Theorem slotslnbpsd 28497

Description: The slots Base, +_g, ·_𝑠 and dist are different from the slot LineG. Formerly part of ttglem 28931 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotslnbpsd	⊢ (((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Proof of Theorem slotslnbpsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lngndx 28493	. . . 4 ⊢ (LineG‘ndx) = ;17
2		1re 11136	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 12160	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		7nn0 12427	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
5		1nn0 12421	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12750	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12649	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;17
8	2, 7	gtneii 11249	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 1
9		basendx 17149	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
10	8, 9	neeqtrri 3006	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (Base‘ndx)
11	1, 10	eqnetri 3003	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
12		2re 12223	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		2nn0 12422	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		2lt10 12749	. . . . . . 7 ⊢ 2 < ;10
15	3, 4, 13, 14	declti 12649	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;17
16	12, 15	gtneii 11249	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 2
17		plusgndx 17207	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
18	16, 17	neeqtrri 3006	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (+g‘ndx)
19	1, 18	eqnetri 3003	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
20	11, 19	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx))
21		6re 12239	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
22		6nn0 12426	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
23		6lt10 12745	. . . . . . 7 ⊢ 6 < ;10
24	3, 4, 22, 23	declti 12649	. . . . . 6 ⊢ 6 < ;17
25	21, 24	gtneii 11249	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ 6
26		vscandx 17243	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
27	25, 26	neeqtrri 3006	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
28	1, 27	eqnetri 3003	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
29		2nn 12222	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
30	5, 29	decnncl 12631	. . . . . . 7 ⊢ ;12 ∈ ℕ
31	30	nnrei 12158	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℝ
32		7nn 12241	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ
33		2lt7 12334	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 7
34	5, 13, 32, 33	declt 12639	. . . . . 6 ⊢ ;12 < ;17
35	31, 34	gtneii 11249	. . . . 5 ⊢ ;17 ≠ ;12
36		dsndx 17309	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
37	35, 36	neeqtrri 3006	. . . 4 ⊢ ;17 ≠ (dist‘ndx)
38	1, 37	eqnetri 3003	. . 3 ⊢ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
39	28, 38	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
40	20, 39	pm3.2i 470	1 ⊢ (((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ≠ wne 2933  ‘cfv 6493  1c1 11031  2c2 12204  6c6 12208  7c7 12209  ;cdc 12611  ndxcnx 17124  Basecbs 17140  +_gcplusg 17181   ·_𝑠 cvsca 17185  distcds 17190  LineGclng 28489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-plusg 17194  df-vsca 17198  df-ds 17203  df-lng 28491

This theorem is referenced by:  ttgbas  28932  ttgplusg  28933  ttgvsca  28935  ttgds  28936