Theorem nn0mulcld 12572

Description: Closure of multiplication of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0mulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0mulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0mulcl 12542	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7410   · cmul 11139  ℕ₀cn0 12506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-ltxr 11279  df-nn 12246  df-n0 12507

This theorem is referenced by:  quoremnn0ALT  13879  expmulz  14131  faclbnd4lem3  14318  oddge22np1  16373  mulgcd  16572  rpmulgcd2  16680  hashgcdlem  16812  odzdvds  16820  prmreclem3  16943  vdwapf  16997  vdwlem5  17010  vdwlem6  17011  smndex2dbas  18897  odmodnn0  19526  odmulg  19542  odadd  19836  ablfacrplem  20053  ablfacrp2  20055  2lgslem1c  27361  2lgslem3a  27364  2lgslem3b  27365  2lgslem3c  27366  2lgslem3d  27367  dchrisumlem1  27457  fldextrspundgdvdslem  33726  fldextrspundgdvds  33727  eulerpartlemsv2  34395  eulerpartlemsf  34396  eulerpartlems  34397  eulerpartlemv  34401  eulerpartlemb  34405  breprexplemc  34669  erdsze2lem1  35230  erdsze2lem2  35231  lcmineqlem17  42063  lcmineqlem18  42064  lcmineqlem20  42066  lcmineqlem21  42067  lcmineqlem22  42068  primrootscoprbij  42120  aks6d1c2lem3  42144  aks6d1c2lem4  42145  2np3bcnp1  42162  2ap1caineq  42163  aks6d1c7lem1  42198  3cubeslem3l  42684  3cubeslem3r  42685  pell1qrge1  42868  jm2.27c  43006  rmxdiophlem  43014  stoweidlem1  46010  wallispilem4  46077  wallispilem5  46078  wallispi2lem2  46081  stirlinglem3  46085  stirlinglem5  46087  stirlinglem7  46089  stirlinglem10  46092  stirlinglem11  46093  etransclem32  46275  etransclem44  46287  etransclem46  46289  fmtnofac2lem  47562  fmtnofac1  47564  2pwp1prm  47583  lighneallem3  47601  fppr2odd  47725  ply1mulgsumlem2  48343  itcovalpclem2  48631  itcovalt2lem2lem1  48633  itcovalt2lem2lem2  48634