Theorem nn0mulcld 12465

Description: Closure of multiplication of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0mulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0mulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0mulcl 12435	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7356   · cmul 11029  ℕ₀cn0 12399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-ltxr 11169  df-nn 12144  df-n0 12400

This theorem is referenced by:  quoremnn0ALT  13775  expmulz  14029  faclbnd4lem3  14216  oddge22np1  16274  mulgcd  16473  rpmulgcd2  16581  hashgcdlem  16713  odzdvds  16721  prmreclem3  16844  vdwapf  16898  vdwlem5  16911  vdwlem6  16912  smndex2dbas  18837  odmodnn0  19467  odmulg  19483  odadd  19777  ablfacrplem  19994  ablfacrp2  19996  2lgslem1c  27358  2lgslem3a  27361  2lgslem3b  27362  2lgslem3c  27363  2lgslem3d  27364  dchrisumlem1  27454  fldextrspundgdvdslem  33786  fldextrspundgdvds  33787  eulerpartlemsv2  34464  eulerpartlemsf  34465  eulerpartlems  34466  eulerpartlemv  34470  eulerpartlemb  34474  breprexplemc  34738  erdsze2lem1  35346  erdsze2lem2  35347  lcmineqlem17  42238  lcmineqlem18  42239  lcmineqlem20  42241  lcmineqlem21  42242  lcmineqlem22  42243  primrootscoprbij  42295  aks6d1c2lem3  42319  aks6d1c2lem4  42320  2np3bcnp1  42337  2ap1caineq  42338  aks6d1c7lem1  42373  3cubeslem3l  42870  3cubeslem3r  42871  pell1qrge1  43054  jm2.27c  43191  rmxdiophlem  43199  stoweidlem1  46187  wallispilem4  46254  wallispilem5  46255  wallispi2lem2  46258  stirlinglem3  46262  stirlinglem5  46264  stirlinglem7  46266  stirlinglem10  46269  stirlinglem11  46270  etransclem32  46452  etransclem44  46464  etransclem46  46466  fmtnofac2lem  47756  fmtnofac1  47758  2pwp1prm  47777  lighneallem3  47795  fppr2odd  47919  ply1mulgsumlem2  48575  itcovalpclem2  48859  itcovalt2lem2lem1  48861  itcovalt2lem2lem2  48862