Theorem swrdcl 14617

Description: Closure of the subword extractor. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
swrdcl	⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ∈ Word 𝐴)

Proof of Theorem swrdcl

Dummy variables 𝑠 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2817	. 2 ⊢ ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅ → ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ∈ Word 𝐴 ↔ ∅ ∈ Word 𝐴))
2		n0 4319	. . . 4 ⊢ ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩))
3		df-substr 14613	. . . . . . 7 ⊢ substr = (𝑠 ∈ V, 𝑏 ∈ (ℤ × ℤ) ↦ if(((1st ‘𝑏)..^(2nd ‘𝑏)) ⊆ dom 𝑠, (𝑥 ∈ (0..^((2nd ‘𝑏) − (1st ‘𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑥 + (1st ‘𝑏)))), ∅))
4	3	elmpocl2 7635	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) → ⟨𝐹, 𝐿⟩ ∈ (ℤ × ℤ))
5		opelxp 5677	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐹, 𝐿⟩ ∈ (ℤ × ℤ) ↔ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
6	4, 5	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) → (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
7	6	exlimiv 1930	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) → (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
8	2, 7	sylbi 217	. . 3 ⊢ ((𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ≠ ∅ → (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
9		swrdval 14615	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))), ∅))
10		wrdf 14490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → 𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐴)
11	10	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐴)
12	11	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → 𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐴)
13		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆)
14		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)))
15		simpll3 1215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → 𝐿 ∈ ℤ)
16		simpll2 1214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → 𝐹 ∈ ℤ)
17		fzoaddel2 13688	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝐹) ∈ (𝐹..^𝐿))
18	14, 15, 16, 17	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → (𝑥 + 𝐹) ∈ (𝐹..^𝐿))
19	13, 18	sseldd 3950	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → (𝑥 + 𝐹) ∈ dom 𝑆)
20	12	fdmd 6701	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → dom 𝑆 = (0..^(♯‘𝑆)))
21	19, 20	eleqtrd 2831	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → (𝑥 + 𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
22	12, 21	ffvelcdmd 7060	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹))) → (𝑆‘(𝑥 + 𝐹)) ∈ 𝐴)
23	22	fmpttd 7090	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))):(0..^(𝐿 − 𝐹))⟶𝐴)
24		iswrdi 14489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))):(0..^(𝐿 − 𝐹))⟶𝐴 → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))) ∈ Word 𝐴)
25	23, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))) ∈ Word 𝐴)
26		wrd0 14511	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Word 𝐴
27	26	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆) → ∅ ∈ Word 𝐴)
28	25, 27	ifclda 4527	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) ∈ Word 𝐴)
29	9, 28	eqeltrd 2829	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ∈ Word 𝐴)
30	29	3expb 1120	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ∈ Word 𝐴)
31	8, 30	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ≠ ∅) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ∈ Word 𝐴)
32	26	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → ∅ ∈ Word 𝐴)
33	1, 31, 32	pm2.61ne 3011	1 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) ∈ Word 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  ifcif 4491  ⟨cop 4598   ↦ cmpt 5191   × cxp 5639  dom cdm 5641  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  1^st c1st 7969  2^nd c2nd 7970  0cc0 11075   + caddc 11078   − cmin 11412  ℤcz 12536  ..^cfzo 13622  ♯chash 14302  Word cword 14485   substr csubstr 14612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-word 14486  df-substr 14613

This theorem is referenced by:  swrdf  14622  swrdspsleq  14637  swrds1  14638  ccatswrd  14640  swrdccat2  14641  pfxcl  14649  ccatpfx  14673  swrdswrd  14677  lenrevpfxcctswrd  14684  pfxccatin12  14705  swrdccat  14707  swrdccat3blem  14711  splcl  14724  spllen  14726  splfv1  14727  splfv2a  14728  splval2  14729  cshwcl  14770  cshwlen  14771  cshwidxmod  14775  gsumspl  18778  psgnunilem2  19432  efgredleme  19680  efgredlemc  19682  efgcpbllemb  19692  frgpuplem  19709  wrdsplex  32864  splfv3  32887  gsumwrd2dccatlem  33013  gsumwrd2dccat  33014  cycpmco2f1  33088  cycpmco2rn  33089  cycpmco2lem2  33091  cycpmco2lem3  33092  cycpmco2lem4  33093  cycpmco2lem5  33094  cycpmco2lem6  33095  cycpmco2  33097  elrgspnlem2  33201  revpfxsfxrev  35110