Theorem peano2nn0 11925

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 11901	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		nn0addcl 11920	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3	1, 2	mpan2 690	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  1c1 10527   + caddc 10529  ℕ₀cn0 11885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-nn 11626  df-n0 11886

This theorem is referenced by:  nn0split  13017  fzonn0p1p1  13111  leexp2r  13534  expnbnd  13589  facdiv  13643  facwordi  13645  faclbnd  13646  faclbnd2  13647  faclbnd3  13648  faclbnd6  13655  bcnp1n  13670  bcp1m1  13676  bcpasc  13677  hashfz  13784  hashf1  13811  hashdifsnp1  13850  fi1uzind  13851  brfi1indALT  13854  pfxccatpfx2  14090  pfxccat3a  14091  swrds2  14293  iseraltlem2  15031  bcxmas  15182  climcndslem1  15196  climcnds  15198  pwdif  15215  geolim  15218  geo2sum  15221  mertenslem1  15232  mertenslem2  15233  mertens  15234  risefacp1  15375  fallfacp1  15376  binomfallfaclem1  15385  binomfallfaclem2  15386  fsumkthpow  15402  efcllem  15423  eftlub  15454  efsep  15455  effsumlt  15456  ruclem9  15583  nn0ob  15725  nn0oddm1d2  15726  pwp1fsum  15732  bitsp1  15770  sadcp1  15794  smuval2  15821  smu01lem  15824  smup1  15828  nn0seqcvgd  15904  algcvg  15910  nonsq  16089  iserodd  16162  pcprendvds  16167  pcpremul  16170  pcdvdsb  16195  4sqlem11  16281  vdwapun  16300  vdwlem1  16307  vdwlem9  16315  ramub1  16354  ramcl  16355  prmop1  16364  decexp2  16401  sylow1lem3  18717  efgsfo  18857  efgred  18866  telgsums  19106  telgsum  19107  srgbinomlem3  19285  srgbinomlem4  19286  assamulgscmlem2  20586  chfacffsupp  21461  chfacfscmulfsupp  21464  chfacfscmulgsum  21465  chfacfpmmulfsupp  21468  chfacfpmmulgsum  21469  cpnord  24538  ply1divex  24737  fta1glem1  24766  fta1glem2  24767  fta1g  24768  plyco0  24789  plyaddlem1  24810  plymullem1  24811  plyco  24838  dvply1  24880  dvply2g  24881  aaliou3lem8  24941  aaliou3lem9  24946  dvtaylp  24965  dvradcnv  25016  pserdvlem2  25023  advlogexp  25246  atantayl3  25525  leibpi  25528  log2cnv  25530  ftalem4  25661  ftalem5  25662  perfectlem1  25813  bcp1ctr  25863  2lgslem3d1  25987  dchrisum0flblem1  26092  ostth2lem2  26218  ostth2lem3  26219  crctcshwlkn0lem7  27602  wwlksnred  27678  wwlksnext  27679  wwlksnextbi  27680  wwlksnredwwlkn  27681  wwlksnredwwlkn0  27682  wwlksnextproplem1  27695  wwlksnextproplem2  27696  wwlksnextproplem3  27697  rusgrnumwwlks  27760  clwwlkf  27832  clwwlknonex2lem2  27893  eupth2lems  28023  eucrct2eupth  28030  numclwlk2lem2f  28162  nndiffz1  30535  subfacval2  32547  erdsze2lem1  32563  bccolsum  33084  fwddifnp1  33739  knoppndvlem6  33969  poimirlem17  35074  heiborlem3  35251  heiborlem4  35252  heiborlem6  35254  facp2  39347  fac2xp3  39385  sqn5i  39479  2rexfrabdioph  39737  elnn0rabdioph  39744  dvdsrabdioph  39751  jm2.17a  39901  jm2.17b  39902  expdiophlem1  39962  expdiophlem2  39963  hbt  40074  cotrclrcl  40443  k0004ss3  40856  bccp1k  41045  binomcxplemnn0  41053  ioodvbdlimc1lem2  42574  ioodvbdlimc2lem  42576  dvnmul  42585  stoweidlem17  42659  wallispilem1  42707  stirlinglem5  42720  etransclem23  42899  etransclem46  42922  etransclem48  42924  fmtnoge3  44047  fmtnorec1  44054  sqrtpwpw2p  44055  fmtnosqrt  44056  fmtnorec2lem  44059  fmtnorec3  44065  fmtnoprmfac1  44082  fmtnoprmfac2lem1  44083  fmtnofac1  44087  flsqrt  44110  perfectALTVlem1  44239  nn0eo  44942  fllog2  44982  dignnld  45017  0dig2nn0o  45027  dignn0ehalf  45031  dignn0flhalf  45032  nn0sumshdiglemA  45033  itcovalsuc  45081  ackvalsuc1mpt  45092  ackval1  45095  ackval2  45096  ackval3  45097  ackendofnn0  45098  ackval0val  45100  ackvalsucsucval  45102  aacllem  45329