Theorem dmvolsal 46801

Description: Lebesgue measurable sets form a sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dmvolsal	⊢ dom vol ∈ SAlg

Proof of Theorem dmvolsal

Dummy variables 𝑒 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11125	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
2	1	pwex 5311	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ℝ ∈ V
3		dmvolss 46440	. . . . 5 ⊢ dom vol ⊆ 𝒫 ℝ
4	2, 3	ssexi 5252	. . . 4 ⊢ dom vol ∈ V
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → dom vol ∈ V)
6		0mbl 25527	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ dom vol
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ dom vol)
8		unidmvol 25529	. . . 4 ⊢ ∪ dom vol = ℝ
9	8	eqcomi 2750	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ dom vol
10		cmmbl 25522	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝑦) ∈ dom vol)
11	10	adantl 483	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ dom vol) → (ℝ ∖ 𝑦) ∈ dom vol)
12		ffvelcdm 7025	. . . . . 6 ⊢ ((𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑒‘𝑛) ∈ dom vol)
13	12	ralrimiva 3133	. . . . 5 ⊢ (𝑒:ℕ⟶dom vol → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ dom vol)
14		iunmbl 25541	. . . . 5 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ dom vol)
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑒:ℕ⟶dom vol → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ dom vol)
16	15	adantl 483	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑒:ℕ⟶dom vol) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ dom vol)
17	5, 7, 9, 11, 16	issalnnd 46800	. 2 ⊢ (⊤ → dom vol ∈ SAlg)
18	17	mptru 1555	1 ⊢ dom vol ∈ SAlg

Syntax hints:  ⊤wtru 1549   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055  Vcvv 3433   ∖ cdif 3881  ∅c0 4263  𝒫 cpw 4531  ∪ cuni 4840  ∪ ciun 4923  dom cdm 5620  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  ℝcr 11033  ℕcn 12169  volcvol 25451  SAlgcsalg 46763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-inf2 9557  ax-cc 10353  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111  ax-pre-sup 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-disj 5042  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-of 7623  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-dju 9820  df-card 9858  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-div 11804  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xadd 13059  df-ioo 13297  df-ico 13299  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-rlim 15446  df-sum 15644  df-xmet 21343  df-met 21344  df-ovol 25452  df-vol 25453  df-salg 46764

This theorem is referenced by:  volmea  46929  mbfresmf  47194  smfmbfcex  47215