Theorem lsmdisjr 19753

Description: Disjointness from a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmcntz.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmdisj.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
lsmdisjr.i	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 })

Assertion

Ref	Expression
lsmdisjr	⊢ (𝜑 → ((𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 }))

Proof of Theorem lsmdisjr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmcntz.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
2		lsmcntz.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		lsmcntz.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4		lsmcntz.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		lsmdisj.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6		incom 4170	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = ((𝑇 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑆)
7		lsmdisjr.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 })
8	6, 7	eqtr3id 2818	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑆) = { 0 })
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	lsmdisj 19750	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∩ 𝑆) = { 0 } ∧ (𝑈 ∩ 𝑆) = { 0 }))
10		incom 4170	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑆) = (𝑆 ∩ 𝑇)
11	10	eqeq1i 2774	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∩ 𝑆) = { 0 } ↔ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })
12		incom 4170	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∩ 𝑆) = (𝑆 ∩ 𝑈)
13	12	eqeq1i 2774	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∩ 𝑆) = { 0 } ↔ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })
14	11, 13	anbi12i 639	. 2 ⊢ (((𝑇 ∩ 𝑆) = { 0 } ∧ (𝑈 ∩ 𝑆) = { 0 }) ↔ ((𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 }))
15	9, 14	sylib 221	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∩ cin 3912  {csn 4594  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  0_gc0g 17491  SubGrpcsubg 19185  LSSumclsm 19703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-subg 19188  df-lsm 19705

This theorem is referenced by:  lsmdisj2a  19756  lsmdisj2b  19757