Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issalnnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issalnnd 44834
Description: Sufficient condition to prove that 𝑆 is sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issalnnd.s (𝜑𝑆𝑉)
issalnnd.z (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
issalnnd.x 𝑋 = 𝑆
issalnnd.d ((𝜑𝑦𝑆) → (𝑋𝑦) ∈ 𝑆)
issalnnd.i ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
issalnnd (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
Distinct variable groups:   𝑆,𝑒,𝑦   𝑒,𝑛,𝑦   𝜑,𝑒,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑉(𝑦,𝑒,𝑛)   𝑋(𝑦,𝑒,𝑛)

Proof of Theorem issalnnd
StepHypRef Expression
1 issalnnd.s . 2 (𝜑𝑆𝑉)
2 issalnnd.z . 2 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
3 issalnnd.x . 2 𝑋 = 𝑆
4 issalnnd.d . 2 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝑋𝑦) ∈ 𝑆)
5 unieq 4912 . . . . . . 7 (𝑦 = ∅ → 𝑦 = ∅)
6 uni0 4932 . . . . . . . 8 ∅ = ∅
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 = ∅ → ∅ = ∅)
85, 7eqtrd 2771 . . . . . 6 (𝑦 = ∅ → 𝑦 = ∅)
98adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑦 = ∅) → 𝑦 = ∅)
102adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 = ∅) → ∅ ∈ 𝑆)
119, 10eqeltrd 2832 . . . 4 ((𝜑𝑦 = ∅) → 𝑦𝑆)
12113ad2antl1 1185 . . 3 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 = ∅) → 𝑦𝑆)
13 neqne 2947 . . . . 5 𝑦 = ∅ → 𝑦 ≠ ∅)
1413adantl 482 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → 𝑦 ≠ ∅)
15 nnfoctb 43505 . . . . . 6 ((𝑦 ≼ ω ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∃𝑒 𝑒:ℕ–onto𝑦)
16153ad2antl3 1187 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∃𝑒 𝑒:ℕ–onto𝑦)
17 founiiun 43646 . . . . . . . . . . 11 (𝑒:ℕ–onto𝑦 𝑦 = 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
1817adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto𝑦) → 𝑦 = 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
19 simpll 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto𝑦) → 𝜑)
20 fof 6792 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒:ℕ–onto𝑦𝑒:ℕ⟶𝑦)
2120adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑒:ℕ–onto𝑦) → 𝑒:ℕ⟶𝑦)
22 elpwi 4603 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑆)
2322adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑒:ℕ–onto𝑦) → 𝑦𝑆)
2421, 23fssd 6722 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑒:ℕ–onto𝑦) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
2524adantll 712 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto𝑦) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
26 issalnnd.i . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛) ∈ 𝑆)
2719, 25, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto𝑦) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛) ∈ 𝑆)
2818, 27eqeltrd 2832 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto𝑦) → 𝑦𝑆)
2928ex 413 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → (𝑒:ℕ–onto𝑦 𝑦𝑆))
3029adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑒:ℕ–onto𝑦 𝑦𝑆))
31303adantl3 1168 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑒:ℕ–onto𝑦 𝑦𝑆))
3231exlimdv 1936 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (∃𝑒 𝑒:ℕ–onto𝑦 𝑦𝑆))
3316, 32mpd 15 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦𝑆)
3414, 33syldan 591 . . 3 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → 𝑦𝑆)
3512, 34pm2.61dan 811 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) → 𝑦𝑆)
361, 2, 3, 4, 35issald 44822 1 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2939  cdif 3941  wss 3944  c0 4318  𝒫 cpw 4596   cuni 4901   ciun 4990   class class class wbr 5141  wf 6528  ontowfo 6530  cfv 6532  ωcom 7838  cdom 8920  cn 12194  SAlgcsalg 44797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-salg 44798
This theorem is referenced by:  dmvolsal  44835  subsalsal  44848  smfresal  45277
  Copyright terms: Public domain W3C validator