Theorem lflsc0N 40060

Description: The scalar product with the zero functional is the zero functional. (Contributed by NM, 7-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lflsc0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflsc0.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lflsc0.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lflsc0.t	⊢ · = (.r‘𝐷)
lflsc0.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lflsc0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lflsc0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lflsc0N	⊢ (𝜑 → ((𝑉 × { 0 }) ∘f · (𝑉 × {𝑋})) = (𝑉 × { 0 }))

Proof of Theorem lflsc0N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lflsc0.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2	1	fvexi 6887	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
4		lflsc0.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lflsc0.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
6	5	lmodring 21104	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
7	4, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Ring)
8		lflsc0.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
9		lflsc0.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
10	8, 9	ring0cl 20457	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐾)
11	7, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐾)
12		lflsc0.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
13	3, 11, 12	ofc12 7706	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 × { 0 }) ∘f · (𝑉 × {𝑋})) = (𝑉 × {( 0 · 𝑋)}))
14		lflsc0.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝐷)
15	8, 14, 9	ringlz 20485	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → ( 0 · 𝑋) = 0 )
16	7, 12, 15	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 0 · 𝑋) = 0 )
17	16	sneqd 4595	. . 3 ⊢ (𝜑 → {( 0 · 𝑋)} = { 0 })
18	17	xpeq2d 5677	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑉 × {( 0 · 𝑋)}) = (𝑉 × { 0 }))
19	13, 18	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 × { 0 }) ∘f · (𝑉 × {𝑋})) = (𝑉 × { 0 }))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  {csn 4583   × cxp 5645  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   ∘_f cof 7674  Basecbs 17348  ._rcmulr 17390  Scalarcsca 17392  0_gc0g 17571  Ringcrg 20420  LModclmod 21096

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-plusg 17402  df-0g 17573  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-cmn 19957  df-abl 19958  df-mgp 20322  df-rng 20336  df-ur 20369  df-ring 20422  df-lmod 21098

This theorem is used by: (None)