Theorem itcovalpclem1 48650

Description: Lemma 1 for itcovalpc 48652: induction basis. (Contributed by AV, 4-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
itcovalpc.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
itcovalpclem1	⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘𝐹)‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + (𝐶 · 0))))

Distinct variable group:   𝐶,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem itcovalpclem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ex 12507	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
2		ovexd 7440	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 𝐶) ∈ V)
3	2	rgen 3053	. . 3 ⊢ ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 + 𝐶) ∈ V
4		itcovalpc.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 𝐶))
5	4	itcoval0mpt 48646	. . 3 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 + 𝐶) ∈ V) → ((IterComp‘𝐹)‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
6	1, 3, 5	mp2an 692	. 2 ⊢ ((IterComp‘𝐹)‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛)
7		nn0cn 12511	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → 𝐶 ∈ ℂ)
8	7	mul01d 11434	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → (𝐶 · 0) = 0)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐶 · 0) = 0)
10	9	oveq2d 7421	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 + (𝐶 · 0)) = (𝑛 + 0))
11		nn0cn 12511	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
12	11	addridd 11435	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 0) = 𝑛)
13	12	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 + 0) = 𝑛)
14	10, 13	eqtr2d 2771	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 = (𝑛 + (𝐶 · 0)))
15	14	mpteq2dva 5214	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + (𝐶 · 0))))
16	6, 15	eqtrid 2782	1 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘𝐹)‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + (𝐶 · 0))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  Vcvv 3459   ↦ cmpt 5201  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  0cc0 11129   + caddc 11132   · cmul 11134  ℕ₀cn0 12501  IterCompcitco 48637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-seq 14020  df-itco 48639

This theorem is referenced by:  itcovalpc  48652