Theorem slotslnbpsd 28581

Description: The slots Base, +_g, ·_𝑠 and dist are different from the slot LineG. Formerly part of ttglem 29015 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotslnbpsd	⊢ (((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Proof of Theorem slotslnbpsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lngndx 28577	. . . 4 ⊢ (LineG‘ndx) = ;17
2		1re 11171	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 12211	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		7nn0 12493	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
5		1nn0 12487	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12823	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12721	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;17
8	2, 7	gtneii 11285	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 1
9		basendx 17230	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
10	8, 9	neeqtrri 3024	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (Base‘ndx)
11	1, 10	eqnetri 3021	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
12		2re 12282	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		2nn0 12488	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		2lt10 12822	. . . . . . 7 ⊢ 2 < ;10
15	3, 4, 13, 14	declti 12721	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;17
16	12, 15	gtneii 11285	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 2
17		plusgndx 17288	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
18	16, 17	neeqtrri 3024	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (+g‘ndx)
19	1, 18	eqnetri 3021	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
20	11, 19	pm3.2i 473	. 2 ⊢ ((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx))
21		6re 12298	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
22		6nn0 12492	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
23		6lt10 12818	. . . . . . 7 ⊢ 6 < ;10
24	3, 4, 22, 23	declti 12721	. . . . . 6 ⊢ 6 < ;17
25	21, 24	gtneii 11285	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 6
26		vscandx 17324	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
27	25, 26	neeqtrri 3024	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
28	1, 27	eqnetri 3021	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
29		2nn 12281	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
30	5, 29	decnncl 12702	. . . . . . 7 ⊢ ;12 ∈ ℕ
31	30	nnrei 12209	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℝ
32		7nn 12300	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ
33		2lt7 12400	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 7
34	5, 13, 32, 33	declt 12711	. . . . . 6 ⊢ ;12 < ;17
35	31, 34	gtneii 11285	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ ;12
36		dsndx 17390	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
37	35, 36	neeqtrri 3024	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (dist‘ndx)
38	1, 37	eqnetri 3021	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
39	28, 38	pm3.2i 473	. 2 ⊢ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
40	20, 39	pm3.2i 473	1 ⊢ (((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 398   ≠ wne 2951  ‘cfv 6510  1c1 11064  2c2 12262  6c6 12266  7c7 12267  ;cdc 12678  ndxcnx 17205  Basecbs 17221  +_gcplusg 17262   ·_𝑠 cvsca 17266  distcds 17271  LineGclng 28573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12472  df-z 12559  df-dec 12679  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-plusg 17275  df-vsca 17279  df-ds 17284  df-lng 28575

This theorem is referenced by:  ttgbas  29016  ttgplusg  29017  ttgvsca  29019  ttgds  29020