Theorem trkgstr 28899

Description: Functionality of a Tarski geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Aug-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
trkgstr.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), 𝑈⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩, ⟨(Itv‘ndx), 𝐼⟩}

Assertion

Ref	Expression
trkgstr	⊢ 𝑊 Struct ⟨1, ;16⟩

Proof of Theorem trkgstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trkgstr.w	. 2 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), 𝑈⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩, ⟨(Itv‘ndx), 𝐼⟩}
2		1nn 12339	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		basendx 17389	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) = 1
4		2nn0 12616	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		1nn0 12615	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12952	. . . 4 ⊢ 1 < ;10
7	2, 4, 5, 6	declti 12850	. . 3 ⊢ 1 < ;12
8		2nn 12409	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
9	5, 8	decnncl 12831	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ
10		dsndx 17549	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
11		6nn 12425	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
12		2lt6 12522	. . . 4 ⊢ 2 < 6
13	5, 4, 11, 12	declt 12840	. . 3 ⊢ ;12 < ;16
14	5, 11	decnncl 12831	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ
15		itvndx 28892	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) = ;16
16	2, 3, 7, 9, 10, 13, 14, 15	strle3 17331	. 2 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑈⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩, ⟨(Itv‘ndx), 𝐼⟩} Struct ⟨1, ;16⟩
17	1, 16	eqbrtri 5126	1 ⊢ 𝑊 Struct ⟨1, ;16⟩

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  {ctp 4588  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103  ‘cfv 6537  1c1 11194  2c2 12390  6c6 12394  ;cdc 12807   Struct cstr 17317  ndxcnx 17364  Basecbs 17380  distcds 17430  Itvcitv 28888

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-fz 13633  df-struct 17318  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ds 17443  df-itv 28890

This theorem is used by:  trkgbas  28900  trkgdist  28901  trkgitv  28902