MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashnncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashnncl 14272
Description: Positive natural closure of the hash function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashnncl (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem hashnncl
StepHypRef Expression
1 nnne0 12192 . . 3 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (♯‘𝐴) ≠ 0)
2 hashcl 14262 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
3 elnn0 12420 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝐴) = 0))
42, 3sylib 217 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝐴) = 0))
54ord 863 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (¬ (♯‘𝐴) ∈ ℕ → (♯‘𝐴) = 0))
65necon1ad 2957 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ≠ 0 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ))
71, 6impbid2 225 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
8 hasheq0 14269 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
98necon3bid 2985 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
107, 9bitrd 279 1 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  c0 4283  cfv 6497  Fincfn 8886  0cc0 11056  cn 12158  0cn0 12418  chash 14236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-hash 14237
This theorem is referenced by:  hashge1  14295  lennncl  14428  lswlgt0cl  14463  wrdind  14616  wrd2ind  14617  incexc  15727  incexc2  15728  ramub1  16905  gsumwmhm  18660  psgnunilem5  19281  psgnunilem4  19284  gexcl2  19376  sylow1lem3  19387  sylow1lem5  19389  pgpfi  19392  pgpfi2  19393  sylow2alem2  19405  sylow2blem3  19409  slwhash  19411  fislw  19412  sylow3lem3  19416  sylow3lem4  19417  efgsres  19525  efgredlem  19534  lt6abl  19677  ablfacrp2  19851  ablfac1lem  19852  ablfac1b  19854  ablfac1c  19855  ablfac1eu  19857  pgpfac1lem2  19859  pgpfac1lem3a  19860  pgpfaclem2  19866  ablfaclem3  19871  lebnumlem3  24342  birthdaylem3  26319  birthday  26320  amgmlem  26355  amgm  26356  musum  26556  dchrabs  26624  dchrisum0flblem1  26872  cusgrrusgr  28571  frgrreg  29380  tgoldbachgtda  33331  derangfmla  33841  erdszelem2  33843  rrndstprj2  36336  rrncmslem  36337  rrnequiv  36340  sticksstones21  40621  sticksstones22  40622  isnumbasgrplem3  41475  fzisoeu  43621  fourierdlem54  44487  fourierdlem103  44536  fourierdlem104  44537  qndenserrnbllem  44621  ovnhoilem1  44928  hoiqssbllem1  44949  hoiqssbllem2  44950  hoiqssbllem3  44951  vonsn  45018  amgmlemALT  47336
  Copyright terms: Public domain W3C validator