Theorem slotslnbpsd 27690

Description: The slots Base, +_g, ·_𝑠 and dist are different from the slot LineG. Formerly part of ttglem 28125 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotslnbpsd	⊢ (((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Proof of Theorem slotslnbpsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lngndx 27686	. . . 4 ⊢ (LineG‘ndx) = ;17
2		1re 11213	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 12222	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		7nn0 12493	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
5		1nn0 12487	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12815	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12714	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;17
8	2, 7	gtneii 11325	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 1
9		basendx 17152	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
10	8, 9	neeqtrri 3014	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (Base‘ndx)
11	1, 10	eqnetri 3011	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
12		2re 12285	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		2nn0 12488	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		2lt10 12814	. . . . . . 7 ⊢ 2 < ;10
15	3, 4, 13, 14	declti 12714	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;17
16	12, 15	gtneii 11325	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 2
17		plusgndx 17222	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
18	16, 17	neeqtrri 3014	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (+g‘ndx)
19	1, 18	eqnetri 3011	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
20	11, 19	pm3.2i 471	. 2 ⊢ ((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx))
21		6re 12301	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
22		6nn0 12492	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
23		6lt10 12810	. . . . . . 7 ⊢ 6 < ;10
24	3, 4, 22, 23	declti 12714	. . . . . 6 ⊢ 6 < ;17
25	21, 24	gtneii 11325	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 6
26		vscandx 17263	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
27	25, 26	neeqtrri 3014	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
28	1, 27	eqnetri 3011	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
29		2nn 12284	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
30	5, 29	decnncl 12696	. . . . . . 7 ⊢ ;12 ∈ ℕ
31	30	nnrei 12220	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℝ
32		7nn 12303	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ
33		2lt7 12401	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 7
34	5, 13, 32, 33	declt 12704	. . . . . 6 ⊢ ;12 < ;17
35	31, 34	gtneii 11325	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ ;12
36		dsndx 17329	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
37	35, 36	neeqtrri 3014	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (dist‘ndx)
38	1, 37	eqnetri 3011	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
39	28, 38	pm3.2i 471	. 2 ⊢ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
40	20, 39	pm3.2i 471	1 ⊢ (((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 396   ≠ wne 2940  ‘cfv 6543  1c1 11110  2c2 12266  6c6 12270  7c7 12271  ;cdc 12676  ndxcnx 17125  Basecbs 17143  +_gcplusg 17196   ·_𝑠 cvsca 17200  distcds 17205  LineGclng 27682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-vsca 17213  df-ds 17218  df-lng 27684

This theorem is referenced by:  ttgbas  28127  ttgplusg  28129  ttgvsca  28132  ttgds  28134