Theorem nn0mulcld 12549

Description: Closure of multiplication of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0mulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0mulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0mulcl 12519	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7398   · cmul 11080  ℕ₀cn0 12483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7401  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-ltxr 11223  df-nn 12213  df-n0 12484

This theorem is referenced by:  quoremnn0ALT  13869  expmulz  14123  faclbnd4lem3  14310  oddge22np1  16385  mulgcd  16584  rpmulgcd2  16692  hashgcdlem  16825  odzdvds  16833  prmreclem3  16956  vdwapf  17010  vdwlem5  17023  vdwlem6  17024  smndex2dbas  18953  odmodnn0  19582  odmulg  19598  odadd  19892  ablfacrplem  20109  ablfacrp2  20111  2lgslem1c  27459  2lgslem3a  27462  2lgslem3b  27463  2lgslem3c  27464  2lgslem3d  27465  dchrisumlem1  27555  fldextrspundgdvdslem  33979  fldextrspundgdvds  33980  eulerpartlemsv2  34657  eulerpartlemsf  34658  eulerpartlems  34659  eulerpartlemv  34663  eulerpartlemb  34667  breprexplemc  34928  erdsze2lem1  35558  erdsze2lem2  35559  lcmineqlem17  42667  lcmineqlem18  42668  lcmineqlem20  42670  lcmineqlem21  42671  lcmineqlem22  42672  primrootscoprbij  42724  aks6d1c2lem3  42748  aks6d1c2lem4  42749  2np3bcnp1  42766  2ap1caineq  42767  aks6d1c7lem1  42802  3cubeslem3l  43272  3cubeslem3r  43273  pell1qrge1  43452  jm2.27c  43589  rmxdiophlem  43597  stoweidlem1  46580  wallispilem4  46647  wallispilem5  46648  wallispi2lem2  46651  stirlinglem3  46655  stirlinglem5  46657  stirlinglem7  46659  stirlinglem10  46662  stirlinglem11  46663  etransclem32  46845  etransclem44  46857  etransclem46  46859  fmtnofac2lem  48182  fmtnofac1  48184  2pwp1prm  48203  lighneallem3  48221  fppr2odd  48358  ply1mulgsumlem2  49014  itcovalpclem2  49298  itcovalt2lem2lem1  49300  itcovalt2lem2lem2  49301