Theorem nn0mulcld 12228

Description: Closure of multiplication of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0mulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0mulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0mulcl 12199	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255   · cmul 10807  ℕ₀cn0 12163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-nn 11904  df-n0 12164

This theorem is referenced by:  quoremnn0ALT  13505  expmulz  13757  faclbnd4lem3  13937  oddge22np1  15986  mulgcd  16184  rpmulgcd2  16289  hashgcdlem  16417  odzdvds  16424  prmreclem3  16547  vdwapf  16601  vdwlem5  16614  vdwlem6  16615  smndex2dbas  18468  odmodnn0  19063  odmulg  19078  odadd  19366  ablfacrplem  19583  ablfacrp2  19585  mhppwdeg  21250  2lgslem1c  26446  2lgslem3a  26449  2lgslem3b  26450  2lgslem3c  26451  2lgslem3d  26452  dchrisumlem1  26542  eulerpartlemsv2  32225  eulerpartlemsf  32226  eulerpartlems  32227  eulerpartlemv  32231  eulerpartlemb  32235  breprexplemc  32512  erdsze2lem1  33065  erdsze2lem2  33066  lcmineqlem17  39981  lcmineqlem18  39982  lcmineqlem20  39984  lcmineqlem21  39985  lcmineqlem22  39986  2np3bcnp1  40028  2ap1caineq  40029  3cubeslem3l  40424  3cubeslem3r  40425  pell1qrge1  40608  jm2.27c  40745  rmxdiophlem  40753  stoweidlem1  43432  wallispilem4  43499  wallispilem5  43500  wallispi2lem2  43503  stirlinglem3  43507  stirlinglem5  43509  stirlinglem7  43511  stirlinglem10  43514  stirlinglem11  43515  etransclem32  43697  etransclem44  43709  etransclem46  43711  fmtnofac2lem  44908  fmtnofac1  44910  2pwp1prm  44929  lighneallem3  44947  fppr2odd  45071  ply1mulgsumlem2  45616  itcovalpclem2  45905  itcovalt2lem2lem1  45907  itcovalt2lem2lem2  45908