Theorem slotslnbpsd 28430

Description: The slots Base, +_g, ·_𝑠 and dist are different from the slot LineG. Formerly part of ttglem 28864 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotslnbpsd	⊢ (((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Proof of Theorem slotslnbpsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lngndx 28426	. . . 4 ⊢ (LineG‘ndx) = ;17
2		1re 11122	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 12146	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		7nn0 12413	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
5		1nn0 12407	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12737	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12636	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;17
8	2, 7	gtneii 11235	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 1
9		basendx 17139	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
10	8, 9	neeqtrri 3003	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (Base‘ndx)
11	1, 10	eqnetri 3000	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
12		2re 12209	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		2nn0 12408	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		2lt10 12736	. . . . . . 7 ⊢ 2 < ;10
15	3, 4, 13, 14	declti 12636	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;17
16	12, 15	gtneii 11235	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 2
17		plusgndx 17197	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
18	16, 17	neeqtrri 3003	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (+g‘ndx)
19	1, 18	eqnetri 3000	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
20	11, 19	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx))
21		6re 12225	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
22		6nn0 12412	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
23		6lt10 12732	. . . . . . 7 ⊢ 6 < ;10
24	3, 4, 22, 23	declti 12636	. . . . . 6 ⊢ 6 < ;17
25	21, 24	gtneii 11235	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 6
26		vscandx 17233	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
27	25, 26	neeqtrri 3003	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
28	1, 27	eqnetri 3000	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
29		2nn 12208	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
30	5, 29	decnncl 12618	. . . . . . 7 ⊢ ;12 ∈ ℕ
31	30	nnrei 12144	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℝ
32		7nn 12227	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ
33		2lt7 12320	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 7
34	5, 13, 32, 33	declt 12626	. . . . . 6 ⊢ ;12 < ;17
35	31, 34	gtneii 11235	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ ;12
36		dsndx 17299	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
37	35, 36	neeqtrri 3003	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (dist‘ndx)
38	1, 37	eqnetri 3000	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
39	28, 38	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
40	20, 39	pm3.2i 470	1 ⊢ (((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ≠ wne 2930  ‘cfv 6489  1c1 11017  2c2 12190  6c6 12194  7c7 12195  ;cdc 12598  ndxcnx 17114  Basecbs 17130  +_gcplusg 17171   ·_𝑠 cvsca 17175  distcds 17180  LineGclng 28422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-4 12200  df-5 12201  df-6 12202  df-7 12203  df-8 12204  df-9 12205  df-n0 12392  df-z 12479  df-dec 12599  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-plusg 17184  df-vsca 17188  df-ds 17193  df-lng 28424

This theorem is referenced by:  ttgbas  28865  ttgplusg  28866  ttgvsca  28868  ttgds  28869