Theorem nn0mulcld 12597

Description: Closure of multiplication of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0mulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0mulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0mulcl 12567	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7414   · cmul 11132  ℕ₀cn0 12531

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275  df-nn 12261  df-n0 12532

This theorem is used by:  quoremnn0ALT  13921  expmulz  14175  faclbnd4lem3  14362  oddge22np1  16442  mulgcd  16641  rpmulgcd2  16749  hashgcdlem  16882  odzdvds  16890  prmreclem3  17013  vdwapf  17067  vdwlem5  17080  vdwlem6  17081  smndex2dbas  19029  odmodnn0  19670  odmulg  19686  odadd  19980  ablfacrplem  20197  ablfacrp2  20199  2lgslem1c  27632  2lgslem3a  27635  2lgslem3b  27636  2lgslem3c  27637  2lgslem3d  27638  dchrisumlem1  27728  fldextrspundgdvdslem  34193  fldextrspundgdvds  34194  eulerpartlemsv2  34872  eulerpartlemsf  34873  eulerpartlems  34874  eulerpartlemv  34878  eulerpartlemb  34882  breprexplemc  35143  erdsze2lem1  35785  erdsze2lem2  35786  lcmineqlem17  42914  lcmineqlem18  42915  lcmineqlem20  42917  lcmineqlem21  42918  lcmineqlem22  42919  primrootscoprbij  42971  aks6d1c2lem3  42995  aks6d1c2lem4  42996  2np3bcnp1  43013  2ap1caineq  43014  aks6d1c7lem1  43049  3cubeslem3l  43534  3cubeslem3r  43535  pell1qrge1  43714  jm2.27c  43851  rmxdiophlem  43859  stoweidlem1  46832  wallispilem4  46899  wallispilem5  46900  wallispi2lem2  46903  stirlinglem3  46907  stirlinglem5  46909  stirlinglem7  46911  stirlinglem10  46914  stirlinglem11  46915  etransclem32  47097  etransclem44  47109  etransclem46  47111  fmtnofac2lem  48474  fmtnofac1  48476  2pwp1prm  48495  lighneallem3  48513  fppr2odd  48650  ply1mulgsumlem2  49320  itcovalpclem2  49604  itcovalt2lem2lem1  49606  itcovalt2lem2lem2  49607