MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmlem1 17048
Description: A quick proof skeleton to show that the numbers less than 25 are prime, by trial division. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmlem1.n ๐‘ โˆˆ โ„•
prmlem1.gt 1 < ๐‘
prmlem1.2 ยฌ 2 โˆฅ ๐‘
prmlem1.3 ยฌ 3 โˆฅ ๐‘
prmlem1.lt ๐‘ < 25
Assertion
Ref Expression
prmlem1 ๐‘ โˆˆ โ„™

Proof of Theorem prmlem1
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmlem1.n . 2 ๐‘ โˆˆ โ„•
2 prmlem1.gt . 2 1 < ๐‘
3 prmlem1.2 . 2 ยฌ 2 โˆฅ ๐‘
4 prmlem1.3 . 2 ยฌ 3 โˆฅ ๐‘
5 eluzelre 12834 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
65resqcld 14093 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) โˆˆ โ„)
7 eluzle 12836 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ 5 โ‰ค ๐‘ฅ)
8 5re 12300 . . . . . . . . 9 5 โˆˆ โ„
9 5nn0 12493 . . . . . . . . . 10 5 โˆˆ โ„•0
109nn0ge0i 12500 . . . . . . . . 9 0 โ‰ค 5
11 le2sq2 14103 . . . . . . . . 9 (((5 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 5) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 5 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (5โ†‘2) โ‰ค (๐‘ฅโ†‘2))
128, 10, 11mpanl12 699 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 5 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (5โ†‘2) โ‰ค (๐‘ฅโ†‘2))
135, 7, 12syl2anc 583 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ (5โ†‘2) โ‰ค (๐‘ฅโ†‘2))
141nnrei 12222 . . . . . . . 8 ๐‘ โˆˆ โ„
158resqcli 14153 . . . . . . . 8 (5โ†‘2) โˆˆ โ„
16 prmlem1.lt . . . . . . . . . 10 ๐‘ < 25
17 5cn 12301 . . . . . . . . . . . 12 5 โˆˆ โ„‚
1817sqvali 14147 . . . . . . . . . . 11 (5โ†‘2) = (5 ยท 5)
19 5t5e25 12781 . . . . . . . . . . 11 (5 ยท 5) = 25
2018, 19eqtri 2754 . . . . . . . . . 10 (5โ†‘2) = 25
2116, 20breqtrri 5168 . . . . . . . . 9 ๐‘ < (5โ†‘2)
22 ltletr 11307 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (5โ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅโ†‘2) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ < (5โ†‘2) โˆง (5โ†‘2) โ‰ค (๐‘ฅโ†‘2)) โ†’ ๐‘ < (๐‘ฅโ†‘2)))
2321, 22mpani 693 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (5โ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅโ†‘2) โˆˆ โ„) โ†’ ((5โ†‘2) โ‰ค (๐‘ฅโ†‘2) โ†’ ๐‘ < (๐‘ฅโ†‘2)))
2414, 15, 23mp3an12 1447 . . . . . . 7 ((๐‘ฅโ†‘2) โˆˆ โ„ โ†’ ((5โ†‘2) โ‰ค (๐‘ฅโ†‘2) โ†’ ๐‘ < (๐‘ฅโ†‘2)))
256, 13, 24sylc 65 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ ๐‘ < (๐‘ฅโ†‘2))
26 ltnle 11294 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅโ†‘2) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ < (๐‘ฅโ†‘2) โ†” ยฌ (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐‘))
2714, 6, 26sylancr 586 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ (๐‘ < (๐‘ฅโ†‘2) โ†” ยฌ (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐‘))
2825, 27mpbid 231 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ ยฌ (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐‘)
2928pm2.21d 121 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐‘ โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘))
3029adantld 490 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐‘) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘))
3130adantl 481 . 2 ((ยฌ 2 โˆฅ 5 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐‘) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘))
321, 2, 3, 4, 31prmlem1a 17047 1 ๐‘ โˆˆ โ„™
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   โˆˆ wcel 2098   โˆ– cdif 3940  {csn 4623   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   ยท cmul 11114   < clt 11249   โ‰ค cle 11250  โ„•cn 12213  2c2 12268  3c3 12269  5c5 12271  cdc 12678  โ„คโ‰ฅcuz 12823  โ†‘cexp 14030   โˆฅ cdvds 16202  โ„™cprime 16613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-seq 13970  df-exp 14031  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16203  df-prm 16614
This theorem is referenced by:  5prm  17049  7prm  17051  11prm  17055  13prm  17056  17prm  17057  19prm  17058  23prm  17059
  Copyright terms: Public domain W3C validator