Theorem nn0mulcld 12574

Description: Closure of multiplication of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0mulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0mulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0mulcl 12544	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410   · cmul 11109  ℕ₀cn0 12508

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-nn 12238  df-n0 12509

This theorem is used by:  quoremnn0ALT  13895  expmulz  14149  faclbnd4lem3  14336  oddge22np1  16411  mulgcd  16610  rpmulgcd2  16718  hashgcdlem  16851  odzdvds  16859  prmreclem3  16982  vdwapf  17036  vdwlem5  17049  vdwlem6  17050  smndex2dbas  18980  odmodnn0  19614  odmulg  19630  odadd  19924  ablfacrplem  20141  ablfacrp2  20143  2lgslem1c  27566  2lgslem3a  27569  2lgslem3b  27570  2lgslem3c  27571  2lgslem3d  27572  dchrisumlem1  27662  fldextrspundgdvdslem  34079  fldextrspundgdvds  34080  eulerpartlemsv2  34757  eulerpartlemsf  34758  eulerpartlems  34759  eulerpartlemv  34763  eulerpartlemb  34767  breprexplemc  35028  erdsze2lem1  35703  erdsze2lem2  35704  lcmineqlem17  42840  lcmineqlem18  42841  lcmineqlem20  42843  lcmineqlem21  42844  lcmineqlem22  42845  primrootscoprbij  42897  aks6d1c2lem3  42921  aks6d1c2lem4  42922  2np3bcnp1  42939  2ap1caineq  42940  aks6d1c7lem1  42975  3cubeslem3l  43445  3cubeslem3r  43446  pell1qrge1  43625  jm2.27c  43762  rmxdiophlem  43770  stoweidlem1  46743  wallispilem4  46810  wallispilem5  46811  wallispi2lem2  46814  stirlinglem3  46818  stirlinglem5  46820  stirlinglem7  46822  stirlinglem10  46825  stirlinglem11  46826  etransclem32  47008  etransclem44  47020  etransclem46  47022  fmtnofac2lem  48348  fmtnofac1  48350  2pwp1prm  48369  lighneallem3  48387  fppr2odd  48524  ply1mulgsumlem2  49195  itcovalpclem2  49479  itcovalt2lem2lem1  49481  itcovalt2lem2lem2  49482