MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrlmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsrlmod 21428
Description: Ordered power series form a left module. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrring.o 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrring.i (𝜑𝐼𝑉)
opsrring.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
opsrring.t (𝜑𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
Assertion
Ref Expression
opsrlmod (𝜑𝑂 ∈ LMod)

Proof of Theorem opsrlmod
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2740 . . 3 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 opsrring.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
3 opsrring.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
41, 2, 3psrlmod 21181 . 2 (𝜑 → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod)
5 eqidd 2741 . . 3 (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
6 opsrring.o . . . 4 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
7 opsrring.t . . . 4 (𝜑𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
81, 6, 7opsrbas 21263 . . 3 (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘𝑂))
91, 6, 7opsrplusg 21265 . . . 4 (𝜑 → (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g𝑂))
109oveqdr 7300 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))) → (𝑥(+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥(+g𝑂)𝑦))
111, 2, 3psrsca 21169 . . 3 (𝜑𝑅 = (Scalar‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
121, 6, 7, 2, 3opsrsca 21271 . . 3 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑂))
13 eqid 2740 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
141, 6, 7opsrvsca 21269 . . . 4 (𝜑 → ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠𝑂))
1514oveqdr 7300 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥( ·𝑠𝑂)𝑦))
165, 8, 10, 11, 12, 13, 15lmodpropd 20197 . 2 (𝜑 → ((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod ↔ 𝑂 ∈ LMod))
174, 16mpbid 231 1 (𝜑𝑂 ∈ LMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  wss 3892   × cxp 5588  cfv 6432  (class class class)co 7272  Basecbs 16923  +gcplusg 16973   ·𝑠 cvsca 16977  Ringcrg 19794  LModclmod 20134   mPwSer cmps 21118   ordPwSer copws 21122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-of 7528  df-om 7708  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-supp 7970  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-1o 8289  df-er 8490  df-map 8609  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-fin 8729  df-fsupp 9117  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-nn 11985  df-2 12047  df-3 12048  df-4 12049  df-5 12050  df-6 12051  df-7 12052  df-8 12053  df-9 12054  df-n0 12245  df-z 12331  df-dec 12449  df-uz 12594  df-fz 13251  df-struct 16859  df-sets 16876  df-slot 16894  df-ndx 16906  df-base 16924  df-plusg 16986  df-mulr 16987  df-sca 16989  df-vsca 16990  df-tset 16992  df-ple 16993  df-0g 17163  df-mgm 18337  df-sgrp 18386  df-mnd 18397  df-grp 18591  df-minusg 18592  df-mgp 19732  df-ur 19749  df-ring 19796  df-lmod 20136  df-psr 21123  df-opsr 21127
This theorem is referenced by:  psr1lmod  21431
  Copyright terms: Public domain W3C validator