Theorem slotslnbpsd 28422

Description: The slots Base, +_g, ·_𝑠 and dist are different from the slot LineG. Formerly part of ttglem 28856 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotslnbpsd	⊢ (((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Proof of Theorem slotslnbpsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lngndx 28418	. . . 4 ⊢ (LineG‘ndx) = ;17
2		1re 11150	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 12173	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		7nn0 12440	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
5		1nn0 12434	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12764	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12663	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;17
8	2, 7	gtneii 11262	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 1
9		basendx 17164	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
10	8, 9	neeqtrri 2998	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (Base‘ndx)
11	1, 10	eqnetri 2995	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
12		2re 12236	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		2nn0 12435	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		2lt10 12763	. . . . . . 7 ⊢ 2 < ;10
15	3, 4, 13, 14	declti 12663	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;17
16	12, 15	gtneii 11262	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 2
17		plusgndx 17222	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
18	16, 17	neeqtrri 2998	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (+g‘ndx)
19	1, 18	eqnetri 2995	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
20	11, 19	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx))
21		6re 12252	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
22		6nn0 12439	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
23		6lt10 12759	. . . . . . 7 ⊢ 6 < ;10
24	3, 4, 22, 23	declti 12663	. . . . . 6 ⊢ 6 < ;17
25	21, 24	gtneii 11262	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 6
26		vscandx 17258	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
27	25, 26	neeqtrri 2998	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
28	1, 27	eqnetri 2995	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
29		2nn 12235	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
30	5, 29	decnncl 12645	. . . . . . 7 ⊢ ;12 ∈ ℕ
31	30	nnrei 12171	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℝ
32		7nn 12254	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ
33		2lt7 12347	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 7
34	5, 13, 32, 33	declt 12653	. . . . . 6 ⊢ ;12 < ;17
35	31, 34	gtneii 11262	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ ;12
36		dsndx 17324	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
37	35, 36	neeqtrri 2998	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (dist‘ndx)
38	1, 37	eqnetri 2995	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
39	28, 38	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
40	20, 39	pm3.2i 470	1 ⊢ (((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ≠ wne 2925  ‘cfv 6499  1c1 11045  2c2 12217  6c6 12221  7c7 12222  ;cdc 12625  ndxcnx 17139  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196   ·_𝑠 cvsca 17200  distcds 17205  LineGclng 28414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-vsca 17213  df-ds 17218  df-lng 28416

This theorem is referenced by:  ttgbas  28857  ttgplusg  28858  ttgvsca  28860  ttgds  28861