MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmdisjr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmdisjr 19594
Description: Disjointness from a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcntz.p = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmdisj.o 0 = (0g𝐺)
lsmdisjr.i (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = { 0 })
Assertion
Ref Expression
lsmdisjr (𝜑 → ((𝑆𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 }))

Proof of Theorem lsmdisjr
StepHypRef Expression
1 lsmcntz.p . . 3 = (LSSum‘𝐺)
2 lsmcntz.t . . 3 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 lsmcntz.u . . 3 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4 lsmcntz.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5 lsmdisj.o . . 3 0 = (0g𝐺)
6 incom 4201 . . . 4 (𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = ((𝑇 𝑈) ∩ 𝑆)
7 lsmdisjr.i . . . 4 (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = { 0 })
86, 7eqtr3id 2785 . . 3 (𝜑 → ((𝑇 𝑈) ∩ 𝑆) = { 0 })
91, 2, 3, 4, 5, 8lsmdisj 19591 . 2 (𝜑 → ((𝑇𝑆) = { 0 } ∧ (𝑈𝑆) = { 0 }))
10 incom 4201 . . . 4 (𝑇𝑆) = (𝑆𝑇)
1110eqeq1i 2736 . . 3 ((𝑇𝑆) = { 0 } ↔ (𝑆𝑇) = { 0 })
12 incom 4201 . . . 4 (𝑈𝑆) = (𝑆𝑈)
1312eqeq1i 2736 . . 3 ((𝑈𝑆) = { 0 } ↔ (𝑆𝑈) = { 0 })
1411, 13anbi12i 626 . 2 (((𝑇𝑆) = { 0 } ∧ (𝑈𝑆) = { 0 }) ↔ ((𝑆𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 }))
159, 14sylib 217 1 (𝜑 → ((𝑆𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  cin 3947  {csn 4628  cfv 6543  (class class class)co 7412  0gc0g 17390  SubGrpcsubg 19037  LSSumclsm 19544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-subg 19040  df-lsm 19546
This theorem is referenced by:  lsmdisj2a  19597  lsmdisj2b  19598
  Copyright terms: Public domain W3C validator