Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflsc0N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lflsc0N 38559
Description: The scalar product with the zero functional is the zero functional. (Contributed by NM, 7-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lflsc0.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lflsc0.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lflsc0.k 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
lflsc0.t Β· = (.rβ€˜π·)
lflsc0.o 0 = (0gβ€˜π·)
lflsc0.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lflsc0.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
Assertion
Ref Expression
lflsc0N (πœ‘ β†’ ((𝑉 Γ— { 0 }) ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑋})) = (𝑉 Γ— { 0 }))

Proof of Theorem lflsc0N
StepHypRef Expression
1 lflsc0.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
21fvexi 6914 . . . 4 𝑉 ∈ V
32a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ V)
4 lflsc0.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
5 lflsc0.d . . . . . 6 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
65lmodring 20756 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐷 ∈ Ring)
74, 6syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ Ring)
8 lflsc0.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
9 lflsc0.o . . . . 5 0 = (0gβ€˜π·)
108, 9ring0cl 20208 . . . 4 (𝐷 ∈ Ring β†’ 0 ∈ 𝐾)
117, 10syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐾)
12 lflsc0.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
133, 11, 12ofc12 7717 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑉 Γ— { 0 }) ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑋})) = (𝑉 Γ— {( 0 Β· 𝑋)}))
14 lflsc0.t . . . . . 6 Β· = (.rβ€˜π·)
158, 14, 9ringlz 20234 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) β†’ ( 0 Β· 𝑋) = 0 )
167, 12, 15syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( 0 Β· 𝑋) = 0 )
1716sneqd 4642 . . 3 (πœ‘ β†’ {( 0 Β· 𝑋)} = { 0 })
1817xpeq2d 5710 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑉 Γ— {( 0 Β· 𝑋)}) = (𝑉 Γ— { 0 }))
1913, 18eqtrd 2767 1 (πœ‘ β†’ ((𝑉 Γ— { 0 }) ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑋})) = (𝑉 Γ— { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3471  {csn 4630   Γ— cxp 5678  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424   ∘f cof 7687  Basecbs 17185  .rcmulr 17239  Scalarcsca 17241  0gc0g 17426  Ringcrg 20178  LModclmod 20748
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-plusg 17251  df-0g 17428  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-lmod 20750
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator