Theorem issalnnd 46337

Description: Sufficient condition to prove that 𝑆 is sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
issalnnd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
issalnnd.z	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
issalnnd.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝑆
issalnnd.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∖ 𝑦) ∈ 𝑆)
issalnnd.i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
issalnnd	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)

Distinct variable groups:   𝑆,𝑒,𝑦   𝑒,𝑛,𝑦   𝜑,𝑒,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑉(𝑦,𝑒,𝑛)   𝑋(𝑦,𝑒,𝑛)

Proof of Theorem issalnnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issalnnd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
2		issalnnd.z	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
3		issalnnd.x	. 2 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝑆
4		issalnnd.d	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∖ 𝑦) ∈ 𝑆)
5		unieq 4878	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ∅ → ∪ 𝑦 = ∪ ∅)
6		uni0 4895	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ ∅ = ∅
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ∅ → ∪ ∅ = ∅)
8	5, 7	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ∅ → ∪ 𝑦 = ∅)
9	8	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = ∅) → ∪ 𝑦 = ∅)
10	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = ∅) → ∅ ∈ 𝑆)
11	9, 10	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = ∅) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)
12	11	3ad2antl1 1186	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 = ∅) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)
13		neqne 2933	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑦 = ∅ → 𝑦 ≠ ∅)
14	13	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → 𝑦 ≠ ∅)
15		nnfoctb 45036	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ≼ ω ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∃𝑒 𝑒:ℕ–onto→𝑦)
16	15	3ad2antl3 1188	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∃𝑒 𝑒:ℕ–onto→𝑦)
17		founiiun 45167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒:ℕ–onto→𝑦 → ∪ 𝑦 = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛))
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto→𝑦) → ∪ 𝑦 = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛))
19		simpll 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto→𝑦) → 𝜑)
20		fof 6754	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒:ℕ–onto→𝑦 → 𝑒:ℕ⟶𝑦)
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑒:ℕ–onto→𝑦) → 𝑒:ℕ⟶𝑦)
22		elpwi 4566	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 → 𝑦 ⊆ 𝑆)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑒:ℕ–onto→𝑦) → 𝑦 ⊆ 𝑆)
24	21, 23	fssd 6687	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑒:ℕ–onto→𝑦) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
25	24	adantll 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto→𝑦) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
26		issalnnd.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ 𝑆)
27	19, 25, 26	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto→𝑦) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ 𝑆)
28	18, 27	eqeltrd 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto→𝑦) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)
29	28	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → (𝑒:ℕ–onto→𝑦 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆))
30	29	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑒:ℕ–onto→𝑦 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆))
31	30	3adantl3 1169	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑒:ℕ–onto→𝑦 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆))
32	31	exlimdv 1933	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (∃𝑒 𝑒:ℕ–onto→𝑦 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆))
33	16, 32	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)
34	14, 33	syldan 591	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)
35	12, 34	pm2.61dan 812	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)
36	1, 2, 3, 4, 35	issald 46325	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3908   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  𝒫 cpw 4559  ∪ cuni 4867  ∪ ciun 4951   class class class wbr 5102  ⟶wf 6495  –onto→wfo 6497  ‘cfv 6499  ωcom 7822   ≼ cdom 8893  ℕcn 12164  SAlgcsalg 46300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9572  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-nn 12165  df-n0 12421  df-z 12508  df-uz 12772  df-salg 46301

This theorem is referenced by:  dmvolsal  46338  subsalsal  46351  smfresal  46780