Theorem lngndxnitvndx 28792

Description: The slot for the line is not the slot for the Interval (segment) in an extensible structure. Formerly part of proof for ttgval 29339. (Contributed by AV, 9-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
lngndxnitvndx	⊢ (LineG‘ndx) ≠ (Itv‘ndx)

Proof of Theorem lngndxnitvndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12548	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		6nn 12358	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12764	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ
4	3	nnrei 12270	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℝ
5		6nn0 12553	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
6		7nn 12361	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ
7		6lt7 12457	. . . 4 ⊢ 6 < 7
8	1, 5, 6, 7	declt 12773	. . 3 ⊢ ;16 < ;17
9	4, 8	gtneii 11350	. 2 ⊢ ;17 ≠ ;16
10		lngndx 28787	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) = ;17
11		itvndx 28786	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) = ;16
12	10, 11	neeq12i 3023	. 2 ⊢ ((LineG‘ndx) ≠ (Itv‘ndx) ↔ ;17 ≠ ;16)
13	9, 12	mpbir 234	1 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (Itv‘ndx)

This proof depends on syntax axioms:   ≠ wne 2957  ‘cfv 6537  1c1 11129  6c6 12327  7c7 12328  ;cdc 12740  ndxcnx 17291  Itvcitv 28782  LineGclng 28783

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-dec 12741  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-itv 28784  df-lng 28785

This theorem is used by:  ttgval  29339