Theorem hashnncl 14268

Description: Positive natural closure of the hash function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashnncl	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem hashnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnne0 12154	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (♯‘𝐴) ≠ 0)
2		hashcl 14258	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
3		elnn0 12378	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝐴) = 0))
4	2, 3	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝐴) = 0))
5	4	ord 864	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (¬ (♯‘𝐴) ∈ ℕ → (♯‘𝐴) = 0))
6	5	necon1ad 2945	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ≠ 0 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ))
7	1, 6	impbid2 226	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
8		hasheq0 14265	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
9	8	necon3bid 2972	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
10	7, 9	bitrd 279	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∅c0 4278  ‘cfv 6476  Fincfn 8864  0cc0 11001  ℕcn 12120  ℕ₀cn0 12376  ♯chash 14232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-fz 13403  df-hash 14233

This theorem is referenced by:  hashge1  14291  lennncl  14436  lswlgt0cl  14471  wrdind  14624  wrd2ind  14625  incexc  15739  incexc2  15740  ramub1  16935  gsumwmhm  18748  psgnunilem5  19401  psgnunilem4  19404  gexcl2  19496  sylow1lem3  19507  sylow1lem5  19509  pgpfi  19512  pgpfi2  19513  sylow2alem2  19525  sylow2blem3  19529  slwhash  19531  fislw  19532  sylow3lem3  19536  sylow3lem4  19537  efgsres  19645  efgredlem  19654  lt6abl  19802  ablfacrp2  19976  ablfac1lem  19977  ablfac1b  19979  ablfac1c  19980  ablfac1eu  19982  pgpfac1lem2  19984  pgpfac1lem3a  19985  pgpfaclem2  19991  ablfaclem3  19996  lebnumlem3  24884  birthdaylem3  26885  birthday  26886  amgmlem  26922  amgm  26923  musum  27123  dchrabs  27193  dchrisum0flblem1  27441  cusgrrusgr  29555  frgrreg  30366  tgoldbachgtda  34666  derangfmla  35226  erdszelem2  35228  rrndstprj2  37871  rrncmslem  37872  rrnequiv  37875  sticksstones21  42200  sticksstones22  42201  isnumbasgrplem3  43138  fzisoeu  45341  fourierdlem54  46198  fourierdlem103  46247  fourierdlem104  46248  qndenserrnbllem  46332  ovnhoilem1  46639  hoiqssbllem1  46660  hoiqssbllem2  46661  hoiqssbllem3  46662  vonsn  46729  amgmlemALT  49835