Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issalnnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issalnnd 45733
Description: Sufficient condition to prove that 𝑆 is sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issalnnd.s (𝜑𝑆𝑉)
issalnnd.z (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
issalnnd.x 𝑋 = 𝑆
issalnnd.d ((𝜑𝑦𝑆) → (𝑋𝑦) ∈ 𝑆)
issalnnd.i ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
issalnnd (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
Distinct variable groups:   𝑆,𝑒,𝑦   𝑒,𝑛,𝑦   𝜑,𝑒,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑉(𝑦,𝑒,𝑛)   𝑋(𝑦,𝑒,𝑛)

Proof of Theorem issalnnd
StepHypRef Expression
1 issalnnd.s . 2 (𝜑𝑆𝑉)
2 issalnnd.z . 2 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
3 issalnnd.x . 2 𝑋 = 𝑆
4 issalnnd.d . 2 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝑋𝑦) ∈ 𝑆)
5 unieq 4919 . . . . . . 7 (𝑦 = ∅ → 𝑦 = ∅)
6 uni0 4938 . . . . . . . 8 ∅ = ∅
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 = ∅ → ∅ = ∅)
85, 7eqtrd 2768 . . . . . 6 (𝑦 = ∅ → 𝑦 = ∅)
98adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 = ∅) → 𝑦 = ∅)
102adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑦 = ∅) → ∅ ∈ 𝑆)
119, 10eqeltrd 2829 . . . 4 ((𝜑𝑦 = ∅) → 𝑦𝑆)
12113ad2antl1 1183 . . 3 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 = ∅) → 𝑦𝑆)
13 neqne 2945 . . . . 5 𝑦 = ∅ → 𝑦 ≠ ∅)
1413adantl 481 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → 𝑦 ≠ ∅)
15 nnfoctb 44411 . . . . . 6 ((𝑦 ≼ ω ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∃𝑒 𝑒:ℕ–onto𝑦)
16153ad2antl3 1185 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∃𝑒 𝑒:ℕ–onto𝑦)
17 founiiun 44552 . . . . . . . . . . 11 (𝑒:ℕ–onto𝑦 𝑦 = 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
1817adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto𝑦) → 𝑦 = 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
19 simpll 766 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto𝑦) → 𝜑)
20 fof 6811 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒:ℕ–onto𝑦𝑒:ℕ⟶𝑦)
2120adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑒:ℕ–onto𝑦) → 𝑒:ℕ⟶𝑦)
22 elpwi 4610 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑆)
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑒:ℕ–onto𝑦) → 𝑦𝑆)
2421, 23fssd 6740 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑒:ℕ–onto𝑦) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
2524adantll 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto𝑦) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
26 issalnnd.i . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛) ∈ 𝑆)
2719, 25, 26syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto𝑦) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛) ∈ 𝑆)
2818, 27eqeltrd 2829 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto𝑦) → 𝑦𝑆)
2928ex 412 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → (𝑒:ℕ–onto𝑦 𝑦𝑆))
3029adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑒:ℕ–onto𝑦 𝑦𝑆))
31303adantl3 1166 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑒:ℕ–onto𝑦 𝑦𝑆))
3231exlimdv 1929 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (∃𝑒 𝑒:ℕ–onto𝑦 𝑦𝑆))
3316, 32mpd 15 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦𝑆)
3414, 33syldan 590 . . 3 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → 𝑦𝑆)
3512, 34pm2.61dan 812 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) → 𝑦𝑆)
361, 2, 3, 4, 35issald 45721 1 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  wne 2937  cdif 3944  wss 3947  c0 4323  𝒫 cpw 4603   cuni 4908   ciun 4996   class class class wbr 5148  wf 6544  ontowfo 6546  cfv 6548  ωcom 7870  cdom 8961  cn 12242  SAlgcsalg 45696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-salg 45697
This theorem is referenced by:  dmvolsal  45734  subsalsal  45747  smfresal  46176
  Copyright terms: Public domain W3C validator