Theorem lpadlem2 35423

Description: Lemma for the leftpad theorems. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpadlen.1	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
lpadlen.2	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
lpadlen.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
lpadlen2.1	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ≤ 𝐿)

Assertion

Ref	Expression
lpadlem2	⊢ (𝜑 → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))

Proof of Theorem lpadlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzofi 14157	. . . 4 ⊢ (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) ∈ Fin
2		snfi 9109	. . . 4 ⊢ {𝐶} ∈ Fin
3		hashxp 14620	. . . 4 ⊢ (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) ∈ Fin ∧ {𝐶} ∈ Fin) → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = ((♯‘(0..^(𝐿 − (♯‘𝑊)))) · (♯‘{𝐶})))
4	1, 2, 3	mp2an 705	. . 3 ⊢ (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = ((♯‘(0..^(𝐿 − (♯‘𝑊)))) · (♯‘{𝐶}))
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = ((♯‘(0..^(𝐿 − (♯‘𝑊)))) · (♯‘{𝐶})))
6		lpadlen.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
7		lencl 14719	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
8	6, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
9		lpadlen.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
10		lpadlen2.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ≤ 𝐿)
11		nn0sub2 12800	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≤ 𝐿) → (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ0)
12	8, 9, 10, 11	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ0)
13		hashfzo0 14616	. . . 4 ⊢ ((𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(𝐿 − (♯‘𝑊)))) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))
14	12, 13	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^(𝐿 − (♯‘𝑊)))) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))
15		lpadlen.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
16		hashsng 14554	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑆 → (♯‘{𝐶}) = 1)
17	15, 16	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝐶}) = 1)
18	14, 17	oveq12d 7469	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^(𝐿 − (♯‘𝑊)))) · (♯‘{𝐶})) = ((𝐿 − (♯‘𝑊)) · 1))
19	12	nn0cnd 12709	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
20	19	mulridd 11365	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − (♯‘𝑊)) · 1) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))
21	5, 18, 20	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶})) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {csn 4588   class class class wbr 5108   × cxp 5656  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Fincfn 9011  0cc0 11239  1c1 11240   · cmul 11244   ≤ cle 11383   − cmin 11580  ℕ₀cn0 12646  ..^cfzo 13828  ♯chash 14515  Word cword 14699

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-oadd 8518  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-hash 14516  df-word 14700

This theorem is used by:  lpadlen2  35424  lpadleft  35426  lpadright  35427