Theorem lpadlem2 35135

Description: Lemma for the leftpad theorems. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpadlen.1	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
lpadlen.2	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
lpadlen.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
lpadlen2.1	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ≤ 𝐿)

Assertion

Ref	Expression
lpadlem2	⊢ (𝜑 → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))

Proof of Theorem lpadlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzofi 14028	. . . 4 ⊢ (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) ∈ Fin
2		snfi 9047	. . . 4 ⊢ {𝐶} ∈ Fin
3		hashxp 14489	. . . 4 ⊢ (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) ∈ Fin ∧ {𝐶} ∈ Fin) → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = ((♯‘(0..^(𝐿 − (♯‘𝑊)))) · (♯‘{𝐶})))
4	1, 2, 3	mp2an 705	. . 3 ⊢ (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = ((♯‘(0..^(𝐿 − (♯‘𝑊)))) · (♯‘{𝐶}))
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = ((♯‘(0..^(𝐿 − (♯‘𝑊)))) · (♯‘{𝐶})))
6		lpadlen.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
7		lencl 14588	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
8	6, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
9		lpadlen.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
10		lpadlen2.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ≤ 𝐿)
11		nn0sub2 12673	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≤ 𝐿) → (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ0)
12	8, 9, 10, 11	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ0)
13		hashfzo0 14485	. . . 4 ⊢ ((𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(𝐿 − (♯‘𝑊)))) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))
14	12, 13	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^(𝐿 − (♯‘𝑊)))) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))
15		lpadlen.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
16		hashsng 14423	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑆 → (♯‘{𝐶}) = 1)
17	15, 16	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝐶}) = 1)
18	14, 17	oveq12d 7437	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^(𝐿 − (♯‘𝑊)))) · (♯‘{𝐶})) = ((𝐿 − (♯‘𝑊)) · 1))
19	12	nn0cnd 12582	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
20	19	mulridd 11241	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − (♯‘𝑊)) · 1) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))
21	5, 18, 20	3eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {csn 4591   class class class wbr 5111   × cxp 5661  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Fincfn 8949  0cc0 11115  1c1 11116   · cmul 11120   ≤ cle 11259   − cmin 11456  ℕ₀cn0 12519  ..^cfzo 13699  ♯chash 14384  Word cword 14568

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-hash 14385  df-word 14569

This theorem is used by:  lpadlen2  35136  lpadleft  35138  lpadright  35139