MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmdisj2r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmdisj2r 18740
Description: Association of the disjointness constraint in a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcntz.p = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmdisj.o 0 = (0g𝐺)
lsmdisjr.i (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = { 0 })
lsmdisj2r.i (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
Assertion
Ref Expression
lsmdisj2r (𝜑 → ((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 })

Proof of Theorem lsmdisj2r
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . . . 5 (oppg𝐺) = (oppg𝐺)
2 lsmcntz.p . . . . 5 = (LSSum‘𝐺)
31, 2oppglsm 18696 . . . 4 (𝑈(LSSum‘(oppg𝐺))𝑆) = (𝑆 𝑈)
43ineq2i 4183 . . 3 (𝑇 ∩ (𝑈(LSSum‘(oppg𝐺))𝑆)) = (𝑇 ∩ (𝑆 𝑈))
5 incom 4175 . . 3 (𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = ((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇)
64, 5eqtri 2841 . 2 (𝑇 ∩ (𝑈(LSSum‘(oppg𝐺))𝑆)) = ((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇)
7 eqid 2818 . . 3 (LSSum‘(oppg𝐺)) = (LSSum‘(oppg𝐺))
8 lsmcntz.u . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
91oppgsubg 18429 . . . 4 (SubGrp‘𝐺) = (SubGrp‘(oppg𝐺))
108, 9eleqtrdi 2920 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘(oppg𝐺)))
11 lsmcntz.t . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
1211, 9eleqtrdi 2920 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘(oppg𝐺)))
13 lsmcntz.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
1413, 9eleqtrdi 2920 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘(oppg𝐺)))
15 lsmdisj.o . . . 4 0 = (0g𝐺)
161, 15oppgid 18422 . . 3 0 = (0g‘(oppg𝐺))
171, 2oppglsm 18696 . . . . . 6 (𝑈(LSSum‘(oppg𝐺))𝑇) = (𝑇 𝑈)
1817ineq1i 4182 . . . . 5 ((𝑈(LSSum‘(oppg𝐺))𝑇) ∩ 𝑆) = ((𝑇 𝑈) ∩ 𝑆)
19 incom 4175 . . . . 5 ((𝑇 𝑈) ∩ 𝑆) = (𝑆 ∩ (𝑇 𝑈))
2018, 19eqtri 2841 . . . 4 ((𝑈(LSSum‘(oppg𝐺))𝑇) ∩ 𝑆) = (𝑆 ∩ (𝑇 𝑈))
21 lsmdisjr.i . . . 4 (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = { 0 })
2220, 21syl5eq 2865 . . 3 (𝜑 → ((𝑈(LSSum‘(oppg𝐺))𝑇) ∩ 𝑆) = { 0 })
23 incom 4175 . . . 4 (𝑇𝑈) = (𝑈𝑇)
24 lsmdisj2r.i . . . 4 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
2523, 24syl5eqr 2867 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝑇) = { 0 })
267, 10, 12, 14, 16, 22, 25lsmdisj2 18737 . 2 (𝜑 → (𝑇 ∩ (𝑈(LSSum‘(oppg𝐺))𝑆)) = { 0 })
276, 26syl5eqr 2867 1 (𝜑 → ((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  cin 3932  {csn 4557  cfv 6348  (class class class)co 7145  0gc0g 16701  SubGrpcsubg 18211  oppgcoppg 18411  LSSumclsm 18688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-subg 18214  df-oppg 18412  df-lsm 18690
This theorem is referenced by:  lsmdisj3r  18741  lsmdisj2b  18743
  Copyright terms: Public domain W3C validator