Theorem lsmdisj2r 19786

Description: Association of the disjointness constraint in a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmcntz.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmdisj.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
lsmdisjr.i	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 })
lsmdisj2r.i	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })

Assertion

Ref	Expression
lsmdisj2r	⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 })

Proof of Theorem lsmdisj2r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (oppg‘𝐺) = (oppg‘𝐺)
2		lsmcntz.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
3	1, 2	oppglsm 19743	. . . 4 ⊢ (𝑈(LSSum‘(oppg‘𝐺))𝑆) = (𝑆 ⊕ 𝑈)
4	3	ineq2i 4173	. . 3 ⊢ (𝑇 ∩ (𝑈(LSSum‘(oppg‘𝐺))𝑆)) = (𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈))
5		incom 4165	. . 3 ⊢ (𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = ((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇)
6	4, 5	eqtri 2789	. 2 ⊢ (𝑇 ∩ (𝑈(LSSum‘(oppg‘𝐺))𝑆)) = ((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇)
7		eqid 2766	. . 3 ⊢ (LSSum‘(oppg‘𝐺)) = (LSSum‘(oppg‘𝐺))
8		lsmcntz.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
9	1	oppgsubg 19464	. . . 4 ⊢ (SubGrp‘𝐺) = (SubGrp‘(oppg‘𝐺))
10	8, 9	eleqtrdi 2876	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘(oppg‘𝐺)))
11		lsmcntz.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
12	11, 9	eleqtrdi 2876	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘(oppg‘𝐺)))
13		lsmcntz.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14	13, 9	eleqtrdi 2876	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘(oppg‘𝐺)))
15		lsmdisj.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
16	1, 15	oppgid 19457	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(oppg‘𝐺))
17	1, 2	oppglsm 19743	. . . . . 6 ⊢ (𝑈(LSSum‘(oppg‘𝐺))𝑇) = (𝑇 ⊕ 𝑈)
18	17	ineq1i 4172	. . . . 5 ⊢ ((𝑈(LSSum‘(oppg‘𝐺))𝑇) ∩ 𝑆) = ((𝑇 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑆)
19		incom 4165	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑆) = (𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈))
20	18, 19	eqtri 2789	. . . 4 ⊢ ((𝑈(LSSum‘(oppg‘𝐺))𝑇) ∩ 𝑆) = (𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈))
21		lsmdisjr.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 })
22	20, 21	eqtrid 2813	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈(LSSum‘(oppg‘𝐺))𝑇) ∩ 𝑆) = { 0 })
23		incom 4165	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ 𝑇)
24		lsmdisj2r.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
25	23, 24	eqtr3id 2815	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ 𝑇) = { 0 })
26	7, 10, 12, 14, 16, 22, 25	lsmdisj2 19783	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ (𝑈(LSSum‘(oppg‘𝐺))𝑆)) = { 0 })
27	6, 26	eqtr3id 2815	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 })

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∩ cin 3907  {csn 4594  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  0_gc0g 17517  SubGrpcsubg 19217  opp_gcoppg 19446  LSSumclsm 19735

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-tpos 8231  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-subg 19220  df-oppg 19447  df-lsm 19737

This theorem is used by:  lsmdisj3r  19787  lsmdisj2b  19789