HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnfncnbd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnfncnbd 31984
Description: A linear functional is continuous iff it is bounded. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
lnfncnbd (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn ↔ (normfn𝑇) ∈ ℝ))

Proof of Theorem lnfncnbd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmcfnex 31980 . . 3 ((𝑇 ∈ LinFn ∧ 𝑇 ∈ ContFn) → (normfn𝑇) ∈ ℝ)
21ex 412 . 2 (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn → (normfn𝑇) ∈ ℝ))
3 simpr 484 . . . . 5 ((𝑇 ∈ LinFn ∧ (normfn𝑇) ∈ ℝ) → (normfn𝑇) ∈ ℝ)
4 nmbdfnlb 31977 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ LinFn ∧ (normfn𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇𝑦)) ≤ ((normfn𝑇) · (norm𝑦)))
543expa 1118 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ LinFn ∧ (normfn𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇𝑦)) ≤ ((normfn𝑇) · (norm𝑦)))
65ralrimiva 3132 . . . . 5 ((𝑇 ∈ LinFn ∧ (normfn𝑇) ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑦)) ≤ ((normfn𝑇) · (norm𝑦)))
7 oveq1 7410 . . . . . . . 8 (𝑥 = (normfn𝑇) → (𝑥 · (norm𝑦)) = ((normfn𝑇) · (norm𝑦)))
87breq2d 5131 . . . . . . 7 (𝑥 = (normfn𝑇) → ((abs‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (norm𝑦)) ↔ (abs‘(𝑇𝑦)) ≤ ((normfn𝑇) · (norm𝑦))))
98ralbidv 3163 . . . . . 6 (𝑥 = (normfn𝑇) → (∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (norm𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑦)) ≤ ((normfn𝑇) · (norm𝑦))))
109rspcev 3601 . . . . 5 (((normfn𝑇) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑦)) ≤ ((normfn𝑇) · (norm𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (norm𝑦)))
113, 6, 10syl2anc 584 . . . 4 ((𝑇 ∈ LinFn ∧ (normfn𝑇) ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (norm𝑦)))
1211ex 412 . . 3 (𝑇 ∈ LinFn → ((normfn𝑇) ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (norm𝑦))))
13 lnfncon 31983 . . 3 (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (norm𝑦))))
1412, 13sylibrd 259 . 2 (𝑇 ∈ LinFn → ((normfn𝑇) ∈ ℝ → 𝑇 ∈ ContFn))
152, 14impbid 212 1 (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn ↔ (normfn𝑇) ∈ ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3051  wrex 3060   class class class wbr 5119  cfv 6530  (class class class)co 7403  cr 11126   · cmul 11132  cle 11268  abscabs 15251  chba 30846  normcno 30850  normfncnmf 30878  ContFnccnfn 30880  LinFnclf 30881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-hilex 30926  ax-hfvadd 30927  ax-hv0cl 30930  ax-hvaddid 30931  ax-hfvmul 30932  ax-hvmulid 30933  ax-hvmulass 30934  ax-hvmul0 30937  ax-hfi 31006  ax-his1 31009  ax-his3 31011  ax-his4 31012
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9452  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13007  df-seq 14018  df-exp 14078  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-hnorm 30895  df-hvsub 30898  df-nmfn 31772  df-cnfn 31774  df-lnfn 31775
This theorem is referenced by:  riesz1  31992  riesz2  31993  rnbra  32034
  Copyright terms: Public domain W3C validator