Theorem opsrlmod 22136

Description: Ordered power series form a left module. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opsrring.o	⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
opsrring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
opsrring.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
opsrlmod	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ LMod)

Proof of Theorem opsrlmod

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . 3 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		opsrring.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		opsrring.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4	1, 2, 3	psrlmod 21875	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod)
5		eqidd 2731	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
6		opsrring.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
7		opsrring.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
8	1, 6, 7	opsrbas 21963	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘𝑂))
9	1, 6, 7	opsrplusg 21964	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘𝑂))
10	9	oveqdr 7417	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))) → (𝑥(+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥(+g‘𝑂)𝑦))
11	1, 2, 3	psrsca 21862	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
12	1, 6, 7, 2, 3	opsrsca 21967	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑂))
13		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14	1, 6, 7	opsrvsca 21966	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘𝑂))
15	14	oveqdr 7417	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑂)𝑦))
16	5, 8, 10, 11, 12, 13, 15	lmodpropd 20837	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod ↔ 𝑂 ∈ LMod))
17	4, 16	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3916   × cxp 5638  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  Basecbs 17185  +_gcplusg 17226   ·_𝑠 cvsca 17230  Ringcrg 20148  LModclmod 20772   mPwSer cmps 21819   ordPwSer copws 21823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-of 7655  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-er 8673  df-map 8803  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9319  df-sup 9399  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-fz 13475  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-hom 17250  df-cco 17251  df-0g 17410  df-prds 17416  df-pws 17418  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-mgp 20056  df-ur 20097  df-ring 20150  df-lmod 20774  df-psr 21824  df-opsr 21828

This theorem is referenced by:  psr1lmod  22139