Theorem opsrlmod 19937

Description: Ordered power series form a left module. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opsrring.o	⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
opsrring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
opsrring.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
opsrlmod	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ LMod)

Proof of Theorem opsrlmod

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2800	. . 3 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		opsrring.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		opsrring.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4	1, 2, 3	psrlmod 19723	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod)
5		eqidd 2801	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
6		opsrring.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
7		opsrring.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
8	1, 6, 7	opsrbas 19800	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘𝑂))
9	1, 6, 7	opsrplusg 19801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘𝑂))
10	9	oveqdr 6907	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))) → (𝑥(+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥(+g‘𝑂)𝑦))
11	1, 2, 3	psrsca 19711	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
12	1, 6, 7, 2, 3	opsrsca 19804	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑂))
13		eqid 2800	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14	1, 6, 7	opsrvsca 19803	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘𝑂))
15	14	oveqdr 6907	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑂)𝑦))
16	5, 8, 10, 11, 12, 13, 15	lmodpropd 19243	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod ↔ 𝑂 ∈ LMod))
17	4, 16	mpbid 224	1 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ⊆ wss 3770   × cxp 5311  ‘cfv 6102  (class class class)co 6879  Basecbs 16183  +_gcplusg 16266   ·_𝑠 cvsca 16270  Ringcrg 18862  LModclmod 19180   mPwSer cmps 19673   ordPwSer copws 19677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-of 7132  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-supp 7534  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-1o 7800  df-oadd 7804  df-er 7983  df-map 8098  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-fin 8200  df-fsupp 8519  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-nn 11314  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377  df-5 11378  df-6 11379  df-7 11380  df-8 11381  df-9 11382  df-n0 11580  df-z 11666  df-dec 11783  df-uz 11930  df-fz 12580  df-struct 16185  df-ndx 16186  df-slot 16187  df-base 16189  df-sets 16190  df-plusg 16279  df-mulr 16280  df-sca 16282  df-vsca 16283  df-tset 16285  df-ple 16286  df-0g 16416  df-mgm 17556  df-sgrp 17598  df-mnd 17609  df-grp 17740  df-minusg 17741  df-mgp 18805  df-ur 18817  df-ring 18864  df-lmod 19182  df-psr 19678  df-opsr 19682

This theorem is referenced by:  psr1lmod  19940