Theorem itcovalt2lem2lem1 49893

Description: Lemma 1 for itcovalt2lem2 49896. (Contributed by AV, 6-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
itcovalt2lem2lem1	⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑁 + 𝐶) · 𝑌) − 𝐶) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem itcovalt2lem2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12622	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → 𝐶 ∈ ℝ)
2	1	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
3	2	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
4		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℕ0)
6	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℕ0)
7	4, 6	nn0addcld 12678	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐶) ∈ ℕ0)
8	7	nn0red 12675	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐶) ∈ ℝ)
9		nnnn0 12620	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ → 𝑌 ∈ ℕ0)
10	9	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ ℕ0)
11	7, 10	nn0mulcld 12679	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 𝐶) · 𝑌) ∈ ℕ0)
12	11	nn0red 12675	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 𝐶) · 𝑌) ∈ ℝ)
13		nn0ge0 12638	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
14	13	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑁)
15	6	nn0red 12675	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
16	4	nn0red 12675	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
17	15, 16	addge02d 11912	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 𝐶 ≤ (𝑁 + 𝐶)))
18	14, 17	mpbid 235	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐶 ≤ (𝑁 + 𝐶))
19		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ ℕ)
20	19	nnred 12357	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ ℝ)
21	7	nn0ge0d 12677	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝑁 + 𝐶))
22		nnge1 12373	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑌)
23	22	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ 𝑌)
24	8, 20, 21, 23	lemulge11d 12261	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐶) ≤ ((𝑁 + 𝐶) · 𝑌))
25	3, 8, 12, 18, 24	letrd 11474	. 2 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐶 ≤ ((𝑁 + 𝐶) · 𝑌))
26		nn0sub 12663	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 𝐶) · 𝑌) ∈ ℕ0) → (𝐶 ≤ ((𝑁 + 𝐶) · 𝑌) ↔ (((𝑁 + 𝐶) · 𝑌) − 𝐶) ∈ ℕ0))
27	6, 11, 26	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐶 ≤ ((𝑁 + 𝐶) · 𝑌) ↔ (((𝑁 + 𝐶) · 𝑌) − 𝐶) ∈ ℕ0))
28	25, 27	mpbid 235	1 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑁 + 𝐶) · 𝑌) − 𝐶) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7424  ℝcr 11206  0cc0 11207  1c1 11208   + caddc 11210   · cmul 11212   ≤ cle 11351   − cmin 11548  ℕcn 12342  ℕ₀cn0 12613

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-n0 12614

This theorem is used by:  itcovalt2lem2  49896