![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > matvsca2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Scalar multiplication in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
matvsca2.a | โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) |
matvsca2.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ด) |
matvsca2.k | โข ๐พ = (Baseโ๐ ) |
matvsca2.v | โข ยท = ( ยท๐ โ๐ด) |
matvsca2.t | โข ร = (.rโ๐ ) |
matvsca2.c | โข ๐ถ = (๐ ร ๐) |
Ref | Expression |
---|---|
matvsca2 | โข ((๐ โ ๐พ โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท ๐) = ((๐ถ ร {๐}) โf ร ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | matvsca2.a | . . . . . . 7 โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) | |
2 | matvsca2.b | . . . . . . 7 โข ๐ต = (Baseโ๐ด) | |
3 | 1, 2 | matrcl 22267 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ต โ (๐ โ Fin โง ๐ โ V)) |
4 | 3 | adantl 481 | . . . . 5 โข ((๐ โ ๐พ โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ Fin โง ๐ โ V)) |
5 | eqid 2726 | . . . . . 6 โข (๐ freeLMod (๐ ร ๐)) = (๐ freeLMod (๐ ร ๐)) | |
6 | 1, 5 | matvsca 22272 | . . . . 5 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ V) โ ( ยท๐ โ(๐ freeLMod (๐ ร ๐))) = ( ยท๐ โ๐ด)) |
7 | 4, 6 | syl 17 | . . . 4 โข ((๐ โ ๐พ โง ๐ โ ๐ต) โ ( ยท๐ โ(๐ freeLMod (๐ ร ๐))) = ( ยท๐ โ๐ด)) |
8 | matvsca2.v | . . . 4 โข ยท = ( ยท๐ โ๐ด) | |
9 | 7, 8 | eqtr4di 2784 | . . 3 โข ((๐ โ ๐พ โง ๐ โ ๐ต) โ ( ยท๐ โ(๐ freeLMod (๐ ร ๐))) = ยท ) |
10 | 9 | oveqd 7422 | . 2 โข ((๐ โ ๐พ โง ๐ โ ๐ต) โ (๐( ยท๐ โ(๐ freeLMod (๐ ร ๐)))๐) = (๐ ยท ๐)) |
11 | eqid 2726 | . . . 4 โข (Baseโ(๐ freeLMod (๐ ร ๐))) = (Baseโ(๐ freeLMod (๐ ร ๐))) | |
12 | matvsca2.k | . . . 4 โข ๐พ = (Baseโ๐ ) | |
13 | 4 | simpld 494 | . . . . 5 โข ((๐ โ ๐พ โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ Fin) |
14 | xpfi 9319 | . . . . 5 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Fin) โ (๐ ร ๐) โ Fin) | |
15 | 13, 13, 14 | syl2anc 583 | . . . 4 โข ((๐ โ ๐พ โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ร ๐) โ Fin) |
16 | simpl 482 | . . . 4 โข ((๐ โ ๐พ โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ ๐พ) | |
17 | simpr 484 | . . . . 5 โข ((๐ โ ๐พ โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ ๐ต) | |
18 | 1, 5 | matbas 22268 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ V) โ (Baseโ(๐ freeLMod (๐ ร ๐))) = (Baseโ๐ด)) |
19 | 4, 18 | syl 17 | . . . . . 6 โข ((๐ โ ๐พ โง ๐ โ ๐ต) โ (Baseโ(๐ freeLMod (๐ ร ๐))) = (Baseโ๐ด)) |
20 | 19, 2 | eqtr4di 2784 | . . . . 5 โข ((๐ โ ๐พ โง ๐ โ ๐ต) โ (Baseโ(๐ freeLMod (๐ ร ๐))) = ๐ต) |
21 | 17, 20 | eleqtrrd 2830 | . . . 4 โข ((๐ โ ๐พ โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ (Baseโ(๐ freeLMod (๐ ร ๐)))) |
22 | eqid 2726 | . . . 4 โข ( ยท๐ โ(๐ freeLMod (๐ ร ๐))) = ( ยท๐ โ(๐ freeLMod (๐ ร ๐))) | |
23 | matvsca2.t | . . . 4 โข ร = (.rโ๐ ) | |
24 | 5, 11, 12, 15, 16, 21, 22, 23 | frlmvscafval 21661 | . . 3 โข ((๐ โ ๐พ โง ๐ โ ๐ต) โ (๐( ยท๐ โ(๐ freeLMod (๐ ร ๐)))๐) = (((๐ ร ๐) ร {๐}) โf ร ๐)) |
25 | matvsca2.c | . . . . 5 โข ๐ถ = (๐ ร ๐) | |
26 | 25 | xpeq1i 5695 | . . . 4 โข (๐ถ ร {๐}) = ((๐ ร ๐) ร {๐}) |
27 | 26 | oveq1i 7415 | . . 3 โข ((๐ถ ร {๐}) โf ร ๐) = (((๐ ร ๐) ร {๐}) โf ร ๐) |
28 | 24, 27 | eqtr4di 2784 | . 2 โข ((๐ โ ๐พ โง ๐ โ ๐ต) โ (๐( ยท๐ โ(๐ freeLMod (๐ ร ๐)))๐) = ((๐ถ ร {๐}) โf ร ๐)) |
29 | 10, 28 | eqtr3d 2768 | 1 โข ((๐ โ ๐พ โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท ๐) = ((๐ถ ร {๐}) โf ร ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 Vcvv 3468 {csn 4623 ร cxp 5667 โcfv 6537 (class class class)co 7405 โf cof 7665 Fincfn 8941 Basecbs 17153 .rcmulr 17207 ยท๐ cvsca 17210 freeLMod cfrlm 21641 Mat cmat 22262 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-tp 4628 df-op 4630 df-ot 4632 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6294 df-ord 6361 df-on 6362 df-lim 6363 df-suc 6364 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-of 7667 df-om 7853 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-frecs 8267 df-wrecs 8298 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-1o 8467 df-er 8705 df-map 8824 df-ixp 8894 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-fin 8945 df-sup 9439 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-nn 12217 df-2 12279 df-3 12280 df-4 12281 df-5 12282 df-6 12283 df-7 12284 df-8 12285 df-9 12286 df-n0 12477 df-z 12563 df-dec 12682 df-uz 12827 df-fz 13491 df-struct 17089 df-sets 17106 df-slot 17124 df-ndx 17136 df-base 17154 df-ress 17183 df-plusg 17219 df-mulr 17220 df-sca 17222 df-vsca 17223 df-ip 17224 df-tset 17225 df-ple 17226 df-ds 17228 df-hom 17230 df-cco 17231 df-prds 17402 df-pws 17404 df-sra 21021 df-rgmod 21022 df-dsmm 21627 df-frlm 21642 df-mat 22263 |
This theorem is referenced by: matvscacell 22293 matassa 22301 matsc 22307 mattposvs 22312 mat1dimscm 22332 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |