Theorem lenrevpfxcctswrd 14752

Description: The length of the concatenation of the rest of a word and the prefix of the word is the length of the word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Apr-2018.) (Revised by AV, 9-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lenrevpfxcctswrd	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘((𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix 𝑀))) = (♯‘𝑊))

Proof of Theorem lenrevpfxcctswrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdcl 14686	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉)
2		pfxcl 14718	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝑀) ∈ Word 𝑉)
3		ccatlen 14615	. . . 4 ⊢ (((𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 prefix 𝑀) ∈ Word 𝑉) → (♯‘((𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix 𝑀))) = ((♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix 𝑀))))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘((𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix 𝑀))) = ((♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix 𝑀))))
5	4	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘((𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix 𝑀))) = ((♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix 𝑀))))
6		swrdrlen 14700	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − 𝑀))
7		fznn0sub 13587	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 𝑀) ∈ ℕ0)
8	7	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) − 𝑀) ∈ ℕ0)
9	6, 8	eqeltrd 2870	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩)) ∈ ℕ0)
10	9	nn0cnd 12570	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩)) ∈ ℂ)
11		pfxlen 14724	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = 𝑀)
12		elfznn0 13651	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
13	12	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
14	11, 13	eqeltrd 2870	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) ∈ ℕ0)
15	14	nn0cnd 12570	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) ∈ ℂ)
16	10, 15	addcomd 11415	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩)) + (♯‘(𝑊 prefix 𝑀))) = ((♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩))))
17		addlenpfx 14731	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩))) = (♯‘𝑊))
18	5, 16, 17	3eqtrd 2809	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘((𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix 𝑀))) = (♯‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2150  ⟨cop 4600  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  0cc0 11103   + caddc 11106   − cmin 11444  ℕ₀cn0 12507  ...cfz 13538  ♯chash 14369  Word cword 14553   ++ cconcat 14610   substr csubstr 14681   prefix cpfx 14711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-fin 8950  df-card 9928  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12237  df-n0 12508  df-z 12595  df-uz 12866  df-fz 13539  df-fzo 13686  df-hash 14370  df-word 14554  df-concat 14611  df-substr 14682  df-pfx 14712

This theorem is referenced by: (None)