Theorem pfxlswccat 14422

Description: Reconstruct a nonempty word from its prefix and last symbol. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Aug-2018.) (Revised by AV, 9-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxlswccat	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = 𝑊)

Proof of Theorem pfxlswccat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdlsw 14376	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩)
2	1	eqcomd 2746	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩))
3	2	oveq2d 7285	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩)))
4		wrdfin 14231	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 ∈ Fin)
5		1elfz0hash 14101	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Fin ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 1 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
6	4, 5	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 1 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
7		fznn0sub2 13360	. . . 4 ⊢ (1 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
9		pfxcctswrd 14419	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩)) = 𝑊)
10	8, 9	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩)) = 𝑊)
11	3, 10	eqtrd 2780	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945  ∅c0 4262  ⟨cop 4573  ‘cfv 6431  (class class class)co 7269  Fincfn 8714  0cc0 10870  1c1 10871   − cmin 11203  ...cfz 13236  ♯chash 14040  Word cword 14213  lastSclsw 14261   ++ cconcat 14269  ⟨“cs1 14296   substr csubstr 14349   prefix cpfx 14379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-er 8479  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-fin 8718  df-card 9696  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-n0 12232  df-xnn0 12304  df-z 12318  df-uz 12580  df-fz 13237  df-fzo 13380  df-hash 14041  df-word 14214  df-lsw 14262  df-concat 14270  df-s1 14297  df-substr 14350  df-pfx 14380

This theorem is referenced by:  ccats1pfxeq  14423  wrdind  14431  wrd2ind  14432  psgnunilem5  19098  wwlksnextwrd  28256  pfxlsw2ccat  31218  iwrdsplit  32348  signsvtn0  32543  signstfveq0  32550