Theorem nn0mulcld 11948

Description: Closure of multiplication of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0mulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0mulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0mulcl 11921	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135   · cmul 10531  ℕ₀cn0 11885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-nn 11626  df-n0 11886

This theorem is referenced by:  quoremnn0ALT  13220  expmulz  13471  faclbnd4lem3  13651  oddge22np1  15690  mulgcd  15886  rpmulgcd2  15990  hashgcdlem  16115  odzdvds  16122  prmreclem3  16244  vdwapf  16298  vdwlem5  16311  vdwlem6  16312  smndex2dbas  18071  odmodnn0  18660  odmulg  18675  odadd  18963  ablfacrplem  19180  ablfacrp2  19182  2lgslem1c  25977  2lgslem3a  25980  2lgslem3b  25981  2lgslem3c  25982  2lgslem3d  25983  dchrisumlem1  26073  eulerpartlemsv2  31726  eulerpartlemsf  31727  eulerpartlems  31728  eulerpartlemv  31732  eulerpartlemb  31736  breprexplemc  32013  erdsze2lem1  32563  erdsze2lem2  32564  lcmineqlem17  39333  lcmineqlem18  39334  lcmineqlem20  39336  lcmineqlem21  39337  lcmineqlem22  39338  2np3bcnp1  39348  2ap1caineq  39349  3cubeslem3l  39627  3cubeslem3r  39628  pell1qrge1  39811  jm2.27c  39948  rmxdiophlem  39956  stoweidlem1  42643  wallispilem4  42710  wallispilem5  42711  wallispi2lem2  42714  stirlinglem3  42718  stirlinglem5  42720  stirlinglem7  42722  stirlinglem10  42725  stirlinglem11  42726  etransclem32  42908  etransclem44  42920  etransclem46  42922  fmtnofac2lem  44085  fmtnofac1  44087  2pwp1prm  44106  lighneallem3  44125  fppr2odd  44249  ply1mulgsumlem2  44795  itcovalpclem2  45085  itcovalt2lem2lem1  45087  itcovalt2lem2lem2  45088