Theorem peano2nn0 12568

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12544	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		nn0addcl 12563	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3	1, 2	mpan2 704	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  1c1 11125   + caddc 11127  ℕ₀cn0 12528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272  df-nn 12258  df-n0 12529

This theorem is used by:  nn0split  13698  fzonn0p1p1  13800  leexp2r  14238  expnbnd  14296  facdiv  14351  facwordi  14353  faclbnd  14354  faclbnd2  14355  faclbnd3  14356  faclbnd6  14363  bcnp1n  14378  bcp1m1  14384  bcpasc  14385  hashfz  14492  hashf1  14522  hashdifsnp1  14571  fi1uzind  14572  brfi1indALT  14575  pfxccatpfx2  14806  pfxccat3a  14807  swrds2  15011  iseraltlem2  15770  bcxmas  15924  climcndslem1  15938  climcnds  15940  pwdif  15957  geolim  15959  geo2sum  15962  mertenslem1  15973  mertenslem2  15974  mertens  15975  risefacp1  16115  fallfacp1  16116  binomfallfaclem1  16125  binomfallfaclem2  16126  fsumkthpow  16142  efcllem  16163  eftlub  16197  efsep  16198  effsumlt  16199  ruclem9  16326  nn0ob  16474  nn0oddm1d2  16475  pwp1fsum  16481  bitsp1  16521  sadcp1  16545  smuval2  16572  smu01lem  16575  smup1  16579  nn0seqcvgd  16660  algcvg  16666  nonsq  16850  iserodd  16927  pcprendvds  16932  pcpremul  16935  pcdvdsb  16961  4sqlem11  17047  vdwapun  17066  vdwlem1  17073  vdwlem9  17081  ramub1  17120  ramcl  17121  prmop1  17130  sylow1lem3  19727  efgsfo  19866  efgred  19875  telgsums  20120  telgsum  20121  srgbinomlem3  20367  srgbinomlem4  20368  assamulgscmlem2  22115  psdmplcl  22390  psdadd  22391  psdvsca  22392  psdmul  22394  chfacffsupp  23081  chfacfscmulfsupp  23084  chfacfscmulgsum  23085  chfacfpmmulfsupp  23088  chfacfpmmulgsum  23089  cpnord  26162  ply1divex  26362  fta1glem1  26393  fta1glem2  26394  fta1g  26395  plyco0  26417  plyaddlem1  26439  plymullem1  26440  plyco  26467  dvply1  26514  dvply2g  26515  aaliou3lem8  26581  aaliou3lem9  26586  dvtaylp  26606  dvradcnv  26657  pserdvlem2  26664  advlogexp  26892  atantayl3  27176  leibpi  27179  log2cnv  27181  ftalem4  27312  ftalem5  27313  perfectlem1  27465  bcp1ctr  27515  2lgslem3d1  27639  dchrisum0flblem1  27744  ostth2lem2  27870  ostth2lem3  27871  crctcshwlkn0lem7  30284  wwlksnred  30360  wwlksnext  30361  wwlksnextbi  30362  wwlksnredwwlkn  30363  wwlksnredwwlkn0  30364  wwlksnextproplem1  30377  wwlksnextproplem2  30378  wwlksnextproplem3  30379  rusgrnumwwlks  30445  clwwlkf  30517  clwwlknonex2lem2  30578  eupth2lems  30718  eucrct2eupth  30725  numclwlk2lem2f  30857  nndiffz1  33257  nn0diffz0  33265  2exple2exp  33304  gsummoncoe1fz  34008  esplyindfv  34086  vietalem  34089  nn0constr  34271  subfacval2  35766  erdsze2lem1  35782  bccolsum  36318  fwddifnp1  36745  knoppndvlem6  37214  poimirlem17  38386  heiborlem3  38563  heiborlem4  38564  heiborlem6  38566  facp2  43009  sqn5i  43160  sumcubes  43188  2rexfrabdioph  43637  elnn0rabdioph  43644  dvdsrabdioph  43651  jm2.17a  43801  jm2.17b  43802  expdiophlem1  43862  expdiophlem2  43863  hbt  43971  cotrclrcl  44582  k0004ss3  44993  bccp1k  45165  binomcxplemnn0  45173  ioodvbdlimc1lem2  46760  ioodvbdlimc2lem  46762  dvnmul  46771  stoweidlem17  46845  wallispilem1  46893  stirlinglem5  46906  etransclem23  47085  etransclem46  47108  etransclem48  47110  fmtnoge3  48433  fmtnorec1  48440  sqrtpwpw2p  48441  fmtnosqrt  48442  fmtnorec2lem  48445  fmtnorec3  48451  fmtnoprmfac1  48468  fmtnoprmfac2lem1  48469  fmtnofac1  48473  flsqrt  48496  perfectALTVlem1  48637  isubgr3stgrlem2  48883  nn0eo  49458  fllog2  49498  dignnld  49533  0dig2nn0o  49543  dignn0ehalf  49547  dignn0flhalf  49548  nn0sumshdiglemA  49549  itcovalsuc  49597  ackvalsuc1mpt  49608  ackval1  49611  ackval2  49612  ackval3  49613  ackendofnn0  49614  ackval0val  49616  ackvalsucsucval  49618  aacllem  50772