Theorem lflsc0N 39943

Description: The scalar product with the zero functional is the zero functional. (Contributed by NM, 7-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lflsc0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflsc0.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lflsc0.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lflsc0.t	⊢ · = (.r‘𝐷)
lflsc0.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lflsc0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lflsc0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lflsc0N	⊢ (𝜑 → ((𝑉 × { 0 }) ∘f · (𝑉 × {𝑋})) = (𝑉 × { 0 }))

Proof of Theorem lflsc0N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lflsc0.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2	1	fvexi 6896	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
4		lflsc0.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lflsc0.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
6	5	lmodring 21053	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
7	4, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Ring)
8		lflsc0.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
9		lflsc0.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
10	8, 9	ring0cl 20409	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐾)
11	7, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐾)
12		lflsc0.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
13	3, 11, 12	ofc12 7711	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 × { 0 }) ∘f · (𝑉 × {𝑋})) = (𝑉 × {( 0 · 𝑋)}))
14		lflsc0.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝐷)
15	8, 14, 9	ringlz 20436	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → ( 0 · 𝑋) = 0 )
16	7, 12, 15	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 0 · 𝑋) = 0 )
17	16	sneqd 4599	. . 3 ⊢ (𝜑 → {( 0 · 𝑋)} = { 0 })
18	17	xpeq2d 5689	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑉 × {( 0 · 𝑋)}) = (𝑉 × { 0 }))
19	13, 18	eqtrd 2797	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 × { 0 }) ∘f · (𝑉 × {𝑋})) = (𝑉 × { 0 }))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  {csn 4587   × cxp 5657  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ∘_f cof 7679  Basecbs 17305  ._rcmulr 17347  Scalarcsca 17349  0_gc0g 17528  Ringcrg 20373  LModclmod 21045

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-plusg 17359  df-0g 17530  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-lmod 21047

This theorem is used by: (None)