Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflsc0N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lflsc0N 38464
Description: The scalar product with the zero functional is the zero functional. (Contributed by NM, 7-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lflsc0.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lflsc0.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lflsc0.k 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
lflsc0.t Β· = (.rβ€˜π·)
lflsc0.o 0 = (0gβ€˜π·)
lflsc0.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lflsc0.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
Assertion
Ref Expression
lflsc0N (πœ‘ β†’ ((𝑉 Γ— { 0 }) ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑋})) = (𝑉 Γ— { 0 }))

Proof of Theorem lflsc0N
StepHypRef Expression
1 lflsc0.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
21fvexi 6898 . . . 4 𝑉 ∈ V
32a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ V)
4 lflsc0.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
5 lflsc0.d . . . . . 6 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
65lmodring 20712 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐷 ∈ Ring)
74, 6syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ Ring)
8 lflsc0.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
9 lflsc0.o . . . . 5 0 = (0gβ€˜π·)
108, 9ring0cl 20164 . . . 4 (𝐷 ∈ Ring β†’ 0 ∈ 𝐾)
117, 10syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐾)
12 lflsc0.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
133, 11, 12ofc12 7694 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑉 Γ— { 0 }) ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑋})) = (𝑉 Γ— {( 0 Β· 𝑋)}))
14 lflsc0.t . . . . . 6 Β· = (.rβ€˜π·)
158, 14, 9ringlz 20190 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) β†’ ( 0 Β· 𝑋) = 0 )
167, 12, 15syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( 0 Β· 𝑋) = 0 )
1716sneqd 4635 . . 3 (πœ‘ β†’ {( 0 Β· 𝑋)} = { 0 })
1817xpeq2d 5699 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑉 Γ— {( 0 Β· 𝑋)}) = (𝑉 Γ— { 0 }))
1913, 18eqtrd 2766 1 (πœ‘ β†’ ((𝑉 Γ— { 0 }) ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑋})) = (𝑉 Γ— { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  {csn 4623   Γ— cxp 5667  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∘f cof 7664  Basecbs 17151  .rcmulr 17205  Scalarcsca 17207  0gc0g 17392  Ringcrg 20136  LModclmod 20704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-lmod 20706
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator