Theorem pfxlswccat 14669

Description: Reconstruct a nonempty word from its prefix and last symbol. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Aug-2018.) (Revised by AV, 9-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxlswccat	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = 𝑊)

Proof of Theorem pfxlswccat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdlsw 14623	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩)
2	1	eqcomd 2732	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩))
3	2	oveq2d 7421	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩)))
4		wrdfin 14488	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 ∈ Fin)
5		1elfz0hash 14355	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Fin ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 1 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
6	4, 5	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 1 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
7		fznn0sub2 13614	. . . 4 ⊢ (1 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
9		pfxcctswrd 14666	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩)) = 𝑊)
10	8, 9	syldan 590	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩)) = 𝑊)
11	3, 10	eqtrd 2766	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  ∅c0 4317  ⟨cop 4629  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  0cc0 11112  1c1 11113   − cmin 11448  ...cfz 13490  ♯chash 14295  Word cword 14470  lastSclsw 14518   ++ cconcat 14526  ⟨“cs1 14551   substr csubstr 14596   prefix cpfx 14626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471  df-lsw 14519  df-concat 14527  df-s1 14552  df-substr 14597  df-pfx 14627

This theorem is referenced by:  ccats1pfxeq  14670  wrdind  14678  wrd2ind  14679  psgnunilem5  19414  wwlksnextwrd  29660  pfxlsw2ccat  32621  iwrdsplit  33916  signsvtn0  34111  signstfveq0  34118