Theorem itcovalt2lem2lem2 48523

Description: Lemma 2 for itcovalt2lem2 48525. (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
itcovalt2lem2lem2	⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · (((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌)) − 𝐶)) + 𝐶) = (((𝑁 + 𝐶) · (2↑(𝑌 + 1))) − 𝐶))

Proof of Theorem itcovalt2lem2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 12341	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
2		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℕ0)
4	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℕ0)
5	2, 4	nn0addcld 12588	. . . . . 6 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐶) ∈ ℕ0)
6	5	nn0cnd 12586	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐶) ∈ ℂ)
7		2nn0 12540	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
9		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ ℕ0)
10	8, 9	nn0expcld 14281	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → (2↑𝑌) ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 12586	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → (2↑𝑌) ∈ ℂ)
12	11	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑌) ∈ ℂ)
13	6, 12	mulcld 11278	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌)) ∈ ℂ)
14		nn0cn 12533	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → 𝐶 ∈ ℂ)
15	14	ad2antlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
16	1, 13, 15	subdid 11716	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · (((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌)) − 𝐶)) = ((2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) − (2 · 𝐶)))
17	16	oveq1d 7445	. 2 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · (((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌)) − 𝐶)) + 𝐶) = (((2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) − (2 · 𝐶)) + 𝐶))
18	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ0)
19	10	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑌) ∈ ℕ0)
20	5, 19	nn0mulcld 12589	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌)) ∈ ℕ0)
21	18, 20	nn0mulcld 12589	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) ∈ ℕ0)
22	21	nn0cnd 12586	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) ∈ ℂ)
23	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ0)
24	23, 3	nn0mulcld 12589	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (2 · 𝐶) ∈ ℕ0)
25	24	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · 𝐶) ∈ ℕ0)
26	25	nn0cnd 12586	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · 𝐶) ∈ ℂ)
27	4	nn0cnd 12586	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
28	22, 26, 27	subsubd 11645	. 2 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) − ((2 · 𝐶) − 𝐶)) = (((2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) − (2 · 𝐶)) + 𝐶))
29	1, 6, 12	mul12d 11467	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) = ((𝑁 + 𝐶) · (2 · (2↑𝑌))))
30		2cnd 12341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
31	30, 11	mulcomd 11279	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → (2 · (2↑𝑌)) = ((2↑𝑌) · 2))
32	30, 9	expp1d 14183	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑌 + 1)) = ((2↑𝑌) · 2))
33	31, 32	eqtr4d 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → (2 · (2↑𝑌)) = (2↑(𝑌 + 1)))
34	33	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · (2↑𝑌)) = (2↑(𝑌 + 1)))
35	34	oveq2d 7446	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 𝐶) · (2 · (2↑𝑌))) = ((𝑁 + 𝐶) · (2↑(𝑌 + 1))))
36	29, 35	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) = ((𝑁 + 𝐶) · (2↑(𝑌 + 1))))
37		2txmxeqx 12403	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((2 · 𝐶) − 𝐶) = 𝐶)
38	14, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝐶) − 𝐶) = 𝐶)
39	38	ad2antlr 727	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝐶) − 𝐶) = 𝐶)
40	36, 39	oveq12d 7448	. 2 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) − ((2 · 𝐶) − 𝐶)) = (((𝑁 + 𝐶) · (2↑(𝑌 + 1))) − 𝐶))
41	17, 28, 40	3eqtr2d 2780	1 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · (((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌)) − 𝐶)) + 𝐶) = (((𝑁 + 𝐶) · (2↑(𝑌 + 1))) − 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   − cmin 11489  2c2 12318  ℕ₀cn0 12523  ↑cexp 14098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-seq 14039  df-exp 14099

This theorem is referenced by:  itcovalt2lem2  48525