Theorem slotslnbpsd 28535

Description: The slots Base, +_g, ·_𝑠 and dist are different from the slot LineG. Formerly part of ttglem 28969 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotslnbpsd	⊢ (((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Proof of Theorem slotslnbpsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lngndx 28531	. . . 4 ⊢ (LineG‘ndx) = ;17
2		1re 11142	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 12183	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		7nn0 12457	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
5		1nn0 12451	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12781	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12680	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;17
8	2, 7	gtneii 11256	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 1
9		basendx 17186	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
10	8, 9	neeqtrri 3008	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (Base‘ndx)
11	1, 10	eqnetri 3005	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
12		2re 12253	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		2nn0 12452	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		2lt10 12780	. . . . . . 7 ⊢ 2 < ;10
15	3, 4, 13, 14	declti 12680	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;17
16	12, 15	gtneii 11256	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 2
17		plusgndx 17244	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
18	16, 17	neeqtrri 3008	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (+g‘ndx)
19	1, 18	eqnetri 3005	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
20	11, 19	pm3.2i 471	. 2 ⊢ ((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx))
21		6re 12269	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
22		6nn0 12456	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
23		6lt10 12776	. . . . . . 7 ⊢ 6 < ;10
24	3, 4, 22, 23	declti 12680	. . . . . 6 ⊢ 6 < ;17
25	21, 24	gtneii 11256	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 6
26		vscandx 17280	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
27	25, 26	neeqtrri 3008	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
28	1, 27	eqnetri 3005	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
29		2nn 12252	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
30	5, 29	decnncl 12662	. . . . . . 7 ⊢ ;12 ∈ ℕ
31	30	nnrei 12181	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℝ
32		7nn 12271	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ
33		2lt7 12364	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 7
34	5, 13, 32, 33	declt 12670	. . . . . 6 ⊢ ;12 < ;17
35	31, 34	gtneii 11256	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ ;12
36		dsndx 17346	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
37	35, 36	neeqtrri 3008	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (dist‘ndx)
38	1, 37	eqnetri 3005	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
39	28, 38	pm3.2i 471	. 2 ⊢ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
40	20, 39	pm3.2i 471	1 ⊢ (((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 396   ≠ wne 2935  ‘cfv 6492  1c1 11037  2c2 12234  6c6 12238  7c7 12239  ;cdc 12642  ndxcnx 17161  Basecbs 17177  +_gcplusg 17218   ·_𝑠 cvsca 17222  distcds 17227  LineGclng 28527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-plusg 17231  df-vsca 17235  df-ds 17240  df-lng 28529

This theorem is referenced by:  ttgbas  28970  ttgplusg  28971  ttgvsca  28973  ttgds  28974