Theorem lsmdisj2r 19598

Description: Association of the disjointness constraint in a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmcntz.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmdisj.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
lsmdisjr.i	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 })
lsmdisj2r.i	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })

Assertion

Ref	Expression
lsmdisj2r	⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 })

Proof of Theorem lsmdisj2r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (oppg‘𝐺) = (oppg‘𝐺)
2		lsmcntz.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
3	1, 2	oppglsm 19555	. . . 4 ⊢ (𝑈(LSSum‘(oppg‘𝐺))𝑆) = (𝑆 ⊕ 𝑈)
4	3	ineq2i 4167	. . 3 ⊢ (𝑇 ∩ (𝑈(LSSum‘(oppg‘𝐺))𝑆)) = (𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈))
5		incom 4159	. . 3 ⊢ (𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = ((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇)
6	4, 5	eqtri 2754	. 2 ⊢ (𝑇 ∩ (𝑈(LSSum‘(oppg‘𝐺))𝑆)) = ((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇)
7		eqid 2731	. . 3 ⊢ (LSSum‘(oppg‘𝐺)) = (LSSum‘(oppg‘𝐺))
8		lsmcntz.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
9	1	oppgsubg 19276	. . . 4 ⊢ (SubGrp‘𝐺) = (SubGrp‘(oppg‘𝐺))
10	8, 9	eleqtrdi 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘(oppg‘𝐺)))
11		lsmcntz.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
12	11, 9	eleqtrdi 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘(oppg‘𝐺)))
13		lsmcntz.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14	13, 9	eleqtrdi 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘(oppg‘𝐺)))
15		lsmdisj.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
16	1, 15	oppgid 19269	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(oppg‘𝐺))
17	1, 2	oppglsm 19555	. . . . . 6 ⊢ (𝑈(LSSum‘(oppg‘𝐺))𝑇) = (𝑇 ⊕ 𝑈)
18	17	ineq1i 4166	. . . . 5 ⊢ ((𝑈(LSSum‘(oppg‘𝐺))𝑇) ∩ 𝑆) = ((𝑇 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑆)
19		incom 4159	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑆) = (𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈))
20	18, 19	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ ((𝑈(LSSum‘(oppg‘𝐺))𝑇) ∩ 𝑆) = (𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈))
21		lsmdisjr.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 })
22	20, 21	eqtrid 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈(LSSum‘(oppg‘𝐺))𝑇) ∩ 𝑆) = { 0 })
23		incom 4159	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ 𝑇)
24		lsmdisj2r.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
25	23, 24	eqtr3id 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ 𝑇) = { 0 })
26	7, 10, 12, 14, 16, 22, 25	lsmdisj2 19595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ (𝑈(LSSum‘(oppg‘𝐺))𝑆)) = { 0 })
27	6, 26	eqtr3id 2780	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3901  {csn 4576  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0_gc0g 17343  SubGrpcsubg 19033  opp_gcoppg 19258  LSSumclsm 19547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-subg 19036  df-oppg 19259  df-lsm 19549

This theorem is referenced by:  lsmdisj3r  19599  lsmdisj2b  19601