Theorem lpadmax 34842

Description: Length of a left-padded word, in the general case, expressed with an if statement. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpadlen.1	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
lpadlen.2	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
lpadlen.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lpadmax	⊢ (𝜑 → (♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), (♯‘𝑊), 𝐿))

Proof of Theorem lpadmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2749	. 2 ⊢ ((♯‘𝑊) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), (♯‘𝑊), 𝐿) → ((♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = (♯‘𝑊) ↔ (♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), (♯‘𝑊), 𝐿)))
2		eqeq2 2749	. 2 ⊢ (𝐿 = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), (♯‘𝑊), 𝐿) → ((♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = 𝐿 ↔ (♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), (♯‘𝑊), 𝐿)))
3		lpadlen.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
5		lpadlen.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
7		lpadlen.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐶 ∈ 𝑆)
9		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))
10	4, 6, 8, 9	lpadlen1 34839	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = (♯‘𝑊))
11	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
12	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
13	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐶 ∈ 𝑆)
14		lencl 14486	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
15	5, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
16	15	nn0red 12490	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
18	11	nn0red 12490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℝ)
19	3	nn0red 12490	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
20	16, 19	ltnled 11284	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
21	20	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) < 𝐿)
22	17, 18, 21	ltled 11285	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ≤ 𝐿)
23	11, 12, 13, 22	lpadlen2 34841	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = 𝐿)
24	1, 2, 10, 23	ifbothda 4506	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿)) = if(𝐿 ≤ (♯‘𝑊), (♯‘𝑊), 𝐿))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4467   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℝcr 11028   < clt 11170   ≤ cle 11171  ℕ₀cn0 12428  ♯chash 14283  Word cword 14466   leftpad clpad 34834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-oadd 8402  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-lpad 34835

This theorem is referenced by: (None)