Theorem nn0mulcld 12467

Description: Closure of multiplication of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0mulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0mulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0mulcl 12437	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358   · cmul 11031  ℕ₀cn0 12401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-nn 12146  df-n0 12402

This theorem is referenced by:  quoremnn0ALT  13777  expmulz  14031  faclbnd4lem3  14218  oddge22np1  16276  mulgcd  16475  rpmulgcd2  16583  hashgcdlem  16715  odzdvds  16723  prmreclem3  16846  vdwapf  16900  vdwlem5  16913  vdwlem6  16914  smndex2dbas  18839  odmodnn0  19469  odmulg  19485  odadd  19779  ablfacrplem  19996  ablfacrp2  19998  2lgslem1c  27360  2lgslem3a  27363  2lgslem3b  27364  2lgslem3c  27365  2lgslem3d  27366  dchrisumlem1  27456  fldextrspundgdvdslem  33837  fldextrspundgdvds  33838  eulerpartlemsv2  34515  eulerpartlemsf  34516  eulerpartlems  34517  eulerpartlemv  34521  eulerpartlemb  34525  breprexplemc  34789  erdsze2lem1  35397  erdsze2lem2  35398  lcmineqlem17  42295  lcmineqlem18  42296  lcmineqlem20  42298  lcmineqlem21  42299  lcmineqlem22  42300  primrootscoprbij  42352  aks6d1c2lem3  42376  aks6d1c2lem4  42377  2np3bcnp1  42394  2ap1caineq  42395  aks6d1c7lem1  42430  3cubeslem3l  42924  3cubeslem3r  42925  pell1qrge1  43108  jm2.27c  43245  rmxdiophlem  43253  stoweidlem1  46241  wallispilem4  46308  wallispilem5  46309  wallispi2lem2  46312  stirlinglem3  46316  stirlinglem5  46318  stirlinglem7  46320  stirlinglem10  46323  stirlinglem11  46324  etransclem32  46506  etransclem44  46518  etransclem46  46520  fmtnofac2lem  47810  fmtnofac1  47812  2pwp1prm  47831  lighneallem3  47849  fppr2odd  47973  ply1mulgsumlem2  48629  itcovalpclem2  48913  itcovalt2lem2lem1  48915  itcovalt2lem2lem2  48916