Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itcovalt2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itcovalt2lem2 46752
Description: Lemma 2 for itcovalt2 46753: induction step. (Contributed by AV, 7-May-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
itcovalt2.f 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 𝐶))
Assertion
Ref Expression
itcovalt2lem2 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) → (((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑(𝑦 + 1))) − 𝐶))))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑛   𝑦,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑦)   𝐹(𝑦,𝑛)

Proof of Theorem itcovalt2lem2
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itcovalt2.f . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 𝐶))
2 nn0ex 12419 . . . . . 6 0 ∈ V
32mptex 7173 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 𝐶)) ∈ V
41, 3eqeltri 2834 . . . 4 𝐹 ∈ V
5 simpl 483 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℕ0)
6 simpr 485 . . . 4 (((𝑦 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))) → ((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)))
7 itcovalsucov 46744 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)) = (𝐹 ∘ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))))
84, 5, 6, 7mp3an2ani 1468 . . 3 (((𝑦 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)) = (𝐹 ∘ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))))
9 2nn 12226 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
109a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ)
11 id 22 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)
1210, 11nnexpcld 14148 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ0 → (2↑𝑦) ∈ ℕ)
13 itcovalt2lem2lem1 46749 . . . . . . 7 ((((2↑𝑦) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶) ∈ ℕ0)
1412, 13sylanl1 678 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶) ∈ ℕ0)
15 eqidd 2737 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)))
16 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑚))
1716oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → ((2 · 𝑛) + 𝐶) = ((2 · 𝑚) + 𝐶))
1817cbvmptv 5218 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 𝐶)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 𝐶))
191, 18eqtri 2764 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 𝐶))
2019a1i 11 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 𝐶)))
21 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑚 = (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶) → (2 · 𝑚) = (2 · (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)))
2221oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝑚 = (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶) → ((2 · 𝑚) + 𝐶) = ((2 · (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)) + 𝐶))
2314, 15, 20, 22fmptco 7075 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐹 ∘ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)) + 𝐶)))
24 itcovalt2lem2lem2 46750 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 · (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)) + 𝐶) = (((𝑛 + 𝐶) · (2↑(𝑦 + 1))) − 𝐶))
2524mpteq2dva 5205 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)) + 𝐶)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑(𝑦 + 1))) − 𝐶)))
2623, 25eqtrd 2776 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐹 ∘ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑(𝑦 + 1))) − 𝐶)))
2726adantr 481 . . 3 (((𝑦 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))) → (𝐹 ∘ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑(𝑦 + 1))) − 𝐶)))
288, 27eqtrd 2776 . 2 (((𝑦 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑(𝑦 + 1))) − 𝐶)))
2928ex 413 1 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) → (((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑(𝑦 + 1))) − 𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  cmpt 5188  ccom 5637  cfv 6496  (class class class)co 7357  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cmin 11385  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cexp 13967  IterCompcitco 46733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-seq 13907  df-exp 13968  df-itco 46735
This theorem is referenced by:  itcovalt2  46753
  Copyright terms: Public domain W3C validator