Theorem nn0mulcld 12503

Description: Closure of multiplication of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0mulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0mulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0mulcl 12473	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367   · cmul 11043  ℕ₀cn0 12437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-nn 12175  df-n0 12438

This theorem is referenced by:  quoremnn0ALT  13816  expmulz  14070  faclbnd4lem3  14257  oddge22np1  16318  mulgcd  16517  rpmulgcd2  16625  hashgcdlem  16758  odzdvds  16766  prmreclem3  16889  vdwapf  16943  vdwlem5  16956  vdwlem6  16957  smndex2dbas  18885  odmodnn0  19515  odmulg  19531  odadd  19825  ablfacrplem  20042  ablfacrp2  20044  2lgslem1c  27356  2lgslem3a  27359  2lgslem3b  27360  2lgslem3c  27361  2lgslem3d  27362  dchrisumlem1  27452  fldextrspundgdvdslem  33824  fldextrspundgdvds  33825  eulerpartlemsv2  34502  eulerpartlemsf  34503  eulerpartlems  34504  eulerpartlemv  34508  eulerpartlemb  34512  breprexplemc  34776  erdsze2lem1  35385  erdsze2lem2  35386  lcmineqlem17  42484  lcmineqlem18  42485  lcmineqlem20  42487  lcmineqlem21  42488  lcmineqlem22  42489  primrootscoprbij  42541  aks6d1c2lem3  42565  aks6d1c2lem4  42566  2np3bcnp1  42583  2ap1caineq  42584  aks6d1c7lem1  42619  3cubeslem3l  43118  3cubeslem3r  43119  pell1qrge1  43298  jm2.27c  43435  rmxdiophlem  43443  stoweidlem1  46429  wallispilem4  46496  wallispilem5  46497  wallispi2lem2  46500  stirlinglem3  46504  stirlinglem5  46506  stirlinglem7  46508  stirlinglem10  46511  stirlinglem11  46512  etransclem32  46694  etransclem44  46706  etransclem46  46708  fmtnofac2lem  48031  fmtnofac1  48033  2pwp1prm  48052  lighneallem3  48070  fppr2odd  48207  ply1mulgsumlem2  48863  itcovalpclem2  49147  itcovalt2lem2lem1  49149  itcovalt2lem2lem2  49150