MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0mulcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0mulcld 11963
Description: Closure of multiplication of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0red.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
nn0mulcld (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0mulcld
StepHypRef Expression
1 nn0red.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
2 nn0addcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
3 nn0mulcl 11936 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)
41, 2, 3syl2anc 586 1 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2113  (class class class)co 7159   · cmul 10545  0cn0 11900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7162  df-om 7584  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-ltxr 10683  df-nn 11642  df-n0 11901
This theorem is referenced by:  quoremnn0ALT  13228  expmulz  13478  faclbnd4lem3  13658  oddge22np1  15701  mulgcd  15899  rpmulgcd2  16003  hashgcdlem  16128  odzdvds  16135  prmreclem3  16257  vdwapf  16311  vdwlem5  16324  vdwlem6  16325  smndex2dbas  18082  odmodnn0  18671  odmulg  18686  odadd  18973  ablfacrplem  19190  ablfacrp2  19192  2lgslem1c  25972  2lgslem3a  25975  2lgslem3b  25976  2lgslem3c  25977  2lgslem3d  25978  dchrisumlem1  26068  eulerpartlemsv2  31620  eulerpartlemsf  31621  eulerpartlems  31622  eulerpartlemv  31626  eulerpartlemb  31630  breprexplemc  31907  erdsze2lem1  32454  erdsze2lem2  32455  3cubeslem3l  39289  3cubeslem3r  39290  pell1qrge1  39473  jm2.27c  39610  rmxdiophlem  39618  stoweidlem1  42293  wallispilem4  42360  wallispilem5  42361  wallispi2lem2  42364  stirlinglem3  42368  stirlinglem5  42370  stirlinglem7  42372  stirlinglem10  42375  stirlinglem11  42376  etransclem32  42558  etransclem44  42570  etransclem46  42572  fmtnofac2lem  43737  fmtnofac1  43739  2pwp1prm  43758  lighneallem3  43779  fppr2odd  43903  ply1mulgsumlem2  44448
  Copyright terms: Public domain W3C validator