Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itcovalpclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itcovalpclem1 45098
 Description: Lemma 1 for itcovalpc 45100: induction basis. (Contributed by AV, 4-May-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
itcovalpc.f 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 𝐶))
Assertion
Ref Expression
itcovalpclem1 (𝐶 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘𝐹)‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + (𝐶 · 0))))
Distinct variable group:   𝐶,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem itcovalpclem1
StepHypRef Expression
1 nn0ex 11893 . . 3 0 ∈ V
2 ovexd 7170 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 𝐶) ∈ V)
32rgen 3116 . . 3 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 + 𝐶) ∈ V
4 itcovalpc.f . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 𝐶))
54itcoval0mpt 45094 . . 3 ((ℕ0 ∈ V ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 + 𝐶) ∈ V) → ((IterComp‘𝐹)‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0𝑛))
61, 3, 5mp2an 691 . 2 ((IterComp‘𝐹)‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0𝑛)
7 nn0cn 11897 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℂ)
87mul01d 10830 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℕ0 → (𝐶 · 0) = 0)
98adantr 484 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐶 · 0) = 0)
109oveq2d 7151 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 + (𝐶 · 0)) = (𝑛 + 0))
11 nn0cn 11897 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℂ)
1211addid1d 10831 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 0) = 𝑛)
1312adantl 485 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 + 0) = 𝑛)
1410, 13eqtr2d 2834 . . 3 ((𝐶 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 = (𝑛 + (𝐶 · 0)))
1514mpteq2dva 5125 . 2 (𝐶 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℕ0𝑛) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + (𝐶 · 0))))
166, 15syl5eq 2845 1 (𝐶 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘𝐹)‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + (𝐶 · 0))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  Vcvv 3441   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10528   + caddc 10531   · cmul 10533  ℕ0cn0 11887  IterCompcitco 45085 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-inf2 9090  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-nn 11628  df-n0 11888  df-z 11972  df-uz 12234  df-seq 13367  df-itco 45087 This theorem is referenced by:  itcovalpc  45100
 Copyright terms: Public domain W3C validator