Theorem opsrlmod 22261

Description: Ordered power series form a left module. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opsrring.o	⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
opsrring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
opsrring.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
opsrlmod	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ LMod)

Proof of Theorem opsrlmod

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . 3 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		opsrring.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		opsrring.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4	1, 2, 3	psrlmod 21997	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod)
5		eqidd 2735	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
6		opsrring.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
7		opsrring.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
8	1, 6, 7	opsrbas 22086	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘𝑂))
9	1, 6, 7	opsrplusg 22088	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘𝑂))
10	9	oveqdr 7473	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))) → (𝑥(+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥(+g‘𝑂)𝑦))
11	1, 2, 3	psrsca 21984	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
12	1, 6, 7, 2, 3	opsrsca 22094	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑂))
13		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14	1, 6, 7	opsrvsca 22092	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘𝑂))
15	14	oveqdr 7473	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑂)𝑦))
16	5, 8, 10, 11, 12, 13, 15	lmodpropd 20940	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod ↔ 𝑂 ∈ LMod))
17	4, 16	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2103   ⊆ wss 3970   × cxp 5697  ‘cfv 6572  (class class class)co 7445  Basecbs 17253  +_gcplusg 17306   ·_𝑠 cvsca 17310  Ringcrg 20255  LModclmod 20875   mPwSer cmps 21941   ordPwSer copws 21945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-of 7710  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-supp 8198  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-er 8759  df-map 8882  df-ixp 8952  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-fsupp 9428  df-sup 9507  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12550  df-z 12636  df-dec 12755  df-uz 12900  df-fz 13564  df-struct 17189  df-sets 17206  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-hom 17330  df-cco 17331  df-0g 17496  df-prds 17502  df-pws 17504  df-mgm 18673  df-sgrp 18752  df-mnd 18768  df-grp 18971  df-minusg 18972  df-mgp 20157  df-ur 20204  df-ring 20257  df-lmod 20877  df-psr 21946  df-opsr 21950

This theorem is referenced by:  psr1lmod  22264