MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmdisjr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmdisjr 19516
Description: Disjointness from a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcntz.p = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmdisj.o 0 = (0g𝐺)
lsmdisjr.i (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = { 0 })
Assertion
Ref Expression
lsmdisjr (𝜑 → ((𝑆𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 }))

Proof of Theorem lsmdisjr
StepHypRef Expression
1 lsmcntz.p . . 3 = (LSSum‘𝐺)
2 lsmcntz.t . . 3 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 lsmcntz.u . . 3 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4 lsmcntz.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5 lsmdisj.o . . 3 0 = (0g𝐺)
6 incom 4197 . . . 4 (𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = ((𝑇 𝑈) ∩ 𝑆)
7 lsmdisjr.i . . . 4 (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = { 0 })
86, 7eqtr3id 2785 . . 3 (𝜑 → ((𝑇 𝑈) ∩ 𝑆) = { 0 })
91, 2, 3, 4, 5, 8lsmdisj 19513 . 2 (𝜑 → ((𝑇𝑆) = { 0 } ∧ (𝑈𝑆) = { 0 }))
10 incom 4197 . . . 4 (𝑇𝑆) = (𝑆𝑇)
1110eqeq1i 2736 . . 3 ((𝑇𝑆) = { 0 } ↔ (𝑆𝑇) = { 0 })
12 incom 4197 . . . 4 (𝑈𝑆) = (𝑆𝑈)
1312eqeq1i 2736 . . 3 ((𝑈𝑆) = { 0 } ↔ (𝑆𝑈) = { 0 })
1411, 13anbi12i 627 . 2 (((𝑇𝑆) = { 0 } ∧ (𝑈𝑆) = { 0 }) ↔ ((𝑆𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 }))
159, 14sylib 217 1 (𝜑 → ((𝑆𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cin 3943  {csn 4622  cfv 6532  (class class class)co 7393  0gc0g 17367  SubGrpcsubg 18972  LSSumclsm 19466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-0g 17369  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-submnd 18648  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-subg 18975  df-lsm 19468
This theorem is referenced by:  lsmdisj2a  19519  lsmdisj2b  19520
  Copyright terms: Public domain W3C validator