Theorem matscaOLD 21714

Description: Obsolete proof of matsca 21713 as of 12-Nov-2024. The matrix ring has the same scalars as its underlying linear structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
matbas.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matbas.g	⊢ 𝐺 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
matscaOLD	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝐴))

Proof of Theorem matscaOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scaid 17155	. . 3 ⊢ Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
2		3re 12191	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3		3lt5 12289	. . . . 5 ⊢ 3 < 5
4	2, 3	gtneii 11225	. . . 4 ⊢ 5 ≠ 3
5		scandx 17154	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
6		mulrndx 17133	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
7	5, 6	neeq12i 3008	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘ndx) ≠ (.r‘ndx) ↔ 5 ≠ 3)
8	4, 7	mpbir 230	. . 3 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
9	1, 8	setsnid 17040	. 2 ⊢ (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘(𝐺 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)⟩))
10		matbas.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
11		matbas.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
12		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
13	10, 11, 12	matval 21709	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝐴 = (𝐺 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)⟩))
14	13	fveq2d 6843	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘(𝐺 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)⟩)))
15	9, 14	eqtr4id 2796	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2941  ⟨cop 4590  ⟨cotp 4592   × cxp 5629  ‘cfv 6493  (class class class)co 7351  Fincfn 8841  3c3 12167  5c5 12169   sSet csts 16994  ndxcnx 17024  ._rcmulr 17093  Scalarcsca 17095   freeLMod cfrlm 21104   maMul cmmul 21683   Mat cmat 21705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-sets 16995  df-slot 17013  df-ndx 17025  df-mulr 17106  df-sca 17108  df-mat 21706

This theorem is referenced by: (None)