Theorem limsupresuz2 45693

Description: If the domain of a function is a subset of the integers, the superior limit doesn't change when the function is restricted to an upper set of integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupresuz2.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupresuz2.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupresuz2.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
limsupresuz2.4	⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
limsupresuz2	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ 𝑍)) = (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem limsupresuz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupresuz2.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		limsupresuz2.2	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		limsupresuz2.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
4		dmresss 6036	. . . 4 ⊢ dom (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ dom 𝐹
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ dom 𝐹)
6		limsupresuz2.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℤ)
7	5, 6	sstrd 4009	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 ↾ ℝ) ⊆ ℤ)
8	1, 2, 3, 7	limsupresuz 45687	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ 𝑍)) = (lim sup‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3966  dom cdm 5693   ↾ cres 5695  ‘cfv 6569  ℝcr 11161  ℤcz 12620  ℤ_≥cuz 12885  lim supclsp 15512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239  ax-pre-sup 11240

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-om 7895  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-er 8753  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-sup 9489  df-inf 9490  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-div 11928  df-nn 12274  df-n0 12534  df-z 12621  df-uz 12886  df-q 12998  df-ico 13399  df-limsup 15513

This theorem is referenced by:  limsupequzmpt2  45702  limsupequzlem  45706  xlimliminflimsup  45846