Theorem lswlgt0cl 14727

Description: The last symbol of a nonempty word is an element of the alphabet for the word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 29-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lswlgt0cl	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)) → (lastS‘𝑊) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lswlgt0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 783	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2		eleq1 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝑊) → (𝑁 ∈ ℕ ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
3	2	eqcoms 2771	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
4	3	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
5		wrdfin 14690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 ∈ Fin)
6		hashnncl 14523	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
7	5, 6	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
8	7	biimpd 232	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → 𝑊 ≠ ∅))
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → 𝑊 ≠ ∅))
10	4, 9	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑊 ≠ ∅))
11	10	impcom 413	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)) → 𝑊 ≠ ∅)
12		lswcl 14726	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (lastS‘𝑊) ∈ 𝑉)
13	1, 11, 12	syl2anc 596	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)) → (lastS‘𝑊) ∈ 𝑉)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  ∅c0 4281  ‘cfv 6547  Fincfn 8987  ℕcn 12348  ♯chash 14487  Word cword 14671  lastSclsw 14720

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-hash 14488  df-word 14672  df-lsw 14721

This theorem is used by:  ccats1pfxeqbi  14905  wrdl2exs2  15112  wlkonwlk1l  30257  numclwwlk2lem1  30992