Theorem itcovalt2lem2lem1 48407

Description: Lemma 1 for itcovalt2lem2 48410. (Contributed by AV, 6-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
itcovalt2lem2lem1	⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑁 + 𝐶) · 𝑌) − 𝐶) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem itcovalt2lem2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12562	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → 𝐶 ∈ ℝ)
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
4		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℕ0)
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℕ0)
7	4, 6	nn0addcld 12617	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐶) ∈ ℕ0)
8	7	nn0red 12614	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐶) ∈ ℝ)
9		nnnn0 12560	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ → 𝑌 ∈ ℕ0)
10	9	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ ℕ0)
11	7, 10	nn0mulcld 12618	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 𝐶) · 𝑌) ∈ ℕ0)
12	11	nn0red 12614	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 𝐶) · 𝑌) ∈ ℝ)
13		nn0ge0 12578	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
14	13	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑁)
15	6	nn0red 12614	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
16	4	nn0red 12614	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
17	15, 16	addge02d 11879	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 𝐶 ≤ (𝑁 + 𝐶)))
18	14, 17	mpbid 232	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐶 ≤ (𝑁 + 𝐶))
19		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ ℕ)
20	19	nnred 12308	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ ℝ)
21	7	nn0ge0d 12616	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝑁 + 𝐶))
22		nnge1 12321	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑌)
23	22	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ 𝑌)
24	8, 20, 21, 23	lemulge11d 12232	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐶) ≤ ((𝑁 + 𝐶) · 𝑌))
25	3, 8, 12, 18, 24	letrd 11447	. 2 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐶 ≤ ((𝑁 + 𝐶) · 𝑌))
26		nn0sub 12603	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 𝐶) · 𝑌) ∈ ℕ0) → (𝐶 ≤ ((𝑁 + 𝐶) · 𝑌) ↔ (((𝑁 + 𝐶) · 𝑌) − 𝐶) ∈ ℕ0))
27	6, 11, 26	syl2anc 583	. 2 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐶 ≤ ((𝑁 + 𝐶) · 𝑌) ↔ (((𝑁 + 𝐶) · 𝑌) − 𝐶) ∈ ℕ0))
28	25, 27	mpbid 232	1 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑁 + 𝐶) · 𝑌) − 𝐶) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   ≤ cle 11325   − cmin 11520  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554

This theorem is referenced by:  itcovalt2lem2  48410