Theorem lnfncnbd 32262

Description: A linear functional is continuous iff it is bounded. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
lnfncnbd	⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn ↔ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ))

Proof of Theorem lnfncnbd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmcfnex 32258	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn) → (normfn‘𝑇) ∈ ℝ)
2	1	ex 416	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn → (normfn‘𝑇) ∈ ℝ))
3		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ) → (normfn‘𝑇) ∈ ℝ)
4		nmbdfnlb 32255	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)))
5	4	3expa 1132	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)))
6	5	ralrimiva 3156	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)))
7		oveq1 7405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (normfn‘𝑇) → (𝑥 · (normℎ‘𝑦)) = ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝑦)))
8	7	breq2d 5114	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (normfn‘𝑇) → ((abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)) ↔ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝑦))))
9	8	ralbidv 3187	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (normfn‘𝑇) → (∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝑦))))
10	9	rspcev 3583	. . . . 5 ⊢ (((normfn‘𝑇) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ ((normfn‘𝑇) · (normℎ‘𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)))
11	3, 6, 10	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LinFn ∧ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦)))
12	11	ex 416	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → ((normfn‘𝑇) ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦))))
13		lnfncon 32261	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (normℎ‘𝑦))))
14	12, 13	sylibrd 261	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → ((normfn‘𝑇) ∈ ℝ → 𝑇 ∈ ContFn))
15	2, 14	impbid 214	1 ⊢ (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn ↔ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   class class class wbr 5102  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ℝcr 11074   · cmul 11080   ≤ cle 11219  abscabs 15263   ℋchba 31124  norm_ℎcno 31128  norm_fncnmf 31156  ContFnccnfn 31158  LinFnclf 31159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-hilex 31204  ax-hfvadd 31205  ax-hv0cl 31208  ax-hvaddid 31209  ax-hfvmul 31210  ax-hvmulid 31211  ax-hvmulass 31212  ax-hvmul0 31215  ax-hfi 31284  ax-his1 31287  ax-his3 31289  ax-his4 31290

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-sup 9390  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-rp 12996  df-seq 14017  df-exp 14077  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-hnorm 31173  df-hvsub 31176  df-nmfn 32050  df-cnfn 32052  df-lnfn 32053

This theorem is referenced by:  riesz1  32270  riesz2  32271  rnbra  32312