Theorem dmvolsal 43775

Description: Lebesgue measurable sets form a sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dmvolsal	⊢ dom vol ∈ SAlg

Proof of Theorem dmvolsal

Dummy variables 𝑒 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 10893	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
2	1	pwex 5298	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ℝ ∈ V
3		dmvolss 43416	. . . . 5 ⊢ dom vol ⊆ 𝒫 ℝ
4	2, 3	ssexi 5241	. . . 4 ⊢ dom vol ∈ V
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → dom vol ∈ V)
6		0mbl 24608	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ dom vol
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ dom vol)
8		unidmvol 24610	. . . 4 ⊢ ∪ dom vol = ℝ
9	8	eqcomi 2747	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ dom vol
10		cmmbl 24603	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝑦) ∈ dom vol)
11	10	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ dom vol) → (ℝ ∖ 𝑦) ∈ dom vol)
12		ffvelrn 6941	. . . . . 6 ⊢ ((𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑒‘𝑛) ∈ dom vol)
13	12	ralrimiva 3107	. . . . 5 ⊢ (𝑒:ℕ⟶dom vol → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ dom vol)
14		iunmbl 24622	. . . . 5 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ dom vol)
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑒:ℕ⟶dom vol → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ dom vol)
16	15	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑒:ℕ⟶dom vol) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ dom vol)
17	5, 7, 9, 11, 16	issalnnd 43774	. 2 ⊢ (⊤ → dom vol ∈ SAlg)
18	17	mptru 1546	1 ⊢ dom vol ∈ SAlg

Syntax hints:  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880  ∅c0 4253  𝒫 cpw 4530  ∪ cuni 4836  ∪ ciun 4921  dom cdm 5580  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  ℝcr 10801  ℕcn 11903  volcvol 24532  SAlgcsalg 43739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cc 10122  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xadd 12778  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-xmet 20503  df-met 20504  df-ovol 24533  df-vol 24534  df-salg 43740

This theorem is referenced by:  volmea  43902  mbfresmf  44162  smfmbfcex  44182