Theorem lpadlem2 34678

Description: Lemma for the leftpad theorems. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpadlen.1	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
lpadlen.2	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
lpadlen.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
lpadlen2.1	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ≤ 𝐿)

Assertion

Ref	Expression
lpadlem2	⊢ (𝜑 → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))

Proof of Theorem lpadlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzofi 13946	. . . 4 ⊢ (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) ∈ Fin
2		snfi 9017	. . . 4 ⊢ {𝐶} ∈ Fin
3		hashxp 14406	. . . 4 ⊢ (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) ∈ Fin ∧ {𝐶} ∈ Fin) → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = ((♯‘(0..^(𝐿 − (♯‘𝑊)))) · (♯‘{𝐶})))
4	1, 2, 3	mp2an 692	. . 3 ⊢ (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = ((♯‘(0..^(𝐿 − (♯‘𝑊)))) · (♯‘{𝐶}))
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = ((♯‘(0..^(𝐿 − (♯‘𝑊)))) · (♯‘{𝐶})))
6		lpadlen.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
7		lencl 14505	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
9		lpadlen.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
10		lpadlen2.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ≤ 𝐿)
11		nn0sub2 12602	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≤ 𝐿) → (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ0)
12	8, 9, 10, 11	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ0)
13		hashfzo0 14402	. . . 4 ⊢ ((𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(𝐿 − (♯‘𝑊)))) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^(𝐿 − (♯‘𝑊)))) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))
15		lpadlen.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
16		hashsng 14341	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑆 → (♯‘{𝐶}) = 1)
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝐶}) = 1)
18	14, 17	oveq12d 7408	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^(𝐿 − (♯‘𝑊)))) · (♯‘{𝐶})) = ((𝐿 − (♯‘𝑊)) · 1))
19	12	nn0cnd 12512	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
20	19	mulridd 11198	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − (♯‘𝑊)) · 1) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))
21	5, 18, 20	3eqtrd 2769	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4592   class class class wbr 5110   × cxp 5639  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Fincfn 8921  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080   ≤ cle 11216   − cmin 11412  ℕ₀cn0 12449  ..^cfzo 13622  ♯chash 14302  Word cword 14485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-word 14486

This theorem is referenced by:  lpadlen2  34679  lpadleft  34681  lpadright  34682