Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflsc0N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lflsc0N 34892
Description: The scalar product with the zero functional is the zero functional. (Contributed by NM, 7-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lflsc0.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflsc0.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lflsc0.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lflsc0.t · = (.r𝐷)
lflsc0.o 0 = (0g𝐷)
lflsc0.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lflsc0.x (𝜑𝑋𝐾)
Assertion
Ref Expression
lflsc0N (𝜑 → ((𝑉 × { 0 }) ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑋})) = (𝑉 × { 0 }))

Proof of Theorem lflsc0N
StepHypRef Expression
1 lflsc0.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 fvex 6342 . . . . 5 (Base‘𝑊) ∈ V
31, 2eqeltri 2846 . . . 4 𝑉 ∈ V
43a1i 11 . . 3 (𝜑𝑉 ∈ V)
5 lflsc0.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
6 lflsc0.d . . . . . 6 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
76lmodring 19081 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
85, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ Ring)
9 lflsc0.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐷)
10 lflsc0.o . . . . 5 0 = (0g𝐷)
119, 10ring0cl 18777 . . . 4 (𝐷 ∈ Ring → 0𝐾)
128, 11syl 17 . . 3 (𝜑0𝐾)
13 lflsc0.x . . 3 (𝜑𝑋𝐾)
144, 12, 13ofc12 7069 . 2 (𝜑 → ((𝑉 × { 0 }) ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑋})) = (𝑉 × {( 0 · 𝑋)}))
15 lflsc0.t . . . . . 6 · = (.r𝐷)
169, 15, 10ringlz 18795 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾) → ( 0 · 𝑋) = 0 )
178, 13, 16syl2anc 573 . . . 4 (𝜑 → ( 0 · 𝑋) = 0 )
1817sneqd 4328 . . 3 (𝜑 → {( 0 · 𝑋)} = { 0 })
1918xpeq2d 5279 . 2 (𝜑 → (𝑉 × {( 0 · 𝑋)}) = (𝑉 × { 0 }))
2014, 19eqtrd 2805 1 (𝜑 → ((𝑉 × { 0 }) ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑋})) = (𝑉 × { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  {csn 4316   × cxp 5247  cfv 6031  (class class class)co 6793  𝑓 cof 7042  Basecbs 16064  .rcmulr 16150  Scalarcsca 16152  0gc0g 16308  Ringcrg 18755  LModclmod 19073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-mgp 18698  df-ring 18757  df-lmod 19075
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator