Theorem itcovalt2lem2lem2 47360

Description: Lemma 2 for itcovalt2lem2 47362. (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
itcovalt2lem2lem2	⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · (((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌)) − 𝐶)) + 𝐶) = (((𝑁 + 𝐶) · (2↑(𝑌 + 1))) − 𝐶))

Proof of Theorem itcovalt2lem2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 12290	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
2		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		simpr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℕ0)
4	3	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℕ0)
5	2, 4	nn0addcld 12536	. . . . . 6 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐶) ∈ ℕ0)
6	5	nn0cnd 12534	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐶) ∈ ℂ)
7		2nn0 12489	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
9		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ ℕ0)
10	8, 9	nn0expcld 14209	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → (2↑𝑌) ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 12534	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → (2↑𝑌) ∈ ℂ)
12	11	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑌) ∈ ℂ)
13	6, 12	mulcld 11234	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌)) ∈ ℂ)
14		nn0cn 12482	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → 𝐶 ∈ ℂ)
15	14	ad2antlr 726	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
16	1, 13, 15	subdid 11670	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · (((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌)) − 𝐶)) = ((2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) − (2 · 𝐶)))
17	16	oveq1d 7424	. 2 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · (((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌)) − 𝐶)) + 𝐶) = (((2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) − (2 · 𝐶)) + 𝐶))
18	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ0)
19	10	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑌) ∈ ℕ0)
20	5, 19	nn0mulcld 12537	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌)) ∈ ℕ0)
21	18, 20	nn0mulcld 12537	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) ∈ ℕ0)
22	21	nn0cnd 12534	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) ∈ ℂ)
23	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ0)
24	23, 3	nn0mulcld 12537	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (2 · 𝐶) ∈ ℕ0)
25	24	adantr 482	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · 𝐶) ∈ ℕ0)
26	25	nn0cnd 12534	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · 𝐶) ∈ ℂ)
27	4	nn0cnd 12534	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
28	22, 26, 27	subsubd 11599	. 2 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) − ((2 · 𝐶) − 𝐶)) = (((2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) − (2 · 𝐶)) + 𝐶))
29	1, 6, 12	mul12d 11423	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) = ((𝑁 + 𝐶) · (2 · (2↑𝑌))))
30		2cnd 12290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
31	30, 11	mulcomd 11235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → (2 · (2↑𝑌)) = ((2↑𝑌) · 2))
32	30, 9	expp1d 14112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑌 + 1)) = ((2↑𝑌) · 2))
33	31, 32	eqtr4d 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → (2 · (2↑𝑌)) = (2↑(𝑌 + 1)))
34	33	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · (2↑𝑌)) = (2↑(𝑌 + 1)))
35	34	oveq2d 7425	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 𝐶) · (2 · (2↑𝑌))) = ((𝑁 + 𝐶) · (2↑(𝑌 + 1))))
36	29, 35	eqtrd 2773	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) = ((𝑁 + 𝐶) · (2↑(𝑌 + 1))))
37		2txmxeqx 12352	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((2 · 𝐶) − 𝐶) = 𝐶)
38	14, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝐶) − 𝐶) = 𝐶)
39	38	ad2antlr 726	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝐶) − 𝐶) = 𝐶)
40	36, 39	oveq12d 7427	. 2 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) − ((2 · 𝐶) − 𝐶)) = (((𝑁 + 𝐶) · (2↑(𝑌 + 1))) − 𝐶))
41	17, 28, 40	3eqtr2d 2779	1 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · (((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌)) − 𝐶)) + 𝐶) = (((𝑁 + 𝐶) · (2↑(𝑌 + 1))) − 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115   − cmin 11444  2c2 12267  ℕ₀cn0 12472  ↑cexp 14027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-seq 13967  df-exp 14028

This theorem is referenced by:  itcovalt2lem2  47362