Theorem peano2nn0 12477

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12453	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		nn0addcl 12472	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3	1, 2	mpan2 692	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  1c1 11039   + caddc 11041  ℕ₀cn0 12437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-nn 12175  df-n0 12438

This theorem is referenced by:  nn0split  13597  fzonn0p1p1  13699  leexp2r  14136  expnbnd  14194  facdiv  14249  facwordi  14251  faclbnd  14252  faclbnd2  14253  faclbnd3  14254  faclbnd6  14261  bcnp1n  14276  bcp1m1  14282  bcpasc  14283  hashfz  14389  hashf1  14419  hashdifsnp1  14468  fi1uzind  14469  brfi1indALT  14472  pfxccatpfx2  14699  pfxccat3a  14700  swrds2  14902  iseraltlem2  15645  bcxmas  15800  climcndslem1  15814  climcnds  15816  pwdif  15833  geolim  15835  geo2sum  15838  mertenslem1  15849  mertenslem2  15850  mertens  15851  risefacp1  15994  fallfacp1  15995  binomfallfaclem1  16004  binomfallfaclem2  16005  fsumkthpow  16021  efcllem  16042  eftlub  16076  efsep  16077  effsumlt  16078  ruclem9  16205  nn0ob  16353  nn0oddm1d2  16354  pwp1fsum  16360  bitsp1  16400  sadcp1  16424  smuval2  16451  smu01lem  16454  smup1  16458  nn0seqcvgd  16539  algcvg  16545  nonsq  16729  iserodd  16806  pcprendvds  16811  pcpremul  16814  pcdvdsb  16840  4sqlem11  16926  vdwapun  16945  vdwlem1  16952  vdwlem9  16960  ramub1  16999  ramcl  17000  prmop1  17009  sylow1lem3  19575  efgsfo  19714  efgred  19723  telgsums  19968  telgsum  19969  srgbinomlem3  20209  srgbinomlem4  20210  assamulgscmlem2  21880  psdmplcl  22128  psdadd  22129  psdvsca  22130  psdmul  22132  chfacffsupp  22821  chfacfscmulfsupp  22824  chfacfscmulgsum  22825  chfacfpmmulfsupp  22828  chfacfpmmulgsum  22829  cpnord  25902  ply1divex  26102  fta1glem1  26133  fta1glem2  26134  fta1g  26135  plyco0  26157  plyaddlem1  26178  plymullem1  26179  plyco  26206  dvply1  26250  dvply2g  26251  aaliou3lem8  26311  aaliou3lem9  26316  dvtaylp  26335  dvradcnv  26386  pserdvlem2  26393  advlogexp  26619  atantayl3  26903  leibpi  26906  log2cnv  26908  ftalem4  27039  ftalem5  27040  perfectlem1  27192  bcp1ctr  27242  2lgslem3d1  27366  dchrisum0flblem1  27471  ostth2lem2  27597  ostth2lem3  27598  crctcshwlkn0lem7  29884  wwlksnred  29960  wwlksnext  29961  wwlksnextbi  29962  wwlksnredwwlkn  29963  wwlksnredwwlkn0  29964  wwlksnextproplem1  29977  wwlksnextproplem2  29978  wwlksnextproplem3  29979  rusgrnumwwlks  30045  clwwlkf  30117  clwwlknonex2lem2  30178  eupth2lems  30308  eucrct2eupth  30315  numclwlk2lem2f  30447  nndiffz1  32859  nn0diffz0  32867  2exple2exp  32918  gsummoncoe1fz  33658  esplyindfv  33720  vietalem  33723  nn0constr  33905  subfacval2  35369  erdsze2lem1  35385  bccolsum  35921  fwddifnp1  36347  knoppndvlem6  36777  poimirlem17  37958  heiborlem3  38134  heiborlem4  38135  heiborlem6  38137  facp2  42582  sqn5i  42717  sumcubes  42745  2rexfrabdioph  43224  elnn0rabdioph  43231  dvdsrabdioph  43238  jm2.17a  43388  jm2.17b  43389  expdiophlem1  43449  expdiophlem2  43450  hbt  43558  cotrclrcl  44169  k0004ss3  44580  bccp1k  44768  binomcxplemnn0  44776  ioodvbdlimc1lem2  46360  ioodvbdlimc2lem  46362  dvnmul  46371  stoweidlem17  46445  wallispilem1  46493  stirlinglem5  46506  etransclem23  46685  etransclem46  46708  etransclem48  46710  fmtnoge3  47993  fmtnorec1  48000  sqrtpwpw2p  48001  fmtnosqrt  48002  fmtnorec2lem  48005  fmtnorec3  48011  fmtnoprmfac1  48028  fmtnoprmfac2lem1  48029  fmtnofac1  48033  flsqrt  48056  perfectALTVlem1  48197  isubgr3stgrlem2  48443  nn0eo  49004  fllog2  49044  dignnld  49079  0dig2nn0o  49089  dignn0ehalf  49093  dignn0flhalf  49094  nn0sumshdiglemA  49095  itcovalsuc  49143  ackvalsuc1mpt  49154  ackval1  49157  ackval2  49158  ackval3  49159  ackendofnn0  49160  ackval0val  49162  ackvalsucsucval  49164  aacllem  50276