Theorem itcovalt2lem2 45440

Description: Lemma 2 for itcovalt2 45441: induction step. (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
itcovalt2.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
itcovalt2lem2	⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑(𝑦 + 1))) − 𝐶))))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑛   𝑦,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑦)   𝐹(𝑦,𝑛)

Proof of Theorem itcovalt2lem2

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itcovalt2.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 𝐶))
2		nn0ex 11925	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
3	2	mptex 6970	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 𝐶)) ∈ V
4	1, 3	eqeltri 2847	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ V
5		simpl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℕ0)
6		simpr 489	. . . 4 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))) → ((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)))
7		itcovalsucov 45432	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)) = (𝐹 ∘ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))))
8	4, 5, 6, 7	mp3an2ani 1466	. . 3 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)) = (𝐹 ∘ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))))
9		2nn 11732	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ)
11		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℕ0)
12	10, 11	nnexpcld 13641	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (2↑𝑦) ∈ ℕ)
13		itcovalt2lem2lem1 45437	. . . . . . 7 ⊢ ((((2↑𝑦) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶) ∈ ℕ0)
14	12, 13	sylanl1 680	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶) ∈ ℕ0)
15		eqidd 2760	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)))
16		oveq2 7151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑚))
17	16	oveq1d 7158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((2 · 𝑛) + 𝐶) = ((2 · 𝑚) + 𝐶))
18	17	cbvmptv 5128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑛) + 𝐶)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 𝐶))
19	1, 18	eqtri 2782	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 𝐶))
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 𝐶)))
21		oveq2 7151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶) → (2 · 𝑚) = (2 · (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)))
22	21	oveq1d 7158	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶) → ((2 · 𝑚) + 𝐶) = ((2 · (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)) + 𝐶))
23	14, 15, 20, 22	fmptco 6875	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐹 ∘ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)) + 𝐶)))
24		itcovalt2lem2lem2 45438	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 · (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)) + 𝐶) = (((𝑛 + 𝐶) · (2↑(𝑦 + 1))) − 𝐶))
25	24	mpteq2dva 5120	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)) + 𝐶)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑(𝑦 + 1))) − 𝐶)))
26	23, 25	eqtrd 2794	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐹 ∘ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑(𝑦 + 1))) − 𝐶)))
27	26	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))) → (𝐹 ∘ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑(𝑦 + 1))) − 𝐶)))
28	8, 27	eqtrd 2794	. 2 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶))) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑(𝑦 + 1))) − 𝐶)))
29	28	ex 417	1 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((IterComp‘𝐹)‘𝑦) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑𝑦)) − 𝐶)) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑦 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 𝐶) · (2↑(𝑦 + 1))) − 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  Vcvv 3407   ↦ cmpt 5105   ∘ ccom 5521  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143  1c1 10561   + caddc 10563   · cmul 10565   − cmin 10893  ℕcn 11659  2c2 11714  ℕ₀cn0 11919  ↑cexp 13464  IterCompcitco 45421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5149  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-inf2 9122  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-2nd 7687  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-nn 11660  df-2 11722  df-n0 11920  df-z 12006  df-uz 12268  df-seq 13404  df-exp 13465  df-itco 45423

This theorem is referenced by:  itcovalt2  45441