Theorem lpadmax 34676

Description: Length of a left-padded word, in the general case, expressed with an if statement. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpadlen.1	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
lpadlen.2	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
lpadlen.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lpadmax	⊢ (𝜑 → (♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), (♯‘𝑊), 𝐿))

Proof of Theorem lpadmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2747	. 2 ⊢ ((♯‘𝑊) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), (♯‘𝑊), 𝐿) → ((♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = (♯‘𝑊) ↔ (♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), (♯‘𝑊), 𝐿)))
2		eqeq2 2747	. 2 ⊢ (𝐿 = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), (♯‘𝑊), 𝐿) → ((♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = 𝐿 ↔ (♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), (♯‘𝑊), 𝐿)))
3		lpadlen.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
5		lpadlen.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
7		lpadlen.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐶 ∈ 𝑆)
9		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))
10	4, 6, 8, 9	lpadlen1 34673	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = (♯‘𝑊))
11	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
12	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
13	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐶 ∈ 𝑆)
14		lencl 14568	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
15	5, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
16	15	nn0red 12586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
18	11	nn0red 12586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℝ)
19	3	nn0red 12586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
20	16, 19	ltnled 11406	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
21	20	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) < 𝐿)
22	17, 18, 21	ltled 11407	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ≤ 𝐿)
23	11, 12, 13, 22	lpadlen2 34675	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = 𝐿)
24	1, 2, 10, 23	ifbothda 4569	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), (♯‘𝑊), 𝐿))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ifcif 4531   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝcr 11152   < clt 11293   ≤ cle 11294  ℕ₀cn0 12524  ♯chash 14366  Word cword 14549   leftpad clpad 34668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-lpad 34669

This theorem is referenced by: (None)