Theorem peano2nn0 12512

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12488	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		nn0addcl 12507	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3	1, 2	mpan2 690	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  1c1 11111   + caddc 11113  ℕ₀cn0 12472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-nn 12213  df-n0 12473

This theorem is referenced by:  nn0split  13616  fzonn0p1p1  13711  leexp2r  14139  expnbnd  14195  facdiv  14247  facwordi  14249  faclbnd  14250  faclbnd2  14251  faclbnd3  14252  faclbnd6  14259  bcnp1n  14274  bcp1m1  14280  bcpasc  14281  hashfz  14387  hashf1  14418  hashdifsnp1  14457  fi1uzind  14458  brfi1indALT  14461  pfxccatpfx2  14687  pfxccat3a  14688  swrds2  14891  iseraltlem2  15629  bcxmas  15781  climcndslem1  15795  climcnds  15797  pwdif  15814  geolim  15816  geo2sum  15819  mertenslem1  15830  mertenslem2  15831  mertens  15832  risefacp1  15973  fallfacp1  15974  binomfallfaclem1  15983  binomfallfaclem2  15984  fsumkthpow  16000  efcllem  16021  eftlub  16052  efsep  16053  effsumlt  16054  ruclem9  16181  nn0ob  16327  nn0oddm1d2  16328  pwp1fsum  16334  bitsp1  16372  sadcp1  16396  smuval2  16423  smu01lem  16426  smup1  16430  nn0seqcvgd  16507  algcvg  16513  nonsq  16695  iserodd  16768  pcprendvds  16773  pcpremul  16776  pcdvdsb  16802  4sqlem11  16888  vdwapun  16907  vdwlem1  16914  vdwlem9  16922  ramub1  16961  ramcl  16962  prmop1  16971  decexp2  17008  sylow1lem3  19468  efgsfo  19607  efgred  19616  telgsums  19861  telgsum  19862  srgbinomlem3  20051  srgbinomlem4  20052  assamulgscmlem2  21454  chfacffsupp  22358  chfacfscmulfsupp  22361  chfacfscmulgsum  22362  chfacfpmmulfsupp  22365  chfacfpmmulgsum  22366  cpnord  25452  ply1divex  25654  fta1glem1  25683  fta1glem2  25684  fta1g  25685  plyco0  25706  plyaddlem1  25727  plymullem1  25728  plyco  25755  dvply1  25797  dvply2g  25798  aaliou3lem8  25858  aaliou3lem9  25863  dvtaylp  25882  dvradcnv  25933  pserdvlem2  25940  advlogexp  26163  atantayl3  26444  leibpi  26447  log2cnv  26449  ftalem4  26580  ftalem5  26581  perfectlem1  26732  bcp1ctr  26782  2lgslem3d1  26906  dchrisum0flblem1  27011  ostth2lem2  27137  ostth2lem3  27138  crctcshwlkn0lem7  29070  wwlksnred  29146  wwlksnext  29147  wwlksnextbi  29148  wwlksnredwwlkn  29149  wwlksnredwwlkn0  29150  wwlksnextproplem1  29163  wwlksnextproplem2  29164  wwlksnextproplem3  29165  rusgrnumwwlks  29228  clwwlkf  29300  clwwlknonex2lem2  29361  eupth2lems  29491  eucrct2eupth  29498  numclwlk2lem2f  29630  nndiffz1  31997  subfacval2  34178  erdsze2lem1  34194  bccolsum  34709  fwddifnp1  35137  knoppndvlem6  35393  poimirlem17  36505  heiborlem3  36681  heiborlem4  36682  heiborlem6  36684  facp2  40959  fac2xp3  41020  sqn5i  41197  sumcubes  41211  2rexfrabdioph  41534  elnn0rabdioph  41541  dvdsrabdioph  41548  jm2.17a  41699  jm2.17b  41700  expdiophlem1  41760  expdiophlem2  41761  hbt  41872  cotrclrcl  42493  k0004ss3  42904  bccp1k  43100  binomcxplemnn0  43108  ioodvbdlimc1lem2  44648  ioodvbdlimc2lem  44650  dvnmul  44659  stoweidlem17  44733  wallispilem1  44781  stirlinglem5  44794  etransclem23  44973  etransclem46  44996  etransclem48  44998  fmtnoge3  46198  fmtnorec1  46205  sqrtpwpw2p  46206  fmtnosqrt  46207  fmtnorec2lem  46210  fmtnorec3  46216  fmtnoprmfac1  46233  fmtnoprmfac2lem1  46234  fmtnofac1  46238  flsqrt  46261  perfectALTVlem1  46389  nn0eo  47214  fllog2  47254  dignnld  47289  0dig2nn0o  47299  dignn0ehalf  47303  dignn0flhalf  47304  nn0sumshdiglemA  47305  itcovalsuc  47353  ackvalsuc1mpt  47364  ackval1  47367  ackval2  47368  ackval3  47369  ackendofnn0  47370  ackval0val  47372  ackvalsucsucval  47374  aacllem  47848