Theorem hashnncl 14307

Description: Positive natural closure of the hash function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashnncl	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem hashnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnne0 12196	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (♯‘𝐴) ≠ 0)
2		hashcl 14297	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
3		elnn0 12420	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝐴) = 0))
4	2, 3	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝐴) = 0))
5	4	ord 864	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (¬ (♯‘𝐴) ∈ ℕ → (♯‘𝐴) = 0))
6	5	necon1ad 2942	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ≠ 0 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ))
7	1, 6	impbid2 226	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
8		hasheq0 14304	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
9	8	necon3bid 2969	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
10	7, 9	bitrd 279	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∅c0 4292  ‘cfv 6499  Fincfn 8895  0cc0 11044  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12418  ♯chash 14271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-hash 14272

This theorem is referenced by:  hashge1  14330  lennncl  14475  lswlgt0cl  14510  wrdind  14663  wrd2ind  14664  incexc  15779  incexc2  15780  ramub1  16975  gsumwmhm  18748  psgnunilem5  19400  psgnunilem4  19403  gexcl2  19495  sylow1lem3  19506  sylow1lem5  19508  pgpfi  19511  pgpfi2  19512  sylow2alem2  19524  sylow2blem3  19528  slwhash  19530  fislw  19531  sylow3lem3  19535  sylow3lem4  19536  efgsres  19644  efgredlem  19653  lt6abl  19801  ablfacrp2  19975  ablfac1lem  19976  ablfac1b  19978  ablfac1c  19979  ablfac1eu  19981  pgpfac1lem2  19983  pgpfac1lem3a  19984  pgpfaclem2  19990  ablfaclem3  19995  lebnumlem3  24838  birthdaylem3  26839  birthday  26840  amgmlem  26876  amgm  26877  musum  27077  dchrabs  27147  dchrisum0flblem1  27395  cusgrrusgr  29485  frgrreg  30296  tgoldbachgtda  34625  derangfmla  35150  erdszelem2  35152  rrndstprj2  37798  rrncmslem  37799  rrnequiv  37802  sticksstones21  42128  sticksstones22  42129  isnumbasgrplem3  43067  fzisoeu  45271  fourierdlem54  46131  fourierdlem103  46180  fourierdlem104  46181  qndenserrnbllem  46265  ovnhoilem1  46572  hoiqssbllem1  46593  hoiqssbllem2  46594  hoiqssbllem3  46595  vonsn  46662  amgmlemALT  49765