Theorem slotslnbpsd 26683

Description: The slots Base, +_g, ·_𝑠 and dist are different from the slot LineG. Formerly part of ttglem 27116 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotslnbpsd	⊢ (((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Proof of Theorem slotslnbpsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lngndx 26679	. . . 4 ⊢ (LineG‘ndx) = ;17
2		1re 10881	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 11889	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		7nn0 12160	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
5		1nn0 12154	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12480	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12379	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;17
8	2, 7	gtneii 10992	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 1
9		basendx 16824	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
10	8, 9	neeqtrri 3017	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (Base‘ndx)
11	1, 10	eqnetri 3014	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
12		2re 11952	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		2nn0 12155	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		2lt10 12479	. . . . . . 7 ⊢ 2 < ;10
15	3, 4, 13, 14	declti 12379	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;17
16	12, 15	gtneii 10992	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 2
17		plusgndx 16889	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
18	16, 17	neeqtrri 3017	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (+g‘ndx)
19	1, 18	eqnetri 3014	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
20	11, 19	pm3.2i 474	. 2 ⊢ ((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx))
21		6re 11968	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
22		6nn0 12159	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
23		6lt10 12475	. . . . . . 7 ⊢ 6 < ;10
24	3, 4, 22, 23	declti 12379	. . . . . 6 ⊢ 6 < ;17
25	21, 24	gtneii 10992	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 6
26		vscandx 16930	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
27	25, 26	neeqtrri 3017	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
28	1, 27	eqnetri 3014	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
29		2nn 11951	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
30	5, 29	decnncl 12361	. . . . . . 7 ⊢ ;12 ∈ ℕ
31	30	nnrei 11887	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℝ
32		7nn 11970	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ
33		2lt7 12068	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 7
34	5, 13, 32, 33	declt 12369	. . . . . 6 ⊢ ;12 < ;17
35	31, 34	gtneii 10992	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ ;12
36		dsndx 16991	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
37	35, 36	neeqtrri 3017	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (dist‘ndx)
38	1, 37	eqnetri 3014	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
39	28, 38	pm3.2i 474	. 2 ⊢ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
40	20, 39	pm3.2i 474	1 ⊢ (((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 399   ≠ wne 2943  ‘cfv 6415  1c1 10778  2c2 11933  6c6 11937  7c7 11938  ;cdc 12341  ndxcnx 16797  Basecbs 16815  +_gcplusg 16863   ·_𝑠 cvsca 16867  distcds 16872  LineGclng 26675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-sep 5216  ax-nul 5223  ax-pow 5282  ax-pr 5346  ax-un 7563  ax-cnex 10833  ax-resscn 10834  ax-1cn 10835  ax-icn 10836  ax-addcl 10837  ax-addrcl 10838  ax-mulcl 10839  ax-mulrcl 10840  ax-mulcom 10841  ax-addass 10842  ax-mulass 10843  ax-distr 10844  ax-i2m1 10845  ax-1ne0 10846  ax-1rid 10847  ax-rnegex 10848  ax-rrecex 10849  ax-cnre 10850  ax-pre-lttri 10851  ax-pre-lttrn 10852  ax-pre-ltadd 10853  ax-pre-mulgt0 10854

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3713  df-csb 3830  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-tr 5186  df-id 5479  df-eprel 5485  df-po 5493  df-so 5494  df-fr 5534  df-we 5536  df-xp 5585  df-rel 5586  df-cnv 5587  df-co 5588  df-dm 5589  df-rn 5590  df-res 5591  df-ima 5592  df-pred 6189  df-ord 6251  df-on 6252  df-lim 6253  df-suc 6254  df-iota 6373  df-fun 6417  df-fn 6418  df-f 6419  df-f1 6420  df-fo 6421  df-f1o 6422  df-fv 6423  df-riota 7209  df-ov 7255  df-oprab 7256  df-mpo 7257  df-om 7685  df-wrecs 8089  df-recs 8150  df-rdg 8188  df-er 8433  df-en 8669  df-dom 8670  df-sdom 8671  df-pnf 10917  df-mnf 10918  df-xr 10919  df-ltxr 10920  df-le 10921  df-sub 11112  df-neg 11113  df-nn 11879  df-2 11941  df-3 11942  df-4 11943  df-5 11944  df-6 11945  df-7 11946  df-8 11947  df-9 11948  df-n0 12139  df-z 12225  df-dec 12342  df-slot 16786  df-ndx 16798  df-base 16816  df-plusg 16876  df-vsca 16880  df-ds 16885  df-lng 26677

This theorem is referenced by:  ttgbas  27118  ttgplusg  27120  ttgvsca  27123  ttgds  27125