Theorem dmvolsal 46347

Description: Lebesgue measurable sets form a sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dmvolsal	⊢ dom vol ∈ SAlg

Proof of Theorem dmvolsal

Dummy variables 𝑒 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11100	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
2	1	pwex 5319	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ℝ ∈ V
3		dmvolss 45986	. . . . 5 ⊢ dom vol ⊆ 𝒫 ℝ
4	2, 3	ssexi 5261	. . . 4 ⊢ dom vol ∈ V
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → dom vol ∈ V)
6		0mbl 25438	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ dom vol
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ dom vol)
8		unidmvol 25440	. . . 4 ⊢ ∪ dom vol = ℝ
9	8	eqcomi 2738	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ dom vol
10		cmmbl 25433	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝑦) ∈ dom vol)
11	10	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ dom vol) → (ℝ ∖ 𝑦) ∈ dom vol)
12		ffvelcdm 7015	. . . . . 6 ⊢ ((𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑒‘𝑛) ∈ dom vol)
13	12	ralrimiva 3121	. . . . 5 ⊢ (𝑒:ℕ⟶dom vol → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ dom vol)
14		iunmbl 25452	. . . . 5 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ dom vol)
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑒:ℕ⟶dom vol → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ dom vol)
16	15	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑒:ℕ⟶dom vol) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ dom vol)
17	5, 7, 9, 11, 16	issalnnd 46346	. 2 ⊢ (⊤ → dom vol ∈ SAlg)
18	17	mptru 1547	1 ⊢ dom vol ∈ SAlg

Syntax hints:  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3436   ∖ cdif 3900  ∅c0 4284  𝒫 cpw 4551  ∪ cuni 4858  ∪ ciun 4941  dom cdm 5619  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  ℝcr 11008  ℕcn 12128  volcvol 25362  SAlgcsalg 46309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cc 10329  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-disj 5060  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-dju 9797  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xadd 13015  df-ioo 13252  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-xmet 21254  df-met 21255  df-ovol 25363  df-vol 25364  df-salg 46310

This theorem is referenced by:  volmea  46475  mbfresmf  46740  smfmbfcex  46761