Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issalnnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issalnnd 43153
 Description: Sufficient condition to prove that 𝑆 is sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issalnnd.s (𝜑𝑆𝑉)
issalnnd.z (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
issalnnd.x 𝑋 = 𝑆
issalnnd.d ((𝜑𝑦𝑆) → (𝑋𝑦) ∈ 𝑆)
issalnnd.i ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
issalnnd (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
Distinct variable groups:   𝑆,𝑒,𝑦   𝑒,𝑛,𝑦   𝜑,𝑒,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑉(𝑦,𝑒,𝑛)   𝑋(𝑦,𝑒,𝑛)

Proof of Theorem issalnnd
StepHypRef Expression
1 issalnnd.s . 2 (𝜑𝑆𝑉)
2 issalnnd.z . 2 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
3 issalnnd.x . 2 𝑋 = 𝑆
4 issalnnd.d . 2 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝑋𝑦) ∈ 𝑆)
5 unieq 4815 . . . . . . 7 (𝑦 = ∅ → 𝑦 = ∅)
6 uni0 4832 . . . . . . . 8 ∅ = ∅
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 = ∅ → ∅ = ∅)
85, 7eqtrd 2833 . . . . . 6 (𝑦 = ∅ → 𝑦 = ∅)
98adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑦 = ∅) → 𝑦 = ∅)
102adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑦 = ∅) → ∅ ∈ 𝑆)
119, 10eqeltrd 2890 . . . 4 ((𝜑𝑦 = ∅) → 𝑦𝑆)
12113ad2antl1 1182 . . 3 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 = ∅) → 𝑦𝑆)
13 neqne 2995 . . . . 5 𝑦 = ∅ → 𝑦 ≠ ∅)
1413adantl 485 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → 𝑦 ≠ ∅)
15 nnfoctb 41852 . . . . . 6 ((𝑦 ≼ ω ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∃𝑒 𝑒:ℕ–onto𝑦)
16153ad2antl3 1184 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∃𝑒 𝑒:ℕ–onto𝑦)
17 founiiun 41974 . . . . . . . . . . 11 (𝑒:ℕ–onto𝑦 𝑦 = 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
1817adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto𝑦) → 𝑦 = 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
19 simpll 766 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto𝑦) → 𝜑)
20 fof 6573 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒:ℕ–onto𝑦𝑒:ℕ⟶𝑦)
2120adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑒:ℕ–onto𝑦) → 𝑒:ℕ⟶𝑦)
22 elpwi 4509 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑆)
2322adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑒:ℕ–onto𝑦) → 𝑦𝑆)
2421, 23fssd 6510 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑒:ℕ–onto𝑦) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
2524adantll 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto𝑦) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
26 issalnnd.i . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛) ∈ 𝑆)
2719, 25, 26syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto𝑦) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛) ∈ 𝑆)
2818, 27eqeltrd 2890 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto𝑦) → 𝑦𝑆)
2928ex 416 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → (𝑒:ℕ–onto𝑦 𝑦𝑆))
3029adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑒:ℕ–onto𝑦 𝑦𝑆))
31303adantl3 1165 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑒:ℕ–onto𝑦 𝑦𝑆))
3231exlimdv 1934 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (∃𝑒 𝑒:ℕ–onto𝑦 𝑦𝑆))
3316, 32mpd 15 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦𝑆)
3414, 33syldan 594 . . 3 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → 𝑦𝑆)
3512, 34pm2.61dan 812 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) → 𝑦𝑆)
361, 2, 3, 4, 35issald 43141 1 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ∅c0 4246  𝒫 cpw 4500  ∪ cuni 4804  ∪ ciun 4885   class class class wbr 5034  ⟶wf 6328  –onto→wfo 6330  ‘cfv 6332  ωcom 7573   ≼ cdom 8508  ℕcn 11643  SAlgcsalg 43118 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-inf2 9106  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-salg 43119 This theorem is referenced by:  dmvolsal  43154  subsalsal  43167  smfresal  43588
 Copyright terms: Public domain W3C validator