Theorem prmlem1 17291

Description: A quick proof skeleton to show that the numbers less than 25 are prime, by trial division. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmlem1.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
prmlem1.gt	⊢ 1 < 𝑁
prmlem1.2	⊢ ¬ 2 ∥ 𝑁
prmlem1.3	⊢ ¬ 3 ∥ 𝑁
prmlem1.lt	⊢ 𝑁 < ;25

Assertion

Ref	Expression
prmlem1	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem prmlem1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmlem1.n	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
2		prmlem1.gt	. 2 ⊢ 1 < 𝑁
3		prmlem1.2	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ 𝑁
4		prmlem1.3	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ 𝑁
5		eluzelre 12980	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘5) → 𝑥 ∈ ℝ)
6	5	resqcld 14272	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘5) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
7		eluzle 12982	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘5) → 5 ≤ 𝑥)
8		5re 12434	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℝ
9		5nn0 12630	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℕ0
10	9	nn0ge0i 12637	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 5
11		le2sq2 14282	. . . . . . . . 9 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 5) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 5 ≤ 𝑥)) → (5↑2) ≤ (𝑥↑2))
12	8, 10, 11	mpanl12 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 5 ≤ 𝑥) → (5↑2) ≤ (𝑥↑2))
13	5, 7, 12	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘5) → (5↑2) ≤ (𝑥↑2))
14	1	nnrei 12348	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
15	8	resqcli 14333	. . . . . . . 8 ⊢ (5↑2) ∈ ℝ
16		prmlem1.lt	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 < ;25
17		5cn 12435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 ∈ ℂ
18	17	sqvali 14327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
19		5t5e25 12926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 · 5) = ;25
20	18, 19	eqtri 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5↑2) = ;25
21	16, 20	breqtrri 5131	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 < (5↑2)
22		ltletr 11406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (5↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → ((𝑁 < (5↑2) ∧ (5↑2) ≤ (𝑥↑2)) → 𝑁 < (𝑥↑2)))
23	21, 22	mpani 709	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (5↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → ((5↑2) ≤ (𝑥↑2) → 𝑁 < (𝑥↑2)))
24	14, 15, 23	mp3an12 1480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥↑2) ∈ ℝ → ((5↑2) ≤ (𝑥↑2) → 𝑁 < (𝑥↑2)))
25	6, 13, 24	sylc 66	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘5) → 𝑁 < (𝑥↑2))
26		ltnle 11393	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → (𝑁 < (𝑥↑2) ↔ ¬ (𝑥↑2) ≤ 𝑁))
27	14, 6, 26	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘5) → (𝑁 < (𝑥↑2) ↔ ¬ (𝑥↑2) ≤ 𝑁))
28	25, 27	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘5) → ¬ (𝑥↑2) ≤ 𝑁)
29	28	pm2.21d 122	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘5) → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
30	29	adantld 496	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘5) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
31	30	adantl 487	. 2 ⊢ ((¬ 2 ∥ 5 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘5)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
32	1, 2, 3, 4, 31	prmlem1a 17290	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144   ∖ cdif 4045  {csn 4584   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℝcr 11203  0cc0 11204  1c1 11205   · cmul 11209   < clt 11347   ≤ cle 11348  ℕcn 12339  2c2 12401  3c3 12402  5c5 12404  ;cdc 12818  ℤ_≥cuz 12969  ↑cexp 14208   ∥ cdvds 16428  ℙcprime 16852

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-rp 13125  df-fz 13644  df-seq 14149  df-exp 14209  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-dvds 16429  df-prm 16853

This theorem is used by:  5prm  17292  7prm  17294  11prm  17299  13prm  17300  17prm  17301  19prm  17302  23prm  17303