Theorem nn0mulcld 12685

Description: Closure of multiplication of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0mulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0mulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0mulcl 12655	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7430   · cmul 11218  ℕ₀cn0 12619

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-ov 7433  df-om 7888  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-ltxr 11361  df-nn 12349  df-n0 12620

This theorem is used by:  quoremnn0ALT  14010  expmulz  14264  faclbnd4lem3  14452  oddge22np1  16534  mulgcd  16736  rpmulgcd2  16846  hashgcdlem  16980  odzdvds  16988  prmreclem3  17111  vdwapf  17165  vdwlem5  17178  vdwlem6  17179  smndex2dbas  19128  odmodnn0  19769  odmulg  19785  odadd  20079  ablfacrplem  20296  ablfacrp2  20298  2lgslem1c  27735  2lgslem3a  27738  2lgslem3b  27739  2lgslem3c  27740  2lgslem3d  27741  dchrisumlem1  27831  fldextrspundgdvdslem  34368  fldextrspundgdvds  34369  eulerpartlemsv2  35046  eulerpartlemsf  35047  eulerpartlems  35048  eulerpartlemv  35052  eulerpartlemb  35056  breprexplemc  35317  erdsze2lem1  36092  erdsze2lem2  36093  lcmineqlem17  43241  lcmineqlem18  43242  lcmineqlem20  43244  lcmineqlem21  43245  lcmineqlem22  43246  primrootscoprbij  43298  aks6d1c2lem3  43322  aks6d1c2lem4  43323  2np3bcnp1  43340  2ap1caineq  43341  aks6d1c7lem1  43376  3cubeslem3l  43842  3cubeslem3r  43843  pell1qrge1  44023  jm2.27c  44160  rmxdiophlem  44168  stoweidlem1  47156  wallispilem4  47223  wallispilem5  47224  wallispi2lem2  47227  stirlinglem3  47231  stirlinglem5  47233  stirlinglem7  47235  stirlinglem10  47238  stirlinglem11  47239  etransclem32  47421  etransclem44  47433  etransclem46  47435  fmtnofac2lem  48798  fmtnofac1  48800  2pwp1prm  48819  lighneallem3  48837  fppr2odd  48974  ply1mulgsumlem2  49644  itcovalpclem2  49928  itcovalt2lem2lem1  49930  itcovalt2lem2lem2  49931