Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lpadlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lpadlem2 32372
Description: Lemma for the leftpad theorems. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lpadlen.1 (𝜑𝐿 ∈ ℕ0)
lpadlen.2 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑆)
lpadlen.3 (𝜑𝐶𝑆)
lpadlen2.1 (𝜑 → (♯‘𝑊) ≤ 𝐿)
Assertion
Ref Expression
lpadlem2 (𝜑 → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))

Proof of Theorem lpadlem2
StepHypRef Expression
1 fzofi 13547 . . . 4 (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) ∈ Fin
2 snfi 8721 . . . 4 {𝐶} ∈ Fin
3 hashxp 14001 . . . 4 (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) ∈ Fin ∧ {𝐶} ∈ Fin) → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = ((♯‘(0..^(𝐿 − (♯‘𝑊)))) · (♯‘{𝐶})))
41, 2, 3mp2an 692 . . 3 (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = ((♯‘(0..^(𝐿 − (♯‘𝑊)))) · (♯‘{𝐶}))
54a1i 11 . 2 (𝜑 → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = ((♯‘(0..^(𝐿 − (♯‘𝑊)))) · (♯‘{𝐶})))
6 lpadlen.2 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑆)
7 lencl 14088 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
86, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
9 lpadlen.1 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ ℕ0)
10 lpadlen2.1 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑊) ≤ 𝐿)
11 nn0sub2 12238 . . . . 5 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≤ 𝐿) → (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ0)
128, 9, 10, 11syl3anc 1373 . . . 4 (𝜑 → (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ0)
13 hashfzo0 13997 . . . 4 ((𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(𝐿 − (♯‘𝑊)))) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))
1412, 13syl 17 . . 3 (𝜑 → (♯‘(0..^(𝐿 − (♯‘𝑊)))) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))
15 lpadlen.3 . . . 4 (𝜑𝐶𝑆)
16 hashsng 13936 . . . 4 (𝐶𝑆 → (♯‘{𝐶}) = 1)
1715, 16syl 17 . . 3 (𝜑 → (♯‘{𝐶}) = 1)
1814, 17oveq12d 7231 . 2 (𝜑 → ((♯‘(0..^(𝐿 − (♯‘𝑊)))) · (♯‘{𝐶})) = ((𝐿 − (♯‘𝑊)) · 1))
1912nn0cnd 12152 . . 3 (𝜑 → (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
2019mulid1d 10850 . 2 (𝜑 → ((𝐿 − (♯‘𝑊)) · 1) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))
215, 18, 203eqtrd 2781 1 (𝜑 → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1543  wcel 2110  {csn 4541   class class class wbr 5053   × cxp 5549  cfv 6380  (class class class)co 7213  Fincfn 8626  0cc0 10729  1c1 10730   · cmul 10734  cle 10868  cmin 11062  0cn0 12090  ..^cfzo 13238  chash 13896  Word cword 14069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-oadd 8206  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-dju 9517  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-hash 13897  df-word 14070
This theorem is referenced by:  lpadlen2  32373  lpadleft  32375  lpadright  32376
  Copyright terms: Public domain W3C validator