Theorem itcovalpclem1 48058

Description: Lemma 1 for itcovalpc 48060: induction basis. (Contributed by AV, 4-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
itcovalpc.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
itcovalpclem1	⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘𝐹)‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + (𝐶 · 0))))

Distinct variable group:   𝐶,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem itcovalpclem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ex 12530	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
2		ovexd 7459	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 𝐶) ∈ V)
3	2	rgen 3053	. . 3 ⊢ ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 + 𝐶) ∈ V
4		itcovalpc.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 𝐶))
5	4	itcoval0mpt 48054	. . 3 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 + 𝐶) ∈ V) → ((IterComp‘𝐹)‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
6	1, 3, 5	mp2an 690	. 2 ⊢ ((IterComp‘𝐹)‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛)
7		nn0cn 12534	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → 𝐶 ∈ ℂ)
8	7	mul01d 11463	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → (𝐶 · 0) = 0)
9	8	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐶 · 0) = 0)
10	9	oveq2d 7440	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 + (𝐶 · 0)) = (𝑛 + 0))
11		nn0cn 12534	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
12	11	addridd 11464	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 0) = 𝑛)
13	12	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 + 0) = 𝑛)
14	10, 13	eqtr2d 2767	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 = (𝑛 + (𝐶 · 0)))
15	14	mpteq2dva 5253	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + (𝐶 · 0))))
16	6, 15	eqtrid 2778	1 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘𝐹)‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + (𝐶 · 0))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051  Vcvv 3462   ↦ cmpt 5236  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  0cc0 11158   + caddc 11161   · cmul 11163  ℕ₀cn0 12524  IterCompcitco 48045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-seq 14022  df-itco 48047

This theorem is referenced by:  itcovalpc  48060