Theorem nn0mulcld 12508

Description: Closure of multiplication of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0mulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0mulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0mulcl 12478	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387   · cmul 11073  ℕ₀cn0 12442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-nn 12187  df-n0 12443

This theorem is referenced by:  quoremnn0ALT  13819  expmulz  14073  faclbnd4lem3  14260  oddge22np1  16319  mulgcd  16518  rpmulgcd2  16626  hashgcdlem  16758  odzdvds  16766  prmreclem3  16889  vdwapf  16943  vdwlem5  16956  vdwlem6  16957  smndex2dbas  18841  odmodnn0  19470  odmulg  19486  odadd  19780  ablfacrplem  19997  ablfacrp2  19999  2lgslem1c  27304  2lgslem3a  27307  2lgslem3b  27308  2lgslem3c  27309  2lgslem3d  27310  dchrisumlem1  27400  fldextrspundgdvdslem  33675  fldextrspundgdvds  33676  eulerpartlemsv2  34349  eulerpartlemsf  34350  eulerpartlems  34351  eulerpartlemv  34355  eulerpartlemb  34359  breprexplemc  34623  erdsze2lem1  35190  erdsze2lem2  35191  lcmineqlem17  42033  lcmineqlem18  42034  lcmineqlem20  42036  lcmineqlem21  42037  lcmineqlem22  42038  primrootscoprbij  42090  aks6d1c2lem3  42114  aks6d1c2lem4  42115  2np3bcnp1  42132  2ap1caineq  42133  aks6d1c7lem1  42168  3cubeslem3l  42674  3cubeslem3r  42675  pell1qrge1  42858  jm2.27c  42996  rmxdiophlem  43004  stoweidlem1  45999  wallispilem4  46066  wallispilem5  46067  wallispi2lem2  46070  stirlinglem3  46074  stirlinglem5  46076  stirlinglem7  46078  stirlinglem10  46081  stirlinglem11  46082  etransclem32  46264  etransclem44  46276  etransclem46  46278  fmtnofac2lem  47569  fmtnofac1  47571  2pwp1prm  47590  lighneallem3  47608  fppr2odd  47732  ply1mulgsumlem2  48376  itcovalpclem2  48660  itcovalt2lem2lem1  48662  itcovalt2lem2lem2  48663