Theorem slotslnbpsd 28376

Description: The slots Base, +_g, ·_𝑠 and dist are different from the slot LineG. Formerly part of ttglem 28810 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotslnbpsd	⊢ (((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Proof of Theorem slotslnbpsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lngndx 28372	. . . 4 ⊢ (LineG‘ndx) = ;17
2		1re 11181	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 12204	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		7nn0 12471	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
5		1nn0 12465	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12795	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12694	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;17
8	2, 7	gtneii 11293	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 1
9		basendx 17195	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
10	8, 9	neeqtrri 2999	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (Base‘ndx)
11	1, 10	eqnetri 2996	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
12		2re 12267	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		2nn0 12466	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		2lt10 12794	. . . . . . 7 ⊢ 2 < ;10
15	3, 4, 13, 14	declti 12694	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;17
16	12, 15	gtneii 11293	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 2
17		plusgndx 17253	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
18	16, 17	neeqtrri 2999	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (+g‘ndx)
19	1, 18	eqnetri 2996	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
20	11, 19	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx))
21		6re 12283	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
22		6nn0 12470	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
23		6lt10 12790	. . . . . . 7 ⊢ 6 < ;10
24	3, 4, 22, 23	declti 12694	. . . . . 6 ⊢ 6 < ;17
25	21, 24	gtneii 11293	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 6
26		vscandx 17289	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
27	25, 26	neeqtrri 2999	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
28	1, 27	eqnetri 2996	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
29		2nn 12266	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
30	5, 29	decnncl 12676	. . . . . . 7 ⊢ ;12 ∈ ℕ
31	30	nnrei 12202	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℝ
32		7nn 12285	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ
33		2lt7 12378	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 7
34	5, 13, 32, 33	declt 12684	. . . . . 6 ⊢ ;12 < ;17
35	31, 34	gtneii 11293	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ ;12
36		dsndx 17355	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
37	35, 36	neeqtrri 2999	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (dist‘ndx)
38	1, 37	eqnetri 2996	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
39	28, 38	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
40	20, 39	pm3.2i 470	1 ⊢ (((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ≠ wne 2926  ‘cfv 6514  1c1 11076  2c2 12248  6c6 12252  7c7 12253  ;cdc 12656  ndxcnx 17170  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227   ·_𝑠 cvsca 17231  distcds 17236  LineGclng 28368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-vsca 17244  df-ds 17249  df-lng 28370

This theorem is referenced by:  ttgbas  28811  ttgplusg  28812  ttgvsca  28814  ttgds  28815