Theorem lnfncnbd 32418

Description: A linear functional is continuous iff it is bounded. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
lnfncnbd	⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn ↔ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ))

Proof of Theorem lnfncnbd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmcfnex 32414	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn) → (normfn‘𝑇) ∈ ℝ)
2	1	ex 417	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn → (normfn‘𝑇) ∈ ℝ))
3		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ) → (normfn‘𝑇) ∈ ℝ)
4		nmbdfnlb 32411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)))
5	4	3expa 1136	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)))
6	5	ralrimiva 3157	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)))
7		oveq1 7417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (normfn‘𝑇) → (𝑥 · (normℎ‘𝑦)) = ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)))
8	7	breq2d 5121	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (normfn‘𝑇) → ((abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)) ↔ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝑦))))
9	8	ralbidv 3188	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (normfn‘𝑇) → (∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝑦))))
10	9	rspcev 3581	. . . . 5 ⊢ (((normfn‘𝑇) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)))
11	3, 6, 10	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)))
12	11	ex 417	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → ((normfn‘𝑇) ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦))))
13		lnfncon 32417	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦))))
14	12, 13	sylibrd 262	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → ((normfn‘𝑇) ∈ ℝ → 𝑇 ∈ ContFn))
15	2, 14	impbid 215	1 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn ↔ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11103   · cmul 11109   ≤ cle 11248  abscabs 15290   ℋchba 31280  norm_ℎcno 31284  norm_fncnmf 31312  ContFnccnfn 31314  LinFnclf 31315

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182  ax-hilex 31360  ax-hfvadd 31361  ax-hv0cl 31364  ax-hvaddid 31365  ax-hfvmul 31366  ax-hvmulid 31367  ax-hvmulass 31368  ax-hvmul0 31371  ax-hfi 31440  ax-his1 31443  ax-his3 31445  ax-his4 31446

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-rp 13021  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-sqrt 15291  df-abs 15292  df-hnorm 31329  df-hvsub 31332  df-nmfn 32206  df-cnfn 32208  df-lnfn 32209

This theorem is used by:  riesz1  32426  riesz2  32427  rnbra  32468