MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmlem1 17082
Description: A quick proof skeleton to show that the numbers less than 25 are prime, by trial division. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmlem1.n ๐‘ โˆˆ โ„•
prmlem1.gt 1 < ๐‘
prmlem1.2 ยฌ 2 โˆฅ ๐‘
prmlem1.3 ยฌ 3 โˆฅ ๐‘
prmlem1.lt ๐‘ < 25
Assertion
Ref Expression
prmlem1 ๐‘ โˆˆ โ„™

Proof of Theorem prmlem1
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmlem1.n . 2 ๐‘ โˆˆ โ„•
2 prmlem1.gt . 2 1 < ๐‘
3 prmlem1.2 . 2 ยฌ 2 โˆฅ ๐‘
4 prmlem1.3 . 2 ยฌ 3 โˆฅ ๐‘
5 eluzelre 12869 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
65resqcld 14127 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) โˆˆ โ„)
7 eluzle 12871 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ 5 โ‰ค ๐‘ฅ)
8 5re 12335 . . . . . . . . 9 5 โˆˆ โ„
9 5nn0 12528 . . . . . . . . . 10 5 โˆˆ โ„•0
109nn0ge0i 12535 . . . . . . . . 9 0 โ‰ค 5
11 le2sq2 14137 . . . . . . . . 9 (((5 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 5) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 5 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (5โ†‘2) โ‰ค (๐‘ฅโ†‘2))
128, 10, 11mpanl12 700 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 5 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (5โ†‘2) โ‰ค (๐‘ฅโ†‘2))
135, 7, 12syl2anc 582 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ (5โ†‘2) โ‰ค (๐‘ฅโ†‘2))
141nnrei 12257 . . . . . . . 8 ๐‘ โˆˆ โ„
158resqcli 14187 . . . . . . . 8 (5โ†‘2) โˆˆ โ„
16 prmlem1.lt . . . . . . . . . 10 ๐‘ < 25
17 5cn 12336 . . . . . . . . . . . 12 5 โˆˆ โ„‚
1817sqvali 14181 . . . . . . . . . . 11 (5โ†‘2) = (5 ยท 5)
19 5t5e25 12816 . . . . . . . . . . 11 (5 ยท 5) = 25
2018, 19eqtri 2755 . . . . . . . . . 10 (5โ†‘2) = 25
2116, 20breqtrri 5177 . . . . . . . . 9 ๐‘ < (5โ†‘2)
22 ltletr 11342 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (5โ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅโ†‘2) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ < (5โ†‘2) โˆง (5โ†‘2) โ‰ค (๐‘ฅโ†‘2)) โ†’ ๐‘ < (๐‘ฅโ†‘2)))
2321, 22mpani 694 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (5โ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅโ†‘2) โˆˆ โ„) โ†’ ((5โ†‘2) โ‰ค (๐‘ฅโ†‘2) โ†’ ๐‘ < (๐‘ฅโ†‘2)))
2414, 15, 23mp3an12 1447 . . . . . . 7 ((๐‘ฅโ†‘2) โˆˆ โ„ โ†’ ((5โ†‘2) โ‰ค (๐‘ฅโ†‘2) โ†’ ๐‘ < (๐‘ฅโ†‘2)))
256, 13, 24sylc 65 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ ๐‘ < (๐‘ฅโ†‘2))
26 ltnle 11329 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅโ†‘2) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ < (๐‘ฅโ†‘2) โ†” ยฌ (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐‘))
2714, 6, 26sylancr 585 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ (๐‘ < (๐‘ฅโ†‘2) โ†” ยฌ (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐‘))
2825, 27mpbid 231 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ ยฌ (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐‘)
2928pm2.21d 121 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐‘ โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘))
3029adantld 489 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐‘) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘))
3130adantl 480 . 2 ((ยฌ 2 โˆฅ 5 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐‘) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘))
321, 2, 3, 4, 31prmlem1a 17081 1 ๐‘ โˆˆ โ„™
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   โˆˆ wcel 2098   โˆ– cdif 3944  {csn 4630   class class class wbr 5150  โ€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  โ„cr 11143  0cc0 11144  1c1 11145   ยท cmul 11149   < clt 11284   โ‰ค cle 11285  โ„•cn 12248  2c2 12303  3c3 12304  5c5 12306  cdc 12713  โ„คโ‰ฅcuz 12858  โ†‘cexp 14064   โˆฅ cdvds 16236  โ„™cprime 16647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9471  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13523  df-seq 14005  df-exp 14065  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-dvds 16237  df-prm 16648
This theorem is referenced by:  5prm  17083  7prm  17085  11prm  17089  13prm  17090  17prm  17091  19prm  17092  23prm  17093
  Copyright terms: Public domain W3C validator