Theorem nn0mulcld 12481

Description: Closure of multiplication of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0mulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0mulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0mulcl 12451	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7370   · cmul 11045  ℕ₀cn0 12415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-ov 7373  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-ltxr 11185  df-nn 12160  df-n0 12416

This theorem is referenced by:  quoremnn0ALT  13791  expmulz  14045  faclbnd4lem3  14232  oddge22np1  16290  mulgcd  16489  rpmulgcd2  16597  hashgcdlem  16729  odzdvds  16737  prmreclem3  16860  vdwapf  16914  vdwlem5  16927  vdwlem6  16928  smndex2dbas  18856  odmodnn0  19486  odmulg  19502  odadd  19796  ablfacrplem  20013  ablfacrp2  20015  2lgslem1c  27377  2lgslem3a  27380  2lgslem3b  27381  2lgslem3c  27382  2lgslem3d  27383  dchrisumlem1  27473  fldextrspundgdvdslem  33864  fldextrspundgdvds  33865  eulerpartlemsv2  34542  eulerpartlemsf  34543  eulerpartlems  34544  eulerpartlemv  34548  eulerpartlemb  34552  breprexplemc  34816  erdsze2lem1  35425  erdsze2lem2  35426  lcmineqlem17  42444  lcmineqlem18  42445  lcmineqlem20  42447  lcmineqlem21  42448  lcmineqlem22  42449  primrootscoprbij  42501  aks6d1c2lem3  42525  aks6d1c2lem4  42526  2np3bcnp1  42543  2ap1caineq  42544  aks6d1c7lem1  42579  3cubeslem3l  43072  3cubeslem3r  43073  pell1qrge1  43256  jm2.27c  43393  rmxdiophlem  43401  stoweidlem1  46388  wallispilem4  46455  wallispilem5  46456  wallispi2lem2  46459  stirlinglem3  46463  stirlinglem5  46465  stirlinglem7  46467  stirlinglem10  46470  stirlinglem11  46471  etransclem32  46653  etransclem44  46665  etransclem46  46667  fmtnofac2lem  47957  fmtnofac1  47959  2pwp1prm  47978  lighneallem3  47996  fppr2odd  48120  ply1mulgsumlem2  48776  itcovalpclem2  49060  itcovalt2lem2lem1  49062  itcovalt2lem2lem2  49063