Theorem hashnncl 14301

Description: Positive natural closure of the hash function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashnncl	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem hashnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnne0 12191	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (♯‘𝐴) ≠ 0)
2		hashcl 14291	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
3		elnn0 12415	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝐴) = 0))
4	2, 3	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝐴) = 0))
5	4	ord 865	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (¬ (♯‘𝐴) ∈ ℕ → (♯‘𝐴) = 0))
6	5	necon1ad 2950	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ≠ 0 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ))
7	1, 6	impbid2 226	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
8		hasheq0 14298	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
9	8	necon3bid 2977	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
10	7, 9	bitrd 279	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∅c0 4287  ‘cfv 6500  Fincfn 8895  0cc0 11038  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  ♯chash 14265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-hash 14266

This theorem is referenced by:  hashge1  14324  lennncl  14469  lswlgt0cl  14504  wrdind  14657  wrd2ind  14658  incexc  15772  incexc2  15773  ramub1  16968  gsumwmhm  18782  psgnunilem5  19435  psgnunilem4  19438  gexcl2  19530  sylow1lem3  19541  sylow1lem5  19543  pgpfi  19546  pgpfi2  19547  sylow2alem2  19559  sylow2blem3  19563  slwhash  19565  fislw  19566  sylow3lem3  19570  sylow3lem4  19571  efgsres  19679  efgredlem  19688  lt6abl  19836  ablfacrp2  20010  ablfac1lem  20011  ablfac1b  20013  ablfac1c  20014  ablfac1eu  20016  pgpfac1lem2  20018  pgpfac1lem3a  20019  pgpfaclem2  20025  ablfaclem3  20030  lebnumlem3  24930  birthdaylem3  26931  birthday  26932  amgmlem  26968  amgm  26969  musum  27169  dchrabs  27239  dchrisum0flblem1  27487  cusgrrusgr  29667  frgrreg  30481  tgoldbachgtda  34839  derangfmla  35406  erdszelem2  35408  rrndstprj2  38082  rrncmslem  38083  rrnequiv  38086  sticksstones21  42537  sticksstones22  42538  isnumbasgrplem3  43462  fzisoeu  45662  fourierdlem54  46518  fourierdlem103  46567  fourierdlem104  46568  qndenserrnbllem  46652  ovnhoilem1  46959  hoiqssbllem1  46980  hoiqssbllem2  46981  hoiqssbllem3  46982  vonsn  47049  amgmlemALT  50162