Theorem slotslnbpsd 27033

Description: The slots Base, +_g, ·_𝑠 and dist are different from the slot LineG. Formerly part of ttglem 27468 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotslnbpsd	⊢ (((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Proof of Theorem slotslnbpsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lngndx 27029	. . . 4 ⊢ (LineG‘ndx) = ;17
2		1re 11068	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 12077	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		7nn0 12348	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
5		1nn0 12342	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12669	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12568	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;17
8	2, 7	gtneii 11180	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 1
9		basendx 17010	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
10	8, 9	neeqtrri 3014	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (Base‘ndx)
11	1, 10	eqnetri 3011	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
12		2re 12140	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		2nn0 12343	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		2lt10 12668	. . . . . . 7 ⊢ 2 < ;10
15	3, 4, 13, 14	declti 12568	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;17
16	12, 15	gtneii 11180	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 2
17		plusgndx 17077	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
18	16, 17	neeqtrri 3014	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (+g‘ndx)
19	1, 18	eqnetri 3011	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
20	11, 19	pm3.2i 471	. 2 ⊢ ((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx))
21		6re 12156	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
22		6nn0 12347	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
23		6lt10 12664	. . . . . . 7 ⊢ 6 < ;10
24	3, 4, 22, 23	declti 12568	. . . . . 6 ⊢ 6 < ;17
25	21, 24	gtneii 11180	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 6
26		vscandx 17118	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
27	25, 26	neeqtrri 3014	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
28	1, 27	eqnetri 3011	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
29		2nn 12139	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
30	5, 29	decnncl 12550	. . . . . . 7 ⊢ ;12 ∈ ℕ
31	30	nnrei 12075	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℝ
32		7nn 12158	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ
33		2lt7 12256	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 7
34	5, 13, 32, 33	declt 12558	. . . . . 6 ⊢ ;12 < ;17
35	31, 34	gtneii 11180	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ ;12
36		dsndx 17184	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
37	35, 36	neeqtrri 3014	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (dist‘ndx)
38	1, 37	eqnetri 3011	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
39	28, 38	pm3.2i 471	. 2 ⊢ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
40	20, 39	pm3.2i 471	1 ⊢ (((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 396   ≠ wne 2940  ‘cfv 6473  1c1 10965  2c2 12121  6c6 12125  7c7 12126  ;cdc 12530  ndxcnx 16983  Basecbs 17001  +_gcplusg 17051   ·_𝑠 cvsca 17055  distcds 17060  LineGclng 27025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-6 12133  df-7 12134  df-8 12135  df-9 12136  df-n0 12327  df-z 12413  df-dec 12531  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-base 17002  df-plusg 17064  df-vsca 17068  df-ds 17073  df-lng 27027

This theorem is referenced by:  ttgbas  27470  ttgplusg  27472  ttgvsca  27475  ttgds  27477