MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matsca2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matsca2 21785
Description: The scalars of the matrix ring are the underlying ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
matsca2.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
matsca2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π΄))

Proof of Theorem matsca2
StepHypRef Expression
1 xpfi 9268 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) β†’ (𝑁 Γ— 𝑁) ∈ Fin)
21anidms 568 . . 3 (𝑁 ∈ Fin β†’ (𝑁 Γ— 𝑁) ∈ Fin)
3 eqid 2737 . . . . 5 (𝑅 freeLMod (𝑁 Γ— 𝑁)) = (𝑅 freeLMod (𝑁 Γ— 𝑁))
43frlmsca 21175 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 Γ— 𝑁) ∈ Fin) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod (𝑁 Γ— 𝑁))))
54ancoms 460 . . 3 (((𝑁 Γ— 𝑁) ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod (𝑁 Γ— 𝑁))))
62, 5sylan 581 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod (𝑁 Γ— 𝑁))))
7 matsca2.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
87, 3matsca 21778 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod (𝑁 Γ— 𝑁))) = (Scalarβ€˜π΄))
96, 8eqtrd 2777 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   Γ— cxp 5636  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  Scalarcsca 17143   freeLMod cfrlm 21168   Mat cmat 21770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-hom 17164  df-cco 17165  df-prds 17336  df-pws 17338  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-mat 21771
This theorem is referenced by:  matvscl  21796  matassa  21809  mat0dimscm  21834  scmatid  21879  scmataddcl  21881  scmatsubcl  21882  smatvscl  21889  scmatlss  21890  scmatghm  21898  scmatmhm  21899  matinv  22042  pmatcollpwfi  22147  pmatcollpw3fi1lem1  22151  pm2mp  22190  chpmat1dlem  22200  chpmat1d  22201  chpdmatlem0  22202  chfacfscmulcl  22222  chfacfscmul0  22223  chfacfscmulgsum  22225  cpmidpmatlem3  22237  cpmadugsumlemB  22239  cpmadugsumlemC  22240  cpmadugsumlemF  22241  cpmadugsumfi  22242  cpmidgsum2  22244  cayhamlem2  22249  chcoeffeqlem  22250  matdim  32352
  Copyright terms: Public domain W3C validator