![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > prmlem1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A quick proof skeleton to show that the numbers less than 25 are prime, by trial division. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
prmlem1.n | โข ๐ โ โ |
prmlem1.gt | โข 1 < ๐ |
prmlem1.2 | โข ยฌ 2 โฅ ๐ |
prmlem1.3 | โข ยฌ 3 โฅ ๐ |
prmlem1.lt | โข ๐ < ;25 |
Ref | Expression |
---|---|
prmlem1 | โข ๐ โ โ |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | prmlem1.n | . 2 โข ๐ โ โ | |
2 | prmlem1.gt | . 2 โข 1 < ๐ | |
3 | prmlem1.2 | . 2 โข ยฌ 2 โฅ ๐ | |
4 | prmlem1.3 | . 2 โข ยฌ 3 โฅ ๐ | |
5 | eluzelre 12834 | . . . . . . . 8 โข (๐ฅ โ (โคโฅโ5) โ ๐ฅ โ โ) | |
6 | 5 | resqcld 14093 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ โ (โคโฅโ5) โ (๐ฅโ2) โ โ) |
7 | eluzle 12836 | . . . . . . . 8 โข (๐ฅ โ (โคโฅโ5) โ 5 โค ๐ฅ) | |
8 | 5re 12300 | . . . . . . . . 9 โข 5 โ โ | |
9 | 5nn0 12493 | . . . . . . . . . 10 โข 5 โ โ0 | |
10 | 9 | nn0ge0i 12500 | . . . . . . . . 9 โข 0 โค 5 |
11 | le2sq2 14103 | . . . . . . . . 9 โข (((5 โ โ โง 0 โค 5) โง (๐ฅ โ โ โง 5 โค ๐ฅ)) โ (5โ2) โค (๐ฅโ2)) | |
12 | 8, 10, 11 | mpanl12 699 | . . . . . . . 8 โข ((๐ฅ โ โ โง 5 โค ๐ฅ) โ (5โ2) โค (๐ฅโ2)) |
13 | 5, 7, 12 | syl2anc 583 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ โ (โคโฅโ5) โ (5โ2) โค (๐ฅโ2)) |
14 | 1 | nnrei 12222 | . . . . . . . 8 โข ๐ โ โ |
15 | 8 | resqcli 14153 | . . . . . . . 8 โข (5โ2) โ โ |
16 | prmlem1.lt | . . . . . . . . . 10 โข ๐ < ;25 | |
17 | 5cn 12301 | . . . . . . . . . . . 12 โข 5 โ โ | |
18 | 17 | sqvali 14147 | . . . . . . . . . . 11 โข (5โ2) = (5 ยท 5) |
19 | 5t5e25 12781 | . . . . . . . . . . 11 โข (5 ยท 5) = ;25 | |
20 | 18, 19 | eqtri 2754 | . . . . . . . . . 10 โข (5โ2) = ;25 |
21 | 16, 20 | breqtrri 5168 | . . . . . . . . 9 โข ๐ < (5โ2) |
22 | ltletr 11307 | . . . . . . . . 9 โข ((๐ โ โ โง (5โ2) โ โ โง (๐ฅโ2) โ โ) โ ((๐ < (5โ2) โง (5โ2) โค (๐ฅโ2)) โ ๐ < (๐ฅโ2))) | |
23 | 21, 22 | mpani 693 | . . . . . . . 8 โข ((๐ โ โ โง (5โ2) โ โ โง (๐ฅโ2) โ โ) โ ((5โ2) โค (๐ฅโ2) โ ๐ < (๐ฅโ2))) |
24 | 14, 15, 23 | mp3an12 1447 | . . . . . . 7 โข ((๐ฅโ2) โ โ โ ((5โ2) โค (๐ฅโ2) โ ๐ < (๐ฅโ2))) |
25 | 6, 13, 24 | sylc 65 | . . . . . 6 โข (๐ฅ โ (โคโฅโ5) โ ๐ < (๐ฅโ2)) |
26 | ltnle 11294 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ โ โง (๐ฅโ2) โ โ) โ (๐ < (๐ฅโ2) โ ยฌ (๐ฅโ2) โค ๐)) | |
27 | 14, 6, 26 | sylancr 586 | . . . . . 6 โข (๐ฅ โ (โคโฅโ5) โ (๐ < (๐ฅโ2) โ ยฌ (๐ฅโ2) โค ๐)) |
28 | 25, 27 | mpbid 231 | . . . . 5 โข (๐ฅ โ (โคโฅโ5) โ ยฌ (๐ฅโ2) โค ๐) |
29 | 28 | pm2.21d 121 | . . . 4 โข (๐ฅ โ (โคโฅโ5) โ ((๐ฅโ2) โค ๐ โ ยฌ ๐ฅ โฅ ๐)) |
30 | 29 | adantld 490 | . . 3 โข (๐ฅ โ (โคโฅโ5) โ ((๐ฅ โ (โ โ {2}) โง (๐ฅโ2) โค ๐) โ ยฌ ๐ฅ โฅ ๐)) |
31 | 30 | adantl 481 | . 2 โข ((ยฌ 2 โฅ 5 โง ๐ฅ โ (โคโฅโ5)) โ ((๐ฅ โ (โ โ {2}) โง (๐ฅโ2) โค ๐) โ ยฌ ๐ฅ โฅ ๐)) |
32 | 1, 2, 3, 4, 31 | prmlem1a 17047 | 1 โข ๐ โ โ |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 โง w3a 1084 โ wcel 2098 โ cdif 3940 {csn 4623 class class class wbr 5141 โcfv 6536 (class class class)co 7404 โcr 11108 0cc0 11109 1c1 11110 ยท cmul 11114 < clt 11249 โค cle 11250 โcn 12213 2c2 12268 3c3 12269 5c5 12271 ;cdc 12678 โคโฅcuz 12823 โcexp 14030 โฅ cdvds 16202 โcprime 16613 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7721 ax-cnex 11165 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 ax-pre-sup 11187 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6293 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-om 7852 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-frecs 8264 df-wrecs 8295 df-recs 8369 df-rdg 8408 df-1o 8464 df-2o 8465 df-er 8702 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-fin 8942 df-sup 9436 df-pnf 11251 df-mnf 11252 df-xr 11253 df-ltxr 11254 df-le 11255 df-sub 11447 df-neg 11448 df-div 11873 df-nn 12214 df-2 12276 df-3 12277 df-4 12278 df-5 12279 df-6 12280 df-7 12281 df-8 12282 df-9 12283 df-n0 12474 df-z 12560 df-dec 12679 df-uz 12824 df-rp 12978 df-fz 13488 df-seq 13970 df-exp 14031 df-cj 15050 df-re 15051 df-im 15052 df-sqrt 15186 df-abs 15187 df-dvds 16203 df-prm 16614 |
This theorem is referenced by: 5prm 17049 7prm 17051 11prm 17055 13prm 17056 17prm 17057 19prm 17058 23prm 17059 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |