Theorem slotslnbpsd 28510

Description: The slots Base, +_g, ·_𝑠 and dist are different from the slot LineG. Formerly part of ttglem 28944 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotslnbpsd	⊢ (((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Proof of Theorem slotslnbpsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lngndx 28506	. . . 4 ⊢ (LineG‘ndx) = ;17
2		1re 11144	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 12185	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		7nn0 12459	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
5		1nn0 12453	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12783	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12682	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;17
8	2, 7	gtneii 11258	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 1
9		basendx 17188	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
10	8, 9	neeqtrri 3006	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (Base‘ndx)
11	1, 10	eqnetri 3003	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
12		2re 12255	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		2nn0 12454	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		2lt10 12782	. . . . . . 7 ⊢ 2 < ;10
15	3, 4, 13, 14	declti 12682	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;17
16	12, 15	gtneii 11258	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 2
17		plusgndx 17246	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
18	16, 17	neeqtrri 3006	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (+g‘ndx)
19	1, 18	eqnetri 3003	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
20	11, 19	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx))
21		6re 12271	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
22		6nn0 12458	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
23		6lt10 12778	. . . . . . 7 ⊢ 6 < ;10
24	3, 4, 22, 23	declti 12682	. . . . . 6 ⊢ 6 < ;17
25	21, 24	gtneii 11258	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 6
26		vscandx 17282	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
27	25, 26	neeqtrri 3006	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
28	1, 27	eqnetri 3003	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
29		2nn 12254	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
30	5, 29	decnncl 12664	. . . . . . 7 ⊢ ;12 ∈ ℕ
31	30	nnrei 12183	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℝ
32		7nn 12273	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ
33		2lt7 12366	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 7
34	5, 13, 32, 33	declt 12672	. . . . . 6 ⊢ ;12 < ;17
35	31, 34	gtneii 11258	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ ;12
36		dsndx 17348	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
37	35, 36	neeqtrri 3006	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (dist‘ndx)
38	1, 37	eqnetri 3003	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
39	28, 38	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
40	20, 39	pm3.2i 470	1 ⊢ (((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ≠ wne 2933  ‘cfv 6499  1c1 11039  2c2 12236  6c6 12240  7c7 12241  ;cdc 12644  ndxcnx 17163  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220   ·_𝑠 cvsca 17224  distcds 17229  LineGclng 28502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-vsca 17237  df-ds 17242  df-lng 28504

This theorem is referenced by:  ttgbas  28945  ttgplusg  28946  ttgvsca  28948  ttgds  28949