Theorem itcovalt2lem2lem2 49487

Description: Lemma 2 for itcovalt2lem2 49489. (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
itcovalt2lem2lem2	⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · (((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌)) − 𝐶)) + 𝐶) = (((𝑁 + 𝐶) · (2↑(𝑌 + 1))) − 𝐶))

Proof of Theorem itcovalt2lem2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 12330	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
2		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℕ0)
4	3	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℕ0)
5	2, 4	nn0addcld 12580	. . . . . 6 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐶) ∈ ℕ0)
6	5	nn0cnd 12578	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐶) ∈ ℂ)
7		2nn0 12532	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
9		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ ℕ0)
10	8, 9	nn0expcld 14296	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → (2↑𝑌) ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 12578	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → (2↑𝑌) ∈ ℂ)
12	11	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑌) ∈ ℂ)
13	6, 12	mulcld 11240	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌)) ∈ ℂ)
14		nn0cn 12525	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → 𝐶 ∈ ℂ)
15	14	ad2antlr 740	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
16	1, 13, 15	subdid 11681	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · (((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌)) − 𝐶)) = ((2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) − (2 · 𝐶)))
17	16	oveq1d 7431	. 2 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · (((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌)) − 𝐶)) + 𝐶) = (((2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) − (2 · 𝐶)) + 𝐶))
18	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ0)
19	10	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑌) ∈ ℕ0)
20	5, 19	nn0mulcld 12581	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌)) ∈ ℕ0)
21	18, 20	nn0mulcld 12581	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) ∈ ℕ0)
22	21	nn0cnd 12578	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) ∈ ℂ)
23	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ0)
24	23, 3	nn0mulcld 12581	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (2 · 𝐶) ∈ ℕ0)
25	24	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · 𝐶) ∈ ℕ0)
26	25	nn0cnd 12578	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · 𝐶) ∈ ℂ)
27	4	nn0cnd 12578	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
28	22, 26, 27	subsubd 11608	. 2 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) − ((2 · 𝐶) − 𝐶)) = (((2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) − (2 · 𝐶)) + 𝐶))
29	1, 6, 12	mul12d 11430	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) = ((𝑁 + 𝐶) · (2 · (2↑𝑌))))
30		2cnd 12330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
31	30, 11	mulcomd 11241	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → (2 · (2↑𝑌)) = ((2↑𝑌) · 2))
32	30, 9	expp1d 14197	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑌 + 1)) = ((2↑𝑌) · 2))
33	31, 32	eqtr4d 2803	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → (2 · (2↑𝑌)) = (2↑(𝑌 + 1)))
34	33	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · (2↑𝑌)) = (2↑(𝑌 + 1)))
35	34	oveq2d 7432	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 𝐶) · (2 · (2↑𝑌))) = ((𝑁 + 𝐶) · (2↑(𝑌 + 1))))
36	29, 35	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) = ((𝑁 + 𝐶) · (2↑(𝑌 + 1))))
37		2txmxeqx 12391	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((2 · 𝐶) − 𝐶) = 𝐶)
38	14, 37	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝐶) − 𝐶) = 𝐶)
39	38	ad2antlr 740	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝐶) − 𝐶) = 𝐶)
40	36, 39	oveq12d 7434	. 2 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · ((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌))) − ((2 · 𝐶) − 𝐶)) = (((𝑁 + 𝐶) · (2↑(𝑌 + 1))) − 𝐶))
41	17, 28, 40	3eqtr2d 2806	1 ⊢ (((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · (((𝑁 + 𝐶) · (2↑𝑌)) − 𝐶)) + 𝐶) = (((𝑁 + 𝐶) · (2↑(𝑌 + 1))) − 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  1c1 11112   + caddc 11114   · cmul 11116   − cmin 11452  2c2 12306  ℕ₀cn0 12515  ↑cexp 14111

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-seq 14052  df-exp 14112

This theorem is used by:  itcovalt2lem2  49489