MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdcl 13705
Description: Closure of the subword extractor. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Assertion
Ref Expression
swrdcl (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ∈ Word 𝐴)

Proof of Theorem swrdcl
Dummy variables 𝑠 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2894 . 2 ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅ → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ∈ Word 𝐴 ↔ ∅ ∈ Word 𝐴))
2 n0 4160 . . . 4 ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩))
3 df-substr 13701 . . . . . . 7 substr = (𝑠 ∈ V, 𝑏 ∈ (ℤ × ℤ) ↦ if(((1st𝑏)..^(2nd𝑏)) ⊆ dom 𝑠, (𝑥 ∈ (0..^((2nd𝑏) − (1st𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑥 + (1st𝑏)))), ∅))
43elmpt2cl2 7138 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) → ⟨𝐹, 𝐿⟩ ∈ (ℤ × ℤ))
5 opelxp 5378 . . . . . 6 (⟨𝐹, 𝐿⟩ ∈ (ℤ × ℤ) ↔ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
64, 5sylib 210 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) → (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
76exlimiv 2031 . . . 4 (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) → (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
82, 7sylbi 209 . . 3 ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ≠ ∅ → (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
9 swrdval 13703 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))), ∅))
10 wrdf 13579 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ Word 𝐴𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐴)
11103ad2ant1 1169 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐴)
1211ad2antrr 719 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹))) → 𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐴)
13 simplr 787 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹))) → (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆)
14 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹))) → 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)))
15 simpll3 1279 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹))) → 𝐿 ∈ ℤ)
16 simpll2 1277 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹))) → 𝐹 ∈ ℤ)
17 fzoaddel2 12819 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝐹) ∈ (𝐹..^𝐿))
1814, 15, 16, 17syl3anc 1496 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹))) → (𝑥 + 𝐹) ∈ (𝐹..^𝐿))
1913, 18sseldd 3828 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹))) → (𝑥 + 𝐹) ∈ dom 𝑆)
2012fdmd 6287 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹))) → dom 𝑆 = (0..^(♯‘𝑆)))
2119, 20eleqtrd 2908 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹))) → (𝑥 + 𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
2212, 21ffvelrnd 6609 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹))) → (𝑆‘(𝑥 + 𝐹)) ∈ 𝐴)
2322fmpttd 6634 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))):(0..^(𝐿𝐹))⟶𝐴)
24 iswrdi 13578 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))):(0..^(𝐿𝐹))⟶𝐴 → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))) ∈ Word 𝐴)
2523, 24syl 17 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))) ∈ Word 𝐴)
26 wrd0 13599 . . . . . . 7 ∅ ∈ Word 𝐴
2726a1i 11 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) → ∅ ∈ Word 𝐴)
2825, 27ifclda 4340 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) ∈ Word 𝐴)
299, 28eqeltrd 2906 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ∈ Word 𝐴)
30293expb 1155 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ∈ Word 𝐴)
318, 30sylan2 588 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ≠ ∅) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ∈ Word 𝐴)
3226a1i 11 . 2 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → ∅ ∈ Word 𝐴)
331, 31, 32pm2.61ne 3084 1 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ∈ Word 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386  w3a 1113  wex 1880  wcel 2166  wne 2999  Vcvv 3414  wss 3798  c0 4144  ifcif 4306  cop 4403  cmpt 4952   × cxp 5340  dom cdm 5342  wf 6119  cfv 6123  (class class class)co 6905  1st c1st 7426  2nd c2nd 7427  0cc0 10252   + caddc 10255  cmin 10585  cz 11704  ..^cfzo 12760  chash 13410  Word cword 13574   substr csubstr 13700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-hash 13411  df-word 13575  df-substr 13701
This theorem is referenced by:  swrdf  13712  addlenswrdOLD  13727  swrd0fvlswOLD  13732  swrdeqOLD  13733  swrdspsleq  13739  swrds1  13741  ccatswrd  13746  swrdccat2  13748  pfxcl  13756  ccatpfx  13780  swrdswrd  13784  lenrevpfxcctswrd  13797  lenrevcctswrdOLD  13798  wrdindOLD  13813  wrd2indOLD  13815  pfxccatin12  13831  swrdccatin12OLD  13832  swrdccat  13835  swrdccatOLD  13836  swrdccat3aOLD  13840  swrdccat3blem  13841  splcl  13862  splclOLD  13863  spllen  13866  spllenOLD  13867  splfv1  13868  splfv1OLD  13869  splfv2a  13870  splfv2aOLD  13871  splval2  13872  splval2OLD  13873  cshwcl  13919  cshwlen  13920  cshwidxmod  13924  gsumspl  17734  gsumsplOLD  17735  psgnunilem5OLD  18265  psgnunilem2  18266  efgsresOLD  18503  efgredleme  18508  efgredlemc  18510  efgcpbllemb  18521  frgpuplem  18538  wwlksm1edgOLD  27181  wwlksnredOLD  27203  wwlksnextwrdOLD  27216  clwlkclwwlkOLD  27332  clwwlkinwwlkOLD  27385  clwwlkfOLD  27392  wwlksubclwwlkOLD  27411  clwlksfclwwlkOLD  27438  wrdsplex  31164  wrdsplexOLD  31165  signsvtn0OLD  31195  signstfveq0OLD  31203
  Copyright terms: Public domain W3C validator