Theorem prmlem1 17155

Description: A quick proof skeleton to show that the numbers less than 25 are prime, by trial division. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmlem1.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
prmlem1.gt	⊢ 1 < 𝑁
prmlem1.2	⊢ ¬ 2 ∥ 𝑁
prmlem1.3	⊢ ¬ 3 ∥ 𝑁
prmlem1.lt	⊢ 𝑁 < ;25

Assertion

Ref	Expression
prmlem1	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem prmlem1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmlem1.n	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
2		prmlem1.gt	. 2 ⊢ 1 < 𝑁
3		prmlem1.2	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ 𝑁
4		prmlem1.3	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ 𝑁
5		eluzelre 12914	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘5) → 𝑥 ∈ ℝ)
6	5	resqcld 14175	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘5) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
7		eluzle 12916	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘5) → 5 ≤ 𝑥)
8		5re 12380	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℝ
9		5nn0 12573	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℕ0
10	9	nn0ge0i 12580	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 5
11		le2sq2 14185	. . . . . . . . 9 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 5) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 5 ≤ 𝑥)) → (5↑2) ≤ (𝑥↑2))
12	8, 10, 11	mpanl12 701	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 5 ≤ 𝑥) → (5↑2) ≤ (𝑥↑2))
13	5, 7, 12	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘5) → (5↑2) ≤ (𝑥↑2))
14	1	nnrei 12302	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
15	8	resqcli 14235	. . . . . . . 8 ⊢ (5↑2) ∈ ℝ
16		prmlem1.lt	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 < ;25
17		5cn 12381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 ∈ ℂ
18	17	sqvali 14229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
19		5t5e25 12861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 · 5) = ;25
20	18, 19	eqtri 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5↑2) = ;25
21	16, 20	breqtrri 5193	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 < (5↑2)
22		ltletr 11382	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (5↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → ((𝑁 < (5↑2) ∧ (5↑2) ≤ (𝑥↑2)) → 𝑁 < (𝑥↑2)))
23	21, 22	mpani 695	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (5↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → ((5↑2) ≤ (𝑥↑2) → 𝑁 < (𝑥↑2)))
24	14, 15, 23	mp3an12 1451	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥↑2) ∈ ℝ → ((5↑2) ≤ (𝑥↑2) → 𝑁 < (𝑥↑2)))
25	6, 13, 24	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘5) → 𝑁 < (𝑥↑2))
26		ltnle 11369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → (𝑁 < (𝑥↑2) ↔ ¬ (𝑥↑2) ≤ 𝑁))
27	14, 6, 26	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘5) → (𝑁 < (𝑥↑2) ↔ ¬ (𝑥↑2) ≤ 𝑁))
28	25, 27	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘5) → ¬ (𝑥↑2) ≤ 𝑁)
29	28	pm2.21d 121	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘5) → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
30	29	adantld 490	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘5) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
31	30	adantl 481	. 2 ⊢ ((¬ 2 ∥ 5 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘5)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
32	1, 2, 3, 4, 31	prmlem1a 17154	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3973  {csn 4648   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   · cmul 11189   < clt 11324   ≤ cle 11325  ℕcn 12293  2c2 12348  3c3 12349  5c5 12351  ;cdc 12758  ℤ_≥cuz 12903  ↑cexp 14112   ∥ cdvds 16302  ℙcprime 16718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-prm 16719

This theorem is referenced by:  5prm  17156  7prm  17158  11prm  17162  13prm  17163  17prm  17164  19prm  17165  23prm  17166