Theorem matscaOLD 22387

Description: Obsolete version of matsca 22386 as of 12-Nov-2024. The matrix ring has the same scalars as its underlying linear structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
matbas.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matbas.g	⊢ 𝐺 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
matscaOLD	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝐴))

Proof of Theorem matscaOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scaid 17336	. . 3 ⊢ Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
2		3re 12329	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3		3lt5 12427	. . . . 5 ⊢ 3 < 5
4	2, 3	gtneii 11356	. . . 4 ⊢ 5 ≠ 3
5		scandx 17335	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
6		mulrndx 17315	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
7	5, 6	neeq12i 2997	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘ndx) ≠ (.r‘ndx) ↔ 5 ≠ 3)
8	4, 7	mpbir 231	. . 3 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
9	1, 8	setsnid 17228	. 2 ⊢ (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘(𝐺 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)⟩))
10		matbas.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
11		matbas.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
12		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
13	10, 11, 12	matval 22382	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝐴 = (𝐺 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)⟩))
14	13	fveq2d 6891	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘(𝐺 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)⟩)))
15	9, 14	eqtr4id 2788	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ⟨cop 4614  ⟨cotp 4616   × cxp 5665  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8968  3c3 12305  5c5 12307   sSet csts 17183  ndxcnx 17213  ._rcmulr 17278  Scalarcsca 17280   freeLMod cfrlm 21733   maMul cmmul 22361   Mat cmat 22378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-ot 4617  df-uni 4890  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-er 8728  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12250  df-2 12312  df-3 12313  df-4 12314  df-5 12315  df-sets 17184  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-mulr 17291  df-sca 17293  df-mat 22379

This theorem is referenced by: (None)