Theorem slotslnbpsd 28288

Description: The slots Base, +_g, ·_𝑠 and dist are different from the slot LineG. Formerly part of ttglem 28723 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotslnbpsd	⊢ (((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Proof of Theorem slotslnbpsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lngndx 28284	. . . 4 ⊢ (LineG‘ndx) = ;17
2		1re 11242	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 12251	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		7nn0 12522	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
5		1nn0 12516	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12844	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12743	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;17
8	2, 7	gtneii 11354	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 1
9		basendx 17186	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
10	8, 9	neeqtrri 3004	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (Base‘ndx)
11	1, 10	eqnetri 3001	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
12		2re 12314	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		2nn0 12517	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		2lt10 12843	. . . . . . 7 ⊢ 2 < ;10
15	3, 4, 13, 14	declti 12743	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;17
16	12, 15	gtneii 11354	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 2
17		plusgndx 17256	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
18	16, 17	neeqtrri 3004	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (+g‘ndx)
19	1, 18	eqnetri 3001	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
20	11, 19	pm3.2i 469	. 2 ⊢ ((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx))
21		6re 12330	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
22		6nn0 12521	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
23		6lt10 12839	. . . . . . 7 ⊢ 6 < ;10
24	3, 4, 22, 23	declti 12743	. . . . . 6 ⊢ 6 < ;17
25	21, 24	gtneii 11354	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 6
26		vscandx 17297	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
27	25, 26	neeqtrri 3004	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
28	1, 27	eqnetri 3001	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
29		2nn 12313	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
30	5, 29	decnncl 12725	. . . . . . 7 ⊢ ;12 ∈ ℕ
31	30	nnrei 12249	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℝ
32		7nn 12332	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ
33		2lt7 12430	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 7
34	5, 13, 32, 33	declt 12733	. . . . . 6 ⊢ ;12 < ;17
35	31, 34	gtneii 11354	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ ;12
36		dsndx 17363	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
37	35, 36	neeqtrri 3004	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (dist‘ndx)
38	1, 37	eqnetri 3001	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
39	28, 38	pm3.2i 469	. 2 ⊢ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
40	20, 39	pm3.2i 469	1 ⊢ (((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 394   ≠ wne 2930  ‘cfv 6542  1c1 11137  2c2 12295  6c6 12299  7c7 12300  ;cdc 12705  ndxcnx 17159  Basecbs 17177  +_gcplusg 17230   ·_𝑠 cvsca 17234  distcds 17239  LineGclng 28280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-plusg 17243  df-vsca 17247  df-ds 17252  df-lng 28282

This theorem is referenced by:  ttgbas  28725  ttgplusg  28727  ttgvsca  28730  ttgds  28732