Theorem itcovalt2lem2lem2 49031

Description: Lemma 2 for itcovalt2lem2 49033. (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
itcovalt2lem2lem2	⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · (((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌)) − 𝐶)) + 𝐶) = (((𝑁 + 𝐶) · (2↑(𝑌 + 1))) − 𝐶))

Proof of Theorem itcovalt2lem2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 12235	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
2		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℕ0)
4	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℕ0)
5	2, 4	nn0addcld 12478	. . . . . 6 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐶) ∈ ℕ0)
6	5	nn0cnd 12476	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐶) ∈ ℂ)
7		2nn0 12430	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
9		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ ℕ0)
10	8, 9	nn0expcld 14181	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → (2↑𝑌) ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 12476	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → (2↑𝑌) ∈ ℂ)
12	11	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑌) ∈ ℂ)
13	6, 12	mulcld 11164	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌)) ∈ ℂ)
14		nn0cn 12423	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → 𝐶 ∈ ℂ)
15	14	ad2antlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
16	1, 13, 15	subdid 11605	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · (((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌)) − 𝐶)) = ((2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) − (2 · 𝐶)))
17	16	oveq1d 7383	. 2 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · (((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌)) − 𝐶)) + 𝐶) = (((2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) − (2 · 𝐶)) + 𝐶))
18	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ0)
19	10	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑌) ∈ ℕ0)
20	5, 19	nn0mulcld 12479	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌)) ∈ ℕ0)
21	18, 20	nn0mulcld 12479	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) ∈ ℕ0)
22	21	nn0cnd 12476	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) ∈ ℂ)
23	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ0)
24	23, 3	nn0mulcld 12479	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (2 · 𝐶) ∈ ℕ0)
25	24	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · 𝐶) ∈ ℕ0)
26	25	nn0cnd 12476	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · 𝐶) ∈ ℂ)
27	4	nn0cnd 12476	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
28	22, 26, 27	subsubd 11532	. 2 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) − ((2 · 𝐶) − 𝐶)) = (((2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) − (2 · 𝐶)) + 𝐶))
29	1, 6, 12	mul12d 11354	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) = ((𝑁 + 𝐶) · (2 · (2↑𝑌))))
30		2cnd 12235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
31	30, 11	mulcomd 11165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → (2 · (2↑𝑌)) = ((2↑𝑌) · 2))
32	30, 9	expp1d 14082	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑌 + 1)) = ((2↑𝑌) · 2))
33	31, 32	eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → (2 · (2↑𝑌)) = (2↑(𝑌 + 1)))
34	33	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · (2↑𝑌)) = (2↑(𝑌 + 1)))
35	34	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 𝐶) · (2 · (2↑𝑌))) = ((𝑁 + 𝐶) · (2↑(𝑌 + 1))))
36	29, 35	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) = ((𝑁 + 𝐶) · (2↑(𝑌 + 1))))
37		2txmxeqx 12292	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((2 · 𝐶) − 𝐶) = 𝐶)
38	14, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝐶) − 𝐶) = 𝐶)
39	38	ad2antlr 728	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝐶) − 𝐶) = 𝐶)
40	36, 39	oveq12d 7386	. 2 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) − ((2 · 𝐶) − 𝐶)) = (((𝑁 + 𝐶) · (2↑(𝑌 + 1))) − 𝐶))
41	17, 28, 40	3eqtr2d 2778	1 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · (((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌)) − 𝐶)) + 𝐶) = (((𝑁 + 𝐶) · (2↑(𝑌 + 1))) − 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11376  2c2 12212  ℕ₀cn0 12413  ↑cexp 13996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-seq 13937  df-exp 13997

This theorem is referenced by:  itcovalt2lem2  49033