Theorem trkgstr 25812

Description: Functionality of a Tarski geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Aug-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
trkgstr.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), 𝑈⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩, ⟨(Itv‘ndx), 𝐼⟩}

Assertion

Ref	Expression
trkgstr	⊢ 𝑊 Struct ⟨1, ;16⟩

Proof of Theorem trkgstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trkgstr.w	. 2 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), 𝑈⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩, ⟨(Itv‘ndx), 𝐼⟩}
2		1nn 11392	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		basendx 16330	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) = 1
4		2nn0 11666	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		1nn0 11665	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 11991	. . . 4 ⊢ 1 < ;10
7	2, 4, 5, 6	declti 11889	. . 3 ⊢ 1 < ;12
8		2nn 11453	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
9	5, 8	decnncl 11871	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ
10		dsndx 16459	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
11		6nn 11472	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
12		2lt6 11571	. . . 4 ⊢ 2 < 6
13	5, 4, 11, 12	declt 11879	. . 3 ⊢ ;12 < ;16
14	5, 11	decnncl 11871	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ
15		itvndx 25808	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) = ;16
16	2, 3, 7, 9, 10, 13, 14, 15	strle3 16378	. 2 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑈⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩, ⟨(Itv‘ndx), 𝐼⟩} Struct ⟨1, ;16⟩
17	1, 16	eqbrtri 4909	1 ⊢ 𝑊 Struct ⟨1, ;16⟩

Syntax hints:   = wceq 1601  {ctp 4402  ⟨cop 4404   class class class wbr 4888  ‘cfv 6137  1c1 10275  2c2 11435  6c6 11439  ;cdc 11850   Struct cstr 16262  ndxcnx 16263  Basecbs 16266  distcds 16358  Itvcitv 25804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-9 11450  df-n0 11648  df-z 11734  df-dec 11851  df-uz 11998  df-fz 12649  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-ds 16371  df-itv 25806

This theorem is referenced by:  trkgbas  25813  trkgdist  25814  trkgitv  25815