Theorem ltsub1dd 11729

Description: Subtraction from both sides of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltsub1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) < (𝐵 − 𝐶))

Proof of Theorem ltsub1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	ltsub1d 11726	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 − 𝐶) < (𝐵 − 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) < (𝐵 − 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  (class class class)co 7346  ℝcr 11005   < clt 11146   − cmin 11344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347

This theorem is referenced by:  fzsdom2  14335  fzomaxdiflem  15250  icodiamlt  15345  hashdvds  16686  tangtx  26441  logcnlem3  26580  chtub  27150  mersenne  27165  bposlem9  27230  dya2icoseg  34290  fibp1  34414  hashnzfzclim  44425  supxrgelem  45446  suplesup  45448  iooshift  45632  ltmod  45746  dvnmul  46051  wallispilem3  46175  wallispi  46178  stirlinglem5  46186  fourierdlem14  46229  fourierdlem41  46256  fourierdlem42  46257  fourierdlem48  46262  fourierdlem76  46290  fourierdlem81  46295  fourierdlem92  46306  fourierdlem93  46307  fourierdlem107  46321  fourierdlem109  46323  fourierdlem111  46325  fouriersw  46339  qndenserrnbllem  46402  bgoldbtbndlem3  47917