Theorem nn0mulcld 12590

Description: Closure of multiplication of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0mulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0mulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0mulcl 12560	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431   · cmul 11158  ℕ₀cn0 12524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-nn 12265  df-n0 12525

This theorem is referenced by:  quoremnn0ALT  13894  expmulz  14146  faclbnd4lem3  14331  oddge22np1  16383  mulgcd  16582  rpmulgcd2  16690  hashgcdlem  16822  odzdvds  16829  prmreclem3  16952  vdwapf  17006  vdwlem5  17019  vdwlem6  17020  smndex2dbas  18940  odmodnn0  19573  odmulg  19589  odadd  19883  ablfacrplem  20100  ablfacrp2  20102  2lgslem1c  27452  2lgslem3a  27455  2lgslem3b  27456  2lgslem3c  27457  2lgslem3d  27458  dchrisumlem1  27548  eulerpartlemsv2  34340  eulerpartlemsf  34341  eulerpartlems  34342  eulerpartlemv  34346  eulerpartlemb  34350  breprexplemc  34626  erdsze2lem1  35188  erdsze2lem2  35189  lcmineqlem17  42027  lcmineqlem18  42028  lcmineqlem20  42030  lcmineqlem21  42031  lcmineqlem22  42032  primrootscoprbij  42084  aks6d1c2lem3  42108  aks6d1c2lem4  42109  2np3bcnp1  42126  2ap1caineq  42127  aks6d1c7lem1  42162  3cubeslem3l  42674  3cubeslem3r  42675  pell1qrge1  42858  jm2.27c  42996  rmxdiophlem  43004  stoweidlem1  45957  wallispilem4  46024  wallispilem5  46025  wallispi2lem2  46028  stirlinglem3  46032  stirlinglem5  46034  stirlinglem7  46036  stirlinglem10  46039  stirlinglem11  46040  etransclem32  46222  etransclem44  46234  etransclem46  46236  fmtnofac2lem  47493  fmtnofac1  47495  2pwp1prm  47514  lighneallem3  47532  fppr2odd  47656  ply1mulgsumlem2  48233  itcovalpclem2  48521  itcovalt2lem2lem1  48523  itcovalt2lem2lem2  48524