Theorem itcovalt2lem2 50119

Description: Lemma 2 for itcovalt2 50120: induction step. (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
itcovalt2.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
itcovalt2lem2	⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑(𝑦 + 1))) − 𝐶))))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑛   𝑦,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑦)   𝐹(𝑦, 𝑛)

Proof of Theorem itcovalt2lem2

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itcovalt2.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 𝐶))
2		nn0ex 12652	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
3	2	mptex 7260	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 𝐶)) ∈ V
4	1, 3	eqeltri 2860	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ V
5		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℕ0)
6		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))) → ((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)))
7		itcovalsucov 50111	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)) = (𝐹 ∘ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))))
8	4, 5, 6, 7	mp3an2ani 1498	. . 3 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)) = (𝐹 ∘ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))))
9		2nn 12456	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ)
11		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℕ0)
12	10, 11	nnexpcld 14430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (2↑𝑦) ∈ ℕ)
13		itcovalt2lem2lem1 50116	. . . . . . 7 ⊢ ((((2↑𝑦) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶) ∈ ℕ0)
14	12, 13	sylanl1 693	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶) ∈ ℕ0)
15		eqidd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)))
16		oveq2 7459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑚))
17	16	oveq1d 7466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((2 · 𝑛) + 𝐶) = ((2 · 𝑚) + 𝐶))
18	17	cbvmptv 5215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 𝐶)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 𝐶))
19	1, 18	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 𝐶))
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 𝐶)))
21		oveq2 7459	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶) → (2 · 𝑚) = (2 · (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)))
22	21	oveq1d 7466	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶) → ((2 · 𝑚) + 𝐶) = ((2 · (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)) + 𝐶))
23	14, 15, 20, 22	fmptco 7162	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐹 ∘ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)) + 𝐶)))
24		itcovalt2lem2lem2 50117	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 · (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)) + 𝐶) = (((𝑛 + 𝐶) · (2↑(𝑦 + 1))) − 𝐶))
25	24	mpteq2dva 5204	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)) + 𝐶)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑(𝑦 + 1))) − 𝐶)))
26	23, 25	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐹 ∘ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑(𝑦 + 1))) − 𝐶)))
27	26	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))) → (𝐹 ∘ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑(𝑦 + 1))) − 𝐶)))
28	8, 27	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑(𝑦 + 1))) − 𝐶)))
29	28	ex 418	1 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑(𝑦 + 1))) − 𝐶))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ↦ cmpt 5192   ∘ ccom 5662  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244   − cmin 11580  ℕcn 12375  2c2 12437  ℕ₀cn0 12646  ↑cexp 14244  IterCompcitco 50100

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-seq 14185  df-exp 14245  df-itco 50102

This theorem is used by:  itcovalt2  50120