Theorem dmvolsal 45524

Description: Lebesgue measurable sets form a sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dmvolsal	⊢ dom vol ∈ SAlg

Proof of Theorem dmvolsal

Dummy variables 𝑒 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11207	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
2	1	pwex 5378	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ℝ ∈ V
3		dmvolss 45163	. . . . 5 ⊢ dom vol ⊆ 𝒫 ℝ
4	2, 3	ssexi 5322	. . . 4 ⊢ dom vol ∈ V
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → dom vol ∈ V)
6		0mbl 25389	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ dom vol
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ dom vol)
8		unidmvol 25391	. . . 4 ⊢ ∪ dom vol = ℝ
9	8	eqcomi 2740	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ dom vol
10		cmmbl 25384	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝑦) ∈ dom vol)
11	10	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ dom vol) → (ℝ ∖ 𝑦) ∈ dom vol)
12		ffvelcdm 7083	. . . . . 6 ⊢ ((𝑒:ℕ⟶dom vol ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑒‘𝑛) ∈ dom vol)
13	12	ralrimiva 3145	. . . . 5 ⊢ (𝑒:ℕ⟶dom vol → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ dom vol)
14		iunmbl 25403	. . . . 5 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ dom vol)
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑒:ℕ⟶dom vol → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ dom vol)
16	15	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑒:ℕ⟶dom vol) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ dom vol)
17	5, 7, 9, 11, 16	issalnnd 45523	. 2 ⊢ (⊤ → dom vol ∈ SAlg)
18	17	mptru 1547	1 ⊢ dom vol ∈ SAlg

Syntax hints:  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  Vcvv 3473   ∖ cdif 3945  ∅c0 4322  𝒫 cpw 4602  ∪ cuni 4908  ∪ ciun 4997  dom cdm 5676  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  ℝcr 11115  ℕcn 12219  volcvol 25313  SAlgcsalg 45486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cc 10436  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-dju 9902  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xadd 13100  df-ioo 13335  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-xmet 21227  df-met 21228  df-ovol 25314  df-vol 25315  df-salg 45487

This theorem is referenced by:  volmea  45652  mbfresmf  45917  smfmbfcex  45938