Theorem nn0mulcld 12589

Description: Closure of multiplication of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0mulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0mulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0mulcl 12559	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7419   · cmul 11124  ℕ₀cn0 12523

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-ltxr 11267  df-nn 12253  df-n0 12524

This theorem is used by:  quoremnn0ALT  13912  expmulz  14166  faclbnd4lem3  14353  oddge22np1  16433  mulgcd  16632  rpmulgcd2  16740  hashgcdlem  16873  odzdvds  16881  prmreclem3  17004  vdwapf  17058  vdwlem5  17071  vdwlem6  17072  smndex2dbas  19017  odmodnn0  19658  odmulg  19674  odadd  19968  ablfacrplem  20185  ablfacrp2  20187  2lgslem1c  27612  2lgslem3a  27615  2lgslem3b  27616  2lgslem3c  27617  2lgslem3d  27618  dchrisumlem1  27708  fldextrspundgdvdslem  34138  fldextrspundgdvds  34139  eulerpartlemsv2  34817  eulerpartlemsf  34818  eulerpartlems  34819  eulerpartlemv  34823  eulerpartlemb  34827  breprexplemc  35088  erdsze2lem1  35736  erdsze2lem2  35737  lcmineqlem17  42874  lcmineqlem18  42875  lcmineqlem20  42877  lcmineqlem21  42878  lcmineqlem22  42879  primrootscoprbij  42931  aks6d1c2lem3  42955  aks6d1c2lem4  42956  2np3bcnp1  42973  2ap1caineq  42974  aks6d1c7lem1  43009  3cubeslem3l  43494  3cubeslem3r  43495  pell1qrge1  43674  jm2.27c  43811  rmxdiophlem  43819  stoweidlem1  46792  wallispilem4  46859  wallispilem5  46860  wallispi2lem2  46863  stirlinglem3  46867  stirlinglem5  46869  stirlinglem7  46871  stirlinglem10  46874  stirlinglem11  46875  etransclem32  47057  etransclem44  47069  etransclem46  47071  fmtnofac2lem  48397  fmtnofac1  48399  2pwp1prm  48418  lighneallem3  48436  fppr2odd  48573  ply1mulgsumlem2  49243  itcovalpclem2  49527  itcovalt2lem2lem1  49529  itcovalt2lem2lem2  49530