Theorem nn0mulcld 12597

Description: Closure of multiplication of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0mulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0mulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0mulcl 12567	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7416   · cmul 11132  ℕ₀cn0 12531

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275  df-nn 12261  df-n0 12532

This theorem is used by:  quoremnn0ALT  13920  expmulz  14174  faclbnd4lem3  14361  oddge22np1  16443  mulgcd  16642  rpmulgcd2  16750  hashgcdlem  16883  odzdvds  16891  prmreclem3  17014  vdwapf  17068  vdwlem5  17081  vdwlem6  17082  smndex2dbas  19027  odmodnn0  19668  odmulg  19684  odadd  19978  ablfacrplem  20195  ablfacrp2  20197  2lgslem1c  27627  2lgslem3a  27630  2lgslem3b  27631  2lgslem3c  27632  2lgslem3d  27633  dchrisumlem1  27723  fldextrspundgdvdslem  34177  fldextrspundgdvds  34178  eulerpartlemsv2  34856  eulerpartlemsf  34857  eulerpartlems  34858  eulerpartlemv  34862  eulerpartlemb  34866  breprexplemc  35127  erdsze2lem1  35769  erdsze2lem2  35770  lcmineqlem17  42898  lcmineqlem18  42899  lcmineqlem20  42901  lcmineqlem21  42902  lcmineqlem22  42903  primrootscoprbij  42955  aks6d1c2lem3  42979  aks6d1c2lem4  42980  2np3bcnp1  42997  2ap1caineq  42998  aks6d1c7lem1  43033  3cubeslem3l  43518  3cubeslem3r  43519  pell1qrge1  43698  jm2.27c  43835  rmxdiophlem  43843  stoweidlem1  46816  wallispilem4  46883  wallispilem5  46884  wallispi2lem2  46887  stirlinglem3  46891  stirlinglem5  46893  stirlinglem7  46895  stirlinglem10  46898  stirlinglem11  46899  etransclem32  47081  etransclem44  47093  etransclem46  47095  fmtnofac2lem  48458  fmtnofac1  48460  2pwp1prm  48479  lighneallem3  48497  fppr2odd  48634  ply1mulgsumlem2  49304  itcovalpclem2  49588  itcovalt2lem2lem1  49590  itcovalt2lem2lem2  49591