Theorem lpadlem2 34667

Description: Lemma for the leftpad theorems. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpadlen.1	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
lpadlen.2	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
lpadlen.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
lpadlen2.1	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ≤ 𝐿)

Assertion

Ref	Expression
lpadlem2	⊢ (𝜑 → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))

Proof of Theorem lpadlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzofi 13900	. . . 4 ⊢ (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) ∈ Fin
2		snfi 8975	. . . 4 ⊢ {𝐶} ∈ Fin
3		hashxp 14360	. . . 4 ⊢ (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) ∈ Fin ∧ {𝐶} ∈ Fin) → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = ((♯‘(0..^(𝐿 − (♯‘𝑊)))) · (♯‘{𝐶})))
4	1, 2, 3	mp2an 692	. . 3 ⊢ (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = ((♯‘(0..^(𝐿 − (♯‘𝑊)))) · (♯‘{𝐶}))
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = ((♯‘(0..^(𝐿 − (♯‘𝑊)))) · (♯‘{𝐶})))
6		lpadlen.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
7		lencl 14459	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
9		lpadlen.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
10		lpadlen2.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ≤ 𝐿)
11		nn0sub2 12556	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≤ 𝐿) → (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ0)
12	8, 9, 10, 11	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ0)
13		hashfzo0 14356	. . . 4 ⊢ ((𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(𝐿 − (♯‘𝑊)))) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^(𝐿 − (♯‘𝑊)))) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))
15		lpadlen.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
16		hashsng 14295	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑆 → (♯‘{𝐶}) = 1)
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝐶}) = 1)
18	14, 17	oveq12d 7371	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^(𝐿 − (♯‘𝑊)))) · (♯‘{𝐶})) = ((𝐿 − (♯‘𝑊)) · 1))
19	12	nn0cnd 12466	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
20	19	mulridd 11151	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − (♯‘𝑊)) · 1) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))
21	5, 18, 20	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4579   class class class wbr 5095   × cxp 5621  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Fincfn 8879  0cc0 11028  1c1 11029   · cmul 11033   ≤ cle 11169   − cmin 11366  ℕ₀cn0 12403  ..^cfzo 13576  ♯chash 14256  Word cword 14439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12755  df-fz 13430  df-fzo 13577  df-hash 14257  df-word 14440

This theorem is referenced by:  lpadlen2  34668  lpadleft  34670  lpadright  34671