Theorem peano2nn0 12421

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12397	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		nn0addcl 12416	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  1c1 11007   + caddc 11009  ℕ₀cn0 12381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-nn 12126  df-n0 12382

This theorem is referenced by:  nn0split  13543  fzonn0p1p1  13644  leexp2r  14081  expnbnd  14139  facdiv  14194  facwordi  14196  faclbnd  14197  faclbnd2  14198  faclbnd3  14199  faclbnd6  14206  bcnp1n  14221  bcp1m1  14227  bcpasc  14228  hashfz  14334  hashf1  14364  hashdifsnp1  14413  fi1uzind  14414  brfi1indALT  14417  pfxccatpfx2  14644  pfxccat3a  14645  swrds2  14847  iseraltlem2  15590  bcxmas  15742  climcndslem1  15756  climcnds  15758  pwdif  15775  geolim  15777  geo2sum  15780  mertenslem1  15791  mertenslem2  15792  mertens  15793  risefacp1  15936  fallfacp1  15937  binomfallfaclem1  15946  binomfallfaclem2  15947  fsumkthpow  15963  efcllem  15984  eftlub  16018  efsep  16019  effsumlt  16020  ruclem9  16147  nn0ob  16295  nn0oddm1d2  16296  pwp1fsum  16302  bitsp1  16342  sadcp1  16366  smuval2  16393  smu01lem  16396  smup1  16400  nn0seqcvgd  16481  algcvg  16487  nonsq  16670  iserodd  16747  pcprendvds  16752  pcpremul  16755  pcdvdsb  16781  4sqlem11  16867  vdwapun  16886  vdwlem1  16893  vdwlem9  16901  ramub1  16940  ramcl  16941  prmop1  16950  sylow1lem3  19512  efgsfo  19651  efgred  19660  telgsums  19905  telgsum  19906  srgbinomlem3  20146  srgbinomlem4  20147  assamulgscmlem2  21837  psdmplcl  22077  psdadd  22078  psdvsca  22079  psdmul  22081  chfacffsupp  22771  chfacfscmulfsupp  22774  chfacfscmulgsum  22775  chfacfpmmulfsupp  22778  chfacfpmmulgsum  22779  cpnord  25864  ply1divex  26069  fta1glem1  26100  fta1glem2  26101  fta1g  26102  plyco0  26124  plyaddlem1  26145  plymullem1  26146  plyco  26173  dvply1  26218  dvply2g  26219  dvply2gOLD  26220  aaliou3lem8  26280  aaliou3lem9  26285  dvtaylp  26305  dvradcnv  26357  pserdvlem2  26365  advlogexp  26591  atantayl3  26876  leibpi  26879  log2cnv  26881  ftalem4  27013  ftalem5  27014  perfectlem1  27167  bcp1ctr  27217  2lgslem3d1  27341  dchrisum0flblem1  27446  ostth2lem2  27572  ostth2lem3  27573  crctcshwlkn0lem7  29794  wwlksnred  29870  wwlksnext  29871  wwlksnextbi  29872  wwlksnredwwlkn  29873  wwlksnredwwlkn0  29874  wwlksnextproplem1  29887  wwlksnextproplem2  29888  wwlksnextproplem3  29889  rusgrnumwwlks  29955  clwwlkf  30027  clwwlknonex2lem2  30088  eupth2lems  30218  eucrct2eupth  30225  numclwlk2lem2f  30357  nndiffz1  32769  2exple2exp  32828  nn0constr  33774  subfacval2  35231  erdsze2lem1  35247  bccolsum  35783  fwddifnp1  36209  knoppndvlem6  36561  poimirlem17  37676  heiborlem3  37852  heiborlem4  37853  heiborlem6  37855  facp2  42235  sqn5i  42377  sumcubes  42405  2rexfrabdioph  42888  elnn0rabdioph  42895  dvdsrabdioph  42902  jm2.17a  43052  jm2.17b  43053  expdiophlem1  43113  expdiophlem2  43114  hbt  43222  cotrclrcl  43834  k0004ss3  44245  bccp1k  44433  binomcxplemnn0  44441  ioodvbdlimc1lem2  46029  ioodvbdlimc2lem  46031  dvnmul  46040  stoweidlem17  46114  wallispilem1  46162  stirlinglem5  46175  etransclem23  46354  etransclem46  46377  etransclem48  46379  fmtnoge3  47629  fmtnorec1  47636  sqrtpwpw2p  47637  fmtnosqrt  47638  fmtnorec2lem  47641  fmtnorec3  47647  fmtnoprmfac1  47664  fmtnoprmfac2lem1  47665  fmtnofac1  47669  flsqrt  47692  perfectALTVlem1  47820  isubgr3stgrlem2  48066  nn0eo  48628  fllog2  48668  dignnld  48703  0dig2nn0o  48713  dignn0ehalf  48717  dignn0flhalf  48718  nn0sumshdiglemA  48719  itcovalsuc  48767  ackvalsuc1mpt  48778  ackval1  48781  ackval2  48782  ackval3  48783  ackendofnn0  48784  ackval0val  48786  ackvalsucsucval  48788  aacllem  49901