Theorem nn0mulcld 12495

Description: Closure of multiplication of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0mulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0mulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0mulcl 12465	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 590	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7357   · cmul 11035  ℕ₀cn0 12429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7360  df-om 7808  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-ltxr 11176  df-nn 12167  df-n0 12430

This theorem is referenced by:  quoremnn0ALT  13808  expmulz  14062  faclbnd4lem3  14249  oddge22np1  16310  mulgcd  16509  rpmulgcd2  16617  hashgcdlem  16750  odzdvds  16758  prmreclem3  16881  vdwapf  16935  vdwlem5  16948  vdwlem6  16949  smndex2dbas  18877  odmodnn0  19507  odmulg  19523  odadd  19817  ablfacrplem  20034  ablfacrp2  20036  2lgslem1c  27375  2lgslem3a  27378  2lgslem3b  27379  2lgslem3c  27380  2lgslem3d  27381  dchrisumlem1  27471  fldextrspundgdvdslem  33873  fldextrspundgdvds  33874  eulerpartlemsv2  34551  eulerpartlemsf  34552  eulerpartlems  34553  eulerpartlemv  34557  eulerpartlemb  34561  breprexplemc  34825  erdsze2lem1  35440  erdsze2lem2  35441  lcmineqlem17  42539  lcmineqlem18  42540  lcmineqlem20  42542  lcmineqlem21  42543  lcmineqlem22  42544  primrootscoprbij  42596  aks6d1c2lem3  42620  aks6d1c2lem4  42621  2np3bcnp1  42638  2ap1caineq  42639  aks6d1c7lem1  42674  3cubeslem3l  43144  3cubeslem3r  43145  pell1qrge1  43324  jm2.27c  43461  rmxdiophlem  43469  stoweidlem1  46452  wallispilem4  46519  wallispilem5  46520  wallispi2lem2  46523  stirlinglem3  46527  stirlinglem5  46529  stirlinglem7  46531  stirlinglem10  46534  stirlinglem11  46535  etransclem32  46717  etransclem44  46729  etransclem46  46731  fmtnofac2lem  48054  fmtnofac1  48056  2pwp1prm  48075  lighneallem3  48093  fppr2odd  48230  ply1mulgsumlem2  48886  itcovalpclem2  49170  itcovalt2lem2lem1  49172  itcovalt2lem2lem2  49173