Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issalnnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issalnnd 45606
Description: Sufficient condition to prove that 𝑆 is sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issalnnd.s (𝜑𝑆𝑉)
issalnnd.z (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
issalnnd.x 𝑋 = 𝑆
issalnnd.d ((𝜑𝑦𝑆) → (𝑋𝑦) ∈ 𝑆)
issalnnd.i ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
issalnnd (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
Distinct variable groups:   𝑆,𝑒,𝑦   𝑒,𝑛,𝑦   𝜑,𝑒,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑉(𝑦,𝑒,𝑛)   𝑋(𝑦,𝑒,𝑛)

Proof of Theorem issalnnd
StepHypRef Expression
1 issalnnd.s . 2 (𝜑𝑆𝑉)
2 issalnnd.z . 2 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
3 issalnnd.x . 2 𝑋 = 𝑆
4 issalnnd.d . 2 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝑋𝑦) ∈ 𝑆)
5 unieq 4911 . . . . . . 7 (𝑦 = ∅ → 𝑦 = ∅)
6 uni0 4930 . . . . . . . 8 ∅ = ∅
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 = ∅ → ∅ = ∅)
85, 7eqtrd 2764 . . . . . 6 (𝑦 = ∅ → 𝑦 = ∅)
98adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 = ∅) → 𝑦 = ∅)
102adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑦 = ∅) → ∅ ∈ 𝑆)
119, 10eqeltrd 2825 . . . 4 ((𝜑𝑦 = ∅) → 𝑦𝑆)
12113ad2antl1 1182 . . 3 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 = ∅) → 𝑦𝑆)
13 neqne 2940 . . . . 5 𝑦 = ∅ → 𝑦 ≠ ∅)
1413adantl 481 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → 𝑦 ≠ ∅)
15 nnfoctb 44282 . . . . . 6 ((𝑦 ≼ ω ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∃𝑒 𝑒:ℕ–onto𝑦)
16153ad2antl3 1184 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∃𝑒 𝑒:ℕ–onto𝑦)
17 founiiun 44423 . . . . . . . . . . 11 (𝑒:ℕ–onto𝑦 𝑦 = 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
1817adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto𝑦) → 𝑦 = 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
19 simpll 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto𝑦) → 𝜑)
20 fof 6796 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒:ℕ–onto𝑦𝑒:ℕ⟶𝑦)
2120adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑒:ℕ–onto𝑦) → 𝑒:ℕ⟶𝑦)
22 elpwi 4602 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑆)
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑒:ℕ–onto𝑦) → 𝑦𝑆)
2421, 23fssd 6726 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑒:ℕ–onto𝑦) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
2524adantll 711 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto𝑦) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
26 issalnnd.i . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛) ∈ 𝑆)
2719, 25, 26syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto𝑦) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛) ∈ 𝑆)
2818, 27eqeltrd 2825 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto𝑦) → 𝑦𝑆)
2928ex 412 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → (𝑒:ℕ–onto𝑦 𝑦𝑆))
3029adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑒:ℕ–onto𝑦 𝑦𝑆))
31303adantl3 1165 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑒:ℕ–onto𝑦 𝑦𝑆))
3231exlimdv 1928 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (∃𝑒 𝑒:ℕ–onto𝑦 𝑦𝑆))
3316, 32mpd 15 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦𝑆)
3414, 33syldan 590 . . 3 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → 𝑦𝑆)
3512, 34pm2.61dan 810 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) → 𝑦𝑆)
361, 2, 3, 4, 35issald 45594 1 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  wne 2932  cdif 3938  wss 3941  c0 4315  𝒫 cpw 4595   cuni 4900   ciun 4988   class class class wbr 5139  wf 6530  ontowfo 6532  cfv 6534  ωcom 7849  cdom 8934  cn 12211  SAlgcsalg 45569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-salg 45570
This theorem is referenced by:  dmvolsal  45607  subsalsal  45620  smfresal  46049
  Copyright terms: Public domain W3C validator