Theorem slotslnbpsd 28838

Description: The slots Base, +_g, ·_𝑠 and dist are different from the slot LineG. Formerly part of ttglem 29387 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotslnbpsd	⊢ (((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Proof of Theorem slotslnbpsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lngndx 28834	. . . 4 ⊢ (LineG‘ndx) = ;17
2		1re 11280	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 12316	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		7nn0 12598	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
5		1nn0 12592	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12929	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12827	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;17
8	2, 7	gtneii 11394	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 1
9		basendx 17358	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
10	8, 9	neeqtrri 3028	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (Base‘ndx)
11	1, 10	eqnetri 3025	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
12		2re 12387	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		2nn0 12593	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		2lt10 12928	. . . . . . 7 ⊢ 2 < ;10
15	3, 4, 13, 14	declti 12827	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;17
16	12, 15	gtneii 11394	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 2
17		plusgndx 17416	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
18	16, 17	neeqtrri 3028	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (+g‘ndx)
19	1, 18	eqnetri 3025	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
20	11, 19	pm3.2i 476	. 2 ⊢ ((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx))
21		6re 12403	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
22		6nn0 12597	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
23		6lt10 12924	. . . . . . 7 ⊢ 6 < ;10
24	3, 4, 22, 23	declti 12827	. . . . . 6 ⊢ 6 < ;17
25	21, 24	gtneii 11394	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 6
26		vscandx 17452	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
27	25, 26	neeqtrri 3028	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
28	1, 27	eqnetri 3025	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
29		2nn 12386	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
30	5, 29	decnncl 12808	. . . . . . 7 ⊢ ;12 ∈ ℕ
31	30	nnrei 12314	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℝ
32		7nn 12405	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ
33		2lt7 12505	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 7
34	5, 13, 32, 33	declt 12817	. . . . . 6 ⊢ ;12 < ;17
35	31, 34	gtneii 11394	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ ;12
36		dsndx 17518	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
37	35, 36	neeqtrri 3028	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (dist‘ndx)
38	1, 37	eqnetri 3025	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
39	28, 38	pm3.2i 476	. 2 ⊢ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
40	20, 39	pm3.2i 476	1 ⊢ (((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ≠ wne 2955  ‘cfv 6527  1c1 11173  2c2 12367  6c6 12371  7c7 12372  ;cdc 12784  ndxcnx 17333  Basecbs 17349  +_gcplusg 17390   ·_𝑠 cvsca 17394  distcds 17399  LineGclng 28830

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-5 12378  df-6 12379  df-7 12380  df-8 12381  df-9 12382  df-n0 12577  df-z 12664  df-dec 12785  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-plusg 17403  df-vsca 17407  df-ds 17412  df-lng 28832

This theorem is used by:  ttgbas  29388  ttgplusg  29389  ttgvsca  29391  ttgds  29392