Theorem nn0mulcld 12498

Description: Closure of multiplication of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0mulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0mulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0mulcl 12468	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7362   · cmul 11038  ℕ₀cn0 12432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-ov 7365  df-om 7813  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-ltxr 11179  df-nn 12170  df-n0 12433

This theorem is referenced by:  quoremnn0ALT  13811  expmulz  14065  faclbnd4lem3  14252  oddge22np1  16313  mulgcd  16512  rpmulgcd2  16620  hashgcdlem  16753  odzdvds  16761  prmreclem3  16884  vdwapf  16938  vdwlem5  16951  vdwlem6  16952  smndex2dbas  18880  odmodnn0  19510  odmulg  19526  odadd  19820  ablfacrplem  20037  ablfacrp2  20039  2lgslem1c  27374  2lgslem3a  27377  2lgslem3b  27378  2lgslem3c  27379  2lgslem3d  27380  dchrisumlem1  27470  fldextrspundgdvdslem  33844  fldextrspundgdvds  33845  eulerpartlemsv2  34522  eulerpartlemsf  34523  eulerpartlems  34524  eulerpartlemv  34528  eulerpartlemb  34532  breprexplemc  34796  erdsze2lem1  35405  erdsze2lem2  35406  lcmineqlem17  42502  lcmineqlem18  42503  lcmineqlem20  42505  lcmineqlem21  42506  lcmineqlem22  42507  primrootscoprbij  42559  aks6d1c2lem3  42583  aks6d1c2lem4  42584  2np3bcnp1  42601  2ap1caineq  42602  aks6d1c7lem1  42637  3cubeslem3l  43136  3cubeslem3r  43137  pell1qrge1  43320  jm2.27c  43457  rmxdiophlem  43465  stoweidlem1  46451  wallispilem4  46518  wallispilem5  46519  wallispi2lem2  46522  stirlinglem3  46526  stirlinglem5  46528  stirlinglem7  46530  stirlinglem10  46533  stirlinglem11  46534  etransclem32  46716  etransclem44  46728  etransclem46  46730  fmtnofac2lem  48047  fmtnofac1  48049  2pwp1prm  48068  lighneallem3  48086  fppr2odd  48223  ply1mulgsumlem2  48879  itcovalpclem2  49163  itcovalt2lem2lem1  49165  itcovalt2lem2lem2  49166