Theorem peano2nn0 11938

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 11914	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		nn0addcl 11933	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3	1, 2	mpan2 689	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7156  1c1 10538   + caddc 10540  ℕ₀cn0 11898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-ltxr 10680  df-nn 11639  df-n0 11899

This theorem is referenced by:  nn0split  13023  fzonn0p1p1  13117  leexp2r  13539  expnbnd  13594  facdiv  13648  facwordi  13650  faclbnd  13651  faclbnd2  13652  faclbnd3  13653  faclbnd6  13660  bcnp1n  13675  bcp1m1  13681  bcpasc  13682  hashfz  13789  hashf1  13816  hashdifsnp1  13855  fi1uzind  13856  brfi1indALT  13859  pfxccatpfx2  14099  pfxccat3a  14100  swrds2  14302  iseraltlem2  15039  bcxmas  15190  climcndslem1  15204  climcnds  15206  pwdif  15223  geolim  15226  geo2sum  15229  mertenslem1  15240  mertenslem2  15241  mertens  15242  risefacp1  15383  fallfacp1  15384  binomfallfaclem1  15393  binomfallfaclem2  15394  fsumkthpow  15410  efcllem  15431  eftlub  15462  efsep  15463  effsumlt  15464  ruclem9  15591  nn0ob  15735  nn0oddm1d2  15736  pwp1fsum  15742  bitsp1  15780  sadcp1  15804  smuval2  15831  smu01lem  15834  smup1  15838  nn0seqcvgd  15914  algcvg  15920  nonsq  16099  iserodd  16172  pcprendvds  16177  pcpremul  16180  pcdvdsb  16205  4sqlem11  16291  vdwapun  16310  vdwlem1  16317  vdwlem9  16325  ramub1  16364  ramcl  16365  prmop1  16374  decexp2  16411  sylow1lem3  18725  efgsfo  18865  efgred  18874  telgsums  19113  telgsum  19114  srgbinomlem3  19292  srgbinomlem4  19293  assamulgscmlem2  20129  chfacffsupp  21464  chfacfscmulfsupp  21467  chfacfscmulgsum  21468  chfacfpmmulfsupp  21471  chfacfpmmulgsum  21472  cpnord  24532  ply1divex  24730  fta1glem1  24759  fta1glem2  24760  fta1g  24761  plyco0  24782  plyaddlem1  24803  plymullem1  24804  plyco  24831  dvply1  24873  dvply2g  24874  aaliou3lem8  24934  aaliou3lem9  24939  dvtaylp  24958  dvradcnv  25009  pserdvlem2  25016  advlogexp  25238  atantayl3  25517  leibpi  25520  log2cnv  25522  ftalem4  25653  ftalem5  25654  perfectlem1  25805  bcp1ctr  25855  2lgslem3d1  25979  dchrisum0flblem1  26084  ostth2lem2  26210  ostth2lem3  26211  crctcshwlkn0lem7  27594  wwlksnred  27670  wwlksnext  27671  wwlksnextbi  27672  wwlksnredwwlkn  27673  wwlksnredwwlkn0  27674  wwlksnfiOLD  27685  wwlksnextproplem1  27688  wwlksnextproplem2  27689  wwlksnextproplem3  27690  rusgrnumwwlks  27753  clwwlkf  27826  clwwlknonex2lem2  27887  eupth2lems  28017  eucrct2eupth  28024  numclwlk2lem2f  28156  nndiffz1  30509  subfacval2  32434  erdsze2lem1  32450  bccolsum  32971  fwddifnp1  33626  knoppndvlem6  33856  poimirlem17  34924  heiborlem3  35106  heiborlem4  35107  heiborlem6  35109  fac2xp3  39114  facp2  39115  sqn5i  39191  2rexfrabdioph  39413  elnn0rabdioph  39420  dvdsrabdioph  39427  jm2.17a  39577  jm2.17b  39578  expdiophlem1  39638  expdiophlem2  39639  hbt  39750  cotrclrcl  40107  k0004ss3  40523  bccp1k  40693  binomcxplemnn0  40701  ioodvbdlimc1lem2  42237  ioodvbdlimc2lem  42239  dvnmul  42248  stoweidlem17  42322  wallispilem1  42370  stirlinglem5  42383  etransclem23  42562  etransclem46  42585  etransclem48  42587  fmtnoge3  43712  fmtnorec1  43719  sqrtpwpw2p  43720  fmtnosqrt  43721  fmtnorec2lem  43724  fmtnorec3  43730  fmtnoprmfac1  43747  fmtnoprmfac2lem1  43748  fmtnofac1  43752  flsqrt  43776  perfectALTVlem1  43906  nn0eo  44608  fllog2  44648  dignnld  44683  0dig2nn0o  44693  dignn0ehalf  44697  dignn0flhalf  44698  nn0sumshdiglemA  44699  aacllem  44922