Theorem slotslnbpsd 26803

Description: The slots Base, +_g, ·_𝑠 and dist are different from the slot LineG. Formerly part of ttglem 27238 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotslnbpsd	⊢ (((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Proof of Theorem slotslnbpsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lngndx 26799	. . . 4 ⊢ (LineG‘ndx) = ;17
2		1re 10975	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 11984	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		7nn0 12255	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
5		1nn0 12249	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12576	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12475	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;17
8	2, 7	gtneii 11087	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 1
9		basendx 16921	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
10	8, 9	neeqtrri 3017	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (Base‘ndx)
11	1, 10	eqnetri 3014	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
12		2re 12047	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		2nn0 12250	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		2lt10 12575	. . . . . . 7 ⊢ 2 < ;10
15	3, 4, 13, 14	declti 12475	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;17
16	12, 15	gtneii 11087	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 2
17		plusgndx 16988	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
18	16, 17	neeqtrri 3017	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (+g‘ndx)
19	1, 18	eqnetri 3014	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
20	11, 19	pm3.2i 471	. 2 ⊢ ((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx))
21		6re 12063	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
22		6nn0 12254	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
23		6lt10 12571	. . . . . . 7 ⊢ 6 < ;10
24	3, 4, 22, 23	declti 12475	. . . . . 6 ⊢ 6 < ;17
25	21, 24	gtneii 11087	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 6
26		vscandx 17029	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
27	25, 26	neeqtrri 3017	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
28	1, 27	eqnetri 3014	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
29		2nn 12046	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
30	5, 29	decnncl 12457	. . . . . . 7 ⊢ ;12 ∈ ℕ
31	30	nnrei 11982	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℝ
32		7nn 12065	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ
33		2lt7 12163	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 7
34	5, 13, 32, 33	declt 12465	. . . . . 6 ⊢ ;12 < ;17
35	31, 34	gtneii 11087	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ ;12
36		dsndx 17095	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
37	35, 36	neeqtrri 3017	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (dist‘ndx)
38	1, 37	eqnetri 3014	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
39	28, 38	pm3.2i 471	. 2 ⊢ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
40	20, 39	pm3.2i 471	1 ⊢ (((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 396   ≠ wne 2943  ‘cfv 6433  1c1 10872  2c2 12028  6c6 12032  7c7 12033  ;cdc 12437  ndxcnx 16894  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962   ·_𝑠 cvsca 16966  distcds 16971  LineGclng 26795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-vsca 16979  df-ds 16984  df-lng 26797

This theorem is referenced by:  ttgbas  27240  ttgplusg  27242  ttgvsca  27245  ttgds  27247