MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmlem1 16988
Description: A quick proof skeleton to show that the numbers less than 25 are prime, by trial division. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmlem1.n ๐‘ โˆˆ โ„•
prmlem1.gt 1 < ๐‘
prmlem1.2 ยฌ 2 โˆฅ ๐‘
prmlem1.3 ยฌ 3 โˆฅ ๐‘
prmlem1.lt ๐‘ < 25
Assertion
Ref Expression
prmlem1 ๐‘ โˆˆ โ„™

Proof of Theorem prmlem1
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmlem1.n . 2 ๐‘ โˆˆ โ„•
2 prmlem1.gt . 2 1 < ๐‘
3 prmlem1.2 . 2 ยฌ 2 โˆฅ ๐‘
4 prmlem1.3 . 2 ยฌ 3 โˆฅ ๐‘
5 eluzelre 12782 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
65resqcld 14039 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) โˆˆ โ„)
7 eluzle 12784 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ 5 โ‰ค ๐‘ฅ)
8 5re 12248 . . . . . . . . 9 5 โˆˆ โ„
9 5nn0 12441 . . . . . . . . . 10 5 โˆˆ โ„•0
109nn0ge0i 12448 . . . . . . . . 9 0 โ‰ค 5
11 le2sq2 14049 . . . . . . . . 9 (((5 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 5) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 5 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (5โ†‘2) โ‰ค (๐‘ฅโ†‘2))
128, 10, 11mpanl12 701 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 5 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (5โ†‘2) โ‰ค (๐‘ฅโ†‘2))
135, 7, 12syl2anc 585 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ (5โ†‘2) โ‰ค (๐‘ฅโ†‘2))
141nnrei 12170 . . . . . . . 8 ๐‘ โˆˆ โ„
158resqcli 14099 . . . . . . . 8 (5โ†‘2) โˆˆ โ„
16 prmlem1.lt . . . . . . . . . 10 ๐‘ < 25
17 5cn 12249 . . . . . . . . . . . 12 5 โˆˆ โ„‚
1817sqvali 14093 . . . . . . . . . . 11 (5โ†‘2) = (5 ยท 5)
19 5t5e25 12729 . . . . . . . . . . 11 (5 ยท 5) = 25
2018, 19eqtri 2761 . . . . . . . . . 10 (5โ†‘2) = 25
2116, 20breqtrri 5136 . . . . . . . . 9 ๐‘ < (5โ†‘2)
22 ltletr 11255 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (5โ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅโ†‘2) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ < (5โ†‘2) โˆง (5โ†‘2) โ‰ค (๐‘ฅโ†‘2)) โ†’ ๐‘ < (๐‘ฅโ†‘2)))
2321, 22mpani 695 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (5โ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅโ†‘2) โˆˆ โ„) โ†’ ((5โ†‘2) โ‰ค (๐‘ฅโ†‘2) โ†’ ๐‘ < (๐‘ฅโ†‘2)))
2414, 15, 23mp3an12 1452 . . . . . . 7 ((๐‘ฅโ†‘2) โˆˆ โ„ โ†’ ((5โ†‘2) โ‰ค (๐‘ฅโ†‘2) โ†’ ๐‘ < (๐‘ฅโ†‘2)))
256, 13, 24sylc 65 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ ๐‘ < (๐‘ฅโ†‘2))
26 ltnle 11242 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅโ†‘2) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ < (๐‘ฅโ†‘2) โ†” ยฌ (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐‘))
2714, 6, 26sylancr 588 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ (๐‘ < (๐‘ฅโ†‘2) โ†” ยฌ (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐‘))
2825, 27mpbid 231 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ ยฌ (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐‘)
2928pm2.21d 121 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐‘ โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘))
3029adantld 492 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐‘) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘))
3130adantl 483 . 2 ((ยฌ 2 โˆฅ 5 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐‘) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘))
321, 2, 3, 4, 31prmlem1a 16987 1 ๐‘ โˆˆ โ„™
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   โˆˆ wcel 2107   โˆ– cdif 3911  {csn 4590   class class class wbr 5109  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   ยท cmul 11064   < clt 11197   โ‰ค cle 11198  โ„•cn 12161  2c2 12216  3c3 12217  5c5 12219  cdc 12626  โ„คโ‰ฅcuz 12771  โ†‘cexp 13976   โˆฅ cdvds 16144  โ„™cprime 16555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-dvds 16145  df-prm 16556
This theorem is referenced by:  5prm  16989  7prm  16991  11prm  16995  13prm  16996  17prm  16997  19prm  16998  23prm  16999
  Copyright terms: Public domain W3C validator