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Theorem prmlem2 17153
Description: Our last proving session got as far as 25 because we started with the two "bootstrap" primes 2 and 3, and the next prime is 5, so knowing that 2 and 3 are prime and 4 is not allows to cover the numbers less than 5↑2 = 25. Additionally, nonprimes are "easy", so we can extend this range of known prime/nonprimes all the way until 29, which is the first prime larger than 25. Thus, in this lemma we extend another blanket out to 29↑2 = 841, from which we can prove even more primes. If we wanted, we could keep doing this, but the goal is Bertrand's postulate, and for that we only need a few large primes - we don't need to find them all, as we have been doing thus far. So after this blanket runs out, we'll have to switch to another method (see 1259prm 17169).

As a side note, you can see the pattern of the primes in the indentation pattern of this lemma! (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Hypotheses
Ref Expression
prmlem2.n 𝑁 ∈ ℕ
prmlem2.lt 𝑁 < 841
prmlem2.gt 1 < 𝑁
prmlem2.2 ¬ 2 ∥ 𝑁
prmlem2.3 ¬ 3 ∥ 𝑁
prmlem2.5 ¬ 5 ∥ 𝑁
prmlem2.7 ¬ 7 ∥ 𝑁
prmlem2.11 ¬ 11 ∥ 𝑁
prmlem2.13 ¬ 13 ∥ 𝑁
prmlem2.17 ¬ 17 ∥ 𝑁
prmlem2.19 ¬ 19 ∥ 𝑁
prmlem2.23 ¬ 23 ∥ 𝑁
Assertion
Ref Expression
prmlem2 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem prmlem2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmlem2.n . 2 𝑁 ∈ ℕ
2 prmlem2.gt . 2 1 < 𝑁
3 prmlem2.2 . 2 ¬ 2 ∥ 𝑁
4 prmlem2.3 . 2 ¬ 3 ∥ 𝑁
5 eluzelre 12886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (ℤ29) → 𝑥 ∈ ℝ)
65resqcld 14161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (ℤ29) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
7 eluzle 12888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (ℤ29) → 29 ≤ 𝑥)
8 2nn0 12540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℕ0
9 9nn0 12547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 9 ∈ ℕ0
108, 9deccl 12745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 29 ∈ ℕ0
1110nn0rei 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 29 ∈ ℝ
1210nn0ge0i 12550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ≤ 29
13 le2sq2 14171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((29 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 29) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 29 ≤ 𝑥)) → (29↑2) ≤ (𝑥↑2))
1411, 12, 13mpanl12 702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 29 ≤ 𝑥) → (29↑2) ≤ (𝑥↑2))
155, 7, 14syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (ℤ29) → (29↑2) ≤ (𝑥↑2))
161nnrei 12272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑁 ∈ ℝ
1711resqcli 14221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (29↑2) ∈ ℝ
18 prmlem2.lt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑁 < 841
1910nn0cni 12535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 29 ∈ ℂ
2019sqvali 14215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (29↑2) = (29 · 29)
21 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 29 = 29
22 1nn0 12539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ ℕ0
23 6nn0 12544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 6 ∈ ℕ0
248, 23deccl 12745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 26 ∈ ℕ0
25 5nn0 12543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5 ∈ ℕ0
26 8nn0 12546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 8 ∈ ℕ0
27192timesi 12401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (2 · 29) = (29 + 29)
28 2p2e4 12398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (2 + 2) = 4
2928oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((2 + 2) + 1) = (4 + 1)
30 4p1e5 12409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (4 + 1) = 5
3129, 30eqtri 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((2 + 2) + 1) = 5
32 9p9e18 12824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (9 + 9) = 18
338, 9, 8, 9, 21, 21, 31, 26, 32decaddc 12785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (29 + 29) = 58
3427, 33eqtri 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (2 · 29) = 58
35 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 26 = 26
36 5p2e7 12419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (5 + 2) = 7
3736oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((5 + 2) + 1) = (7 + 1)
38 7p1e8 12412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (7 + 1) = 8
3937, 38eqtri 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((5 + 2) + 1) = 8
40 4nn0 12542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4 ∈ ℕ0
41 8p6e14 12814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (8 + 6) = 14
4225, 26, 8, 23, 34, 35, 39, 40, 41decaddc 12785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((2 · 29) + 26) = 84
43 9t2e18 12852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (9 · 2) = 18
44 1p1e2 12388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (1 + 1) = 2
45 8p8e16 12816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (8 + 8) = 16
4622, 26, 26, 43, 44, 23, 45decaddci 12791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((9 · 2) + 8) = 26
47 9t9e81 12859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (9 · 9) = 81
489, 8, 9, 21, 22, 26, 46, 47decmul2c 12796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (9 · 29) = 261
4910, 8, 9, 21, 22, 24, 42, 48decmul1c 12795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (29 · 29) = 841
5020, 49eqtri 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (29↑2) = 841
5118, 50breqtrri 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑁 < (29↑2)
52 ltletr 11350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (29↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → ((𝑁 < (29↑2) ∧ (29↑2) ≤ (𝑥↑2)) → 𝑁 < (𝑥↑2)))
5351, 52mpani 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (29↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → ((29↑2) ≤ (𝑥↑2) → 𝑁 < (𝑥↑2)))
5416, 17, 53mp3an12 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥↑2) ∈ ℝ → ((29↑2) ≤ (𝑥↑2) → 𝑁 < (𝑥↑2)))
556, 15, 54sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (ℤ29) → 𝑁 < (𝑥↑2))
56 ltnle 11337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → (𝑁 < (𝑥↑2) ↔ ¬ (𝑥↑2) ≤ 𝑁))
5716, 6, 56sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (ℤ29) → (𝑁 < (𝑥↑2) ↔ ¬ (𝑥↑2) ≤ 𝑁))
5855, 57mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (ℤ29) → ¬ (𝑥↑2) ≤ 𝑁)
5958pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (ℤ29) → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥𝑁))
6059adantld 490 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (ℤ29) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
6160adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ 2 ∥ 29 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ29)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
62 9nn 12361 . . . . . . . . . . . . . . . 16 9 ∈ ℕ
63 3nn 12342 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℕ
64 1lt9 12469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 < 9
65 1lt3 12436 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 < 3
66 9t3e27 12853 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (9 · 3) = 27
6762, 63, 64, 65, 66nprmi 16722 . . . . . . . . . . . . . . 15 ¬ 27 ∈ ℙ
6867pm2.21i 119 . . . . . . . . . . . . . 14 (27 ∈ ℙ → ¬ 27 ∥ 𝑁)
69 7nn0 12545 . . . . . . . . . . . . . . 15 7 ∈ ℕ0
70 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 27 = 27
71 7p2e9 12424 . . . . . . . . . . . . . . 15 (7 + 2) = 9
728, 69, 8, 70, 71decaddi 12790 . . . . . . . . . . . . . 14 (27 + 2) = 29
7361, 68, 72prmlem0 17139 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ 2 ∥ 27 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ27)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
74 5nn 12349 . . . . . . . . . . . . . . 15 5 ∈ ℕ
75 1lt5 12443 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 5
76 5t5e25 12833 . . . . . . . . . . . . . . 15 (5 · 5) = 25
7774, 74, 75, 75, 76nprmi 16722 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 25 ∈ ℙ
7877pm2.21i 119 . . . . . . . . . . . . 13 (25 ∈ ℙ → ¬ 25 ∥ 𝑁)
79 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 25 = 25
808, 25, 8, 79, 36decaddi 12790 . . . . . . . . . . . . 13 (25 + 2) = 27
8173, 78, 80prmlem0 17139 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 2 ∥ 25 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ25)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
82 prmlem2.23 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 23 ∥ 𝑁
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (23 ∈ ℙ → ¬ 23 ∥ 𝑁)
84 3nn0 12541 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℕ0
85 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . 13 23 = 23
86 3p2e5 12414 . . . . . . . . . . . . 13 (3 + 2) = 5
878, 84, 8, 85, 86decaddi 12790 . . . . . . . . . . . 12 (23 + 2) = 25
8881, 83, 87prmlem0 17139 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 2 ∥ 23 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ23)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
89 7nn 12355 . . . . . . . . . . . . 13 7 ∈ ℕ
90 1lt7 12454 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 7
91 7t3e21 12840 . . . . . . . . . . . . 13 (7 · 3) = 21
9289, 63, 90, 65, 91nprmi 16722 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 21 ∈ ℙ
9392pm2.21i 119 . . . . . . . . . . 11 (21 ∈ ℙ → ¬ 21 ∥ 𝑁)
94 eqid 2734 . . . . . . . . . . . 12 21 = 21
95 1p2e3 12406 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 2) = 3
968, 22, 8, 94, 95decaddi 12790 . . . . . . . . . . 11 (21 + 2) = 23
9788, 93, 96prmlem0 17139 . . . . . . . . . 10 ((¬ 2 ∥ 21 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ21)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
98 prmlem2.19 . . . . . . . . . . 11 ¬ 19 ∥ 𝑁
9998a1i 11 . . . . . . . . . 10 (19 ∈ ℙ → ¬ 19 ∥ 𝑁)
100 eqid 2734 . . . . . . . . . . 11 19 = 19
101 9p2e11 12817 . . . . . . . . . . 11 (9 + 2) = 11
10222, 9, 8, 100, 44, 22, 101decaddci 12791 . . . . . . . . . 10 (19 + 2) = 21
10397, 99, 102prmlem0 17139 . . . . . . . . 9 ((¬ 2 ∥ 19 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ19)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
104 prmlem2.17 . . . . . . . . . 10 ¬ 17 ∥ 𝑁
105104a1i 11 . . . . . . . . 9 (17 ∈ ℙ → ¬ 17 ∥ 𝑁)
106 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 17 = 17
10722, 69, 8, 106, 71decaddi 12790 . . . . . . . . 9 (17 + 2) = 19
108103, 105, 107prmlem0 17139 . . . . . . . 8 ((¬ 2 ∥ 17 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ17)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
109 5t3e15 12831 . . . . . . . . . 10 (5 · 3) = 15
11074, 63, 75, 65, 109nprmi 16722 . . . . . . . . 9 ¬ 15 ∈ ℙ
111110pm2.21i 119 . . . . . . . 8 (15 ∈ ℙ → ¬ 15 ∥ 𝑁)
112 eqid 2734 . . . . . . . . 9 15 = 15
11322, 25, 8, 112, 36decaddi 12790 . . . . . . . 8 (15 + 2) = 17
114108, 111, 113prmlem0 17139 . . . . . . 7 ((¬ 2 ∥ 15 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ15)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
115 prmlem2.13 . . . . . . . 8 ¬ 13 ∥ 𝑁
116115a1i 11 . . . . . . 7 (13 ∈ ℙ → ¬ 13 ∥ 𝑁)
117 eqid 2734 . . . . . . . 8 13 = 13
11822, 84, 8, 117, 86decaddi 12790 . . . . . . 7 (13 + 2) = 15
119114, 116, 118prmlem0 17139 . . . . . 6 ((¬ 2 ∥ 13 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ13)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
120 prmlem2.11 . . . . . . 7 ¬ 11 ∥ 𝑁
121120a1i 11 . . . . . 6 (11 ∈ ℙ → ¬ 11 ∥ 𝑁)
122 eqid 2734 . . . . . . 7 11 = 11
12322, 22, 8, 122, 95decaddi 12790 . . . . . 6 (11 + 2) = 13
124119, 121, 123prmlem0 17139 . . . . 5 ((¬ 2 ∥ 11 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ11)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
125 9nprm 17146 . . . . . 6 ¬ 9 ∈ ℙ
126125pm2.21i 119 . . . . 5 (9 ∈ ℙ → ¬ 9 ∥ 𝑁)
127124, 126, 101prmlem0 17139 . . . 4 ((¬ 2 ∥ 9 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘9)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
128 prmlem2.7 . . . . 5 ¬ 7 ∥ 𝑁
129128a1i 11 . . . 4 (7 ∈ ℙ → ¬ 7 ∥ 𝑁)
130127, 129, 71prmlem0 17139 . . 3 ((¬ 2 ∥ 7 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘7)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
131 prmlem2.5 . . . 4 ¬ 5 ∥ 𝑁
132131a1i 11 . . 3 (5 ∈ ℙ → ¬ 5 ∥ 𝑁)
133130, 132, 36prmlem0 17139 . 2 ((¬ 2 ∥ 5 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘5)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
1341, 2, 3, 4, 133prmlem1a 17140 1 𝑁 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086  wcel 2105  cdif 3959  {csn 4630   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   < clt 11292  cle 11293  cn 12263  2c2 12318  3c3 12319  4c4 12320  5c5 12321  6c6 12322  7c7 12323  8c8 12324  9c9 12325  cdc 12730  cuz 12875  cexp 14098  cdvds 16286  cprime 16704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-dvds 16287  df-prm 16705
This theorem is referenced by:  37prm  17154  43prm  17155  83prm  17156  139prm  17157  163prm  17158  317prm  17159  631prm  17160  257prm  47485  139prmALT  47520  127prm  47523
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