MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmlem2 17050
Description: Our last proving session got as far as 25 because we started with the two "bootstrap" primes 2 and 3, and the next prime is 5, so knowing that 2 and 3 are prime and 4 is not allows to cover the numbers less than 5โ†‘2 = 25. Additionally, nonprimes are "easy", so we can extend this range of known prime/nonprimes all the way until 29, which is the first prime larger than 25. Thus, in this lemma we extend another blanket out to 29โ†‘2 = 841, from which we can prove even more primes. If we wanted, we could keep doing this, but the goal is Bertrand's postulate, and for that we only need a few large primes - we don't need to find them all, as we have been doing thus far. So after this blanket runs out, we'll have to switch to another method (see 1259prm 17066).

As a side note, you can see the pattern of the primes in the indentation pattern of this lemma! (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Hypotheses
Ref Expression
prmlem2.n ๐‘ โˆˆ โ„•
prmlem2.lt ๐‘ < 841
prmlem2.gt 1 < ๐‘
prmlem2.2 ยฌ 2 โˆฅ ๐‘
prmlem2.3 ยฌ 3 โˆฅ ๐‘
prmlem2.5 ยฌ 5 โˆฅ ๐‘
prmlem2.7 ยฌ 7 โˆฅ ๐‘
prmlem2.11 ยฌ 11 โˆฅ ๐‘
prmlem2.13 ยฌ 13 โˆฅ ๐‘
prmlem2.17 ยฌ 17 โˆฅ ๐‘
prmlem2.19 ยฌ 19 โˆฅ ๐‘
prmlem2.23 ยฌ 23 โˆฅ ๐‘
Assertion
Ref Expression
prmlem2 ๐‘ โˆˆ โ„™

Proof of Theorem prmlem2
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmlem2.n . 2 ๐‘ โˆˆ โ„•
2 prmlem2.gt . 2 1 < ๐‘
3 prmlem2.2 . 2 ยฌ 2 โˆฅ ๐‘
4 prmlem2.3 . 2 ยฌ 3 โˆฅ ๐‘
5 eluzelre 12830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜29) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
65resqcld 14087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜29) โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) โˆˆ โ„)
7 eluzle 12832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜29) โ†’ 29 โ‰ค ๐‘ฅ)
8 2nn0 12486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 โˆˆ โ„•0
9 9nn0 12493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 9 โˆˆ โ„•0
108, 9deccl 12689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 29 โˆˆ โ„•0
1110nn0rei 12480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 29 โˆˆ โ„
1210nn0ge0i 12496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 โ‰ค 29
13 le2sq2 14097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((29 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 29) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 29 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (29โ†‘2) โ‰ค (๐‘ฅโ†‘2))
1411, 12, 13mpanl12 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 29 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (29โ†‘2) โ‰ค (๐‘ฅโ†‘2))
155, 7, 14syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜29) โ†’ (29โ†‘2) โ‰ค (๐‘ฅโ†‘2))
161nnrei 12218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ๐‘ โˆˆ โ„
1711resqcli 14147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (29โ†‘2) โˆˆ โ„
18 prmlem2.lt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ๐‘ < 841
1910nn0cni 12481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 29 โˆˆ โ„‚
2019sqvali 14141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (29โ†‘2) = (29 ยท 29)
21 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 29 = 29
22 1nn0 12485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 โˆˆ โ„•0
23 6nn0 12490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 6 โˆˆ โ„•0
248, 23deccl 12689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 26 โˆˆ โ„•0
25 5nn0 12489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5 โˆˆ โ„•0
26 8nn0 12492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 8 โˆˆ โ„•0
27192timesi 12347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (2 ยท 29) = (29 + 29)
28 2p2e4 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (2 + 2) = 4
2928oveq1i 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((2 + 2) + 1) = (4 + 1)
30 4p1e5 12355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (4 + 1) = 5
3129, 30eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((2 + 2) + 1) = 5
32 9p9e18 12768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (9 + 9) = 18
338, 9, 8, 9, 21, 21, 31, 26, 32decaddc 12729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (29 + 29) = 58
3427, 33eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (2 ยท 29) = 58
35 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 26 = 26
36 5p2e7 12365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (5 + 2) = 7
3736oveq1i 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((5 + 2) + 1) = (7 + 1)
38 7p1e8 12358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (7 + 1) = 8
3937, 38eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((5 + 2) + 1) = 8
40 4nn0 12488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4 โˆˆ โ„•0
41 8p6e14 12758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (8 + 6) = 14
4225, 26, 8, 23, 34, 35, 39, 40, 41decaddc 12729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((2 ยท 29) + 26) = 84
43 9t2e18 12796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (9 ยท 2) = 18
44 1p1e2 12334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (1 + 1) = 2
45 8p8e16 12760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (8 + 8) = 16
4622, 26, 26, 43, 44, 23, 45decaddci 12735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((9 ยท 2) + 8) = 26
47 9t9e81 12803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (9 ยท 9) = 81
489, 8, 9, 21, 22, 26, 46, 47decmul2c 12740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (9 ยท 29) = 261
4910, 8, 9, 21, 22, 24, 42, 48decmul1c 12739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (29 ยท 29) = 841
5020, 49eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (29โ†‘2) = 841
5118, 50breqtrri 5175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ๐‘ < (29โ†‘2)
52 ltletr 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (29โ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅโ†‘2) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ < (29โ†‘2) โˆง (29โ†‘2) โ‰ค (๐‘ฅโ†‘2)) โ†’ ๐‘ < (๐‘ฅโ†‘2)))
5351, 52mpani 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (29โ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅโ†‘2) โˆˆ โ„) โ†’ ((29โ†‘2) โ‰ค (๐‘ฅโ†‘2) โ†’ ๐‘ < (๐‘ฅโ†‘2)))
5416, 17, 53mp3an12 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฅโ†‘2) โˆˆ โ„ โ†’ ((29โ†‘2) โ‰ค (๐‘ฅโ†‘2) โ†’ ๐‘ < (๐‘ฅโ†‘2)))
556, 15, 54sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜29) โ†’ ๐‘ < (๐‘ฅโ†‘2))
56 ltnle 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅโ†‘2) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ < (๐‘ฅโ†‘2) โ†” ยฌ (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐‘))
5716, 6, 56sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜29) โ†’ (๐‘ < (๐‘ฅโ†‘2) โ†” ยฌ (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐‘))
5855, 57mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜29) โ†’ ยฌ (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐‘)
5958pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜29) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐‘ โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘))
6059adantld 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜29) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐‘) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘))
6160adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ยฌ 2 โˆฅ 29 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜29)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐‘) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘))
62 9nn 12307 . . . . . . . . . . . . . . . 16 9 โˆˆ โ„•
63 3nn 12288 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 โˆˆ โ„•
64 1lt9 12415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 < 9
65 1lt3 12382 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 < 3
66 9t3e27 12797 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (9 ยท 3) = 27
6762, 63, 64, 65, 66nprmi 16623 . . . . . . . . . . . . . . 15 ยฌ 27 โˆˆ โ„™
6867pm2.21i 119 . . . . . . . . . . . . . 14 (27 โˆˆ โ„™ โ†’ ยฌ 27 โˆฅ ๐‘)
69 7nn0 12491 . . . . . . . . . . . . . . 15 7 โˆˆ โ„•0
70 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 27 = 27
71 7p2e9 12370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (7 + 2) = 9
728, 69, 8, 70, 71decaddi 12734 . . . . . . . . . . . . . 14 (27 + 2) = 29
7361, 68, 72prmlem0 17036 . . . . . . . . . . . . 13 ((ยฌ 2 โˆฅ 27 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜27)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐‘) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘))
74 5nn 12295 . . . . . . . . . . . . . . 15 5 โˆˆ โ„•
75 1lt5 12389 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 5
76 5t5e25 12777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (5 ยท 5) = 25
7774, 74, 75, 75, 76nprmi 16623 . . . . . . . . . . . . . 14 ยฌ 25 โˆˆ โ„™
7877pm2.21i 119 . . . . . . . . . . . . 13 (25 โˆˆ โ„™ โ†’ ยฌ 25 โˆฅ ๐‘)
79 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 25 = 25
808, 25, 8, 79, 36decaddi 12734 . . . . . . . . . . . . 13 (25 + 2) = 27
8173, 78, 80prmlem0 17036 . . . . . . . . . . . 12 ((ยฌ 2 โˆฅ 25 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜25)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐‘) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘))
82 prmlem2.23 . . . . . . . . . . . . 13 ยฌ 23 โˆฅ ๐‘
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (23 โˆˆ โ„™ โ†’ ยฌ 23 โˆฅ ๐‘)
84 3nn0 12487 . . . . . . . . . . . . 13 3 โˆˆ โ„•0
85 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 23 = 23
86 3p2e5 12360 . . . . . . . . . . . . 13 (3 + 2) = 5
878, 84, 8, 85, 86decaddi 12734 . . . . . . . . . . . 12 (23 + 2) = 25
8881, 83, 87prmlem0 17036 . . . . . . . . . . 11 ((ยฌ 2 โˆฅ 23 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜23)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐‘) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘))
89 7nn 12301 . . . . . . . . . . . . 13 7 โˆˆ โ„•
90 1lt7 12400 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 7
91 7t3e21 12784 . . . . . . . . . . . . 13 (7 ยท 3) = 21
9289, 63, 90, 65, 91nprmi 16623 . . . . . . . . . . . 12 ยฌ 21 โˆˆ โ„™
9392pm2.21i 119 . . . . . . . . . . 11 (21 โˆˆ โ„™ โ†’ ยฌ 21 โˆฅ ๐‘)
94 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 21 = 21
95 1p2e3 12352 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 2) = 3
968, 22, 8, 94, 95decaddi 12734 . . . . . . . . . . 11 (21 + 2) = 23
9788, 93, 96prmlem0 17036 . . . . . . . . . 10 ((ยฌ 2 โˆฅ 21 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜21)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐‘) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘))
98 prmlem2.19 . . . . . . . . . . 11 ยฌ 19 โˆฅ ๐‘
9998a1i 11 . . . . . . . . . 10 (19 โˆˆ โ„™ โ†’ ยฌ 19 โˆฅ ๐‘)
100 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 19 = 19
101 9p2e11 12761 . . . . . . . . . . 11 (9 + 2) = 11
10222, 9, 8, 100, 44, 22, 101decaddci 12735 . . . . . . . . . 10 (19 + 2) = 21
10397, 99, 102prmlem0 17036 . . . . . . . . 9 ((ยฌ 2 โˆฅ 19 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜19)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐‘) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘))
104 prmlem2.17 . . . . . . . . . 10 ยฌ 17 โˆฅ ๐‘
105104a1i 11 . . . . . . . . 9 (17 โˆˆ โ„™ โ†’ ยฌ 17 โˆฅ ๐‘)
106 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 17 = 17
10722, 69, 8, 106, 71decaddi 12734 . . . . . . . . 9 (17 + 2) = 19
108103, 105, 107prmlem0 17036 . . . . . . . 8 ((ยฌ 2 โˆฅ 17 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜17)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐‘) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘))
109 5t3e15 12775 . . . . . . . . . 10 (5 ยท 3) = 15
11074, 63, 75, 65, 109nprmi 16623 . . . . . . . . 9 ยฌ 15 โˆˆ โ„™
111110pm2.21i 119 . . . . . . . 8 (15 โˆˆ โ„™ โ†’ ยฌ 15 โˆฅ ๐‘)
112 eqid 2733 . . . . . . . . 9 15 = 15
11322, 25, 8, 112, 36decaddi 12734 . . . . . . . 8 (15 + 2) = 17
114108, 111, 113prmlem0 17036 . . . . . . 7 ((ยฌ 2 โˆฅ 15 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜15)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐‘) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘))
115 prmlem2.13 . . . . . . . 8 ยฌ 13 โˆฅ ๐‘
116115a1i 11 . . . . . . 7 (13 โˆˆ โ„™ โ†’ ยฌ 13 โˆฅ ๐‘)
117 eqid 2733 . . . . . . . 8 13 = 13
11822, 84, 8, 117, 86decaddi 12734 . . . . . . 7 (13 + 2) = 15
119114, 116, 118prmlem0 17036 . . . . . 6 ((ยฌ 2 โˆฅ 13 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜13)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐‘) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘))
120 prmlem2.11 . . . . . . 7 ยฌ 11 โˆฅ ๐‘
121120a1i 11 . . . . . 6 (11 โˆˆ โ„™ โ†’ ยฌ 11 โˆฅ ๐‘)
122 eqid 2733 . . . . . . 7 11 = 11
12322, 22, 8, 122, 95decaddi 12734 . . . . . 6 (11 + 2) = 13
124119, 121, 123prmlem0 17036 . . . . 5 ((ยฌ 2 โˆฅ 11 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜11)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐‘) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘))
125 9nprm 17043 . . . . . 6 ยฌ 9 โˆˆ โ„™
126125pm2.21i 119 . . . . 5 (9 โˆˆ โ„™ โ†’ ยฌ 9 โˆฅ ๐‘)
127124, 126, 101prmlem0 17036 . . . 4 ((ยฌ 2 โˆฅ 9 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜9)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐‘) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘))
128 prmlem2.7 . . . . 5 ยฌ 7 โˆฅ ๐‘
129128a1i 11 . . . 4 (7 โˆˆ โ„™ โ†’ ยฌ 7 โˆฅ ๐‘)
130127, 129, 71prmlem0 17036 . . 3 ((ยฌ 2 โˆฅ 7 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜7)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐‘) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘))
131 prmlem2.5 . . . 4 ยฌ 5 โˆฅ ๐‘
132131a1i 11 . . 3 (5 โˆˆ โ„™ โ†’ ยฌ 5 โˆฅ ๐‘)
133130, 132, 36prmlem0 17036 . 2 ((ยฌ 2 โˆฅ 5 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง (๐‘ฅโ†‘2) โ‰ค ๐‘) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘))
1341, 2, 3, 4, 133prmlem1a 17037 1 ๐‘ โˆˆ โ„™
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   โˆˆ wcel 2107   โˆ– cdif 3945  {csn 4628   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  โ„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   ยท cmul 11112   < clt 11245   โ‰ค cle 11246  โ„•cn 12209  2c2 12264  3c3 12265  4c4 12266  5c5 12267  6c6 12268  7c7 12269  8c8 12270  9c9 12271  cdc 12674  โ„คโ‰ฅcuz 12819  โ†‘cexp 14024   โˆฅ cdvds 16194  โ„™cprime 16605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-dvds 16195  df-prm 16606
This theorem is referenced by:  37prm  17051  43prm  17052  83prm  17053  139prm  17054  163prm  17055  317prm  17056  631prm  17057  257prm  46216  139prmALT  46251  127prm  46254
  Copyright terms: Public domain W3C validator