Theorem peano2nn0 12283

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12259	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		nn0addcl 12278	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3	1, 2	mpan2 688	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7267  1c1 10882   + caddc 10884  ℕ₀cn0 12243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-ov 7270  df-om 7703  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-er 8485  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-ltxr 11024  df-nn 11984  df-n0 12244

This theorem is referenced by:  nn0split  13381  fzonn0p1p1  13476  leexp2r  13902  expnbnd  13957  facdiv  14011  facwordi  14013  faclbnd  14014  faclbnd2  14015  faclbnd3  14016  faclbnd6  14023  bcnp1n  14038  bcp1m1  14044  bcpasc  14045  hashfz  14152  hashf1  14181  hashdifsnp1  14220  fi1uzind  14221  brfi1indALT  14224  pfxccatpfx2  14460  pfxccat3a  14461  swrds2  14663  iseraltlem2  15404  bcxmas  15557  climcndslem1  15571  climcnds  15573  pwdif  15590  geolim  15592  geo2sum  15595  mertenslem1  15606  mertenslem2  15607  mertens  15608  risefacp1  15749  fallfacp1  15750  binomfallfaclem1  15759  binomfallfaclem2  15760  fsumkthpow  15776  efcllem  15797  eftlub  15828  efsep  15829  effsumlt  15830  ruclem9  15957  nn0ob  16103  nn0oddm1d2  16104  pwp1fsum  16110  bitsp1  16148  sadcp1  16172  smuval2  16199  smu01lem  16202  smup1  16206  nn0seqcvgd  16285  algcvg  16291  nonsq  16473  iserodd  16546  pcprendvds  16551  pcpremul  16554  pcdvdsb  16580  4sqlem11  16666  vdwapun  16685  vdwlem1  16692  vdwlem9  16700  ramub1  16739  ramcl  16740  prmop1  16749  decexp2  16786  sylow1lem3  19215  efgsfo  19355  efgred  19364  telgsums  19604  telgsum  19605  srgbinomlem3  19788  srgbinomlem4  19789  assamulgscmlem2  21114  chfacffsupp  22015  chfacfscmulfsupp  22018  chfacfscmulgsum  22019  chfacfpmmulfsupp  22022  chfacfpmmulgsum  22023  cpnord  25109  ply1divex  25311  fta1glem1  25340  fta1glem2  25341  fta1g  25342  plyco0  25363  plyaddlem1  25384  plymullem1  25385  plyco  25412  dvply1  25454  dvply2g  25455  aaliou3lem8  25515  aaliou3lem9  25520  dvtaylp  25539  dvradcnv  25590  pserdvlem2  25597  advlogexp  25820  atantayl3  26099  leibpi  26102  log2cnv  26104  ftalem4  26235  ftalem5  26236  perfectlem1  26387  bcp1ctr  26437  2lgslem3d1  26561  dchrisum0flblem1  26666  ostth2lem2  26792  ostth2lem3  26793  crctcshwlkn0lem7  28189  wwlksnred  28265  wwlksnext  28266  wwlksnextbi  28267  wwlksnredwwlkn  28268  wwlksnredwwlkn0  28269  wwlksnextproplem1  28282  wwlksnextproplem2  28283  wwlksnextproplem3  28284  rusgrnumwwlks  28347  clwwlkf  28419  clwwlknonex2lem2  28480  eupth2lems  28610  eucrct2eupth  28617  numclwlk2lem2f  28749  nndiffz1  31115  subfacval2  33157  erdsze2lem1  33173  bccolsum  33713  fwddifnp1  34475  knoppndvlem6  34705  poimirlem17  35802  heiborlem3  35979  heiborlem4  35980  heiborlem6  35982  facp2  40107  fac2xp3  40168  sqn5i  40321  2rexfrabdioph  40626  elnn0rabdioph  40633  dvdsrabdioph  40640  jm2.17a  40790  jm2.17b  40791  expdiophlem1  40851  expdiophlem2  40852  hbt  40963  cotrclrcl  41331  k0004ss3  41744  bccp1k  41940  binomcxplemnn0  41948  ioodvbdlimc1lem2  43454  ioodvbdlimc2lem  43456  dvnmul  43465  stoweidlem17  43539  wallispilem1  43587  stirlinglem5  43600  etransclem23  43779  etransclem46  43802  etransclem48  43804  fmtnoge3  44960  fmtnorec1  44967  sqrtpwpw2p  44968  fmtnosqrt  44969  fmtnorec2lem  44972  fmtnorec3  44978  fmtnoprmfac1  44995  fmtnoprmfac2lem1  44996  fmtnofac1  45000  flsqrt  45023  perfectALTVlem1  45151  nn0eo  45852  fllog2  45892  dignnld  45927  0dig2nn0o  45937  dignn0ehalf  45941  dignn0flhalf  45942  nn0sumshdiglemA  45943  itcovalsuc  45991  ackvalsuc1mpt  46002  ackval1  46005  ackval2  46006  ackval3  46007  ackendofnn0  46008  ackval0val  46010  ackvalsucsucval  46012  aacllem  46483