Theorem lsmdisj2r 19704

Description: Association of the disjointness constraint in a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmcntz.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmdisj.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
lsmdisjr.i	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 })
lsmdisj2r.i	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })

Assertion

Ref	Expression
lsmdisj2r	⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 })

Proof of Theorem lsmdisj2r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (oppg‘𝐺) = (oppg‘𝐺)
2		lsmcntz.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
3	1, 2	oppglsm 19661	. . . 4 ⊢ (𝑈(LSSum‘(oppg‘𝐺))𝑆) = (𝑆 ⊕ 𝑈)
4	3	ineq2i 4216	. . 3 ⊢ (𝑇 ∩ (𝑈(LSSum‘(oppg‘𝐺))𝑆)) = (𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈))
5		incom 4208	. . 3 ⊢ (𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = ((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇)
6	4, 5	eqtri 2764	. 2 ⊢ (𝑇 ∩ (𝑈(LSSum‘(oppg‘𝐺))𝑆)) = ((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇)
7		eqid 2736	. . 3 ⊢ (LSSum‘(oppg‘𝐺)) = (LSSum‘(oppg‘𝐺))
8		lsmcntz.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
9	1	oppgsubg 19383	. . . 4 ⊢ (SubGrp‘𝐺) = (SubGrp‘(oppg‘𝐺))
10	8, 9	eleqtrdi 2850	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘(oppg‘𝐺)))
11		lsmcntz.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
12	11, 9	eleqtrdi 2850	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘(oppg‘𝐺)))
13		lsmcntz.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14	13, 9	eleqtrdi 2850	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘(oppg‘𝐺)))
15		lsmdisj.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
16	1, 15	oppgid 19376	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(oppg‘𝐺))
17	1, 2	oppglsm 19661	. . . . . 6 ⊢ (𝑈(LSSum‘(oppg‘𝐺))𝑇) = (𝑇 ⊕ 𝑈)
18	17	ineq1i 4215	. . . . 5 ⊢ ((𝑈(LSSum‘(oppg‘𝐺))𝑇) ∩ 𝑆) = ((𝑇 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑆)
19		incom 4208	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑆) = (𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈))
20	18, 19	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ ((𝑈(LSSum‘(oppg‘𝐺))𝑇) ∩ 𝑆) = (𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈))
21		lsmdisjr.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 })
22	20, 21	eqtrid 2788	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈(LSSum‘(oppg‘𝐺))𝑇) ∩ 𝑆) = { 0 })
23		incom 4208	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ 𝑇)
24		lsmdisj2r.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
25	23, 24	eqtr3id 2790	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ 𝑇) = { 0 })
26	7, 10, 12, 14, 16, 22, 25	lsmdisj2 19701	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ (𝑈(LSSum‘(oppg‘𝐺))𝑆)) = { 0 })
27	6, 26	eqtr3id 2790	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3949  {csn 4625  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  0_gc0g 17485  SubGrpcsubg 19139  opp_gcoppg 19364  LSSumclsm 19653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-subg 19142  df-oppg 19365  df-lsm 19655

This theorem is referenced by:  lsmdisj3r  19705  lsmdisj2b  19707