Theorem slotslnbpsd 28905

Description: The slots Base, +_g, ·_𝑠 and dist are different from the slot LineG. Formerly part of ttglem 29454 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotslnbpsd	⊢ (((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Proof of Theorem slotslnbpsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lngndx 28901	. . . 4 ⊢ (LineG‘ndx) = ;17
2		1re 11309	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 12347	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		7nn0 12629	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
5		1nn0 12623	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12960	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12858	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;17
8	2, 7	gtneii 11423	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 1
9		basendx 17397	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
10	8, 9	neeqtrri 3028	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (Base‘ndx)
11	1, 10	eqnetri 3025	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
12		2re 12418	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		2nn0 12624	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		2lt10 12959	. . . . . . 7 ⊢ 2 < ;10
15	3, 4, 13, 14	declti 12858	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;17
16	12, 15	gtneii 11423	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 2
17		plusgndx 17455	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
18	16, 17	neeqtrri 3028	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (+g‘ndx)
19	1, 18	eqnetri 3025	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
20	11, 19	pm3.2i 476	. 2 ⊢ ((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx))
21		6re 12434	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
22		6nn0 12628	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
23		6lt10 12955	. . . . . . 7 ⊢ 6 < ;10
24	3, 4, 22, 23	declti 12858	. . . . . 6 ⊢ 6 < ;17
25	21, 24	gtneii 11423	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 6
26		vscandx 17491	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
27	25, 26	neeqtrri 3028	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
28	1, 27	eqnetri 3025	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
29		2nn 12417	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
30	5, 29	decnncl 12839	. . . . . . 7 ⊢ ;12 ∈ ℕ
31	30	nnrei 12345	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℝ
32		7nn 12436	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ
33		2lt7 12536	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 7
34	5, 13, 32, 33	declt 12848	. . . . . 6 ⊢ ;12 < ;17
35	31, 34	gtneii 11423	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ ;12
36		dsndx 17557	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
37	35, 36	neeqtrri 3028	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (dist‘ndx)
38	1, 37	eqnetri 3025	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
39	28, 38	pm3.2i 476	. 2 ⊢ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
40	20, 39	pm3.2i 476	1 ⊢ (((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ≠ wne 2955  ‘cfv 6538  1c1 11202  2c2 12398  6c6 12402  7c7 12403  ;cdc 12815  ndxcnx 17372  Basecbs 17388  +_gcplusg 17429   ·_𝑠 cvsca 17433  distcds 17438  LineGclng 28897

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-plusg 17442  df-vsca 17446  df-ds 17451  df-lng 28899

This theorem is used by:  ttgbas  29455  ttgplusg  29456  ttgvsca  29458  ttgds  29459