MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashnncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashnncl 13715
Description: Positive natural closure of the hash function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashnncl (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem hashnncl
StepHypRef Expression
1 nnne0 11659 . . 3 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (♯‘𝐴) ≠ 0)
2 hashcl 13705 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
3 elnn0 11887 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝐴) = 0))
42, 3sylib 219 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝐴) = 0))
54ord 858 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (¬ (♯‘𝐴) ∈ ℕ → (♯‘𝐴) = 0))
65necon1ad 3030 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ≠ 0 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ))
71, 6impbid2 227 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
8 hasheq0 13712 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
98necon3bid 3057 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
107, 9bitrd 280 1 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  c0 4288  cfv 6348  Fincfn 8497  0cc0 10525  cn 11626  0cn0 11885  chash 13678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-hash 13679
This theorem is referenced by:  hashge1  13738  lennncl  13872  lswlgt0cl  13909  wrdind  14072  wrd2ind  14073  incexc  15180  incexc2  15181  ramub1  16352  gsumwmhm  17998  psgnunilem5  18551  psgnunilem4  18554  gexcl2  18643  sylow1lem3  18654  sylow1lem5  18656  pgpfi  18659  pgpfi2  18660  sylow2alem2  18672  sylow2blem3  18676  slwhash  18678  fislw  18679  sylow3lem3  18683  sylow3lem4  18684  efgsres  18793  efgredlem  18802  lt6abl  18944  ablfacrp2  19118  ablfac1lem  19119  ablfac1b  19121  ablfac1c  19122  ablfac1eu  19124  pgpfac1lem2  19126  pgpfac1lem3a  19127  pgpfaclem2  19133  ablfaclem3  19138  lebnumlem3  23494  birthdaylem3  25458  birthday  25459  amgmlem  25494  amgm  25495  musum  25695  dchrabs  25763  dchrisum0flblem1  26011  cusgrrusgr  27290  frgrreg  28100  tgoldbachgtda  31831  derangfmla  32334  erdszelem2  32336  rrndstprj2  34990  rrncmslem  34991  rrnequiv  34994  isnumbasgrplem3  39583  fzisoeu  41443  fourierdlem54  42322  fourierdlem103  42371  fourierdlem104  42372  qndenserrnbllem  42456  ovnhoilem1  42760  hoiqssbllem1  42781  hoiqssbllem2  42782  hoiqssbllem3  42783  vonsn  42850  amgmlemALT  44832
  Copyright terms: Public domain W3C validator