Theorem prmlem1 17145

Description: A quick proof skeleton to show that the numbers less than 25 are prime, by trial division. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmlem1.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
prmlem1.gt	⊢ 1 < 𝑁
prmlem1.2	⊢ ¬ 2 ∥ 𝑁
prmlem1.3	⊢ ¬ 3 ∥ 𝑁
prmlem1.lt	⊢ 𝑁 < ;25

Assertion

Ref	Expression
prmlem1	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem prmlem1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmlem1.n	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
2		prmlem1.gt	. 2 ⊢ 1 < 𝑁
3		prmlem1.2	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ 𝑁
4		prmlem1.3	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ 𝑁
5		eluzelre 12889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘5) → 𝑥 ∈ ℝ)
6	5	resqcld 14165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘5) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
7		eluzle 12891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘5) → 5 ≤ 𝑥)
8		5re 12353	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℝ
9		5nn0 12546	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℕ0
10	9	nn0ge0i 12553	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 5
11		le2sq2 14175	. . . . . . . . 9 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 5) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 5 ≤ 𝑥)) → (5↑2) ≤ (𝑥↑2))
12	8, 10, 11	mpanl12 702	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 5 ≤ 𝑥) → (5↑2) ≤ (𝑥↑2))
13	5, 7, 12	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘5) → (5↑2) ≤ (𝑥↑2))
14	1	nnrei 12275	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
15	8	resqcli 14225	. . . . . . . 8 ⊢ (5↑2) ∈ ℝ
16		prmlem1.lt	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 < ;25
17		5cn 12354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 ∈ ℂ
18	17	sqvali 14219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
19		5t5e25 12836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 · 5) = ;25
20	18, 19	eqtri 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5↑2) = ;25
21	16, 20	breqtrri 5170	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 < (5↑2)
22		ltletr 11353	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (5↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → ((𝑁 < (5↑2) ∧ (5↑2) ≤ (𝑥↑2)) → 𝑁 < (𝑥↑2)))
23	21, 22	mpani 696	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (5↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → ((5↑2) ≤ (𝑥↑2) → 𝑁 < (𝑥↑2)))
24	14, 15, 23	mp3an12 1453	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥↑2) ∈ ℝ → ((5↑2) ≤ (𝑥↑2) → 𝑁 < (𝑥↑2)))
25	6, 13, 24	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘5) → 𝑁 < (𝑥↑2))
26		ltnle 11340	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → (𝑁 < (𝑥↑2) ↔ ¬ (𝑥↑2) ≤ 𝑁))
27	14, 6, 26	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘5) → (𝑁 < (𝑥↑2) ↔ ¬ (𝑥↑2) ≤ 𝑁))
28	25, 27	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘5) → ¬ (𝑥↑2) ≤ 𝑁)
29	28	pm2.21d 121	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘5) → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
30	29	adantld 490	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘5) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
31	30	adantl 481	. 2 ⊢ ((¬ 2 ∥ 5 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘5)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
32	1, 2, 3, 4, 31	prmlem1a 17144	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3948  {csn 4626   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   < clt 11295   ≤ cle 11296  ℕcn 12266  2c2 12321  3c3 12322  5c5 12324  ;cdc 12733  ℤ_≥cuz 12878  ↑cexp 14102   ∥ cdvds 16290  ℙcprime 16708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-prm 16709

This theorem is referenced by:  5prm  17146  7prm  17148  11prm  17152  13prm  17153  17prm  17154  19prm  17155  23prm  17156