Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnfncnbd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnfncnbd 29847
 Description: A linear functional is continuous iff it is bounded. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
lnfncnbd (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn ↔ (normfn𝑇) ∈ ℝ))

Proof of Theorem lnfncnbd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmcfnex 29843 . . 3 ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn) → (normfn𝑇) ∈ ℝ)
21ex 416 . 2 (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn → (normfn𝑇) ∈ ℝ))
3 simpr 488 . . . . 5 ((𝑇 ∈ LinFn ∧ (normfn𝑇) ∈ ℝ) → (normfn𝑇) ∈ ℝ)
4 nmbdfnlb 29840 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ LinFn ∧ (normfn𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇𝑦)) ≤ ((normfn𝑇) · (norm𝑦)))
543expa 1115 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ LinFn ∧ (normfn𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇𝑦)) ≤ ((normfn𝑇) · (norm𝑦)))
65ralrimiva 3149 . . . . 5 ((𝑇 ∈ LinFn ∧ (normfn𝑇) ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑦)) ≤ ((normfn𝑇) · (norm𝑦)))
7 oveq1 7142 . . . . . . . 8 (𝑥 = (normfn𝑇) → (𝑥 · (norm𝑦)) = ((normfn𝑇) · (norm𝑦)))
87breq2d 5042 . . . . . . 7 (𝑥 = (normfn𝑇) → ((abs‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (norm𝑦)) ↔ (abs‘(𝑇𝑦)) ≤ ((normfn𝑇) · (norm𝑦))))
98ralbidv 3162 . . . . . 6 (𝑥 = (normfn𝑇) → (∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (norm𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑦)) ≤ ((normfn𝑇) · (norm𝑦))))
109rspcev 3571 . . . . 5 (((normfn𝑇) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑦)) ≤ ((normfn𝑇) · (norm𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (norm𝑦)))
113, 6, 10syl2anc 587 . . . 4 ((𝑇 ∈ LinFn ∧ (normfn𝑇) ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (norm𝑦)))
1211ex 416 . . 3 (𝑇 ∈ LinFn → ((normfn𝑇) ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (norm𝑦))))
13 lnfncon 29846 . . 3 (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (norm𝑦))))
1412, 13sylibrd 262 . 2 (𝑇 ∈ LinFn → ((normfn𝑇) ∈ ℝ → 𝑇 ∈ ContFn))
152, 14impbid 215 1 (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn ↔ (normfn𝑇) ∈ ℝ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10527   · cmul 10533   ≤ cle 10667  abscabs 14587   ℋchba 28709  normℎcno 28713  normfncnmf 28741  ContFnccnfn 28743  LinFnclf 28744 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605  ax-pre-sup 10606  ax-hilex 28789  ax-hfvadd 28790  ax-hv0cl 28793  ax-hvaddid 28794  ax-hfvmul 28795  ax-hvmulid 28796  ax-hvmulass 28797  ax-hvmul0 28800  ax-hfi 28869  ax-his1 28872  ax-his3 28874  ax-his4 28875 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-er 8274  df-map 8393  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-sup 8892  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-div 11289  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-n0 11888  df-z 11972  df-uz 12234  df-rp 12380  df-seq 13367  df-exp 13428  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-hnorm 28758  df-hvsub 28761  df-nmfn 29635  df-cnfn 29637  df-lnfn 29638 This theorem is referenced by:  riesz1  29855  riesz2  29856  rnbra  29897
 Copyright terms: Public domain W3C validator