MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrlmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsrlmod 22183
Description: Ordered power series form a left module. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrring.o 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)β€˜π‘‡)
opsrring.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
opsrring.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
opsrring.t (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (𝐼 Γ— 𝐼))
Assertion
Ref Expression
opsrlmod (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ LMod)

Proof of Theorem opsrlmod
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . 3 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 opsrring.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
3 opsrring.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
41, 2, 3psrlmod 21919 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod)
5 eqidd 2729 . . 3 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
6 opsrring.o . . . 4 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)β€˜π‘‡)
7 opsrring.t . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (𝐼 Γ— 𝐼))
81, 6, 7opsrbas 22006 . . 3 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Baseβ€˜π‘‚))
91, 6, 7opsrplusg 22008 . . . 4 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+gβ€˜π‘‚))
109oveqdr 7454 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦))
111, 2, 3psrsca 21906 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
121, 6, 7, 2, 3opsrsca 22014 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘‚))
13 eqid 2728 . . 3 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
141, 6, 7opsrvsca 22012 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( ·𝑠 β€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠 β€˜π‘‚))
1514oveqdr 7454 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))𝑦) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‚)𝑦))
165, 8, 10, 11, 12, 13, 15lmodpropd 20822 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod ↔ 𝑂 ∈ LMod))
174, 16mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ LMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3949   Γ— cxp 5680  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  +gcplusg 17242   ·𝑠 cvsca 17246  Ringcrg 20187  LModclmod 20757   mPwSer cmps 21851   ordPwSer copws 21855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-sup 9475  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-fz 13527  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-hom 17266  df-cco 17267  df-0g 17432  df-prds 17438  df-pws 17440  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-mgp 20089  df-ur 20136  df-ring 20189  df-lmod 20759  df-psr 21856  df-opsr 21860
This theorem is referenced by:  psr1lmod  22186
  Copyright terms: Public domain W3C validator