Theorem swrdcl 14821

Description: Closure of the subword extractor. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
swrdcl	⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ∈ Word 𝐴)

Proof of Theorem swrdcl

Dummy variables 𝑠 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2852	. 2 ⊢ ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅ → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ∈ Word 𝐴 ↔ ∅ ∈ Word 𝐴))
2		n0 4303	. . . 4 ⊢ ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩))
3		df-substr 14817	. . . . . . 7 ⊢ substr = (𝑠 ∈ V, 𝑏 ∈ (ℤ × ℤ) ↦ if(((1st ‘𝑏)..^(2nd ‘𝑏)) ⊆ dom 𝑠, (𝑥 ∈ (0..^((2nd ‘𝑏) − (1st ‘𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑥 + (1st ‘𝑏)))), ∅))
4	3	elmpocl2 7688	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) → ⟨𝐹, 𝐿⟩ ∈ (ℤ × ℤ))
5		opelxp 5691	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐹, 𝐿⟩ ∈ (ℤ × ℤ) ↔ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
6	4, 5	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) → (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
7	6	exlimiv 1965	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) → (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
8	2, 7	sylbi 220	. . 3 ⊢ ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ≠ ∅ → (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
9		swrdval 14819	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))), ∅))
10		wrdf 14690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → 𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐴)
11	10	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐴)
12	11	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → 𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐴)
13		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆)
14		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)))
15		simpll3 1233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → 𝐿 ∈ ℤ)
16		simpll2 1232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → 𝐹 ∈ ℤ)
17		fzoaddel2 13882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝐹) ∈ (𝐹..^𝐿))
18	14, 15, 16, 17	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → (𝑥 + 𝐹) ∈ (𝐹..^𝐿))
19	13, 18	sseldd 3914	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → (𝑥 + 𝐹) ∈ dom 𝑆)
20	12	fdmd 6742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → dom 𝑆 = (0..^(♯‘𝑆)))
21	19, 20	eleqtrd 2866	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → (𝑥 + 𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
22	12, 21	ffvelcdmd 7109	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → (𝑆‘(𝑥 + 𝐹)) ∈ 𝐴)
23	22	fmpttd 7139	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))):(0..^(𝐿 − 𝐹))⟶𝐴)
24		iswrdi 14689	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))):(0..^(𝐿 − 𝐹))⟶𝐴 → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))) ∈ Word 𝐴)
25	23, 24	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))) ∈ Word 𝐴)
26		wrd0 14711	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Word 𝐴
27	26	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) → ∅ ∈ Word 𝐴)
28	25, 27	ifclda 4521	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) ∈ Word 𝐴)
29	9, 28	eqeltrd 2864	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ∈ Word 𝐴)
30	29	3expb 1138	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ∈ Word 𝐴)
31	8, 30	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ≠ ∅) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ∈ Word 𝐴)
32	26	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → ∅ ∈ Word 𝐴)
33	1, 31, 32	pm2.61ne 3044	1 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ∈ Word 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  ifcif 4485  ⟨cop 4838   ↦ cmpt 5189   × cxp 5653  dom cdm 5655  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  1^st c1st 8023  2^nd c2nd 8024  0cc0 11227   + caddc 11230   − cmin 11568  ℤcz 12720  ..^cfzo 13815  ♯chash 14501  Word cword 14685   substr csubstr 14816

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-hash 14502  df-word 14686  df-substr 14817

This theorem is used by:  swrdf  14826  swrdspsleq  14843  swrds1  14844  ccatswrd  14846  swrdccat2  14847  pfxcl  14855  ccatpfx  14878  swrdswrd  14882  lenrevpfxcctswrd  14889  pfxccatin12  14910  swrdccat  14912  swrdccat3blem  14916  splcl  14929  spllen  14931  splfv1  14932  splfv2a  14933  splval2  14934  revpfxsfxrev  14945  cshwcl  14977  cshwlen  14978  cshwidxmod  14982  gsumspl  19069  psgnunilem2  19739  efgredleme  19987  efgredlemc  19989  efgcpbllemb  19999  frgpuplem  20016  wrdsplex  33573  splfv3  33589  gsumwrd2dccatlem  33708  gsumwrd2dccat  33709  cycpmco2f1  33755  cycpmco2rn  33756  cycpmco2lem2  33758  cycpmco2lem3  33759  cycpmco2lem4  33760  cycpmco2lem5  33761  cycpmco2lem6  33762  cycpmco2  33764  elrgspnlem2  33874