Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lpadmax Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Length of a left-padded word, in the general case, expressed with an if statement. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
lpadmax (𝜑 → (♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), (♯‘𝑊), 𝐿))

StepHypRef Expression
1 eqeq2 2810 . 2 ((♯‘𝑊) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), (♯‘𝑊), 𝐿) → ((♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = (♯‘𝑊) ↔ (♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), (♯‘𝑊), 𝐿)))
2 eqeq2 2810 . 2 (𝐿 = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), (♯‘𝑊), 𝐿) → ((♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = 𝐿 ↔ (♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), (♯‘𝑊), 𝐿)))
3 lpadlen.1 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ℕ0)
43adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
5 lpadlen.2 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑆)
65adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
7 lpadlen.3 . . . 4 (𝜑𝐶𝑆)
87adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐶𝑆)
9 simpr 488 . . 3 ((𝜑𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))
104, 6, 8, 9lpadlen1 32060 . 2 ((𝜑𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = (♯‘𝑊))
113adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
125adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
137adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐶𝑆)
14 lencl 13876 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
155, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
1615nn0red 11944 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
1716adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
1811nn0red 11944 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℝ)
193nn0red 11944 . . . . . 6 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
2016, 19ltnled 10776 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝑊) < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
2120biimpar 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) < 𝐿)
2217, 18, 21ltled 10777 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ≤ 𝐿)
2311, 12, 13, 22lpadlen2 32062 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = 𝐿)
241, 2, 10, 23ifbothda 4462 1 (𝜑 → (♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), (♯‘𝑊), 𝐿))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ifcif 4425   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10525   < clt 10664   ≤ cle 10665  ℕ0cn0 11885  ♯chash 13686  Word cword 13857   leftpad clpad 32055 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-concat 13914  df-lpad 32056 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator