Theorem nn0mulcld 12570

Description: Closure of multiplication of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0mulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0mulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0mulcl 12540	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411   · cmul 11105  ℕ₀cn0 12504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-ltxr 11248  df-nn 12234  df-n0 12505

This theorem is referenced by:  quoremnn0ALT  13890  expmulz  14144  faclbnd4lem3  14331  oddge22np1  16407  mulgcd  16606  rpmulgcd2  16714  hashgcdlem  16847  odzdvds  16855  prmreclem3  16978  vdwapf  17032  vdwlem5  17045  vdwlem6  17046  smndex2dbas  18976  odmodnn0  19610  odmulg  19626  odadd  19920  ablfacrplem  20137  ablfacrp2  20139  2lgslem1c  27523  2lgslem3a  27526  2lgslem3b  27527  2lgslem3c  27528  2lgslem3d  27529  dchrisumlem1  27619  fldextrspundgdvdslem  34015  fldextrspundgdvds  34016  eulerpartlemsv2  34693  eulerpartlemsf  34694  eulerpartlems  34695  eulerpartlemv  34699  eulerpartlemb  34703  breprexplemc  34964  erdsze2lem1  35628  erdsze2lem2  35629  lcmineqlem17  42736  lcmineqlem18  42737  lcmineqlem20  42739  lcmineqlem21  42740  lcmineqlem22  42741  primrootscoprbij  42793  aks6d1c2lem3  42817  aks6d1c2lem4  42818  2np3bcnp1  42835  2ap1caineq  42836  aks6d1c7lem1  42871  3cubeslem3l  43343  3cubeslem3r  43344  pell1qrge1  43523  jm2.27c  43660  rmxdiophlem  43668  stoweidlem1  46641  wallispilem4  46708  wallispilem5  46709  wallispi2lem2  46712  stirlinglem3  46716  stirlinglem5  46718  stirlinglem7  46720  stirlinglem10  46723  stirlinglem11  46724  etransclem32  46906  etransclem44  46918  etransclem46  46920  fmtnofac2lem  48243  fmtnofac1  48245  2pwp1prm  48264  lighneallem3  48282  fppr2odd  48419  ply1mulgsumlem2  49086  itcovalpclem2  49370  itcovalt2lem2lem1  49372  itcovalt2lem2lem2  49373