Theorem matvsca2 22407

Description: Scalar multiplication in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matvsca2.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matvsca2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
matvsca2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
matvsca2.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐴)
matvsca2.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
matvsca2.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 × 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
matvsca2	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = ((𝐶 × {𝑋}) ∘f × 𝑌))

Proof of Theorem matvsca2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matvsca2.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		matvsca2.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3	1, 2	matrcl 22391	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
4	3	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
5		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
6	1, 5	matvsca 22395	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
7	4, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
8		matvsca2.v	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐴)
9	7, 8	eqtr4di 2790	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = · )
10	9	oveqd 7379	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌) = (𝑋 · 𝑌))
11		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
12		matvsca2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
13	4	simpld 494	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
14		xpfi 9225	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
15	13, 13, 14	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
16		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐾)
17		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
18	1, 5	matbas 22392	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
19	4, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
20	19, 2	eqtr4di 2790	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = 𝐵)
21	17, 20	eleqtrrd 2840	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
22		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
23		matvsca2.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
24	5, 11, 12, 15, 16, 21, 22, 23	frlmvscafval 21760	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f × 𝑌))
25		matvsca2.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑁 × 𝑁)
26	25	xpeq1i 5652	. . . 4 ⊢ (𝐶 × {𝑋}) = ((𝑁 × 𝑁) × {𝑋})
27	26	oveq1i 7372	. . 3 ⊢ ((𝐶 × {𝑋}) ∘f × 𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f × 𝑌)
28	24, 27	eqtr4di 2790	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌) = ((𝐶 × {𝑋}) ∘f × 𝑌))
29	10, 28	eqtr3d 2774	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = ((𝐶 × {𝑋}) ∘f × 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  {csn 4568   × cxp 5624  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362   ∘_f cof 7624  Fincfn 8888  Basecbs 17174  ._rcmulr 17216   ·_𝑠 cvsca 17219   freeLMod cfrlm 21740   Mat cmat 22386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7626  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-map 8770  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-sup 9350  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-hom 17239  df-cco 17240  df-prds 17405  df-pws 17407  df-sra 21164  df-rgmod 21165  df-dsmm 21726  df-frlm 21741  df-mat 22387

This theorem is referenced by:  matvscacell  22415  matassa  22423  matsc  22429  mattposvs  22434  mat1dimscm  22454