Theorem prmlem1 17023

Description: A quick proof skeleton to show that the numbers less than 25 are prime, by trial division. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmlem1.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
prmlem1.gt	⊢ 1 < 𝑁
prmlem1.2	⊢ ¬ 2 ∥ 𝑁
prmlem1.3	⊢ ¬ 3 ∥ 𝑁
prmlem1.lt	⊢ 𝑁 < ;25

Assertion

Ref	Expression
prmlem1	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem prmlem1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmlem1.n	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
2		prmlem1.gt	. 2 ⊢ 1 < 𝑁
3		prmlem1.2	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ 𝑁
4		prmlem1.3	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ 𝑁
5		eluzelre 12751	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘5) → 𝑥 ∈ ℝ)
6	5	resqcld 14036	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘5) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
7		eluzle 12753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘5) → 5 ≤ 𝑥)
8		5re 12221	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℝ
9		5nn0 12410	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℕ0
10	9	nn0ge0i 12417	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 5
11		le2sq2 14046	. . . . . . . . 9 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 5) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 5 ≤ 𝑥)) → (5↑2) ≤ (𝑥↑2))
12	8, 10, 11	mpanl12 702	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 5 ≤ 𝑥) → (5↑2) ≤ (𝑥↑2))
13	5, 7, 12	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘5) → (5↑2) ≤ (𝑥↑2))
14	1	nnrei 12143	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
15	8	resqcli 14097	. . . . . . . 8 ⊢ (5↑2) ∈ ℝ
16		prmlem1.lt	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 < ;25
17		5cn 12222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 ∈ ℂ
18	17	sqvali 14091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
19		5t5e25 12699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 · 5) = ;25
20	18, 19	eqtri 2756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5↑2) = ;25
21	16, 20	breqtrri 5122	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 < (5↑2)
22		ltletr 11214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (5↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → ((𝑁 < (5↑2) ∧ (5↑2) ≤ (𝑥↑2)) → 𝑁 < (𝑥↑2)))
23	21, 22	mpani 696	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (5↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → ((5↑2) ≤ (𝑥↑2) → 𝑁 < (𝑥↑2)))
24	14, 15, 23	mp3an12 1453	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥↑2) ∈ ℝ → ((5↑2) ≤ (𝑥↑2) → 𝑁 < (𝑥↑2)))
25	6, 13, 24	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘5) → 𝑁 < (𝑥↑2))
26		ltnle 11201	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → (𝑁 < (𝑥↑2) ↔ ¬ (𝑥↑2) ≤ 𝑁))
27	14, 6, 26	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘5) → (𝑁 < (𝑥↑2) ↔ ¬ (𝑥↑2) ≤ 𝑁))
28	25, 27	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘5) → ¬ (𝑥↑2) ≤ 𝑁)
29	28	pm2.21d 121	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘5) → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
30	29	adantld 490	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘5) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
31	30	adantl 481	. 2 ⊢ ((¬ 2 ∥ 5 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘5)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
32	1, 2, 3, 4, 31	prmlem1a 17022	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3895  {csn 4577   class class class wbr 5095  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  ℝcr 11014  0cc0 11015  1c1 11016   · cmul 11020   < clt 11155   ≤ cle 11156  ℕcn 12134  2c2 12189  3c3 12190  5c5 12192  ;cdc 12596  ℤ_≥cuz 12740  ↑cexp 13972   ∥ cdvds 16167  ℙcprime 16586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-2o 8394  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-sup 9335  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-7 12202  df-8 12203  df-9 12204  df-n0 12391  df-z 12478  df-dec 12597  df-uz 12741  df-rp 12895  df-fz 13412  df-seq 13913  df-exp 13973  df-cj 15010  df-re 15011  df-im 15012  df-sqrt 15146  df-abs 15147  df-dvds 16168  df-prm 16587

This theorem is referenced by:  5prm  17024  7prm  17026  11prm  17030  13prm  17031  17prm  17032  19prm  17033  23prm  17034