Theorem lflsc0N 39885

Description: The scalar product with the zero functional is the zero functional. (Contributed by NM, 7-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lflsc0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflsc0.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lflsc0.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lflsc0.t	⊢ · = (.r‘𝐷)
lflsc0.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lflsc0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lflsc0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lflsc0N	⊢ (𝜑 → ((𝑉 × { 0 }) ∘f · (𝑉 × {𝑋})) = (𝑉 × { 0 }))

Proof of Theorem lflsc0N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lflsc0.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2	1	fvexi 6895	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
4		lflsc0.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lflsc0.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
6	5	lmodring 21000	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
7	4, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Ring)
8		lflsc0.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
9		lflsc0.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
10	8, 9	ring0cl 20357	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐾)
11	7, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐾)
12		lflsc0.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
13	3, 11, 12	ofc12 7706	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 × { 0 }) ∘f · (𝑉 × {𝑋})) = (𝑉 × {( 0 · 𝑋)}))
14		lflsc0.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝐷)
15	8, 14, 9	ringlz 20383	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → ( 0 · 𝑋) = 0 )
16	7, 12, 15	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 0 · 𝑋) = 0 )
17	16	sneqd 4600	. . 3 ⊢ (𝜑 → {( 0 · 𝑋)} = { 0 })
18	17	xpeq2d 5690	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑉 × {( 0 · 𝑋)}) = (𝑉 × { 0 }))
19	13, 18	eqtrd 2797	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 × { 0 }) ∘f · (𝑉 × {𝑋})) = (𝑉 × { 0 }))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454  {csn 4588   × cxp 5658  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   ∘_f cof 7674  Basecbs 17275  ._rcmulr 17317  Scalarcsca 17319  0_gc0g 17498  Ringcrg 20321  LModclmod 20992

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-plusg 17329  df-0g 17500  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-lmod 20994

This theorem is used by: (None)