Theorem hashnncl 14503

Description: Positive natural closure of the hash function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashnncl	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem hashnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnne0 12365	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (♯‘𝐴) ≠ 0)
2		hashcl 14493	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
3		elnn0 12601	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝐴) = 0))
4	2, 3	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝐴) = 0))
5	4	ord 878	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (¬ (♯‘𝐴) ∈ ℕ → (♯‘𝐴) = 0))
6	5	necon1ad 2973	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ≠ 0 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ))
7	1, 6	impbid2 229	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
8		hasheq0 14500	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
9	8	necon3bid 3000	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
10	7, 9	bitrd 282	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∅c0 4279  ‘cfv 6537  Fincfn 8966  0cc0 11193  ℕcn 12328  ℕ₀cn0 12599  ♯chash 14467

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-hash 14468

This theorem is used by:  hashge1  14526  lennncl  14672  lswlgt0cl  14707  wrdind  14864  wrd2ind  14865  incexc  15999  incexc2  16000  ramub1  17199  gsumwmhm  19034  psgnunilem5  19701  psgnunilem4  19704  gexcl2  19796  sylow1lem3  19807  sylow1lem5  19809  pgpfi  19812  pgpfi2  19813  sylow2alem2  19825  sylow2blem3  19829  slwhash  19831  fislw  19832  sylow3lem3  19836  sylow3lem4  19837  efgsres  19945  efgredlem  19954  lt6abl  20102  ablfacrp2  20276  ablfac1lem  20277  ablfac1b  20279  ablfac1c  20280  ablfac1eu  20282  pgpfac1lem2  20284  pgpfac1lem3a  20285  pgpfaclem2  20291  ablfaclem3  20296  lebnumlem3  25277  birthdaylem3  27274  birthday  27275  amgmlem  27310  amgm  27311  musum  27511  dchrabs  27580  dchrisum0flblem1  27828  cusgrrusgr  30155  frgrreg  30988  tgoldbachgtda  35283  derangfmla  35934  erdszelem2  35936  rrndstprj2  38745  rrncmslem  38746  rrnequiv  38749  sticksstones21  43197  sticksstones22  43198  isnumbasgrplem3  44091  fzisoeu  46285  fourierdlem54  47139  fourierdlem103  47188  fourierdlem104  47189  qndenserrnbllem  47273  ovnhoilem1  47580  hoiqssbllem1  47601  hoiqssbllem2  47602  hoiqssbllem3  47603  vonsn  47670  amgmlemALT  50957