Theorem trkgstr 28912

Description: Functionality of a Tarski geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Aug-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
trkgstr.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), 𝑈⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩, ⟨(Itv‘ndx), 𝐼⟩}

Assertion

Ref	Expression
trkgstr	⊢ 𝑊 Struct ⟨1, ;16⟩

Proof of Theorem trkgstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trkgstr.w	. 2 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), 𝑈⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩, ⟨(Itv‘ndx), 𝐼⟩}
2		1nn 12350	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		basendx 17402	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) = 1
4		2nn0 12627	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		1nn0 12626	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12963	. . . 4 ⊢ 1 < ;10
7	2, 4, 5, 6	declti 12861	. . 3 ⊢ 1 < ;12
8		2nn 12420	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
9	5, 8	decnncl 12842	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ
10		dsndx 17562	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
11		6nn 12436	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
12		2lt6 12533	. . . 4 ⊢ 2 < 6
13	5, 4, 11, 12	declt 12851	. . 3 ⊢ ;12 < ;16
14	5, 11	decnncl 12842	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ
15		itvndx 28905	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) = ;16
16	2, 3, 7, 9, 10, 13, 14, 15	strle3 17344	. 2 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑈⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩, ⟨(Itv‘ndx), 𝐼⟩} Struct ⟨1, ;16⟩
17	1, 16	eqbrtri 5125	1 ⊢ 𝑊 Struct ⟨1, ;16⟩

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569  {ctp 4588  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  1c1 11205  2c2 12401  6c6 12405  ;cdc 12818   Struct cstr 17330  ndxcnx 17377  Basecbs 17393  distcds 17443  Itvcitv 28901

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-fz 13644  df-struct 17331  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ds 17456  df-itv 28903

This theorem is used by:  trkgbas  28913  trkgdist  28914  trkgitv  28915