Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itcovalt2lem2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itcovalt2lem2lem2 46750
Description: Lemma 2 for itcovalt2lem2 46752. (Contributed by AV, 7-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
itcovalt2lem2lem2 (((𝑌 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · (((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌)) − 𝐶)) + 𝐶) = (((𝑁 + 𝐶) · (2↑(𝑌 + 1))) − 𝐶))

Proof of Theorem itcovalt2lem2lem2
StepHypRef Expression
1 2cnd 12231 . . . 4 (((𝑌 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
2 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝑌 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℕ0)
43adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑌 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℕ0)
52, 4nn0addcld 12477 . . . . . 6 (((𝑌 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐶) ∈ ℕ0)
65nn0cnd 12475 . . . . 5 (((𝑌 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐶) ∈ ℂ)
7 2nn0 12430 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
87a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
9 id 22 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0)
108, 9nn0expcld 14149 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ℕ0 → (2↑𝑌) ∈ ℕ0)
1110nn0cnd 12475 . . . . . 6 (𝑌 ∈ ℕ0 → (2↑𝑌) ∈ ℂ)
1211ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝑌 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑌) ∈ ℂ)
136, 12mulcld 11175 . . . 4 (((𝑌 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌)) ∈ ℂ)
14 nn0cn 12423 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℂ)
1514ad2antlr 725 . . . 4 (((𝑌 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
161, 13, 15subdid 11611 . . 3 (((𝑌 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · (((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌)) − 𝐶)) = ((2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) − (2 · 𝐶)))
1716oveq1d 7372 . 2 (((𝑌 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · (((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌)) − 𝐶)) + 𝐶) = (((2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) − (2 · 𝐶)) + 𝐶))
187a1i 11 . . . . 5 (((𝑌 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ0)
1910ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝑌 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑌) ∈ ℕ0)
205, 19nn0mulcld 12478 . . . . 5 (((𝑌 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌)) ∈ ℕ0)
2118, 20nn0mulcld 12478 . . . 4 (((𝑌 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) ∈ ℕ0)
2221nn0cnd 12475 . . 3 (((𝑌 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) ∈ ℂ)
237a1i 11 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ0)
2423, 3nn0mulcld 12478 . . . . 5 ((𝑌 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) → (2 · 𝐶) ∈ ℕ0)
2524adantr 481 . . . 4 (((𝑌 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · 𝐶) ∈ ℕ0)
2625nn0cnd 12475 . . 3 (((𝑌 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · 𝐶) ∈ ℂ)
274nn0cnd 12475 . . 3 (((𝑌 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
2822, 26, 27subsubd 11540 . 2 (((𝑌 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) − ((2 · 𝐶) − 𝐶)) = (((2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) − (2 · 𝐶)) + 𝐶))
291, 6, 12mul12d 11364 . . . 4 (((𝑌 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) = ((𝑁 + 𝐶) · (2 · (2↑𝑌))))
30 2cnd 12231 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
3130, 11mulcomd 11176 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ℕ0 → (2 · (2↑𝑌)) = ((2↑𝑌) · 2))
3230, 9expp1d 14052 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑌 + 1)) = ((2↑𝑌) · 2))
3331, 32eqtr4d 2779 . . . . . 6 (𝑌 ∈ ℕ0 → (2 · (2↑𝑌)) = (2↑(𝑌 + 1)))
3433ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝑌 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · (2↑𝑌)) = (2↑(𝑌 + 1)))
3534oveq2d 7373 . . . 4 (((𝑌 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 𝐶) · (2 · (2↑𝑌))) = ((𝑁 + 𝐶) · (2↑(𝑌 + 1))))
3629, 35eqtrd 2776 . . 3 (((𝑌 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) = ((𝑁 + 𝐶) · (2↑(𝑌 + 1))))
37 2txmxeqx 12293 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℂ → ((2 · 𝐶) − 𝐶) = 𝐶)
3814, 37syl 17 . . . 4 (𝐶 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝐶) − 𝐶) = 𝐶)
3938ad2antlr 725 . . 3 (((𝑌 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝐶) − 𝐶) = 𝐶)
4036, 39oveq12d 7375 . 2 (((𝑌 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) − ((2 · 𝐶) − 𝐶)) = (((𝑁 + 𝐶) · (2↑(𝑌 + 1))) − 𝐶))
4117, 28, 403eqtr2d 2782 1 (((𝑌 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · (((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌)) − 𝐶)) + 𝐶) = (((𝑁 + 𝐶) · (2↑(𝑌 + 1))) − 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7357  cc 11049  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cmin 11385  2c2 12208  0cn0 12413  cexp 13967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-seq 13907  df-exp 13968
This theorem is referenced by:  itcovalt2lem2  46752
  Copyright terms: Public domain W3C validator