Theorem lnfncnbd 32567

Description: A linear functional is continuous iff it is bounded. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
lnfncnbd	⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn ↔ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ))

Proof of Theorem lnfncnbd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmcfnex 32563	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn) → (normfn‘𝑇) ∈ ℝ)
2	1	ex 418	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn → (normfn‘𝑇) ∈ ℝ))
3		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ) → (normfn‘𝑇) ∈ ℝ)
4		nmbdfnlb 32560	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)))
5	4	3expa 1136	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)))
6	5	ralrimiva 3154	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)))
7		oveq1 7422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (normfn‘𝑇) → (𝑥 · (normℎ‘𝑦)) = ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)))
8	7	breq2d 5115	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (normfn‘𝑇) → ((abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)) ↔ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝑦))))
9	8	ralbidv 3185	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (normfn‘𝑇) → (∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝑦))))
10	9	rspcev 3576	. . . . 5 ⊢ (((normfn‘𝑇) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)))
11	3, 6, 10	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)))
12	11	ex 418	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → ((normfn‘𝑇) ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦))))
13		lnfncon 32566	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦))))
14	12, 13	sylibrd 262	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → ((normfn‘𝑇) ∈ ℝ → 𝑇 ∈ ContFn))
15	2, 14	impbid 215	1 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn ↔ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   class class class wbr 5103  ‘cfv 6534  (class class class)co 7415  ℝcr 11145   · cmul 11151   ≤ cle 11290  abscabs 15343   ℋchba 31429  norm_ℎcno 31433  norm_fncnmf 31461  ContFnccnfn 31463  LinFnclf 31464

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7738  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-hilex 31509  ax-hfvadd 31510  ax-hv0cl 31513  ax-hvaddid 31514  ax-hfvmul 31515  ax-hvmulid 31516  ax-hvmulass 31517  ax-hvmul0 31520  ax-hfi 31589  ax-his1 31592  ax-his3 31594  ax-his4 31595

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7372  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8282  df-wrecs 8313  df-recs 8362  df-rdg 8401  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11489  df-neg 11490  df-div 11918  df-nn 12280  df-2 12349  df-3 12350  df-n0 12551  df-z 12638  df-uz 12910  df-rp 13065  df-seq 14088  df-exp 14148  df-cj 15208  df-re 15209  df-im 15210  df-sqrt 15344  df-abs 15345  df-hnorm 31478  df-hvsub 31481  df-nmfn 32355  df-cnfn 32357  df-lnfn 32358

This theorem is used by:  riesz1  32575  riesz2  32576  rnbra  32617