MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashnncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashnncl 13732
Description: Positive natural closure of the hash function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashnncl (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem hashnncl
StepHypRef Expression
1 nnne0 11668 . . 3 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (♯‘𝐴) ≠ 0)
2 hashcl 13722 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
3 elnn0 11896 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝐴) = 0))
42, 3sylib 221 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝐴) = 0))
54ord 861 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (¬ (♯‘𝐴) ∈ ℕ → (♯‘𝐴) = 0))
65necon1ad 3031 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ≠ 0 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ))
71, 6impbid2 229 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
8 hasheq0 13729 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
98necon3bid 3058 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
107, 9bitrd 282 1 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wo 844   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  c0 4276  cfv 6343  Fincfn 8505  0cc0 10535  cn 11634  0cn0 11894  chash 13695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-hash 13696
This theorem is referenced by:  hashge1  13755  lennncl  13886  lswlgt0cl  13921  wrdind  14084  wrd2ind  14085  incexc  15192  incexc2  15193  ramub1  16362  gsumwmhm  18010  psgnunilem5  18622  psgnunilem4  18625  gexcl2  18714  sylow1lem3  18725  sylow1lem5  18727  pgpfi  18730  pgpfi2  18731  sylow2alem2  18743  sylow2blem3  18747  slwhash  18749  fislw  18750  sylow3lem3  18754  sylow3lem4  18755  efgsres  18864  efgredlem  18873  lt6abl  19015  ablfacrp2  19189  ablfac1lem  19190  ablfac1b  19192  ablfac1c  19193  ablfac1eu  19195  pgpfac1lem2  19197  pgpfac1lem3a  19198  pgpfaclem2  19204  ablfaclem3  19209  lebnumlem3  23574  birthdaylem3  25545  birthday  25546  amgmlem  25581  amgm  25582  musum  25782  dchrabs  25850  dchrisum0flblem1  26098  cusgrrusgr  27377  frgrreg  28185  tgoldbachgtda  31992  derangfmla  32497  erdszelem2  32499  rrndstprj2  35217  rrncmslem  35218  rrnequiv  35221  isnumbasgrplem3  39969  fzisoeu  41862  fourierdlem54  42732  fourierdlem103  42781  fourierdlem104  42782  qndenserrnbllem  42866  ovnhoilem1  43170  hoiqssbllem1  43191  hoiqssbllem2  43192  hoiqssbllem3  43193  vonsn  43260  amgmlemALT  45261
  Copyright terms: Public domain W3C validator