MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdcl 14679
Description: Closure of the subword extractor. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Assertion
Ref Expression
swrdcl (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ∈ Word 𝐴)

Proof of Theorem swrdcl
Dummy variables 𝑠 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2826 . 2 ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅ → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ∈ Word 𝐴 ↔ ∅ ∈ Word 𝐴))
2 n0 4358 . . . 4 ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩))
3 df-substr 14675 . . . . . . 7 substr = (𝑠 ∈ V, 𝑏 ∈ (ℤ × ℤ) ↦ if(((1st𝑏)..^(2nd𝑏)) ⊆ dom 𝑠, (𝑥 ∈ (0..^((2nd𝑏) − (1st𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑥 + (1st𝑏)))), ∅))
43elmpocl2 7675 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) → ⟨𝐹, 𝐿⟩ ∈ (ℤ × ℤ))
5 opelxp 5724 . . . . . 6 (⟨𝐹, 𝐿⟩ ∈ (ℤ × ℤ) ↔ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
64, 5sylib 218 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) → (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
76exlimiv 1927 . . . 4 (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) → (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
82, 7sylbi 217 . . 3 ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ≠ ∅ → (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
9 swrdval 14677 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))), ∅))
10 wrdf 14553 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ Word 𝐴𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐴)
11103ad2ant1 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐴)
1211ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹))) → 𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐴)
13 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹))) → (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆)
14 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹))) → 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)))
15 simpll3 1213 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹))) → 𝐿 ∈ ℤ)
16 simpll2 1212 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹))) → 𝐹 ∈ ℤ)
17 fzoaddel2 13755 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝐹) ∈ (𝐹..^𝐿))
1814, 15, 16, 17syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹))) → (𝑥 + 𝐹) ∈ (𝐹..^𝐿))
1913, 18sseldd 3995 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹))) → (𝑥 + 𝐹) ∈ dom 𝑆)
2012fdmd 6746 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹))) → dom 𝑆 = (0..^(♯‘𝑆)))
2119, 20eleqtrd 2840 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹))) → (𝑥 + 𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
2212, 21ffvelcdmd 7104 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹))) → (𝑆‘(𝑥 + 𝐹)) ∈ 𝐴)
2322fmpttd 7134 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))):(0..^(𝐿𝐹))⟶𝐴)
24 iswrdi 14552 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))):(0..^(𝐿𝐹))⟶𝐴 → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))) ∈ Word 𝐴)
2523, 24syl 17 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))) ∈ Word 𝐴)
26 wrd0 14573 . . . . . . 7 ∅ ∈ Word 𝐴
2726a1i 11 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) → ∅ ∈ Word 𝐴)
2825, 27ifclda 4565 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) ∈ Word 𝐴)
299, 28eqeltrd 2838 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ∈ Word 𝐴)
30293expb 1119 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ∈ Word 𝐴)
318, 30sylan2 593 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ≠ ∅) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ∈ Word 𝐴)
3226a1i 11 . 2 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → ∅ ∈ Word 𝐴)
331, 31, 32pm2.61ne 3024 1 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ∈ Word 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086  wex 1775  wcel 2105  wne 2937  Vcvv 3477  wss 3962  c0 4338  ifcif 4530  cop 4636  cmpt 5230   × cxp 5686  dom cdm 5688  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  1st c1st 8010  2nd c2nd 8011  0cc0 11152   + caddc 11155  cmin 11489  cz 12610  ..^cfzo 13690  chash 14365  Word cword 14548   substr csubstr 14674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-hash 14366  df-word 14549  df-substr 14675
This theorem is referenced by:  swrdf  14684  swrdspsleq  14699  swrds1  14700  ccatswrd  14702  swrdccat2  14703  pfxcl  14711  ccatpfx  14735  swrdswrd  14739  lenrevpfxcctswrd  14746  pfxccatin12  14767  swrdccat  14769  swrdccat3blem  14773  splcl  14786  spllen  14788  splfv1  14789  splfv2a  14790  splval2  14791  cshwcl  14832  cshwlen  14833  cshwidxmod  14837  gsumspl  18869  psgnunilem2  19527  efgredleme  19775  efgredlemc  19777  efgcpbllemb  19787  frgpuplem  19804  wrdsplex  32904  splfv3  32927  gsumwrd2dccatlem  33051  gsumwrd2dccat  33052  cycpmco2f1  33126  cycpmco2rn  33127  cycpmco2lem2  33129  cycpmco2lem3  33130  cycpmco2lem4  33131  cycpmco2lem5  33132  cycpmco2lem6  33133  cycpmco2  33135  elrgspnlem2  33232  revpfxsfxrev  35099
  Copyright terms: Public domain W3C validator