Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issalnnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issalnnd 42060
Description: Sufficient condition to prove that 𝑆 is sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issalnnd.s (𝜑𝑆𝑉)
issalnnd.z (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
issalnnd.x 𝑋 = 𝑆
issalnnd.d ((𝜑𝑦𝑆) → (𝑋𝑦) ∈ 𝑆)
issalnnd.i ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
issalnnd (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
Distinct variable groups:   𝑆,𝑒,𝑦   𝑒,𝑛,𝑦   𝜑,𝑒,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑉(𝑦,𝑒,𝑛)   𝑋(𝑦,𝑒,𝑛)

Proof of Theorem issalnnd
StepHypRef Expression
1 issalnnd.s . 2 (𝜑𝑆𝑉)
2 issalnnd.z . 2 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
3 issalnnd.x . 2 𝑋 = 𝑆
4 issalnnd.d . 2 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝑋𝑦) ∈ 𝑆)
5 unieq 4721 . . . . . . 7 (𝑦 = ∅ → 𝑦 = ∅)
6 uni0 4740 . . . . . . . 8 ∅ = ∅
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 = ∅ → ∅ = ∅)
85, 7eqtrd 2814 . . . . . 6 (𝑦 = ∅ → 𝑦 = ∅)
98adantl 474 . . . . 5 ((𝜑𝑦 = ∅) → 𝑦 = ∅)
102adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑦 = ∅) → ∅ ∈ 𝑆)
119, 10eqeltrd 2866 . . . 4 ((𝜑𝑦 = ∅) → 𝑦𝑆)
12113ad2antl1 1165 . . 3 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 = ∅) → 𝑦𝑆)
13 neqne 2975 . . . . 5 𝑦 = ∅ → 𝑦 ≠ ∅)
1413adantl 474 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → 𝑦 ≠ ∅)
15 nnfoctb 40728 . . . . . 6 ((𝑦 ≼ ω ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∃𝑒 𝑒:ℕ–onto𝑦)
16153ad2antl3 1167 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∃𝑒 𝑒:ℕ–onto𝑦)
17 founiiun 40860 . . . . . . . . . . 11 (𝑒:ℕ–onto𝑦 𝑦 = 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
1817adantl 474 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto𝑦) → 𝑦 = 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
19 simpll 754 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto𝑦) → 𝜑)
20 fof 6421 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒:ℕ–onto𝑦𝑒:ℕ⟶𝑦)
2120adantl 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑒:ℕ–onto𝑦) → 𝑒:ℕ⟶𝑦)
22 elpwi 4433 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑆)
2322adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑒:ℕ–onto𝑦) → 𝑦𝑆)
2421, 23fssd 6360 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑒:ℕ–onto𝑦) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
2524adantll 701 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto𝑦) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
26 issalnnd.i . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛) ∈ 𝑆)
2719, 25, 26syl2anc 576 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto𝑦) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛) ∈ 𝑆)
2818, 27eqeltrd 2866 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto𝑦) → 𝑦𝑆)
2928ex 405 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → (𝑒:ℕ–onto𝑦 𝑦𝑆))
3029adantr 473 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑒:ℕ–onto𝑦 𝑦𝑆))
31303adantl3 1148 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑒:ℕ–onto𝑦 𝑦𝑆))
3231exlimdv 1892 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (∃𝑒 𝑒:ℕ–onto𝑦 𝑦𝑆))
3316, 32mpd 15 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦𝑆)
3414, 33syldan 582 . . 3 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → 𝑦𝑆)
3512, 34pm2.61dan 800 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) → 𝑦𝑆)
361, 2, 3, 4, 35issald 42048 1 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wex 1742  wcel 2050  wne 2967  cdif 3828  wss 3831  c0 4180  𝒫 cpw 4423   cuni 4713   ciun 4793   class class class wbr 4930  wf 6186  ontowfo 6188  cfv 6190  ωcom 7398  cdom 8306  cn 11441  SAlgcsalg 42025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-inf2 8900  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-nn 11442  df-n0 11711  df-z 11797  df-uz 12062  df-salg 42026
This theorem is referenced by:  dmvolsal  42061  subsalsal  42074  smfresal  42495
  Copyright terms: Public domain W3C validator