Theorem nn0mulcld 12576

Description: Closure of multiplication of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0mulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0mulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0mulcl 12546	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7414   · cmul 11143  ℕ₀cn0 12510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-om 7871  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-er 8728  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-ltxr 11283  df-nn 12250  df-n0 12511

This theorem is referenced by:  quoremnn0ALT  13880  expmulz  14132  faclbnd4lem3  14317  oddge22np1  16369  mulgcd  16568  rpmulgcd2  16676  hashgcdlem  16808  odzdvds  16816  prmreclem3  16939  vdwapf  16993  vdwlem5  17006  vdwlem6  17007  smndex2dbas  18901  odmodnn0  19531  odmulg  19547  odadd  19841  ablfacrplem  20058  ablfacrp2  20060  2lgslem1c  27392  2lgslem3a  27395  2lgslem3b  27396  2lgslem3c  27397  2lgslem3d  27398  dchrisumlem1  27488  fldextrspundgdvdslem  33671  fldextrspundgdvds  33672  eulerpartlemsv2  34301  eulerpartlemsf  34302  eulerpartlems  34303  eulerpartlemv  34307  eulerpartlemb  34311  breprexplemc  34588  erdsze2lem1  35149  erdsze2lem2  35150  lcmineqlem17  41987  lcmineqlem18  41988  lcmineqlem20  41990  lcmineqlem21  41991  lcmineqlem22  41992  primrootscoprbij  42044  aks6d1c2lem3  42068  aks6d1c2lem4  42069  2np3bcnp1  42086  2ap1caineq  42087  aks6d1c7lem1  42122  3cubeslem3l  42642  3cubeslem3r  42643  pell1qrge1  42826  jm2.27c  42964  rmxdiophlem  42972  stoweidlem1  45961  wallispilem4  46028  wallispilem5  46029  wallispi2lem2  46032  stirlinglem3  46036  stirlinglem5  46038  stirlinglem7  46040  stirlinglem10  46043  stirlinglem11  46044  etransclem32  46226  etransclem44  46238  etransclem46  46240  fmtnofac2lem  47501  fmtnofac1  47503  2pwp1prm  47522  lighneallem3  47540  fppr2odd  47664  ply1mulgsumlem2  48250  itcovalpclem2  48538  itcovalt2lem2lem1  48540  itcovalt2lem2lem2  48541