Theorem lnfncnbd 32484

Description: A linear functional is continuous iff it is bounded. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
lnfncnbd	⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn ↔ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ))

Proof of Theorem lnfncnbd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmcfnex 32480	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn) → (normfn‘𝑇) ∈ ℝ)
2	1	ex 418	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn → (normfn‘𝑇) ∈ ℝ))
3		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ) → (normfn‘𝑇) ∈ ℝ)
4		nmbdfnlb 32477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)))
5	4	3expa 1136	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)))
6	5	ralrimiva 3159	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)))
7		oveq1 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (normfn‘𝑇) → (𝑥 · (normℎ‘𝑦)) = ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)))
8	7	breq2d 5123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (normfn‘𝑇) → ((abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)) ↔ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝑦))))
9	8	ralbidv 3190	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (normfn‘𝑇) → (∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝑦))))
10	9	rspcev 3583	. . . . 5 ⊢ (((normfn‘𝑇) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)))
11	3, 6, 10	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)))
12	11	ex 418	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → ((normfn‘𝑇) ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦))))
13		lnfncon 32483	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦))))
14	12, 13	sylibrd 262	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → ((normfn‘𝑇) ∈ ℝ → 𝑇 ∈ ContFn))
15	2, 14	impbid 215	1 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn ↔ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℝcr 11118   · cmul 11124   ≤ cle 11263  abscabs 15313   ℋchba 31346  norm_ℎcno 31350  norm_fncnmf 31378  ContFnccnfn 31380  LinFnclf 31381

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196  ax-pre-sup 11197  ax-hilex 31426  ax-hfvadd 31427  ax-hv0cl 31430  ax-hvaddid 31431  ax-hfvmul 31432  ax-hvmulid 31433  ax-hvmulass 31434  ax-hvmul0 31437  ax-hfi 31506  ax-his1 31509  ax-his3 31511  ax-his4 31512

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11891  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12883  df-rp 13037  df-seq 14060  df-exp 14120  df-cj 15178  df-re 15179  df-im 15180  df-sqrt 15314  df-abs 15315  df-hnorm 31395  df-hvsub 31398  df-nmfn 32272  df-cnfn 32274  df-lnfn 32275

This theorem is used by:  riesz1  32492  riesz2  32493  rnbra  32534