Theorem slotslnbpsd 28201

Description: The slots Base, +_g, ·_𝑠 and dist are different from the slot LineG. Formerly part of ttglem 28636 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotslnbpsd	⊢ (((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Proof of Theorem slotslnbpsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lngndx 28197	. . . 4 ⊢ (LineG‘ndx) = ;17
2		1re 11218	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 12227	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		7nn0 12498	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
5		1nn0 12492	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12820	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12719	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;17
8	2, 7	gtneii 11330	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 1
9		basendx 17162	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
10	8, 9	neeqtrri 3008	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (Base‘ndx)
11	1, 10	eqnetri 3005	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
12		2re 12290	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		2nn0 12493	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		2lt10 12819	. . . . . . 7 ⊢ 2 < ;10
15	3, 4, 13, 14	declti 12719	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;17
16	12, 15	gtneii 11330	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 2
17		plusgndx 17232	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
18	16, 17	neeqtrri 3008	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (+g‘ndx)
19	1, 18	eqnetri 3005	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
20	11, 19	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx))
21		6re 12306	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
22		6nn0 12497	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
23		6lt10 12815	. . . . . . 7 ⊢ 6 < ;10
24	3, 4, 22, 23	declti 12719	. . . . . 6 ⊢ 6 < ;17
25	21, 24	gtneii 11330	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 6
26		vscandx 17273	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
27	25, 26	neeqtrri 3008	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
28	1, 27	eqnetri 3005	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
29		2nn 12289	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
30	5, 29	decnncl 12701	. . . . . . 7 ⊢ ;12 ∈ ℕ
31	30	nnrei 12225	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℝ
32		7nn 12308	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ
33		2lt7 12406	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 7
34	5, 13, 32, 33	declt 12709	. . . . . 6 ⊢ ;12 < ;17
35	31, 34	gtneii 11330	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ ;12
36		dsndx 17339	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
37	35, 36	neeqtrri 3008	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (dist‘ndx)
38	1, 37	eqnetri 3005	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
39	28, 38	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
40	20, 39	pm3.2i 470	1 ⊢ (((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ≠ wne 2934  ‘cfv 6537  1c1 11113  2c2 12271  6c6 12275  7c7 12276  ;cdc 12681  ndxcnx 17135  Basecbs 17153  +_gcplusg 17206   ·_𝑠 cvsca 17210  distcds 17215  LineGclng 28193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-vsca 17223  df-ds 17228  df-lng 28195

This theorem is referenced by:  ttgbas  28638  ttgplusg  28640  ttgvsca  28643  ttgds  28645