Theorem peano2nn0 12545

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12521	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		nn0addcl 12540	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3	1, 2	mpan2 703	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  1c1 11102   + caddc 11104  ℕ₀cn0 12505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-nn 12235  df-n0 12506

This theorem is referenced by:  nn0split  13673  fzonn0p1p1  13775  leexp2r  14212  expnbnd  14270  facdiv  14325  facwordi  14327  faclbnd  14328  faclbnd2  14329  faclbnd3  14330  faclbnd6  14337  bcnp1n  14352  bcp1m1  14358  bcpasc  14359  hashfz  14466  hashf1  14496  hashdifsnp1  14545  fi1uzind  14546  brfi1indALT  14549  pfxccatpfx2  14776  pfxccat3a  14777  swrds2  14979  iseraltlem2  15736  bcxmas  15891  climcndslem1  15905  climcnds  15907  pwdif  15924  geolim  15926  geo2sum  15929  mertenslem1  15940  mertenslem2  15941  mertens  15942  risefacp1  16084  fallfacp1  16085  binomfallfaclem1  16094  binomfallfaclem2  16095  fsumkthpow  16111  efcllem  16132  eftlub  16166  efsep  16167  effsumlt  16168  ruclem9  16295  nn0ob  16443  nn0oddm1d2  16444  pwp1fsum  16450  bitsp1  16490  sadcp1  16514  smuval2  16541  smu01lem  16544  smup1  16548  nn0seqcvgd  16629  algcvg  16635  nonsq  16819  iserodd  16896  pcprendvds  16901  pcpremul  16904  pcdvdsb  16930  4sqlem11  17016  vdwapun  17035  vdwlem1  17042  vdwlem9  17050  ramub1  17089  ramcl  17090  prmop1  17099  sylow1lem3  19671  efgsfo  19810  efgred  19819  telgsums  20064  telgsum  20065  srgbinomlem3  20311  srgbinomlem4  20312  assamulgscmlem2  22031  psdmplcl  22306  psdadd  22307  psdvsca  22308  psdmul  22310  chfacffsupp  22994  chfacfscmulfsupp  22997  chfacfscmulgsum  22998  chfacfpmmulfsupp  23001  chfacfpmmulgsum  23002  cpnord  26075  ply1divex  26275  fta1glem1  26306  fta1glem2  26307  fta1g  26308  plyco0  26330  plyaddlem1  26351  plymullem1  26352  plyco  26379  dvply1  26426  dvply2g  26427  aaliou3lem8  26489  aaliou3lem9  26494  dvtaylp  26514  dvradcnv  26565  pserdvlem2  26572  advlogexp  26801  atantayl3  27085  leibpi  27088  log2cnv  27090  ftalem4  27221  ftalem5  27222  perfectlem1  27374  bcp1ctr  27424  2lgslem3d1  27548  dchrisum0flblem1  27653  ostth2lem2  27779  ostth2lem3  27780  crctcshwlkn0lem7  30146  wwlksnred  30222  wwlksnext  30223  wwlksnextbi  30224  wwlksnredwwlkn  30225  wwlksnredwwlkn0  30226  wwlksnextproplem1  30239  wwlksnextproplem2  30240  wwlksnextproplem3  30241  rusgrnumwwlks  30307  clwwlkf  30379  clwwlknonex2lem2  30440  eupth2lems  30570  eucrct2eupth  30577  numclwlk2lem2f  30709  nndiffz1  33112  nn0diffz0  33120  2exple2exp  33159  gsummoncoe1fz  33869  esplyindfv  33947  vietalem  33950  nn0constr  34132  subfacval2  35660  erdsze2lem1  35676  bccolsum  36212  fwddifnp1  36638  knoppndvlem6  37087  poimirlem17  38269  heiborlem3  38445  heiborlem4  38446  heiborlem6  38448  facp2  42891  sqn5i  43027  sumcubes  43055  2rexfrabdioph  43506  elnn0rabdioph  43513  dvdsrabdioph  43520  jm2.17a  43670  jm2.17b  43671  expdiophlem1  43731  expdiophlem2  43732  hbt  43840  cotrclrcl  44451  k0004ss3  44862  bccp1k  45034  binomcxplemnn0  45042  ioodvbdlimc1lem2  46629  ioodvbdlimc2lem  46631  dvnmul  46640  stoweidlem17  46714  wallispilem1  46762  stirlinglem5  46775  etransclem23  46954  etransclem46  46977  etransclem48  46979  fmtnoge3  48265  fmtnorec1  48272  sqrtpwpw2p  48273  fmtnosqrt  48274  fmtnorec2lem  48277  fmtnorec3  48283  fmtnoprmfac1  48300  fmtnoprmfac2lem1  48301  fmtnofac1  48305  flsqrt  48328  perfectALTVlem1  48469  isubgr3stgrlem2  48715  nn0eo  49291  fllog2  49331  dignnld  49366  0dig2nn0o  49376  dignn0ehalf  49380  dignn0flhalf  49381  nn0sumshdiglemA  49382  itcovalsuc  49430  ackvalsuc1mpt  49441  ackval1  49444  ackval2  49445  ackval3  49446  ackendofnn0  49447  ackval0val  49449  ackvalsucsucval  49451  aacllem  50584