MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  slotslnbpsd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem slotslnbpsd 27426
Description: The slots Base, +g, ·𝑠 and dist are different from the slot LineG. Formerly part of ttglem 27861 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)
Assertion
Ref Expression
slotslnbpsd (((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Proof of Theorem slotslnbpsd
StepHypRef Expression
1 lngndx 27422 . . . 4 (LineG‘ndx) = 17
2 1re 11162 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
3 1nn 12171 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
4 7nn0 12442 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ0
5 1nn0 12436 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
6 1lt10 12764 . . . . . . 7 1 < 10
73, 4, 5, 6declti 12663 . . . . . 6 1 < 17
82, 7gtneii 11274 . . . . 5 17 ≠ 1
9 basendx 17099 . . . . 5 (Base‘ndx) = 1
108, 9neeqtrri 3018 . . . 4 17 ≠ (Base‘ndx)
111, 10eqnetri 3015 . . 3 (LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
12 2re 12234 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
13 2nn0 12437 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
14 2lt10 12763 . . . . . . 7 2 < 10
153, 4, 13, 14declti 12663 . . . . . 6 2 < 17
1612, 15gtneii 11274 . . . . 5 17 ≠ 2
17 plusgndx 17166 . . . . 5 (+g‘ndx) = 2
1816, 17neeqtrri 3018 . . . 4 17 ≠ (+g‘ndx)
191, 18eqnetri 3015 . . 3 (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
2011, 19pm3.2i 472 . 2 ((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx))
21 6re 12250 . . . . . 6 6 ∈ ℝ
22 6nn0 12441 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
23 6lt10 12759 . . . . . . 7 6 < 10
243, 4, 22, 23declti 12663 . . . . . 6 6 < 17
2521, 24gtneii 11274 . . . . 5 17 ≠ 6
26 vscandx 17207 . . . . 5 ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
2725, 26neeqtrri 3018 . . . 4 17 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
281, 27eqnetri 3015 . . 3 (LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
29 2nn 12233 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
305, 29decnncl 12645 . . . . . . 7 12 ∈ ℕ
3130nnrei 12169 . . . . . 6 12 ∈ ℝ
32 7nn 12252 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ
33 2lt7 12350 . . . . . . 7 2 < 7
345, 13, 32, 33declt 12653 . . . . . 6 12 < 17
3531, 34gtneii 11274 . . . . 5 17 ≠ 12
36 dsndx 17273 . . . . 5 (dist‘ndx) = 12
3735, 36neeqtrri 3018 . . . 4 17 ≠ (dist‘ndx)
381, 37eqnetri 3015 . . 3 (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
3928, 38pm3.2i 472 . 2 ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
4020, 39pm3.2i 472 1 (((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 397  wne 2944  cfv 6501  1c1 11059  2c2 12215  6c6 12219  7c7 12220  cdc 12625  ndxcnx 17072  Basecbs 17090  +gcplusg 17140   ·𝑠 cvsca 17144  distcds 17149  LineGclng 27418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-plusg 17153  df-vsca 17157  df-ds 17162  df-lng 27420
This theorem is referenced by:  ttgbas  27863  ttgplusg  27865  ttgvsca  27868  ttgds  27870
  Copyright terms: Public domain W3C validator