MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdcl 14683
Description: Closure of the subword extractor. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Assertion
Ref Expression
swrdcl (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ∈ Word 𝐴)

Proof of Theorem swrdcl
Dummy variables 𝑠 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2829 . 2 ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅ → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ∈ Word 𝐴 ↔ ∅ ∈ Word 𝐴))
2 n0 4353 . . . 4 ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩))
3 df-substr 14679 . . . . . . 7 substr = (𝑠 ∈ V, 𝑏 ∈ (ℤ × ℤ) ↦ if(((1st𝑏)..^(2nd𝑏)) ⊆ dom 𝑠, (𝑥 ∈ (0..^((2nd𝑏) − (1st𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑥 + (1st𝑏)))), ∅))
43elmpocl2 7676 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) → ⟨𝐹, 𝐿⟩ ∈ (ℤ × ℤ))
5 opelxp 5721 . . . . . 6 (⟨𝐹, 𝐿⟩ ∈ (ℤ × ℤ) ↔ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
64, 5sylib 218 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) → (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
76exlimiv 1930 . . . 4 (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) → (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
82, 7sylbi 217 . . 3 ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ≠ ∅ → (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
9 swrdval 14681 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))), ∅))
10 wrdf 14557 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ Word 𝐴𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐴)
11103ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐴)
1211ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹))) → 𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐴)
13 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹))) → (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆)
14 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹))) → 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)))
15 simpll3 1215 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹))) → 𝐿 ∈ ℤ)
16 simpll2 1214 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹))) → 𝐹 ∈ ℤ)
17 fzoaddel2 13759 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝐹) ∈ (𝐹..^𝐿))
1814, 15, 16, 17syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹))) → (𝑥 + 𝐹) ∈ (𝐹..^𝐿))
1913, 18sseldd 3984 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹))) → (𝑥 + 𝐹) ∈ dom 𝑆)
2012fdmd 6746 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹))) → dom 𝑆 = (0..^(♯‘𝑆)))
2119, 20eleqtrd 2843 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹))) → (𝑥 + 𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
2212, 21ffvelcdmd 7105 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹))) → (𝑆‘(𝑥 + 𝐹)) ∈ 𝐴)
2322fmpttd 7135 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))):(0..^(𝐿𝐹))⟶𝐴)
24 iswrdi 14556 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))):(0..^(𝐿𝐹))⟶𝐴 → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))) ∈ Word 𝐴)
2523, 24syl 17 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))) ∈ Word 𝐴)
26 wrd0 14577 . . . . . . 7 ∅ ∈ Word 𝐴
2726a1i 11 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) → ∅ ∈ Word 𝐴)
2825, 27ifclda 4561 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) ∈ Word 𝐴)
299, 28eqeltrd 2841 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ∈ Word 𝐴)
30293expb 1121 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ∈ Word 𝐴)
318, 30sylan2 593 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ≠ ∅) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ∈ Word 𝐴)
3226a1i 11 . 2 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → ∅ ∈ Word 𝐴)
331, 31, 32pm2.61ne 3027 1 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ∈ Word 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1087  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  wss 3951  c0 4333  ifcif 4525  cop 4632  cmpt 5225   × cxp 5683  dom cdm 5685  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  1st c1st 8012  2nd c2nd 8013  0cc0 11155   + caddc 11158  cmin 11492  cz 12613  ..^cfzo 13694  chash 14369  Word cword 14552   substr csubstr 14678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-substr 14679
This theorem is referenced by:  swrdf  14688  swrdspsleq  14703  swrds1  14704  ccatswrd  14706  swrdccat2  14707  pfxcl  14715  ccatpfx  14739  swrdswrd  14743  lenrevpfxcctswrd  14750  pfxccatin12  14771  swrdccat  14773  swrdccat3blem  14777  splcl  14790  spllen  14792  splfv1  14793  splfv2a  14794  splval2  14795  cshwcl  14836  cshwlen  14837  cshwidxmod  14841  gsumspl  18857  psgnunilem2  19513  efgredleme  19761  efgredlemc  19763  efgcpbllemb  19773  frgpuplem  19790  wrdsplex  32920  splfv3  32943  gsumwrd2dccatlem  33069  gsumwrd2dccat  33070  cycpmco2f1  33144  cycpmco2rn  33145  cycpmco2lem2  33147  cycpmco2lem3  33148  cycpmco2lem4  33149  cycpmco2lem5  33150  cycpmco2lem6  33151  cycpmco2  33153  elrgspnlem2  33247  revpfxsfxrev  35121
  Copyright terms: Public domain W3C validator