Theorem nn0mulcld 12298

Description: Closure of multiplication of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0mulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0mulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0mulcl 12269	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275   · cmul 10876  ℕ₀cn0 12233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-nn 11974  df-n0 12234

This theorem is referenced by:  quoremnn0ALT  13577  expmulz  13829  faclbnd4lem3  14009  oddge22np1  16058  mulgcd  16256  rpmulgcd2  16361  hashgcdlem  16489  odzdvds  16496  prmreclem3  16619  vdwapf  16673  vdwlem5  16686  vdwlem6  16687  smndex2dbas  18553  odmodnn0  19148  odmulg  19163  odadd  19451  ablfacrplem  19668  ablfacrp2  19670  mhppwdeg  21340  2lgslem1c  26541  2lgslem3a  26544  2lgslem3b  26545  2lgslem3c  26546  2lgslem3d  26547  dchrisumlem1  26637  eulerpartlemsv2  32325  eulerpartlemsf  32326  eulerpartlems  32327  eulerpartlemv  32331  eulerpartlemb  32335  breprexplemc  32612  erdsze2lem1  33165  erdsze2lem2  33166  lcmineqlem17  40053  lcmineqlem18  40054  lcmineqlem20  40056  lcmineqlem21  40057  lcmineqlem22  40058  2np3bcnp1  40100  2ap1caineq  40101  3cubeslem3l  40508  3cubeslem3r  40509  pell1qrge1  40692  jm2.27c  40829  rmxdiophlem  40837  stoweidlem1  43542  wallispilem4  43609  wallispilem5  43610  wallispi2lem2  43613  stirlinglem3  43617  stirlinglem5  43619  stirlinglem7  43621  stirlinglem10  43624  stirlinglem11  43625  etransclem32  43807  etransclem44  43819  etransclem46  43821  fmtnofac2lem  45020  fmtnofac1  45022  2pwp1prm  45041  lighneallem3  45059  fppr2odd  45183  ply1mulgsumlem2  45728  itcovalpclem2  46017  itcovalt2lem2lem1  46019  itcovalt2lem2lem2  46020