Theorem itcovalt2lem2 48604

Description: Lemma 2 for itcovalt2 48605: induction step. (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
itcovalt2.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
itcovalt2lem2	⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑(𝑦 + 1))) − 𝐶))))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑛   𝑦,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑦)   𝐹(𝑦,𝑛)

Proof of Theorem itcovalt2lem2

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itcovalt2.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 𝐶))
2		nn0ex 12505	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
3	2	mptex 7214	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 𝐶)) ∈ V
4	1, 3	eqeltri 2830	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ V
5		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℕ0)
6		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))) → ((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)))
7		itcovalsucov 48596	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)) = (𝐹 ∘ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))))
8	4, 5, 6, 7	mp3an2ani 1470	. . 3 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)) = (𝐹 ∘ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))))
9		2nn 12311	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ)
11		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℕ0)
12	10, 11	nnexpcld 14261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (2↑𝑦) ∈ ℕ)
13		itcovalt2lem2lem1 48601	. . . . . . 7 ⊢ ((((2↑𝑦) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶) ∈ ℕ0)
14	12, 13	sylanl1 680	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶) ∈ ℕ0)
15		eqidd 2736	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)))
16		oveq2 7411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑚))
17	16	oveq1d 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((2 · 𝑛) + 𝐶) = ((2 · 𝑚) + 𝐶))
18	17	cbvmptv 5225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 𝐶)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 𝐶))
19	1, 18	eqtri 2758	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 𝐶))
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 𝐶)))
21		oveq2 7411	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶) → (2 · 𝑚) = (2 · (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)))
22	21	oveq1d 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶) → ((2 · 𝑚) + 𝐶) = ((2 · (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)) + 𝐶))
23	14, 15, 20, 22	fmptco 7118	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐹 ∘ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)) + 𝐶)))
24		itcovalt2lem2lem2 48602	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 · (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)) + 𝐶) = (((𝑛 + 𝐶) · (2↑(𝑦 + 1))) − 𝐶))
25	24	mpteq2dva 5214	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)) + 𝐶)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑(𝑦 + 1))) − 𝐶)))
26	23, 25	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐹 ∘ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑(𝑦 + 1))) − 𝐶)))
27	26	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))) → (𝐹 ∘ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑(𝑦 + 1))) − 𝐶)))
28	8, 27	eqtrd 2770	. 2 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑(𝑦 + 1))) − 𝐶)))
29	28	ex 412	1 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑(𝑦 + 1))) − 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   ↦ cmpt 5201   ∘ ccom 5658  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132   − cmin 11464  ℕcn 12238  2c2 12293  ℕ₀cn0 12499  ↑cexp 14077  IterCompcitco 48585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-inf2 9653  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-seq 14018  df-exp 14078  df-itco 48587

This theorem is referenced by:  itcovalt2  48605