MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matvsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matvsca 22337
Description: The matrix ring has the same scalar multiplication as its underlying linear structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
matbas.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matbas.g 𝐺 = (𝑅 freeLMod (𝑁 Γ— 𝑁))
Assertion
Ref Expression
matvsca ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ ( ·𝑠 β€˜πΊ) = ( ·𝑠 β€˜π΄))

Proof of Theorem matvsca
StepHypRef Expression
1 vscaid 17308 . . 3 ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 β€˜ndx)
2 vscandxnmulrndx 17311 . . 3 ( ·𝑠 β€˜ndx) β‰  (.rβ€˜ndx)
31, 2setsnid 17185 . 2 ( ·𝑠 β€˜πΊ) = ( ·𝑠 β€˜(𝐺 sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©)⟩))
4 matbas.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5 matbas.g . . . 4 𝐺 = (𝑅 freeLMod (𝑁 Γ— 𝑁))
6 eqid 2728 . . . 4 (𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©) = (𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©)
74, 5, 6matval 22331 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ 𝐴 = (𝐺 sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©)⟩))
87fveq2d 6906 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ ( ·𝑠 β€˜π΄) = ( ·𝑠 β€˜(𝐺 sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©)⟩)))
93, 8eqtr4id 2787 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ ( ·𝑠 β€˜πΊ) = ( ·𝑠 β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βŸ¨cop 4638  βŸ¨cotp 4640   Γ— cxp 5680  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8970   sSet csts 17139  ndxcnx 17169  .rcmulr 17241   ·𝑠 cvsca 17244   freeLMod cfrlm 21687   maMul cmmul 22305   Mat cmat 22327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-mulr 17254  df-vsca 17257  df-mat 22328
This theorem is referenced by:  matvsca2  22350  matlmod  22351  matdim  33346
  Copyright terms: Public domain W3C validator