MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0mulcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0mulcld 11645
Description: Closure of multiplication of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0red.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
nn0mulcld (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0mulcld
StepHypRef Expression
1 nn0red.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
2 nn0addcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
3 nn0mulcl 11618 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)
41, 2, 3syl2anc 580 1 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2157  (class class class)co 6878   · cmul 10229  0cn0 11580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6881  df-om 7300  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-ltxr 10368  df-nn 11313  df-n0 11581
This theorem is referenced by:  quoremnn0ALT  12911  expmulz  13160  faclbnd4lem3  13335  oddge22np1  15409  mulgcd  15600  rpmulgcd2  15704  hashgcdlem  15826  odzdvds  15833  prmreclem3  15955  vdwapf  16009  vdwlem5  16022  vdwlem6  16023  odmodnn0  18272  odmulg  18286  odadd  18568  ablfacrplem  18780  ablfacrp2  18782  2lgslem1c  25470  2lgslem3a  25473  2lgslem3b  25474  2lgslem3c  25475  2lgslem3d  25476  dchrisumlem1  25530  eulerpartlemsv2  30936  eulerpartlemsf  30937  eulerpartlems  30938  eulerpartlemv  30942  eulerpartlemb  30946  breprexplemc  31230  erdsze2lem1  31702  erdsze2lem2  31703  pell1qrge1  38220  jm2.27c  38359  rmxdiophlem  38367  stoweidlem1  40961  wallispilem4  41028  wallispilem5  41029  wallispi2lem2  41032  stirlinglem3  41036  stirlinglem5  41038  stirlinglem7  41040  stirlinglem10  41043  stirlinglem11  41044  etransclem32  41226  etransclem44  41238  etransclem46  41240  fmtnofac2lem  42262  fmtnofac1  42264  2pwp1prm  42285  lighneallem3  42306  ply1mulgsumlem2  42974
  Copyright terms: Public domain W3C validator