MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  le2sq2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem le2sq2 13158
Description: The square of a 'less than or equal to' ordering. (Contributed by NM, 21-Mar-2008.)
Assertion
Ref Expression
le2sq2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵)) → (𝐴↑2) ≤ (𝐵↑2))

Proof of Theorem le2sq2
StepHypRef Expression
1 simprr 780 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵)) → 𝐴𝐵)
2 simprl 778 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3 0re 10323 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
4 letr 10412 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴𝐴𝐵) → 0 ≤ 𝐵))
53, 4mp3an1 1565 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴𝐴𝐵) → 0 ≤ 𝐵))
65exp4b 419 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → (𝐴𝐵 → 0 ≤ 𝐵))))
76com23 86 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴𝐵 → 0 ≤ 𝐵))))
87imp43 416 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵)) → 0 ≤ 𝐵)
92, 8jca 503 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵)) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
10 le2sq 13157 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐵↑2)))
119, 10syldan 581 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵)) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐵↑2)))
121, 11mpbid 223 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵)) → (𝐴↑2) ≤ (𝐵↑2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wcel 2156   class class class wbr 4844  (class class class)co 6870  cr 10216  0cc0 10217  cle 10356  2c2 11352  cexp 13079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-om 7292  df-2nd 7395  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-er 7975  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-nn 11302  df-2 11360  df-n0 11556  df-z 11640  df-uz 11901  df-seq 13021  df-exp 13080
This theorem is referenced by:  cos01gt0  15137  4sqlem12  15873  prmlem1  16022  prmlem2  16034  minveclem2  23408  minvecolem2  28058  hstle  29416
  Copyright terms: Public domain W3C validator