Theorem hashnncl 14551

Description: Positive natural closure of the hash function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashnncl	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem hashnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnne0 12412	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (♯‘𝐴) ≠ 0)
2		hashcl 14541	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
3		elnn0 12648	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝐴) = 0))
4	2, 3	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝐴) = 0))
5	4	ord 878	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (¬ (♯‘𝐴) ∈ ℕ → (♯‘𝐴) = 0))
6	5	necon1ad 2976	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ≠ 0 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ))
7	1, 6	impbid2 229	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
8		hasheq0 14548	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
9	8	necon3bid 3003	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
10	7, 9	bitrd 282	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∅c0 4281  ‘cfv 6566  Fincfn 9011  0cc0 11239  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646  ♯chash 14515

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-hash 14516

This theorem is used by:  hashge1  14574  lennncl  14720  lswlgt0cl  14755  wrdind  14913  wrd2ind  14914  incexc  16050  incexc2  16051  ramub1  17250  gsumwmhm  19091  psgnunilem5  19759  psgnunilem4  19762  gexcl2  19854  sylow1lem3  19865  sylow1lem5  19867  pgpfi  19870  pgpfi2  19871  sylow2alem2  19883  sylow2blem3  19887  slwhash  19889  fislw  19890  sylow3lem3  19894  sylow3lem4  19895  efgsres  20003  efgredlem  20012  lt6abl  20160  ablfacrp2  20334  ablfac1lem  20335  ablfac1b  20337  ablfac1c  20338  ablfac1eu  20340  pgpfac1lem2  20342  pgpfac1lem3a  20343  pgpfaclem2  20349  ablfaclem3  20354  lebnumlem3  25339  birthdaylem3  27338  birthday  27339  amgmlem  27374  amgm  27375  musum  27575  dchrabs  27644  dchrisum0flblem1  27892  cusgrrusgr  30219  frgrreg  31052  tgoldbachgtda  35401  derangfmla  36163  erdszelem2  36165  rrndstprj2  39031  rrncmslem  39032  rrnequiv  39035  sticksstones21  43483  sticksstones22  43484  isnumbasgrplem3  44372  fzisoeu  46589  fourierdlem54  47443  fourierdlem103  47492  fourierdlem104  47493  qndenserrnbllem  47577  ovnhoilem1  47884  hoiqssbllem1  47905  hoiqssbllem2  47906  hoiqssbllem3  47907  vonsn  47974  amgmlemALT  51416