Theorem slotslnbpsd 28529

Description: The slots Base, +_g, ·_𝑠 and dist are different from the slot LineG. Formerly part of ttglem 28963 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotslnbpsd	⊢ (((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Proof of Theorem slotslnbpsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lngndx 28525	. . . 4 ⊢ (LineG‘ndx) = ;17
2		1re 11133	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 12174	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		7nn0 12448	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
5		1nn0 12442	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12772	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12671	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;17
8	2, 7	gtneii 11247	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 1
9		basendx 17177	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
10	8, 9	neeqtrri 3006	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (Base‘ndx)
11	1, 10	eqnetri 3003	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
12		2re 12244	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		2nn0 12443	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		2lt10 12771	. . . . . . 7 ⊢ 2 < ;10
15	3, 4, 13, 14	declti 12671	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;17
16	12, 15	gtneii 11247	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 2
17		plusgndx 17235	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
18	16, 17	neeqtrri 3006	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (+g‘ndx)
19	1, 18	eqnetri 3003	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
20	11, 19	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx))
21		6re 12260	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
22		6nn0 12447	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
23		6lt10 12767	. . . . . . 7 ⊢ 6 < ;10
24	3, 4, 22, 23	declti 12671	. . . . . 6 ⊢ 6 < ;17
25	21, 24	gtneii 11247	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 6
26		vscandx 17271	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
27	25, 26	neeqtrri 3006	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
28	1, 27	eqnetri 3003	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
29		2nn 12243	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
30	5, 29	decnncl 12653	. . . . . . 7 ⊢ ;12 ∈ ℕ
31	30	nnrei 12172	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℝ
32		7nn 12262	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ
33		2lt7 12355	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 7
34	5, 13, 32, 33	declt 12661	. . . . . 6 ⊢ ;12 < ;17
35	31, 34	gtneii 11247	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ ;12
36		dsndx 17337	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
37	35, 36	neeqtrri 3006	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (dist‘ndx)
38	1, 37	eqnetri 3003	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
39	28, 38	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
40	20, 39	pm3.2i 470	1 ⊢ (((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ≠ wne 2933  ‘cfv 6490  1c1 11028  2c2 12225  6c6 12229  7c7 12230  ;cdc 12633  ndxcnx 17152  Basecbs 17168  +_gcplusg 17209   ·_𝑠 cvsca 17213  distcds 17218  LineGclng 28521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-plusg 17222  df-vsca 17226  df-ds 17231  df-lng 28523

This theorem is referenced by:  ttgbas  28964  ttgplusg  28965  ttgvsca  28967  ttgds  28968