![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > prmlem1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A quick proof skeleton to show that the numbers less than 25 are prime, by trial division. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
prmlem1.n | โข ๐ โ โ |
prmlem1.gt | โข 1 < ๐ |
prmlem1.2 | โข ยฌ 2 โฅ ๐ |
prmlem1.3 | โข ยฌ 3 โฅ ๐ |
prmlem1.lt | โข ๐ < ;25 |
Ref | Expression |
---|---|
prmlem1 | โข ๐ โ โ |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | prmlem1.n | . 2 โข ๐ โ โ | |
2 | prmlem1.gt | . 2 โข 1 < ๐ | |
3 | prmlem1.2 | . 2 โข ยฌ 2 โฅ ๐ | |
4 | prmlem1.3 | . 2 โข ยฌ 3 โฅ ๐ | |
5 | eluzelre 12869 | . . . . . . . 8 โข (๐ฅ โ (โคโฅโ5) โ ๐ฅ โ โ) | |
6 | 5 | resqcld 14127 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ โ (โคโฅโ5) โ (๐ฅโ2) โ โ) |
7 | eluzle 12871 | . . . . . . . 8 โข (๐ฅ โ (โคโฅโ5) โ 5 โค ๐ฅ) | |
8 | 5re 12335 | . . . . . . . . 9 โข 5 โ โ | |
9 | 5nn0 12528 | . . . . . . . . . 10 โข 5 โ โ0 | |
10 | 9 | nn0ge0i 12535 | . . . . . . . . 9 โข 0 โค 5 |
11 | le2sq2 14137 | . . . . . . . . 9 โข (((5 โ โ โง 0 โค 5) โง (๐ฅ โ โ โง 5 โค ๐ฅ)) โ (5โ2) โค (๐ฅโ2)) | |
12 | 8, 10, 11 | mpanl12 700 | . . . . . . . 8 โข ((๐ฅ โ โ โง 5 โค ๐ฅ) โ (5โ2) โค (๐ฅโ2)) |
13 | 5, 7, 12 | syl2anc 582 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ โ (โคโฅโ5) โ (5โ2) โค (๐ฅโ2)) |
14 | 1 | nnrei 12257 | . . . . . . . 8 โข ๐ โ โ |
15 | 8 | resqcli 14187 | . . . . . . . 8 โข (5โ2) โ โ |
16 | prmlem1.lt | . . . . . . . . . 10 โข ๐ < ;25 | |
17 | 5cn 12336 | . . . . . . . . . . . 12 โข 5 โ โ | |
18 | 17 | sqvali 14181 | . . . . . . . . . . 11 โข (5โ2) = (5 ยท 5) |
19 | 5t5e25 12816 | . . . . . . . . . . 11 โข (5 ยท 5) = ;25 | |
20 | 18, 19 | eqtri 2755 | . . . . . . . . . 10 โข (5โ2) = ;25 |
21 | 16, 20 | breqtrri 5177 | . . . . . . . . 9 โข ๐ < (5โ2) |
22 | ltletr 11342 | . . . . . . . . 9 โข ((๐ โ โ โง (5โ2) โ โ โง (๐ฅโ2) โ โ) โ ((๐ < (5โ2) โง (5โ2) โค (๐ฅโ2)) โ ๐ < (๐ฅโ2))) | |
23 | 21, 22 | mpani 694 | . . . . . . . 8 โข ((๐ โ โ โง (5โ2) โ โ โง (๐ฅโ2) โ โ) โ ((5โ2) โค (๐ฅโ2) โ ๐ < (๐ฅโ2))) |
24 | 14, 15, 23 | mp3an12 1447 | . . . . . . 7 โข ((๐ฅโ2) โ โ โ ((5โ2) โค (๐ฅโ2) โ ๐ < (๐ฅโ2))) |
25 | 6, 13, 24 | sylc 65 | . . . . . 6 โข (๐ฅ โ (โคโฅโ5) โ ๐ < (๐ฅโ2)) |
26 | ltnle 11329 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ โ โง (๐ฅโ2) โ โ) โ (๐ < (๐ฅโ2) โ ยฌ (๐ฅโ2) โค ๐)) | |
27 | 14, 6, 26 | sylancr 585 | . . . . . 6 โข (๐ฅ โ (โคโฅโ5) โ (๐ < (๐ฅโ2) โ ยฌ (๐ฅโ2) โค ๐)) |
28 | 25, 27 | mpbid 231 | . . . . 5 โข (๐ฅ โ (โคโฅโ5) โ ยฌ (๐ฅโ2) โค ๐) |
29 | 28 | pm2.21d 121 | . . . 4 โข (๐ฅ โ (โคโฅโ5) โ ((๐ฅโ2) โค ๐ โ ยฌ ๐ฅ โฅ ๐)) |
30 | 29 | adantld 489 | . . 3 โข (๐ฅ โ (โคโฅโ5) โ ((๐ฅ โ (โ โ {2}) โง (๐ฅโ2) โค ๐) โ ยฌ ๐ฅ โฅ ๐)) |
31 | 30 | adantl 480 | . 2 โข ((ยฌ 2 โฅ 5 โง ๐ฅ โ (โคโฅโ5)) โ ((๐ฅ โ (โ โ {2}) โง (๐ฅโ2) โค ๐) โ ยฌ ๐ฅ โฅ ๐)) |
32 | 1, 2, 3, 4, 31 | prmlem1a 17081 | 1 โข ๐ โ โ |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โ wb 205 โง wa 394 โง w3a 1084 โ wcel 2098 โ cdif 3944 {csn 4630 class class class wbr 5150 โcfv 6551 (class class class)co 7424 โcr 11143 0cc0 11144 1c1 11145 ยท cmul 11149 < clt 11284 โค cle 11285 โcn 12248 2c2 12303 3c3 12304 5c5 12306 ;cdc 12713 โคโฅcuz 12858 โcexp 14064 โฅ cdvds 16236 โcprime 16647 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2698 ax-sep 5301 ax-nul 5308 ax-pow 5367 ax-pr 5431 ax-un 7744 ax-cnex 11200 ax-resscn 11201 ax-1cn 11202 ax-icn 11203 ax-addcl 11204 ax-addrcl 11205 ax-mulcl 11206 ax-mulrcl 11207 ax-mulcom 11208 ax-addass 11209 ax-mulass 11210 ax-distr 11211 ax-i2m1 11212 ax-1ne0 11213 ax-1rid 11214 ax-rnegex 11215 ax-rrecex 11216 ax-cnre 11217 ax-pre-lttri 11218 ax-pre-lttrn 11219 ax-pre-ltadd 11220 ax-pre-mulgt0 11221 ax-pre-sup 11222 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2937 df-nel 3043 df-ral 3058 df-rex 3067 df-rmo 3372 df-reu 3373 df-rab 3429 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4325 df-if 4531 df-pw 4606 df-sn 4631 df-pr 4633 df-op 4637 df-uni 4911 df-iun 5000 df-br 5151 df-opab 5213 df-mpt 5234 df-tr 5268 df-id 5578 df-eprel 5584 df-po 5592 df-so 5593 df-fr 5635 df-we 5637 df-xp 5686 df-rel 5687 df-cnv 5688 df-co 5689 df-dm 5690 df-rn 5691 df-res 5692 df-ima 5693 df-pred 6308 df-ord 6375 df-on 6376 df-lim 6377 df-suc 6378 df-iota 6503 df-fun 6553 df-fn 6554 df-f 6555 df-f1 6556 df-fo 6557 df-f1o 6558 df-fv 6559 df-riota 7380 df-ov 7427 df-oprab 7428 df-mpo 7429 df-om 7875 df-1st 7997 df-2nd 7998 df-frecs 8291 df-wrecs 8322 df-recs 8396 df-rdg 8435 df-1o 8491 df-2o 8492 df-er 8729 df-en 8969 df-dom 8970 df-sdom 8971 df-fin 8972 df-sup 9471 df-pnf 11286 df-mnf 11287 df-xr 11288 df-ltxr 11289 df-le 11290 df-sub 11482 df-neg 11483 df-div 11908 df-nn 12249 df-2 12311 df-3 12312 df-4 12313 df-5 12314 df-6 12315 df-7 12316 df-8 12317 df-9 12318 df-n0 12509 df-z 12595 df-dec 12714 df-uz 12859 df-rp 13013 df-fz 13523 df-seq 14005 df-exp 14065 df-cj 15084 df-re 15085 df-im 15086 df-sqrt 15220 df-abs 15221 df-dvds 16237 df-prm 16648 |
This theorem is referenced by: 5prm 17083 7prm 17085 11prm 17089 13prm 17090 17prm 17091 19prm 17092 23prm 17093 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |