Theorem nn0mulcld 12541

Description: Closure of multiplication of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0mulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0mulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0mulcl 12512	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 582	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7411   · cmul 11117  ℕ₀cn0 12476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-nn 12217  df-n0 12477

This theorem is referenced by:  quoremnn0ALT  13826  expmulz  14078  faclbnd4lem3  14259  oddge22np1  16296  mulgcd  16494  rpmulgcd2  16597  hashgcdlem  16725  odzdvds  16732  prmreclem3  16855  vdwapf  16909  vdwlem5  16922  vdwlem6  16923  smndex2dbas  18831  odmodnn0  19449  odmulg  19465  odadd  19759  ablfacrplem  19976  ablfacrp2  19978  mhppwdeg  21912  2lgslem1c  27132  2lgslem3a  27135  2lgslem3b  27136  2lgslem3c  27137  2lgslem3d  27138  dchrisumlem1  27228  eulerpartlemsv2  33655  eulerpartlemsf  33656  eulerpartlems  33657  eulerpartlemv  33661  eulerpartlemb  33665  breprexplemc  33942  erdsze2lem1  34492  erdsze2lem2  34493  lcmineqlem17  41216  lcmineqlem18  41217  lcmineqlem20  41219  lcmineqlem21  41220  lcmineqlem22  41221  2np3bcnp1  41266  2ap1caineq  41267  3cubeslem3l  41726  3cubeslem3r  41727  pell1qrge1  41910  jm2.27c  42048  rmxdiophlem  42056  stoweidlem1  45015  wallispilem4  45082  wallispilem5  45083  wallispi2lem2  45086  stirlinglem3  45090  stirlinglem5  45092  stirlinglem7  45094  stirlinglem10  45097  stirlinglem11  45098  etransclem32  45280  etransclem44  45292  etransclem46  45294  fmtnofac2lem  46534  fmtnofac1  46536  2pwp1prm  46555  lighneallem3  46573  fppr2odd  46697  ply1mulgsumlem2  47155  itcovalpclem2  47444  itcovalt2lem2lem1  47446  itcovalt2lem2lem2  47447