Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dmvolsal Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmvolsal 42828
Description: Lebesgue measurable sets form a sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
dmvolsal dom vol ∈ SAlg

Proof of Theorem dmvolsal
Dummy variables 𝑒 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 10613 . . . . . 6 ℝ ∈ V
21pwex 5262 . . . . 5 𝒫 ℝ ∈ V
3 dmvolss 42469 . . . . 5 dom vol ⊆ 𝒫 ℝ
42, 3ssexi 5207 . . . 4 dom vol ∈ V
54a1i 11 . . 3 (⊤ → dom vol ∈ V)
6 0mbl 24132 . . . 4 ∅ ∈ dom vol
76a1i 11 . . 3 (⊤ → ∅ ∈ dom vol)
8 unidmvol 24134 . . . 4 dom vol = ℝ
98eqcomi 2833 . . 3 ℝ = dom vol
10 cmmbl 24127 . . . 4 (𝑦 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝑦) ∈ dom vol)
1110adantl 485 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ dom vol) → (ℝ ∖ 𝑦) ∈ dom vol)
12 ffvelrn 6830 . . . . . 6 ((𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑒𝑛) ∈ dom vol)
1312ralrimiva 3176 . . . . 5 (𝑒:ℕ⟶dom vol → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛) ∈ dom vol)
14 iunmbl 24146 . . . . 5 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛) ∈ dom vol → 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛) ∈ dom vol)
1513, 14syl 17 . . . 4 (𝑒:ℕ⟶dom vol → 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛) ∈ dom vol)
1615adantl 485 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑒:ℕ⟶dom vol) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛) ∈ dom vol)
175, 7, 9, 11, 16issalnnd 42827 . 2 (⊤ → dom vol ∈ SAlg)
1817mptru 1545 1 dom vol ∈ SAlg
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wtru 1539  wcel 2115  wral 3132  Vcvv 3479  cdif 3915  c0 4274  𝒫 cpw 4520   cuni 4819   ciun 4900  dom cdm 5536  wf 6332  cfv 6336  cr 10521  cn 11623  volcvol 24056  SAlgcsalg 42792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-inf2 9088  ax-cc 9842  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-disj 5013  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-se 5496  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-of 7392  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-q 12335  df-rp 12376  df-xadd 12494  df-ioo 12728  df-ico 12730  df-icc 12731  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-seq 13363  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14447  df-re 14448  df-im 14449  df-sqrt 14583  df-abs 14584  df-clim 14834  df-rlim 14835  df-sum 15032  df-xmet 20524  df-met 20525  df-ovol 24057  df-vol 24058  df-salg 42793
This theorem is referenced by:  volmea  42955  mbfresmf  43215  smfmbfcex  43235
  Copyright terms: Public domain W3C validator