Theorem peano2nn0 12468

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12444	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		nn0addcl 12463	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3	1, 2	mpan2 692	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  1c1 11030   + caddc 11032  ℕ₀cn0 12428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-nn 12166  df-n0 12429

This theorem is referenced by:  nn0split  13588  fzonn0p1p1  13690  leexp2r  14127  expnbnd  14185  facdiv  14240  facwordi  14242  faclbnd  14243  faclbnd2  14244  faclbnd3  14245  faclbnd6  14252  bcnp1n  14267  bcp1m1  14273  bcpasc  14274  hashfz  14380  hashf1  14410  hashdifsnp1  14459  fi1uzind  14460  brfi1indALT  14463  pfxccatpfx2  14690  pfxccat3a  14691  swrds2  14893  iseraltlem2  15636  bcxmas  15791  climcndslem1  15805  climcnds  15807  pwdif  15824  geolim  15826  geo2sum  15829  mertenslem1  15840  mertenslem2  15841  mertens  15842  risefacp1  15985  fallfacp1  15986  binomfallfaclem1  15995  binomfallfaclem2  15996  fsumkthpow  16012  efcllem  16033  eftlub  16067  efsep  16068  effsumlt  16069  ruclem9  16196  nn0ob  16344  nn0oddm1d2  16345  pwp1fsum  16351  bitsp1  16391  sadcp1  16415  smuval2  16442  smu01lem  16445  smup1  16449  nn0seqcvgd  16530  algcvg  16536  nonsq  16720  iserodd  16797  pcprendvds  16802  pcpremul  16805  pcdvdsb  16831  4sqlem11  16917  vdwapun  16936  vdwlem1  16943  vdwlem9  16951  ramub1  16990  ramcl  16991  prmop1  17000  sylow1lem3  19566  efgsfo  19705  efgred  19714  telgsums  19959  telgsum  19960  srgbinomlem3  20200  srgbinomlem4  20201  assamulgscmlem2  21890  psdmplcl  22138  psdadd  22139  psdvsca  22140  psdmul  22142  chfacffsupp  22831  chfacfscmulfsupp  22834  chfacfscmulgsum  22835  chfacfpmmulfsupp  22838  chfacfpmmulgsum  22839  cpnord  25912  ply1divex  26112  fta1glem1  26143  fta1glem2  26144  fta1g  26145  plyco0  26167  plyaddlem1  26188  plymullem1  26189  plyco  26216  dvply1  26260  dvply2g  26261  dvply2gOLD  26262  aaliou3lem8  26322  aaliou3lem9  26327  dvtaylp  26347  dvradcnv  26399  pserdvlem2  26406  advlogexp  26632  atantayl3  26916  leibpi  26919  log2cnv  26921  ftalem4  27053  ftalem5  27054  perfectlem1  27206  bcp1ctr  27256  2lgslem3d1  27380  dchrisum0flblem1  27485  ostth2lem2  27611  ostth2lem3  27612  crctcshwlkn0lem7  29899  wwlksnred  29975  wwlksnext  29976  wwlksnextbi  29977  wwlksnredwwlkn  29978  wwlksnredwwlkn0  29979  wwlksnextproplem1  29992  wwlksnextproplem2  29993  wwlksnextproplem3  29994  rusgrnumwwlks  30060  clwwlkf  30132  clwwlknonex2lem2  30193  eupth2lems  30323  eucrct2eupth  30330  numclwlk2lem2f  30462  nndiffz1  32874  nn0diffz0  32882  2exple2exp  32933  gsummoncoe1fz  33673  esplyindfv  33735  vietalem  33738  nn0constr  33921  subfacval2  35385  erdsze2lem1  35401  bccolsum  35937  fwddifnp1  36363  knoppndvlem6  36793  poimirlem17  37972  heiborlem3  38148  heiborlem4  38149  heiborlem6  38151  facp2  42596  sqn5i  42731  sumcubes  42759  2rexfrabdioph  43242  elnn0rabdioph  43249  dvdsrabdioph  43256  jm2.17a  43406  jm2.17b  43407  expdiophlem1  43467  expdiophlem2  43468  hbt  43576  cotrclrcl  44187  k0004ss3  44598  bccp1k  44786  binomcxplemnn0  44794  ioodvbdlimc1lem2  46378  ioodvbdlimc2lem  46380  dvnmul  46389  stoweidlem17  46463  wallispilem1  46511  stirlinglem5  46524  etransclem23  46703  etransclem46  46726  etransclem48  46728  fmtnoge3  48005  fmtnorec1  48012  sqrtpwpw2p  48013  fmtnosqrt  48014  fmtnorec2lem  48017  fmtnorec3  48023  fmtnoprmfac1  48040  fmtnoprmfac2lem1  48041  fmtnofac1  48045  flsqrt  48068  perfectALTVlem1  48209  isubgr3stgrlem2  48455  nn0eo  49016  fllog2  49056  dignnld  49091  0dig2nn0o  49101  dignn0ehalf  49105  dignn0flhalf  49106  nn0sumshdiglemA  49107  itcovalsuc  49155  ackvalsuc1mpt  49166  ackval1  49169  ackval2  49170  ackval3  49171  ackendofnn0  49172  ackval0val  49174  ackvalsucsucval  49176  aacllem  50288