Theorem nn0mulcld 12450

Description: Closure of multiplication of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0mulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0mulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0mulcl 12420	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349   · cmul 11014  ℕ₀cn0 12384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-ltxr 11154  df-nn 12129  df-n0 12385

This theorem is referenced by:  quoremnn0ALT  13761  expmulz  14015  faclbnd4lem3  14202  oddge22np1  16260  mulgcd  16459  rpmulgcd2  16567  hashgcdlem  16699  odzdvds  16707  prmreclem3  16830  vdwapf  16884  vdwlem5  16897  vdwlem6  16898  smndex2dbas  18788  odmodnn0  19419  odmulg  19435  odadd  19729  ablfacrplem  19946  ablfacrp2  19948  2lgslem1c  27302  2lgslem3a  27305  2lgslem3b  27306  2lgslem3c  27307  2lgslem3d  27308  dchrisumlem1  27398  fldextrspundgdvdslem  33653  fldextrspundgdvds  33654  eulerpartlemsv2  34332  eulerpartlemsf  34333  eulerpartlems  34334  eulerpartlemv  34338  eulerpartlemb  34342  breprexplemc  34606  erdsze2lem1  35186  erdsze2lem2  35187  lcmineqlem17  42028  lcmineqlem18  42029  lcmineqlem20  42031  lcmineqlem21  42032  lcmineqlem22  42033  primrootscoprbij  42085  aks6d1c2lem3  42109  aks6d1c2lem4  42110  2np3bcnp1  42127  2ap1caineq  42128  aks6d1c7lem1  42163  3cubeslem3l  42669  3cubeslem3r  42670  pell1qrge1  42853  jm2.27c  42990  rmxdiophlem  42998  stoweidlem1  45992  wallispilem4  46059  wallispilem5  46060  wallispi2lem2  46063  stirlinglem3  46067  stirlinglem5  46069  stirlinglem7  46071  stirlinglem10  46074  stirlinglem11  46075  etransclem32  46257  etransclem44  46269  etransclem46  46271  fmtnofac2lem  47562  fmtnofac1  47564  2pwp1prm  47583  lighneallem3  47601  fppr2odd  47725  ply1mulgsumlem2  48382  itcovalpclem2  48666  itcovalt2lem2lem1  48668  itcovalt2lem2lem2  48669