Theorem nn0mulcld 12672

Description: Closure of multiplication of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0mulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0mulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0mulcl 12642	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7420   · cmul 11205  ℕ₀cn0 12606

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348  df-nn 12336  df-n0 12607

This theorem is used by:  quoremnn0ALT  13997  expmulz  14251  faclbnd4lem3  14439  oddge22np1  16519  mulgcd  16721  rpmulgcd2  16831  hashgcdlem  16965  odzdvds  16973  prmreclem3  17096  vdwapf  17150  vdwlem5  17163  vdwlem6  17164  smndex2dbas  19113  odmodnn0  19754  odmulg  19770  odadd  20064  ablfacrplem  20281  ablfacrp2  20283  2lgslem1c  27720  2lgslem3a  27723  2lgslem3b  27724  2lgslem3c  27725  2lgslem3d  27726  dchrisumlem1  27816  fldextrspundgdvdslem  34312  fldextrspundgdvds  34313  eulerpartlemsv2  34990  eulerpartlemsf  34991  eulerpartlems  34992  eulerpartlemv  34996  eulerpartlemb  35000  breprexplemc  35261  erdsze2lem1  35968  erdsze2lem2  35969  lcmineqlem17  43095  lcmineqlem18  43096  lcmineqlem20  43098  lcmineqlem21  43099  lcmineqlem22  43100  primrootscoprbij  43152  aks6d1c2lem3  43176  aks6d1c2lem4  43177  2np3bcnp1  43194  2ap1caineq  43195  aks6d1c7lem1  43230  3cubeslem3l  43696  3cubeslem3r  43697  pell1qrge1  43876  jm2.27c  44013  rmxdiophlem  44021  stoweidlem1  47010  wallispilem4  47077  wallispilem5  47078  wallispi2lem2  47081  stirlinglem3  47085  stirlinglem5  47087  stirlinglem7  47089  stirlinglem10  47092  stirlinglem11  47093  etransclem32  47275  etransclem44  47287  etransclem46  47289  fmtnofac2lem  48652  fmtnofac1  48654  2pwp1prm  48673  lighneallem3  48691  fppr2odd  48828  ply1mulgsumlem2  49498  itcovalpclem2  49782  itcovalt2lem2lem1  49784  itcovalt2lem2lem2  49785