Theorem slotslnbpsd 28722

Description: The slots Base, +_g, ·_𝑠 and dist are different from the slot LineG. Formerly part of ttglem 29236 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotslnbpsd	⊢ (((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Proof of Theorem slotslnbpsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lngndx 28718	. . . 4 ⊢ (LineG‘ndx) = ;17
2		1re 11214	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 12250	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		7nn0 12532	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
5		1nn0 12526	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12862	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12760	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;17
8	2, 7	gtneii 11328	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 1
9		basendx 17284	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
10	8, 9	neeqtrri 3030	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (Base‘ndx)
11	1, 10	eqnetri 3027	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
12		2re 12321	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		2nn0 12527	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		2lt10 12861	. . . . . . 7 ⊢ 2 < ;10
15	3, 4, 13, 14	declti 12760	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;17
16	12, 15	gtneii 11328	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 2
17		plusgndx 17342	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
18	16, 17	neeqtrri 3030	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (+g‘ndx)
19	1, 18	eqnetri 3027	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
20	11, 19	pm3.2i 475	. 2 ⊢ ((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx))
21		6re 12337	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
22		6nn0 12531	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
23		6lt10 12857	. . . . . . 7 ⊢ 6 < ;10
24	3, 4, 22, 23	declti 12760	. . . . . 6 ⊢ 6 < ;17
25	21, 24	gtneii 11328	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 6
26		vscandx 17378	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
27	25, 26	neeqtrri 3030	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
28	1, 27	eqnetri 3027	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
29		2nn 12320	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
30	5, 29	decnncl 12741	. . . . . . 7 ⊢ ;12 ∈ ℕ
31	30	nnrei 12248	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℝ
32		7nn 12339	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ
33		2lt7 12439	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 7
34	5, 13, 32, 33	declt 12750	. . . . . 6 ⊢ ;12 < ;17
35	31, 34	gtneii 11328	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ ;12
36		dsndx 17444	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
37	35, 36	neeqtrri 3030	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (dist‘ndx)
38	1, 37	eqnetri 3027	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
39	28, 38	pm3.2i 475	. 2 ⊢ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
40	20, 39	pm3.2i 475	1 ⊢ (((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 400   ≠ wne 2957  ‘cfv 6536  1c1 11107  2c2 12301  6c6 12305  7c7 12306  ;cdc 12717  ndxcnx 17259  Basecbs 17275  +_gcplusg 17316   ·_𝑠 cvsca 17320  distcds 17325  LineGclng 28714

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-plusg 17329  df-vsca 17333  df-ds 17338  df-lng 28716

This theorem is used by:  ttgbas  29237  ttgplusg  29238  ttgvsca  29240  ttgds  29241