Theorem issalnnd 47271

Description: Sufficient condition to prove that 𝑆 is sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
issalnnd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
issalnnd.z	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
issalnnd.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝑆
issalnnd.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∖ 𝑦) ∈ 𝑆)
issalnnd.i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
issalnnd	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)

Distinct variable groups:   𝑆,𝑒,𝑦   𝑒,𝑛,𝑦   𝜑,𝑒,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑉(𝑦, 𝑒, 𝑛)   𝑋(𝑦, 𝑒, 𝑛)

Proof of Theorem issalnnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issalnnd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
2		issalnnd.z	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
3		issalnnd.x	. 2 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝑆
4		issalnnd.d	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∖ 𝑦) ∈ 𝑆)
5		unieq 4878	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ∅ → ∪ 𝑦 = ∪ ∅)
6		uni0 4896	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ ∅ = ∅
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ∅ → ∪ ∅ = ∅)
8	5, 7	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ∅ → ∪ 𝑦 = ∅)
9	8	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = ∅) → ∪ 𝑦 = ∅)
10	2	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = ∅) → ∅ ∈ 𝑆)
11	9, 10	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = ∅) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)
12	11	3ad2antl1 1204	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 = ∅) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)
13		neqne 2963	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑦 = ∅ → 𝑦 ≠ ∅)
14	13	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → 𝑦 ≠ ∅)
15		nnfoctb 45980	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ≼ ω ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∃𝑒 𝑒:ℕ–onto→𝑦)
16	15	3ad2antl3 1206	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∃𝑒 𝑒:ℕ–onto→𝑦)
17		founiiun 46109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒:ℕ–onto→𝑦 → ∪ 𝑦 = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛))
18	17	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto→𝑦) → ∪ 𝑦 = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛))
19		simpll 779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto→𝑦) → 𝜑)
20		fof 6785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒:ℕ–onto→𝑦 → 𝑒:ℕ⟶𝑦)
21	20	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑒:ℕ–onto→𝑦) → 𝑒:ℕ⟶𝑦)
22		elpwi 4564	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 → 𝑦 ⊆ 𝑆)
23	22	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑒:ℕ–onto→𝑦) → 𝑦 ⊆ 𝑆)
24	21, 23	fssd 6716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑒:ℕ–onto→𝑦) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
25	24	adantll 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto→𝑦) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
26		issalnnd.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ 𝑆)
27	19, 25, 26	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto→𝑦) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ 𝑆)
28	18, 27	eqeltrd 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto→𝑦) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)
29	28	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → (𝑒:ℕ–onto→𝑦 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆))
30	29	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑒:ℕ–onto→𝑦 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆))
31	30	3adantl3 1187	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑒:ℕ–onto→𝑦 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆))
32	31	exlimdv 1966	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (∃𝑒 𝑒:ℕ–onto→𝑦 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆))
33	16, 32	mpd 16	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)
34	14, 33	syldan 603	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)
35	12, 34	pm2.61dan 825	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)
36	1, 2, 3, 4, 35	issald 47259	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  ∪ cuni 4867  ∪ ciun 4951   class class class wbr 5103  ⟶wf 6524  –onto→wfo 6526  ‘cfv 6528  ωcom 7861   ≼ cdom 8950  ℕcn 12290  SAlgcsalg 47234

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-inf2 9620  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-salg 47235

This theorem is used by:  dmvolsal  47272  subsalsal  47285  smfresal  47714