Theorem peano2nn0 12482

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12458	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		nn0addcl 12477	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  1c1 11069   + caddc 11071  ℕ₀cn0 12442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-nn 12187  df-n0 12443

This theorem is referenced by:  nn0split  13604  fzonn0p1p1  13705  leexp2r  14139  expnbnd  14197  facdiv  14252  facwordi  14254  faclbnd  14255  faclbnd2  14256  faclbnd3  14257  faclbnd6  14264  bcnp1n  14279  bcp1m1  14285  bcpasc  14286  hashfz  14392  hashf1  14422  hashdifsnp1  14471  fi1uzind  14472  brfi1indALT  14475  pfxccatpfx2  14702  pfxccat3a  14703  swrds2  14906  iseraltlem2  15649  bcxmas  15801  climcndslem1  15815  climcnds  15817  pwdif  15834  geolim  15836  geo2sum  15839  mertenslem1  15850  mertenslem2  15851  mertens  15852  risefacp1  15995  fallfacp1  15996  binomfallfaclem1  16005  binomfallfaclem2  16006  fsumkthpow  16022  efcllem  16043  eftlub  16077  efsep  16078  effsumlt  16079  ruclem9  16206  nn0ob  16354  nn0oddm1d2  16355  pwp1fsum  16361  bitsp1  16401  sadcp1  16425  smuval2  16452  smu01lem  16455  smup1  16459  nn0seqcvgd  16540  algcvg  16546  nonsq  16729  iserodd  16806  pcprendvds  16811  pcpremul  16814  pcdvdsb  16840  4sqlem11  16926  vdwapun  16945  vdwlem1  16952  vdwlem9  16960  ramub1  16999  ramcl  17000  prmop1  17009  sylow1lem3  19530  efgsfo  19669  efgred  19678  telgsums  19923  telgsum  19924  srgbinomlem3  20137  srgbinomlem4  20138  assamulgscmlem2  21809  psdmplcl  22049  psdadd  22050  psdvsca  22051  psdmul  22053  chfacffsupp  22743  chfacfscmulfsupp  22746  chfacfscmulgsum  22747  chfacfpmmulfsupp  22750  chfacfpmmulgsum  22751  cpnord  25837  ply1divex  26042  fta1glem1  26073  fta1glem2  26074  fta1g  26075  plyco0  26097  plyaddlem1  26118  plymullem1  26119  plyco  26146  dvply1  26191  dvply2g  26192  dvply2gOLD  26193  aaliou3lem8  26253  aaliou3lem9  26258  dvtaylp  26278  dvradcnv  26330  pserdvlem2  26338  advlogexp  26564  atantayl3  26849  leibpi  26852  log2cnv  26854  ftalem4  26986  ftalem5  26987  perfectlem1  27140  bcp1ctr  27190  2lgslem3d1  27314  dchrisum0flblem1  27419  ostth2lem2  27545  ostth2lem3  27546  crctcshwlkn0lem7  29746  wwlksnred  29822  wwlksnext  29823  wwlksnextbi  29824  wwlksnredwwlkn  29825  wwlksnredwwlkn0  29826  wwlksnextproplem1  29839  wwlksnextproplem2  29840  wwlksnextproplem3  29841  rusgrnumwwlks  29904  clwwlkf  29976  clwwlknonex2lem2  30037  eupth2lems  30167  eucrct2eupth  30174  numclwlk2lem2f  30306  nndiffz1  32709  2exple2exp  32770  nn0constr  33751  subfacval2  35174  erdsze2lem1  35190  bccolsum  35726  fwddifnp1  36153  knoppndvlem6  36505  poimirlem17  37631  heiborlem3  37807  heiborlem4  37808  heiborlem6  37810  facp2  42131  sqn5i  42273  sumcubes  42301  2rexfrabdioph  42784  elnn0rabdioph  42791  dvdsrabdioph  42798  jm2.17a  42949  jm2.17b  42950  expdiophlem1  43010  expdiophlem2  43011  hbt  43119  cotrclrcl  43731  k0004ss3  44142  bccp1k  44330  binomcxplemnn0  44338  ioodvbdlimc1lem2  45930  ioodvbdlimc2lem  45932  dvnmul  45941  stoweidlem17  46015  wallispilem1  46063  stirlinglem5  46076  etransclem23  46255  etransclem46  46278  etransclem48  46280  fmtnoge3  47531  fmtnorec1  47538  sqrtpwpw2p  47539  fmtnosqrt  47540  fmtnorec2lem  47543  fmtnorec3  47549  fmtnoprmfac1  47566  fmtnoprmfac2lem1  47567  fmtnofac1  47571  flsqrt  47594  perfectALTVlem1  47722  isubgr3stgrlem2  47966  nn0eo  48517  fllog2  48557  dignnld  48592  0dig2nn0o  48602  dignn0ehalf  48606  dignn0flhalf  48607  nn0sumshdiglemA  48608  itcovalsuc  48656  ackvalsuc1mpt  48667  ackval1  48670  ackval2  48671  ackval3  48672  ackendofnn0  48673  ackval0val  48675  ackvalsucsucval  48677  aacllem  49790