Theorem nn0mulcld 12471

Description: Closure of multiplication of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0mulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0mulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0mulcl 12441	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360   · cmul 11035  ℕ₀cn0 12405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-nn 12150  df-n0 12406

This theorem is referenced by:  quoremnn0ALT  13781  expmulz  14035  faclbnd4lem3  14222  oddge22np1  16280  mulgcd  16479  rpmulgcd2  16587  hashgcdlem  16719  odzdvds  16727  prmreclem3  16850  vdwapf  16904  vdwlem5  16917  vdwlem6  16918  smndex2dbas  18843  odmodnn0  19473  odmulg  19489  odadd  19783  ablfacrplem  20000  ablfacrp2  20002  2lgslem1c  27364  2lgslem3a  27367  2lgslem3b  27368  2lgslem3c  27369  2lgslem3d  27370  dchrisumlem1  27460  fldextrspundgdvdslem  33839  fldextrspundgdvds  33840  eulerpartlemsv2  34517  eulerpartlemsf  34518  eulerpartlems  34519  eulerpartlemv  34523  eulerpartlemb  34527  breprexplemc  34791  erdsze2lem1  35399  erdsze2lem2  35400  lcmineqlem17  42367  lcmineqlem18  42368  lcmineqlem20  42370  lcmineqlem21  42371  lcmineqlem22  42372  primrootscoprbij  42424  aks6d1c2lem3  42448  aks6d1c2lem4  42449  2np3bcnp1  42466  2ap1caineq  42467  aks6d1c7lem1  42502  3cubeslem3l  42995  3cubeslem3r  42996  pell1qrge1  43179  jm2.27c  43316  rmxdiophlem  43324  stoweidlem1  46312  wallispilem4  46379  wallispilem5  46380  wallispi2lem2  46383  stirlinglem3  46387  stirlinglem5  46389  stirlinglem7  46391  stirlinglem10  46394  stirlinglem11  46395  etransclem32  46577  etransclem44  46589  etransclem46  46591  fmtnofac2lem  47881  fmtnofac1  47883  2pwp1prm  47902  lighneallem3  47920  fppr2odd  48044  ply1mulgsumlem2  48700  itcovalpclem2  48984  itcovalt2lem2lem1  48986  itcovalt2lem2lem2  48987