Theorem peano2nn0 12441

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12417	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		nn0addcl 12436	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  1c1 11027   + caddc 11029  ℕ₀cn0 12401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-nn 12146  df-n0 12402

This theorem is referenced by:  nn0split  13559  fzonn0p1p1  13660  leexp2r  14097  expnbnd  14155  facdiv  14210  facwordi  14212  faclbnd  14213  faclbnd2  14214  faclbnd3  14215  faclbnd6  14222  bcnp1n  14237  bcp1m1  14243  bcpasc  14244  hashfz  14350  hashf1  14380  hashdifsnp1  14429  fi1uzind  14430  brfi1indALT  14433  pfxccatpfx2  14660  pfxccat3a  14661  swrds2  14863  iseraltlem2  15606  bcxmas  15758  climcndslem1  15772  climcnds  15774  pwdif  15791  geolim  15793  geo2sum  15796  mertenslem1  15807  mertenslem2  15808  mertens  15809  risefacp1  15952  fallfacp1  15953  binomfallfaclem1  15962  binomfallfaclem2  15963  fsumkthpow  15979  efcllem  16000  eftlub  16034  efsep  16035  effsumlt  16036  ruclem9  16163  nn0ob  16311  nn0oddm1d2  16312  pwp1fsum  16318  bitsp1  16358  sadcp1  16382  smuval2  16409  smu01lem  16412  smup1  16416  nn0seqcvgd  16497  algcvg  16503  nonsq  16686  iserodd  16763  pcprendvds  16768  pcpremul  16771  pcdvdsb  16797  4sqlem11  16883  vdwapun  16902  vdwlem1  16909  vdwlem9  16917  ramub1  16956  ramcl  16957  prmop1  16966  sylow1lem3  19529  efgsfo  19668  efgred  19677  telgsums  19922  telgsum  19923  srgbinomlem3  20163  srgbinomlem4  20164  assamulgscmlem2  21856  psdmplcl  22105  psdadd  22106  psdvsca  22107  psdmul  22109  chfacffsupp  22800  chfacfscmulfsupp  22803  chfacfscmulgsum  22804  chfacfpmmulfsupp  22807  chfacfpmmulgsum  22808  cpnord  25893  ply1divex  26098  fta1glem1  26129  fta1glem2  26130  fta1g  26131  plyco0  26153  plyaddlem1  26174  plymullem1  26175  plyco  26202  dvply1  26247  dvply2g  26248  dvply2gOLD  26249  aaliou3lem8  26309  aaliou3lem9  26314  dvtaylp  26334  dvradcnv  26386  pserdvlem2  26394  advlogexp  26620  atantayl3  26905  leibpi  26908  log2cnv  26910  ftalem4  27042  ftalem5  27043  perfectlem1  27196  bcp1ctr  27246  2lgslem3d1  27370  dchrisum0flblem1  27475  ostth2lem2  27601  ostth2lem3  27602  crctcshwlkn0lem7  29889  wwlksnred  29965  wwlksnext  29966  wwlksnextbi  29967  wwlksnredwwlkn  29968  wwlksnredwwlkn0  29969  wwlksnextproplem1  29982  wwlksnextproplem2  29983  wwlksnextproplem3  29984  rusgrnumwwlks  30050  clwwlkf  30122  clwwlknonex2lem2  30183  eupth2lems  30313  eucrct2eupth  30320  numclwlk2lem2f  30452  nndiffz1  32866  nn0diffz0  32874  2exple2exp  32926  gsummoncoe1fz  33679  esplyindfv  33732  vietalem  33735  nn0constr  33918  subfacval2  35381  erdsze2lem1  35397  bccolsum  35933  fwddifnp1  36359  knoppndvlem6  36717  poimirlem17  37838  heiborlem3  38014  heiborlem4  38015  heiborlem6  38017  facp2  42397  sqn5i  42540  sumcubes  42568  2rexfrabdioph  43038  elnn0rabdioph  43045  dvdsrabdioph  43052  jm2.17a  43202  jm2.17b  43203  expdiophlem1  43263  expdiophlem2  43264  hbt  43372  cotrclrcl  43983  k0004ss3  44394  bccp1k  44582  binomcxplemnn0  44590  ioodvbdlimc1lem2  46176  ioodvbdlimc2lem  46178  dvnmul  46187  stoweidlem17  46261  wallispilem1  46309  stirlinglem5  46322  etransclem23  46501  etransclem46  46524  etransclem48  46526  fmtnoge3  47776  fmtnorec1  47783  sqrtpwpw2p  47784  fmtnosqrt  47785  fmtnorec2lem  47788  fmtnorec3  47794  fmtnoprmfac1  47811  fmtnoprmfac2lem1  47812  fmtnofac1  47816  flsqrt  47839  perfectALTVlem1  47967  isubgr3stgrlem2  48213  nn0eo  48774  fllog2  48814  dignnld  48849  0dig2nn0o  48859  dignn0ehalf  48863  dignn0flhalf  48864  nn0sumshdiglemA  48865  itcovalsuc  48913  ackvalsuc1mpt  48924  ackval1  48927  ackval2  48928  ackval3  48929  ackendofnn0  48930  ackval0val  48932  ackvalsucsucval  48934  aacllem  50046