Theorem lpadmax 34528

Description: Length of a left-padded word, in the general case, expressed with an if statement. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpadlen.1	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
lpadlen.2	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
lpadlen.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lpadmax	⊢ (𝜑 → (♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), (♯‘𝑊), 𝐿))

Proof of Theorem lpadmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2738	. 2 ⊢ ((♯‘𝑊) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), (♯‘𝑊), 𝐿) → ((♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = (♯‘𝑊) ↔ (♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), (♯‘𝑊), 𝐿)))
2		eqeq2 2738	. 2 ⊢ (𝐿 = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), (♯‘𝑊), 𝐿) → ((♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = 𝐿 ↔ (♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), (♯‘𝑊), 𝐿)))
3		lpadlen.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
4	3	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
5		lpadlen.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
6	5	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
7		lpadlen.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
8	7	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐶 ∈ 𝑆)
9		simpr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))
10	4, 6, 8, 9	lpadlen1 34525	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = (♯‘𝑊))
11	3	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
12	5	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
13	7	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐶 ∈ 𝑆)
14		lencl 14541	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
15	5, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
16	15	nn0red 12585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
17	16	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
18	11	nn0red 12585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℝ)
19	3	nn0red 12585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
20	16, 19	ltnled 11411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
21	20	biimpar 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) < 𝐿)
22	17, 18, 21	ltled 11412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ≤ 𝐿)
23	11, 12, 13, 22	lpadlen2 34527	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = 𝐿)
24	1, 2, 10, 23	ifbothda 4571	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), (♯‘𝑊), 𝐿))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ifcif 4533   class class class wbr 5153  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  ℝcr 11157   < clt 11298   ≤ cle 11299  ℕ₀cn0 12524  ♯chash 14347  Word cword 14522   leftpad clpad 34520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-oadd 8500  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-dju 9944  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-hash 14348  df-word 14523  df-concat 14579  df-lpad 34521

This theorem is referenced by: (None)