Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lpadmax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lpadmax 34347
Description: Length of a left-padded word, in the general case, expressed with an if statement. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lpadlen.1 (𝜑𝐿 ∈ ℕ0)
lpadlen.2 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑆)
lpadlen.3 (𝜑𝐶𝑆)
Assertion
Ref Expression
lpadmax (𝜑 → (♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), (♯‘𝑊), 𝐿))

Proof of Theorem lpadmax
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2740 . 2 ((♯‘𝑊) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), (♯‘𝑊), 𝐿) → ((♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = (♯‘𝑊) ↔ (♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), (♯‘𝑊), 𝐿)))
2 eqeq2 2740 . 2 (𝐿 = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), (♯‘𝑊), 𝐿) → ((♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = 𝐿 ↔ (♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), (♯‘𝑊), 𝐿)))
3 lpadlen.1 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ℕ0)
43adantr 479 . . 3 ((𝜑𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
5 lpadlen.2 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑆)
65adantr 479 . . 3 ((𝜑𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
7 lpadlen.3 . . . 4 (𝜑𝐶𝑆)
87adantr 479 . . 3 ((𝜑𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐶𝑆)
9 simpr 483 . . 3 ((𝜑𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))
104, 6, 8, 9lpadlen1 34344 . 2 ((𝜑𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = (♯‘𝑊))
113adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
125adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
137adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐶𝑆)
14 lencl 14523 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
155, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
1615nn0red 12571 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
1716adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
1811nn0red 12571 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℝ)
193nn0red 12571 . . . . . 6 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
2016, 19ltnled 11399 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝑊) < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
2120biimpar 476 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) < 𝐿)
2217, 18, 21ltled 11400 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ≤ 𝐿)
2311, 12, 13, 22lpadlen2 34346 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = 𝐿)
241, 2, 10, 23ifbothda 4570 1 (𝜑 → (♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), (♯‘𝑊), 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  ifcif 4532   class class class wbr 5152  cfv 6553  (class class class)co 7426  cr 11145   < clt 11286  cle 11287  0cn0 12510  chash 14329  Word cword 14504   leftpad clpad 34339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-oadd 8497  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-hash 14330  df-word 14505  df-concat 14561  df-lpad 34340
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator