Theorem lsmdisjr 19669

Description: Disjointness from a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmcntz.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmdisj.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
lsmdisjr.i	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 })

Assertion

Ref	Expression
lsmdisjr	⊢ (𝜑 → ((𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 }))

Proof of Theorem lsmdisjr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmcntz.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
2		lsmcntz.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		lsmcntz.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4		lsmcntz.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		lsmdisj.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6		incom 4189	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = ((𝑇 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑆)
7		lsmdisjr.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 })
8	6, 7	eqtr3id 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑆) = { 0 })
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	lsmdisj 19666	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∩ 𝑆) = { 0 } ∧ (𝑈 ∩ 𝑆) = { 0 }))
10		incom 4189	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑆) = (𝑆 ∩ 𝑇)
11	10	eqeq1i 2739	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∩ 𝑆) = { 0 } ↔ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })
12		incom 4189	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∩ 𝑆) = (𝑆 ∩ 𝑈)
13	12	eqeq1i 2739	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∩ 𝑆) = { 0 } ↔ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })
14	11, 13	anbi12i 628	. 2 ⊢ (((𝑇 ∩ 𝑆) = { 0 } ∧ (𝑈 ∩ 𝑆) = { 0 }) ↔ ((𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 }))
15	9, 14	sylib 218	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3930  {csn 4606  ‘cfv 6540  (class class class)co 7412  0_gc0g 17454  SubGrpcsubg 19106  LSSumclsm 19619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11475  df-neg 11476  df-nn 12248  df-2 12310  df-sets 17182  df-slot 17200  df-ndx 17212  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17285  df-0g 17456  df-mgm 18621  df-sgrp 18700  df-mnd 18716  df-submnd 18765  df-grp 18922  df-minusg 18923  df-subg 19109  df-lsm 19621

This theorem is referenced by:  lsmdisj2a  19672  lsmdisj2b  19673