MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmlem1 16270
Description: A quick proof skeleton to show that the numbers less than 25 are prime, by trial division. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmlem1.n 𝑁 ∈ ℕ
prmlem1.gt 1 < 𝑁
prmlem1.2 ¬ 2 ∥ 𝑁
prmlem1.3 ¬ 3 ∥ 𝑁
prmlem1.lt 𝑁 < 25
Assertion
Ref Expression
prmlem1 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem prmlem1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmlem1.n . 2 𝑁 ∈ ℕ
2 prmlem1.gt . 2 1 < 𝑁
3 prmlem1.2 . 2 ¬ 2 ∥ 𝑁
4 prmlem1.3 . 2 ¬ 3 ∥ 𝑁
5 eluzelre 12104 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → 𝑥 ∈ ℝ)
65resqcld 13461 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
7 eluzle 12106 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → 5 ≤ 𝑥)
8 5re 11572 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℝ
9 5nn0 11765 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℕ0
109nn0ge0i 11772 . . . . . . . . 9 0 ≤ 5
11 le2sq2 13350 . . . . . . . . 9 (((5 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 5) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 5 ≤ 𝑥)) → (5↑2) ≤ (𝑥↑2))
128, 10, 11mpanl12 698 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 5 ≤ 𝑥) → (5↑2) ≤ (𝑥↑2))
135, 7, 12syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → (5↑2) ≤ (𝑥↑2))
141nnrei 11495 . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℝ
158resqcli 13399 . . . . . . . 8 (5↑2) ∈ ℝ
16 prmlem1.lt . . . . . . . . . 10 𝑁 < 25
17 5cn 11573 . . . . . . . . . . . 12 5 ∈ ℂ
1817sqvali 13393 . . . . . . . . . . 11 (5↑2) = (5 · 5)
19 5t5e25 12051 . . . . . . . . . . 11 (5 · 5) = 25
2018, 19eqtri 2819 . . . . . . . . . 10 (5↑2) = 25
2116, 20breqtrri 4989 . . . . . . . . 9 𝑁 < (5↑2)
22 ltletr 10579 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (5↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → ((𝑁 < (5↑2) ∧ (5↑2) ≤ (𝑥↑2)) → 𝑁 < (𝑥↑2)))
2321, 22mpani 692 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (5↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → ((5↑2) ≤ (𝑥↑2) → 𝑁 < (𝑥↑2)))
2414, 15, 23mp3an12 1443 . . . . . . 7 ((𝑥↑2) ∈ ℝ → ((5↑2) ≤ (𝑥↑2) → 𝑁 < (𝑥↑2)))
256, 13, 24sylc 65 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → 𝑁 < (𝑥↑2))
26 ltnle 10567 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → (𝑁 < (𝑥↑2) ↔ ¬ (𝑥↑2) ≤ 𝑁))
2714, 6, 26sylancr 587 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → (𝑁 < (𝑥↑2) ↔ ¬ (𝑥↑2) ≤ 𝑁))
2825, 27mpbid 233 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → ¬ (𝑥↑2) ≤ 𝑁)
2928pm2.21d 121 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥𝑁))
3029adantld 491 . . 3 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
3130adantl 482 . 2 ((¬ 2 ∥ 5 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘5)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
321, 2, 3, 4, 31prmlem1a 16269 1 𝑁 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080  wcel 2081  cdif 3856  {csn 4472   class class class wbr 4962  cfv 6225  (class class class)co 7016  cr 10382  0cc0 10383  1c1 10384   · cmul 10388   < clt 10521  cle 10522  cn 11486  2c2 11540  3c3 11541  5c5 11543  cdc 11947  cuz 12093  cexp 13279  cdvds 15440  cprime 15844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-seq 13220  df-exp 13280  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-dvds 15441  df-prm 15845
This theorem is referenced by:  5prm  16271  7prm  16273  11prm  16277  13prm  16278  17prm  16279  19prm  16280  23prm  16281
  Copyright terms: Public domain W3C validator