Theorem itcovalt2lem2 48525

Description: Lemma 2 for itcovalt2 48526: induction step. (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
itcovalt2.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
itcovalt2lem2	⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑(𝑦 + 1))) − 𝐶))))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑛   𝑦,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑦)   𝐹(𝑦,𝑛)

Proof of Theorem itcovalt2lem2

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itcovalt2.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 𝐶))
2		nn0ex 12529	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
3	2	mptex 7242	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 𝐶)) ∈ V
4	1, 3	eqeltri 2834	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ V
5		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℕ0)
6		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))) → ((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)))
7		itcovalsucov 48517	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)) = (𝐹 ∘ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))))
8	4, 5, 6, 7	mp3an2ani 1467	. . 3 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)) = (𝐹 ∘ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))))
9		2nn 12336	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ)
11		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℕ0)
12	10, 11	nnexpcld 14280	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (2↑𝑦) ∈ ℕ)
13		itcovalt2lem2lem1 48522	. . . . . . 7 ⊢ ((((2↑𝑦) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶) ∈ ℕ0)
14	12, 13	sylanl1 680	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶) ∈ ℕ0)
15		eqidd 2735	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)))
16		oveq2 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑚))
17	16	oveq1d 7445	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((2 · 𝑛) + 𝐶) = ((2 · 𝑚) + 𝐶))
18	17	cbvmptv 5260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 𝐶)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 𝐶))
19	1, 18	eqtri 2762	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 𝐶))
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 𝐶)))
21		oveq2 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶) → (2 · 𝑚) = (2 · (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)))
22	21	oveq1d 7445	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶) → ((2 · 𝑚) + 𝐶) = ((2 · (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)) + 𝐶))
23	14, 15, 20, 22	fmptco 7148	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐹 ∘ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)) + 𝐶)))
24		itcovalt2lem2lem2 48523	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 · (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)) + 𝐶) = (((𝑛 + 𝐶) · (2↑(𝑦 + 1))) − 𝐶))
25	24	mpteq2dva 5247	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)) + 𝐶)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑(𝑦 + 1))) − 𝐶)))
26	23, 25	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐹 ∘ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑(𝑦 + 1))) − 𝐶)))
27	26	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))) → (𝐹 ∘ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑(𝑦 + 1))) − 𝐶)))
28	8, 27	eqtrd 2774	. 2 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑(𝑦 + 1))) − 𝐶)))
29	28	ex 412	1 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑(𝑦 + 1))) − 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  Vcvv 3477   ↦ cmpt 5230   ∘ ccom 5692  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   − cmin 11489  ℕcn 12263  2c2 12318  ℕ₀cn0 12523  ↑cexp 14098  IterCompcitco 48506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-seq 14039  df-exp 14099  df-itco 48508

This theorem is referenced by:  itcovalt2  48526