MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2nn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem peano2nn0 12454
Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
peano2nn0 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem peano2nn0
StepHypRef Expression
1 1nn0 12430 . 2 1 ∈ ℕ0
2 nn0addcl 12449 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
31, 2mpan2 690 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  (class class class)co 7358  1c1 11053   + caddc 11055  0cn0 12414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-ltxr 11195  df-nn 12155  df-n0 12415
This theorem is referenced by:  nn0split  13557  fzonn0p1p1  13652  leexp2r  14080  expnbnd  14136  facdiv  14188  facwordi  14190  faclbnd  14191  faclbnd2  14192  faclbnd3  14193  faclbnd6  14200  bcnp1n  14215  bcp1m1  14221  bcpasc  14222  hashfz  14328  hashf1  14357  hashdifsnp1  14396  fi1uzind  14397  brfi1indALT  14400  pfxccatpfx2  14626  pfxccat3a  14627  swrds2  14830  iseraltlem2  15568  bcxmas  15721  climcndslem1  15735  climcnds  15737  pwdif  15754  geolim  15756  geo2sum  15759  mertenslem1  15770  mertenslem2  15771  mertens  15772  risefacp1  15913  fallfacp1  15914  binomfallfaclem1  15923  binomfallfaclem2  15924  fsumkthpow  15940  efcllem  15961  eftlub  15992  efsep  15993  effsumlt  15994  ruclem9  16121  nn0ob  16267  nn0oddm1d2  16268  pwp1fsum  16274  bitsp1  16312  sadcp1  16336  smuval2  16363  smu01lem  16366  smup1  16370  nn0seqcvgd  16447  algcvg  16453  nonsq  16635  iserodd  16708  pcprendvds  16713  pcpremul  16716  pcdvdsb  16742  4sqlem11  16828  vdwapun  16847  vdwlem1  16854  vdwlem9  16862  ramub1  16901  ramcl  16902  prmop1  16911  decexp2  16948  sylow1lem3  19383  efgsfo  19522  efgred  19531  telgsums  19771  telgsum  19772  srgbinomlem3  19960  srgbinomlem4  19961  assamulgscmlem2  21306  chfacffsupp  22208  chfacfscmulfsupp  22211  chfacfscmulgsum  22212  chfacfpmmulfsupp  22215  chfacfpmmulgsum  22216  cpnord  25302  ply1divex  25504  fta1glem1  25533  fta1glem2  25534  fta1g  25535  plyco0  25556  plyaddlem1  25577  plymullem1  25578  plyco  25605  dvply1  25647  dvply2g  25648  aaliou3lem8  25708  aaliou3lem9  25713  dvtaylp  25732  dvradcnv  25783  pserdvlem2  25790  advlogexp  26013  atantayl3  26292  leibpi  26295  log2cnv  26297  ftalem4  26428  ftalem5  26429  perfectlem1  26580  bcp1ctr  26630  2lgslem3d1  26754  dchrisum0flblem1  26859  ostth2lem2  26985  ostth2lem3  26986  crctcshwlkn0lem7  28764  wwlksnred  28840  wwlksnext  28841  wwlksnextbi  28842  wwlksnredwwlkn  28843  wwlksnredwwlkn0  28844  wwlksnextproplem1  28857  wwlksnextproplem2  28858  wwlksnextproplem3  28859  rusgrnumwwlks  28922  clwwlkf  28994  clwwlknonex2lem2  29055  eupth2lems  29185  eucrct2eupth  29192  numclwlk2lem2f  29324  nndiffz1  31692  subfacval2  33784  erdsze2lem1  33800  bccolsum  34315  fwddifnp1  34753  knoppndvlem6  34983  poimirlem17  36098  heiborlem3  36275  heiborlem4  36276  heiborlem6  36278  facp2  40554  fac2xp3  40615  sqn5i  40802  2rexfrabdioph  41122  elnn0rabdioph  41129  dvdsrabdioph  41136  jm2.17a  41287  jm2.17b  41288  expdiophlem1  41348  expdiophlem2  41349  hbt  41460  cotrclrcl  42021  k0004ss3  42432  bccp1k  42628  binomcxplemnn0  42636  ioodvbdlimc1lem2  44180  ioodvbdlimc2lem  44182  dvnmul  44191  stoweidlem17  44265  wallispilem1  44313  stirlinglem5  44326  etransclem23  44505  etransclem46  44528  etransclem48  44530  fmtnoge3  45729  fmtnorec1  45736  sqrtpwpw2p  45737  fmtnosqrt  45738  fmtnorec2lem  45741  fmtnorec3  45747  fmtnoprmfac1  45764  fmtnoprmfac2lem1  45765  fmtnofac1  45769  flsqrt  45792  perfectALTVlem1  45920  nn0eo  46621  fllog2  46661  dignnld  46696  0dig2nn0o  46706  dignn0ehalf  46710  dignn0flhalf  46711  nn0sumshdiglemA  46712  itcovalsuc  46760  ackvalsuc1mpt  46771  ackval1  46774  ackval2  46775  ackval3  46776  ackendofnn0  46777  ackval0val  46779  ackvalsucsucval  46781  aacllem  47255
  Copyright terms: Public domain W3C validator