Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itcovalt2lem2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itcovalt2lem2lem2 47449
Description: Lemma 2 for itcovalt2lem2 47451. (Contributed by AV, 7-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
itcovalt2lem2lem2 (((๐‘Œ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2 ยท (((๐‘ + ๐ถ) ยท (2โ†‘๐‘Œ)) โˆ’ ๐ถ)) + ๐ถ) = (((๐‘ + ๐ถ) ยท (2โ†‘(๐‘Œ + 1))) โˆ’ ๐ถ))

Proof of Theorem itcovalt2lem2lem2
StepHypRef Expression
1 2cnd 12296 . . . 4 (((๐‘Œ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
2 simpr 483 . . . . . . 7 (((๐‘Œ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
3 simpr 483 . . . . . . . 8 ((๐‘Œ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
43adantr 479 . . . . . . 7 (((๐‘Œ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
52, 4nn0addcld 12542 . . . . . 6 (((๐‘Œ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ + ๐ถ) โˆˆ โ„•0)
65nn0cnd 12540 . . . . 5 (((๐‘Œ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ + ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
7 2nn0 12495 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„•0
87a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘Œ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
9 id 22 . . . . . . . 8 (๐‘Œ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„•0)
108, 9nn0expcld 14215 . . . . . . 7 (๐‘Œ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2โ†‘๐‘Œ) โˆˆ โ„•0)
1110nn0cnd 12540 . . . . . 6 (๐‘Œ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2โ†‘๐‘Œ) โˆˆ โ„‚)
1211ad2antrr 722 . . . . 5 (((๐‘Œ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘Œ) โˆˆ โ„‚)
136, 12mulcld 11240 . . . 4 (((๐‘Œ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ + ๐ถ) ยท (2โ†‘๐‘Œ)) โˆˆ โ„‚)
14 nn0cn 12488 . . . . 5 (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
1514ad2antlr 723 . . . 4 (((๐‘Œ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
161, 13, 15subdid 11676 . . 3 (((๐‘Œ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท (((๐‘ + ๐ถ) ยท (2โ†‘๐‘Œ)) โˆ’ ๐ถ)) = ((2 ยท ((๐‘ + ๐ถ) ยท (2โ†‘๐‘Œ))) โˆ’ (2 ยท ๐ถ)))
1716oveq1d 7428 . 2 (((๐‘Œ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2 ยท (((๐‘ + ๐ถ) ยท (2โ†‘๐‘Œ)) โˆ’ ๐ถ)) + ๐ถ) = (((2 ยท ((๐‘ + ๐ถ) ยท (2โ†‘๐‘Œ))) โˆ’ (2 ยท ๐ถ)) + ๐ถ))
187a1i 11 . . . . 5 (((๐‘Œ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
1910ad2antrr 722 . . . . . 6 (((๐‘Œ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘Œ) โˆˆ โ„•0)
205, 19nn0mulcld 12543 . . . . 5 (((๐‘Œ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ + ๐ถ) ยท (2โ†‘๐‘Œ)) โˆˆ โ„•0)
2118, 20nn0mulcld 12543 . . . 4 (((๐‘Œ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท ((๐‘ + ๐ถ) ยท (2โ†‘๐‘Œ))) โˆˆ โ„•0)
2221nn0cnd 12540 . . 3 (((๐‘Œ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท ((๐‘ + ๐ถ) ยท (2โ†‘๐‘Œ))) โˆˆ โ„‚)
237a1i 11 . . . . . 6 ((๐‘Œ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
2423, 3nn0mulcld 12543 . . . . 5 ((๐‘Œ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆˆ โ„•0)
2524adantr 479 . . . 4 (((๐‘Œ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆˆ โ„•0)
2625nn0cnd 12540 . . 3 (((๐‘Œ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
274nn0cnd 12540 . . 3 (((๐‘Œ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
2822, 26, 27subsubd 11605 . 2 (((๐‘Œ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2 ยท ((๐‘ + ๐ถ) ยท (2โ†‘๐‘Œ))) โˆ’ ((2 ยท ๐ถ) โˆ’ ๐ถ)) = (((2 ยท ((๐‘ + ๐ถ) ยท (2โ†‘๐‘Œ))) โˆ’ (2 ยท ๐ถ)) + ๐ถ))
291, 6, 12mul12d 11429 . . . 4 (((๐‘Œ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท ((๐‘ + ๐ถ) ยท (2โ†‘๐‘Œ))) = ((๐‘ + ๐ถ) ยท (2 ยท (2โ†‘๐‘Œ))))
30 2cnd 12296 . . . . . . . 8 (๐‘Œ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
3130, 11mulcomd 11241 . . . . . . 7 (๐‘Œ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท (2โ†‘๐‘Œ)) = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท 2))
3230, 9expp1d 14118 . . . . . . 7 (๐‘Œ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2โ†‘(๐‘Œ + 1)) = ((2โ†‘๐‘Œ) ยท 2))
3331, 32eqtr4d 2773 . . . . . 6 (๐‘Œ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท (2โ†‘๐‘Œ)) = (2โ†‘(๐‘Œ + 1)))
3433ad2antrr 722 . . . . 5 (((๐‘Œ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท (2โ†‘๐‘Œ)) = (2โ†‘(๐‘Œ + 1)))
3534oveq2d 7429 . . . 4 (((๐‘Œ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ + ๐ถ) ยท (2 ยท (2โ†‘๐‘Œ))) = ((๐‘ + ๐ถ) ยท (2โ†‘(๐‘Œ + 1))))
3629, 35eqtrd 2770 . . 3 (((๐‘Œ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท ((๐‘ + ๐ถ) ยท (2โ†‘๐‘Œ))) = ((๐‘ + ๐ถ) ยท (2โ†‘(๐‘Œ + 1))))
37 2txmxeqx 12358 . . . . 5 (๐ถ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท ๐ถ) โˆ’ ๐ถ) = ๐ถ)
3814, 37syl 17 . . . 4 (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐ถ) โˆ’ ๐ถ) = ๐ถ)
3938ad2antlr 723 . . 3 (((๐‘Œ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2 ยท ๐ถ) โˆ’ ๐ถ) = ๐ถ)
4036, 39oveq12d 7431 . 2 (((๐‘Œ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2 ยท ((๐‘ + ๐ถ) ยท (2โ†‘๐‘Œ))) โˆ’ ((2 ยท ๐ถ) โˆ’ ๐ถ)) = (((๐‘ + ๐ถ) ยท (2โ†‘(๐‘Œ + 1))) โˆ’ ๐ถ))
4117, 28, 403eqtr2d 2776 1 (((๐‘Œ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2 ยท (((๐‘ + ๐ถ) ยท (2โ†‘๐‘Œ)) โˆ’ ๐ถ)) + ๐ถ) = (((๐‘ + ๐ถ) ยท (2โ†‘(๐‘Œ + 1))) โˆ’ ๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  (class class class)co 7413  โ„‚cc 11112  1c1 11115   + caddc 11117   ยท cmul 11119   โˆ’ cmin 11450  2c2 12273  โ„•0cn0 12478  โ†‘cexp 14033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-2 12281  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-seq 13973  df-exp 14034
This theorem is referenced by:  itcovalt2lem2  47451
  Copyright terms: Public domain W3C validator