functionals. (Contributed by NM, 26-May-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bra11 bra: ℋ–1-1-onto→(LinFn ∩ ContFn)

Proof of Theorem bra11
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hilex 28690 . . . 4 ℋ ∈ V
21mptex 6984 . . 3 (𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑦 ·ih 𝑥)) ∈ V
3 df-bra 29541 . . 3 bra = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑦 ·ih 𝑥)))
42, 3fnmpti 6487 . 2 bra Fn ℋ
5 rnbra 29798 . 2 ran bra = (LinFn ∩ ContFn)
6 fveq1 6665 . . . . . 6 ((bra‘𝑥) = (bra‘𝑦) → ((bra‘𝑥)‘𝑧) = ((bra‘𝑦)‘𝑧))
7 braval 29635 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑥)‘𝑧) = (𝑧 ·ih 𝑥))
87adantlr 711 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑥)‘𝑧) = (𝑧 ·ih 𝑥))
9 braval 29635 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑦)‘𝑧) = (𝑧 ·ih 𝑦))
109adantll 710 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑦)‘𝑧) = (𝑧 ·ih 𝑦))
118, 10eqeq12d 2841 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (((bra‘𝑥)‘𝑧) = ((bra‘𝑦)‘𝑧) ↔ (𝑧 ·ih 𝑥) = (𝑧 ·ih 𝑦)))
126, 11syl5ib 245 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑥) = (bra‘𝑦) → (𝑧 ·ih 𝑥) = (𝑧 ·ih 𝑦)))
1312ralrimdva 3193 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑥) = (bra‘𝑦) → ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑧 ·ih 𝑥) = (𝑧 ·ih 𝑦)))
14 hial2eq2 28798 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (∀𝑧 ∈ ℋ (𝑧 ·ih 𝑥) = (𝑧 ·ih 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
1513, 14sylibd 240 . . 3 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑥) = (bra‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
1615rgen2a 3233 . 2 𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((bra‘𝑥) = (bra‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
17 dff1o6 7029 . 2 (bra: ℋ–1-1-onto→(LinFn ∩ ContFn) ↔ (bra Fn ℋ ∧ ran bra = (LinFn ∩ ContFn) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((bra‘𝑥) = (bra‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
184, 5, 16, 17mpbir3an 1335 1 bra: ℋ–1-1-onto→(LinFn ∩ ContFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3142  cin 3938  cmpt 5142  ran crn 5554   Fn wfn 6346  1-1-ontowf1o 6350  cfv 6351  (class class class)co 7151  chba 28610   ·ih csp 28613  ContFnccnfn 28644  LinFnclf 28645  bracbr 28647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cc 9849  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609  ax-hilex 28690  ax-hfvadd 28691  ax-hvcom 28692  ax-hvass 28693  ax-hv0cl 28694  ax-hvaddid 28695  ax-hfvmul 28696  ax-hvmulid 28697  ax-hvmulass 28698  ax-hvdistr1 28699  ax-hvdistr2 28700  ax-hvmul0 28701  ax-hfi 28770  ax-his1 28773  ax-his2 28774  ax-his3 28775  ax-his4 28776  ax-hcompl 28893
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-omul 8101  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-acn 9363  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-ioo 12735  df-ico 12737  df-icc 12738  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-seq 13363  df-exp 13423  df-hash 13684  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-clim 14838  df-rlim 14839  df-sum 15036  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17947  df-mulg 18157  df-cntz 18379  df-cmn 18830  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-met 20455  df-bl 20456  df-mopn 20457  df-fbas 20458  df-fg 20459  df-cnfld 20462  df-top 21418  df-topon 21435  df-topsp 21457  df-bases 21470  df-cld 21543  df-ntr 21544  df-cls 21545  df-nei 21622  df-cn 21751  df-cnp 21752  df-lm 21753  df-t1 21838  df-haus 21839  df-tx 22086  df-hmeo 22279  df-fil 22370  df-fm 22462  df-flim 22463  df-flf 22464  df-xms 22845  df-ms 22846  df-tms 22847  df-cfil 23773  df-cau 23774  df-cmet 23775  df-grpo 28184  df-gid 28185  df-ginv 28186  df-gdiv 28187  df-ablo 28236  df-vc 28250  df-nv 28283  df-va 28286  df-ba 28287  df-sm 28288  df-0v 28289  df-vs 28290  df-nmcv 28291  df-ims 28292  df-dip 28392  df-ssp 28413  df-ph 28504  df-cbn 28554  df-hnorm 28659  df-hba 28660  df-hvsub 28662  df-hlim 28663  df-hcau 28664  df-sh 28898  df-ch 28912  df-oc 28943  df-ch0 28944  df-nmfn 29536  df-nlfn 29537  df-cnfn 29538  df-lnfn 29539  df-bra 29541
This theorem is referenced by:  bracnln  29800  cnvbraval  29801  cnvbracl  29802  cnvbrabra  29803  bracnvbra  29804  bracnlnval  29805
  Copyright terms: Public domain W3C validator