Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmlem1 16441
 Description: A quick proof skeleton to show that the numbers less than 25 are prime, by trial division. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmlem1.n 𝑁 ∈ ℕ
prmlem1.gt 1 < 𝑁
prmlem1.2 ¬ 2 ∥ 𝑁
prmlem1.3 ¬ 3 ∥ 𝑁
prmlem1.lt 𝑁 < 25
Assertion
Ref Expression
prmlem1 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem prmlem1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmlem1.n . 2 𝑁 ∈ ℕ
2 prmlem1.gt . 2 1 < 𝑁
3 prmlem1.2 . 2 ¬ 2 ∥ 𝑁
4 prmlem1.3 . 2 ¬ 3 ∥ 𝑁
5 eluzelre 12251 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → 𝑥 ∈ ℝ)
65resqcld 13616 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
7 eluzle 12253 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → 5 ≤ 𝑥)
8 5re 11721 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℝ
9 5nn0 11914 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℕ0
109nn0ge0i 11921 . . . . . . . . 9 0 ≤ 5
11 le2sq2 13505 . . . . . . . . 9 (((5 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 5) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 5 ≤ 𝑥)) → (5↑2) ≤ (𝑥↑2))
128, 10, 11mpanl12 701 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 5 ≤ 𝑥) → (5↑2) ≤ (𝑥↑2))
135, 7, 12syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → (5↑2) ≤ (𝑥↑2))
141nnrei 11643 . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℝ
158resqcli 13554 . . . . . . . 8 (5↑2) ∈ ℝ
16 prmlem1.lt . . . . . . . . . 10 𝑁 < 25
17 5cn 11722 . . . . . . . . . . . 12 5 ∈ ℂ
1817sqvali 13548 . . . . . . . . . . 11 (5↑2) = (5 · 5)
19 5t5e25 12198 . . . . . . . . . . 11 (5 · 5) = 25
2018, 19eqtri 2847 . . . . . . . . . 10 (5↑2) = 25
2116, 20breqtrri 5079 . . . . . . . . 9 𝑁 < (5↑2)
22 ltletr 10730 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (5↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → ((𝑁 < (5↑2) ∧ (5↑2) ≤ (𝑥↑2)) → 𝑁 < (𝑥↑2)))
2321, 22mpani 695 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (5↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → ((5↑2) ≤ (𝑥↑2) → 𝑁 < (𝑥↑2)))
2414, 15, 23mp3an12 1448 . . . . . . 7 ((𝑥↑2) ∈ ℝ → ((5↑2) ≤ (𝑥↑2) → 𝑁 < (𝑥↑2)))
256, 13, 24sylc 65 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → 𝑁 < (𝑥↑2))
26 ltnle 10718 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → (𝑁 < (𝑥↑2) ↔ ¬ (𝑥↑2) ≤ 𝑁))
2714, 6, 26sylancr 590 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → (𝑁 < (𝑥↑2) ↔ ¬ (𝑥↑2) ≤ 𝑁))
2825, 27mpbid 235 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → ¬ (𝑥↑2) ≤ 𝑁)
2928pm2.21d 121 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥𝑁))
3029adantld 494 . . 3 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
3130adantl 485 . 2 ((¬ 2 ∥ 5 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘5)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
321, 2, 3, 4, 31prmlem1a 16440 1 𝑁 ∈ ℙ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2115   ∖ cdif 3916  {csn 4550   class class class wbr 5052  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  ℝcr 10534  0cc0 10535  1c1 10536   · cmul 10540   < clt 10673   ≤ cle 10674  ℕcn 11634  2c2 11689  3c3 11690  5c5 11692  ;cdc 12095  ℤ≥cuz 12240  ↑cexp 13434   ∥ cdvds 15607  ℙcprime 16013 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-sup 8903  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-rp 12387  df-fz 12895  df-seq 13374  df-exp 13435  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-dvds 15608  df-prm 16014 This theorem is referenced by:  5prm  16442  7prm  16444  11prm  16448  13prm  16449  17prm  16450  19prm  16451  23prm  16452
 Copyright terms: Public domain W3C validator