Theorem lsmdisj2r 19660

Description: Association of the disjointness constraint in a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmcntz.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmdisj.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
lsmdisjr.i	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 })
lsmdisj2r.i	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })

Assertion

Ref	Expression
lsmdisj2r	⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 })

Proof of Theorem lsmdisj2r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (oppg‘𝐺) = (oppg‘𝐺)
2		lsmcntz.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
3	1, 2	oppglsm 19617	. . . 4 ⊢ (𝑈(LSSum‘(oppg‘𝐺))𝑆) = (𝑆 ⊕ 𝑈)
4	3	ineq2i 4157	. . 3 ⊢ (𝑇 ∩ (𝑈(LSSum‘(oppg‘𝐺))𝑆)) = (𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈))
5		incom 4149	. . 3 ⊢ (𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = ((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇)
6	4, 5	eqtri 2759	. 2 ⊢ (𝑇 ∩ (𝑈(LSSum‘(oppg‘𝐺))𝑆)) = ((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇)
7		eqid 2736	. . 3 ⊢ (LSSum‘(oppg‘𝐺)) = (LSSum‘(oppg‘𝐺))
8		lsmcntz.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
9	1	oppgsubg 19338	. . . 4 ⊢ (SubGrp‘𝐺) = (SubGrp‘(oppg‘𝐺))
10	8, 9	eleqtrdi 2846	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘(oppg‘𝐺)))
11		lsmcntz.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
12	11, 9	eleqtrdi 2846	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘(oppg‘𝐺)))
13		lsmcntz.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14	13, 9	eleqtrdi 2846	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘(oppg‘𝐺)))
15		lsmdisj.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
16	1, 15	oppgid 19331	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(oppg‘𝐺))
17	1, 2	oppglsm 19617	. . . . . 6 ⊢ (𝑈(LSSum‘(oppg‘𝐺))𝑇) = (𝑇 ⊕ 𝑈)
18	17	ineq1i 4156	. . . . 5 ⊢ ((𝑈(LSSum‘(oppg‘𝐺))𝑇) ∩ 𝑆) = ((𝑇 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑆)
19		incom 4149	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑆) = (𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈))
20	18, 19	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((𝑈(LSSum‘(oppg‘𝐺))𝑇) ∩ 𝑆) = (𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈))
21		lsmdisjr.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 })
22	20, 21	eqtrid 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈(LSSum‘(oppg‘𝐺))𝑇) ∩ 𝑆) = { 0 })
23		incom 4149	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ 𝑇)
24		lsmdisj2r.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
25	23, 24	eqtr3id 2785	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ 𝑇) = { 0 })
26	7, 10, 12, 14, 16, 22, 25	lsmdisj2 19657	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ (𝑈(LSSum‘(oppg‘𝐺))𝑆)) = { 0 })
27	6, 26	eqtr3id 2785	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3888  {csn 4567  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0_gc0g 17402  SubGrpcsubg 19096  opp_gcoppg 19320  LSSumclsm 19609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-subg 19099  df-oppg 19321  df-lsm 19611

This theorem is referenced by:  lsmdisj3r  19661  lsmdisj2b  19663