Theorem lenrevpfxcctswrd 14737

Description: The length of the concatenation of the rest of a word and the prefix of the word is the length of the word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Apr-2018.) (Revised by AV, 9-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lenrevpfxcctswrd	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘((𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix 𝑀))) = (♯‘𝑊))

Proof of Theorem lenrevpfxcctswrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdcl 14671	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉)
2		pfxcl 14703	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝑀) ∈ Word 𝑉)
3		ccatlen 14600	. . . 4 ⊢ (((𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 prefix 𝑀) ∈ Word 𝑉) → (♯‘((𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix 𝑀))) = ((♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix 𝑀))))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘((𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix 𝑀))) = ((♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix 𝑀))))
5	4	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘((𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix 𝑀))) = ((♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix 𝑀))))
6		swrdrlen 14685	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − 𝑀))
7		fznn0sub 13572	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝑀) ∈ ℕ0)
8	7	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) − 𝑀) ∈ ℕ0)
9	6, 8	eqeltrd 2865	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩)) ∈ ℕ0)
10	9	nn0cnd 12555	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩)) ∈ ℂ)
11		pfxlen 14709	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = 𝑀)
12		elfznn0 13636	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
13	12	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
14	11, 13	eqeltrd 2865	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) ∈ ℕ0)
15	14	nn0cnd 12555	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) ∈ ℂ)
16	10, 15	addcomd 11400	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix 𝑀))) = ((♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩))))
17		addlenpfx 14716	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩))) = (♯‘𝑊))
18	5, 16, 17	3eqtrd 2804	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘((𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix 𝑀))) = (♯‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4591  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  0cc0 11088   + caddc 11091   − cmin 11429  ℕ₀cn0 12492  ...cfz 13523  ♯chash 14354  Word cword 14538   ++ cconcat 14595   substr csubstr 14666   prefix cpfx 14696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-hash 14355  df-word 14539  df-concat 14596  df-substr 14667  df-pfx 14697

This theorem is referenced by: (None)