Theorem peano2nn0 12546

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12522	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		nn0addcl 12541	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7410  1c1 11135   + caddc 11137  ℕ₀cn0 12506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-ltxr 11279  df-nn 12246  df-n0 12507

This theorem is referenced by:  nn0split  13665  fzonn0p1p1  13765  leexp2r  14197  expnbnd  14255  facdiv  14310  facwordi  14312  faclbnd  14313  faclbnd2  14314  faclbnd3  14315  faclbnd6  14322  bcnp1n  14337  bcp1m1  14343  bcpasc  14344  hashfz  14450  hashf1  14480  hashdifsnp1  14529  fi1uzind  14530  brfi1indALT  14533  pfxccatpfx2  14760  pfxccat3a  14761  swrds2  14964  iseraltlem2  15704  bcxmas  15856  climcndslem1  15870  climcnds  15872  pwdif  15889  geolim  15891  geo2sum  15894  mertenslem1  15905  mertenslem2  15906  mertens  15907  risefacp1  16050  fallfacp1  16051  binomfallfaclem1  16060  binomfallfaclem2  16061  fsumkthpow  16077  efcllem  16098  eftlub  16132  efsep  16133  effsumlt  16134  ruclem9  16261  nn0ob  16408  nn0oddm1d2  16409  pwp1fsum  16415  bitsp1  16455  sadcp1  16479  smuval2  16506  smu01lem  16509  smup1  16513  nn0seqcvgd  16594  algcvg  16600  nonsq  16783  iserodd  16860  pcprendvds  16865  pcpremul  16868  pcdvdsb  16894  4sqlem11  16980  vdwapun  16999  vdwlem1  17006  vdwlem9  17014  ramub1  17053  ramcl  17054  prmop1  17063  sylow1lem3  19586  efgsfo  19725  efgred  19734  telgsums  19979  telgsum  19980  srgbinomlem3  20193  srgbinomlem4  20194  assamulgscmlem2  21865  psdmplcl  22105  psdadd  22106  psdvsca  22107  psdmul  22109  chfacffsupp  22799  chfacfscmulfsupp  22802  chfacfscmulgsum  22803  chfacfpmmulfsupp  22806  chfacfpmmulgsum  22807  cpnord  25894  ply1divex  26099  fta1glem1  26130  fta1glem2  26131  fta1g  26132  plyco0  26154  plyaddlem1  26175  plymullem1  26176  plyco  26203  dvply1  26248  dvply2g  26249  dvply2gOLD  26250  aaliou3lem8  26310  aaliou3lem9  26315  dvtaylp  26335  dvradcnv  26387  pserdvlem2  26395  advlogexp  26621  atantayl3  26906  leibpi  26909  log2cnv  26911  ftalem4  27043  ftalem5  27044  perfectlem1  27197  bcp1ctr  27247  2lgslem3d1  27371  dchrisum0flblem1  27476  ostth2lem2  27602  ostth2lem3  27603  crctcshwlkn0lem7  29803  wwlksnred  29879  wwlksnext  29880  wwlksnextbi  29881  wwlksnredwwlkn  29882  wwlksnredwwlkn0  29883  wwlksnextproplem1  29896  wwlksnextproplem2  29897  wwlksnextproplem3  29898  rusgrnumwwlks  29961  clwwlkf  30033  clwwlknonex2lem2  30094  eupth2lems  30224  eucrct2eupth  30231  numclwlk2lem2f  30363  nndiffz1  32768  2exple2exp  32829  nn0constr  33800  subfacval2  35214  erdsze2lem1  35230  bccolsum  35761  fwddifnp1  36188  knoppndvlem6  36540  poimirlem17  37666  heiborlem3  37842  heiborlem4  37843  heiborlem6  37845  facp2  42161  sqn5i  42303  sumcubes  42331  2rexfrabdioph  42794  elnn0rabdioph  42801  dvdsrabdioph  42808  jm2.17a  42959  jm2.17b  42960  expdiophlem1  43020  expdiophlem2  43021  hbt  43129  cotrclrcl  43741  k0004ss3  44152  bccp1k  44340  binomcxplemnn0  44348  ioodvbdlimc1lem2  45941  ioodvbdlimc2lem  45943  dvnmul  45952  stoweidlem17  46026  wallispilem1  46074  stirlinglem5  46087  etransclem23  46266  etransclem46  46289  etransclem48  46291  fmtnoge3  47524  fmtnorec1  47531  sqrtpwpw2p  47532  fmtnosqrt  47533  fmtnorec2lem  47536  fmtnorec3  47542  fmtnoprmfac1  47559  fmtnoprmfac2lem1  47560  fmtnofac1  47564  flsqrt  47587  perfectALTVlem1  47715  isubgr3stgrlem2  47959  nn0eo  48488  fllog2  48528  dignnld  48563  0dig2nn0o  48573  dignn0ehalf  48577  dignn0flhalf  48578  nn0sumshdiglemA  48579  itcovalsuc  48627  ackvalsuc1mpt  48638  ackval1  48641  ackval2  48642  ackval3  48643  ackendofnn0  48644  ackval0val  48646  ackvalsucsucval  48648  aacllem  49645