Theorem prmlem2 16229

Description: Our last proving session got as far as 25 because we started with the two "bootstrap" primes 2 and 3, and the next prime is 5, so knowing that 2 and 3 are prime and 4 is not allows us to cover the numbers less than 5↑2 = 25. Additionally, nonprimes are "easy", so we can extend this range of known prime/nonprimes all the way until 29, which is the first prime larger than 25. Thus, in this lemma we extend another blanket out to 29↑2 = 841, from which we can prove even more primes. If we wanted, we could keep doing this, but the goal is Bertrand's postulate, and for that we only need a few large primes - we don't need to find them all, as we have been doing thus far. So after this blanket runs out, we'll have to switch to another method (see 1259prm 16245).

As a side note, you can see the pattern of the primes in the indentation pattern of this lemma! (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmlem2.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
prmlem2.lt	⊢ 𝑁 < ;;841
prmlem2.gt	⊢ 1 < 𝑁
prmlem2.2	⊢ ¬ 2 ∥ 𝑁
prmlem2.3	⊢ ¬ 3 ∥ 𝑁
prmlem2.5	⊢ ¬ 5 ∥ 𝑁
prmlem2.7	⊢ ¬ 7 ∥ 𝑁
prmlem2.11	⊢ ¬ ;11 ∥ 𝑁
prmlem2.13	⊢ ¬ ;13 ∥ 𝑁
prmlem2.17	⊢ ¬ ;17 ∥ 𝑁
prmlem2.19	⊢ ¬ ;19 ∥ 𝑁
prmlem2.23	⊢ ¬ ;23 ∥ 𝑁

Assertion

Ref	Expression
prmlem2	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem prmlem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmlem2.n	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
2		prmlem2.gt	. 2 ⊢ 1 < 𝑁
3		prmlem2.2	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ 𝑁
4		prmlem2.3	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ 𝑁
5		eluzelre 12007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘;29) → 𝑥 ∈ ℝ)
6	5	resqcld 13360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘;29) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
7		eluzle 12009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘;29) → ;29 ≤ 𝑥)
8		2nn0 11665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℕ0
9		9nn0 11672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 9 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 11864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ;29 ∈ ℕ0
11	10	nn0rei 11658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ;29 ∈ ℝ
12	10	nn0ge0i 11675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 0 ≤ ;29
13		le2sq2 13262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((;29 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ;29) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ;29 ≤ 𝑥)) → (;29↑2) ≤ (𝑥↑2))
14	11, 12, 13	mpanl12 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ;29 ≤ 𝑥) → (;29↑2) ≤ (𝑥↑2))
15	5, 7, 14	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘;29) → (;29↑2) ≤ (𝑥↑2))
16	1	nnrei 11388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
17	11	resqcli 13272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (;29↑2) ∈ ℝ
18		prmlem2.lt	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑁 < ;;841
19	10	nn0cni 11659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ;29 ∈ ℂ
20	19	sqvali 13266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (;29↑2) = (;29 · ;29)
21		eqid 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ;29 = ;29
22		1nn0 11664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		6nn0 11669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 6 ∈ ℕ0
24	8, 23	deccl 11864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ;26 ∈ ℕ0
25		5nn0 11668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 5 ∈ ℕ0
26		8nn0 11671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 8 ∈ ℕ0
27	19	2timesi 11524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (2 · ;29) = (;29 + ;29)
28		2p2e4 11521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (2 + 2) = 4
29	28	oveq1i 6934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((2 + 2) + 1) = (4 + 1)
30		4p1e5 11532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (4 + 1) = 5
31	29, 30	eqtri 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((2 + 2) + 1) = 5
32		9p9e18 11945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (9 + 9) = ;18
33	8, 9, 8, 9, 21, 21, 31, 26, 32	decaddc 11905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (;29 + ;29) = ;58
34	27, 33	eqtri 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (2 · ;29) = ;58
35		eqid 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ;26 = ;26
36		5p2e7 11542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (5 + 2) = 7
37	36	oveq1i 6934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((5 + 2) + 1) = (7 + 1)
38		7p1e8 11535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (7 + 1) = 8
39	37, 38	eqtri 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((5 + 2) + 1) = 8
40		4nn0 11667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 4 ∈ ℕ0
41		8p6e14 11935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (8 + 6) = ;14
42	25, 26, 8, 23, 34, 35, 39, 40, 41	decaddc 11905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((2 · ;29) + ;26) = ;84
43		9t2e18 11973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (9 · 2) = ;18
44		1p1e2 11511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (1 + 1) = 2
45		8p8e16 11937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (8 + 8) = ;16
46	22, 26, 26, 43, 44, 23, 45	decaddci 11911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((9 · 2) + 8) = ;26
47		9t9e81 11980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (9 · 9) = ;81
48	9, 8, 9, 21, 22, 26, 46, 47	decmul2c 11917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (9 · ;29) = ;;261
49	10, 8, 9, 21, 22, 24, 42, 48	decmul1c 11916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (;29 · ;29) = ;;841
50	20, 49	eqtri 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (;29↑2) = ;;841
51	18, 50	breqtrri 4915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑁 < (;29↑2)
52		ltletr 10470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (;29↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → ((𝑁 < (;29↑2) ∧ (;29↑2) ≤ (𝑥↑2)) → 𝑁 < (𝑥↑2)))
53	51, 52	mpani 686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (;29↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → ((;29↑2) ≤ (𝑥↑2) → 𝑁 < (𝑥↑2)))
54	16, 17, 53	mp3an12 1524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥↑2) ∈ ℝ → ((;29↑2) ≤ (𝑥↑2) → 𝑁 < (𝑥↑2)))
55	6, 15, 54	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘;29) → 𝑁 < (𝑥↑2))
56		ltnle 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → (𝑁 < (𝑥↑2) ↔ ¬ (𝑥↑2) ≤ 𝑁))
57	16, 6, 56	sylancr 581	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘;29) → (𝑁 < (𝑥↑2) ↔ ¬ (𝑥↑2) ≤ 𝑁))
58	55, 57	mpbid 224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘;29) → ¬ (𝑥↑2) ≤ 𝑁)
59	58	pm2.21d 119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘;29) → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
60	59	adantld 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘;29) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
61	60	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((¬ 2 ∥ ;29 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘;29)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
62		9nn 11483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 9 ∈ ℕ
63		3nn 11458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℕ
64		1lt9 11592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 < 9
65		1lt3 11559	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 < 3
66		9t3e27 11974	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (9 · 3) = ;27
67	62, 63, 64, 65, 66	nprmi 15811	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ¬ ;27 ∈ ℙ
68	67	pm2.21i 117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (;27 ∈ ℙ → ¬ ;27 ∥ 𝑁)
69		7nn0 11670	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 7 ∈ ℕ0
70		eqid 2778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;27 = ;27
71		7p2e9 11547	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (7 + 2) = 9
72	8, 69, 8, 70, 71	decaddi 11910	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (;27 + 2) = ;29
73	61, 68, 72	prmlem0 16215	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((¬ 2 ∥ ;27 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘;27)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
74		5nn 11467	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ∈ ℕ
75		1lt5 11566	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 < 5
76		5t5e25 11954	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 · 5) = ;25
77	74, 74, 75, 75, 76	nprmi 15811	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ ;25 ∈ ℙ
78	77	pm2.21i 117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;25 ∈ ℙ → ¬ ;25 ∥ 𝑁)
79		eqid 2778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;25 = ;25
80	8, 25, 8, 79, 36	decaddi 11910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;25 + 2) = ;27
81	73, 78, 80	prmlem0 16215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 2 ∥ ;25 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘;25)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
82		prmlem2.23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ ;23 ∥ 𝑁
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;23 ∈ ℙ → ¬ ;23 ∥ 𝑁)
84		3nn0 11666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℕ0
85		eqid 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;23 = ;23
86		3p2e5 11537	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 + 2) = 5
87	8, 84, 8, 85, 86	decaddi 11910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;23 + 2) = ;25
88	81, 83, 87	prmlem0 16215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 2 ∥ ;23 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘;23)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
89		7nn 11475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 7 ∈ ℕ
90		1lt7 11577	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < 7
91		7t3e21 11961	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (7 · 3) = ;21
92	89, 63, 90, 65, 91	nprmi 15811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ ;21 ∈ ℙ
93	92	pm2.21i 117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;21 ∈ ℙ → ¬ ;21 ∥ 𝑁)
94		eqid 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;21 = ;21
95		1p2e3 11529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 + 2) = 3
96	8, 22, 8, 94, 95	decaddi 11910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;21 + 2) = ;23
97	88, 93, 96	prmlem0 16215	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 2 ∥ ;21 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘;21)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
98		prmlem2.19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ ;19 ∥ 𝑁
99	98	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;19 ∈ ℙ → ¬ ;19 ∥ 𝑁)
100		eqid 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;19 = ;19
101		9p2e11 11938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 + 2) = ;11
102	22, 9, 8, 100, 44, 22, 101	decaddci 11911	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;19 + 2) = ;21
103	97, 99, 102	prmlem0 16215	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 2 ∥ ;19 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘;19)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
104		prmlem2.17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ;17 ∥ 𝑁
105	104	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (;17 ∈ ℙ → ¬ ;17 ∥ 𝑁)
106		eqid 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;17 = ;17
107	22, 69, 8, 106, 71	decaddi 11910	. . . . . . . . 9 ⊢ (;17 + 2) = ;19
108	103, 105, 107	prmlem0 16215	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 2 ∥ ;17 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘;17)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
109		5t3e15 11952	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 3) = ;15
110	74, 63, 75, 65, 109	nprmi 15811	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ;15 ∈ ℙ
111	110	pm2.21i 117	. . . . . . . 8 ⊢ (;15 ∈ ℙ → ¬ ;15 ∥ 𝑁)
112		eqid 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ;15 = ;15
113	22, 25, 8, 112, 36	decaddi 11910	. . . . . . . 8 ⊢ (;15 + 2) = ;17
114	108, 111, 113	prmlem0 16215	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 2 ∥ ;15 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘;15)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
115		prmlem2.13	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ;13 ∥ 𝑁
116	115	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (;13 ∈ ℙ → ¬ ;13 ∥ 𝑁)
117		eqid 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 = ;13
118	22, 84, 8, 117, 86	decaddi 11910	. . . . . . 7 ⊢ (;13 + 2) = ;15
119	114, 116, 118	prmlem0 16215	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 2 ∥ ;13 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘;13)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
120		prmlem2.11	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ;11 ∥ 𝑁
121	120	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (;11 ∈ ℙ → ¬ ;11 ∥ 𝑁)
122		eqid 2778	. . . . . . 7 ⊢ ;11 = ;11
123	22, 22, 8, 122, 95	decaddi 11910	. . . . . 6 ⊢ (;11 + 2) = ;13
124	119, 121, 123	prmlem0 16215	. . . . 5 ⊢ ((¬ 2 ∥ ;11 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘;11)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
125		9nprm 16222	. . . . . 6 ⊢ ¬ 9 ∈ ℙ
126	125	pm2.21i 117	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℙ → ¬ 9 ∥ 𝑁)
127	124, 126, 101	prmlem0 16215	. . . 4 ⊢ ((¬ 2 ∥ 9 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘9)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
128		prmlem2.7	. . . . 5 ⊢ ¬ 7 ∥ 𝑁
129	128	a1i 11	. . . 4 ⊢ (7 ∈ ℙ → ¬ 7 ∥ 𝑁)
130	127, 129, 71	prmlem0 16215	. . 3 ⊢ ((¬ 2 ∥ 7 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘7)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
131		prmlem2.5	. . . 4 ⊢ ¬ 5 ∥ 𝑁
132	131	a1i 11	. . 3 ⊢ (5 ∈ ℙ → ¬ 5 ∥ 𝑁)
133	130, 132, 36	prmlem0 16215	. 2 ⊢ ((¬ 2 ∥ 5 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘5)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
134	1, 2, 3, 4, 133	prmlem1a 16216	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   ∈ wcel 2107   ∖ cdif 3789  {csn 4398   class class class wbr 4888  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  ℝcr 10273  0cc0 10274  1c1 10275   + caddc 10277   · cmul 10279   < clt 10413   ≤ cle 10414  ℕcn 11378  2c2 11434  3c3 11435  4c4 11436  5c5 11437  6c6 11438  7c7 11439  8c8 11440  9c9 11441  ;cdc 11849  ℤ_≥cuz 11996  ↑cexp 13182   ∥ cdvds 15391  ℙcprime 15794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-sup 8638  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-4 11444  df-5 11445  df-6 11446  df-7 11447  df-8 11448  df-9 11449  df-n0 11647  df-z 11733  df-dec 11850  df-uz 11997  df-rp 12142  df-fz 12648  df-seq 13124  df-exp 13183  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387  df-dvds 15392  df-prm 15795

This theorem is referenced by:  37prm  16230  43prm  16231  83prm  16232  139prm  16233  163prm  16234  317prm  16235  631prm  16236  257prm  42504  139prmALT  42542  127prm  42546