Theorem itcovalt2lem2lem1 48955

Description: Lemma 1 for itcovalt2lem2 48958. (Contributed by AV, 6-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
itcovalt2lem2lem1	⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑁 + 𝐶) · 𝑌) − 𝐶) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem itcovalt2lem2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12414	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → 𝐶 ∈ ℝ)
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
4		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℕ0)
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℕ0)
7	4, 6	nn0addcld 12470	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐶) ∈ ℕ0)
8	7	nn0red 12467	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐶) ∈ ℝ)
9		nnnn0 12412	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ → 𝑌 ∈ ℕ0)
10	9	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ ℕ0)
11	7, 10	nn0mulcld 12471	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 𝐶) · 𝑌) ∈ ℕ0)
12	11	nn0red 12467	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 𝐶) · 𝑌) ∈ ℝ)
13		nn0ge0 12430	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
14	13	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑁)
15	6	nn0red 12467	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
16	4	nn0red 12467	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
17	15, 16	addge02d 11730	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 𝐶 ≤ (𝑁 + 𝐶)))
18	14, 17	mpbid 232	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐶 ≤ (𝑁 + 𝐶))
19		simpll 767	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ ℕ)
20	19	nnred 12164	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ ℝ)
21	7	nn0ge0d 12469	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝑁 + 𝐶))
22		nnge1 12177	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑌)
23	22	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ 𝑌)
24	8, 20, 21, 23	lemulge11d 12083	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐶) ≤ ((𝑁 + 𝐶) · 𝑌))
25	3, 8, 12, 18, 24	letrd 11294	. 2 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐶 ≤ ((𝑁 + 𝐶) · 𝑌))
26		nn0sub 12455	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 𝐶) · 𝑌) ∈ ℕ0) → (𝐶 ≤ ((𝑁 + 𝐶) · 𝑌) ↔ (((𝑁 + 𝐶) · 𝑌) − 𝐶) ∈ ℕ0))
27	6, 11, 26	syl2anc 585	. 2 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐶 ≤ ((𝑁 + 𝐶) · 𝑌) ↔ (((𝑁 + 𝐶) · 𝑌) − 𝐶) ∈ ℕ0))
28	25, 27	mpbid 232	1 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑁 + 𝐶) · 𝑌) − 𝐶) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  (class class class)co 7360  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033   · cmul 11035   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℕcn 12149  ℕ₀cn0 12405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-n0 12406

This theorem is referenced by:  itcovalt2lem2  48958