Theorem matvsca2 21040

Description: Scalar multiplication in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matvsca2.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matvsca2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
matvsca2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
matvsca2.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐴)
matvsca2.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
matvsca2.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 × 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
matvsca2	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = ((𝐶 × {𝑋}) ∘f × 𝑌))

Proof of Theorem matvsca2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matvsca2.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		matvsca2.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3	1, 2	matrcl 21024	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
4	3	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
5		eqid 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
6	1, 5	matvsca 21028	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
7	4, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
8		matvsca2.v	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐴)
9	7, 8	syl6eqr 2877	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = · )
10	9	oveqd 7176	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌) = (𝑋 · 𝑌))
11		eqid 2824	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
12		matvsca2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
13	4	simpld 497	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
14		xpfi 8792	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
15	13, 13, 14	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
16		simpl 485	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐾)
17		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
18	1, 5	matbas 21025	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
19	4, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
20	19, 2	syl6eqr 2877	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = 𝐵)
21	17, 20	eleqtrrd 2919	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
22		eqid 2824	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
23		matvsca2.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
24	5, 11, 12, 15, 16, 21, 22, 23	frlmvscafval 20913	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f × 𝑌))
25		matvsca2.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑁 × 𝑁)
26	25	xpeq1i 5584	. . . 4 ⊢ (𝐶 × {𝑋}) = ((𝑁 × 𝑁) × {𝑋})
27	26	oveq1i 7169	. . 3 ⊢ ((𝐶 × {𝑋}) ∘f × 𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f × 𝑌)
28	24, 27	syl6eqr 2877	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌) = ((𝐶 × {𝑋}) ∘f × 𝑌))
29	10, 28	eqtr3d 2861	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = ((𝐶 × {𝑋}) ∘f × 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  Vcvv 3497  {csn 4570   × cxp 5556  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159   ∘_f cof 7410  Fincfn 8512  Basecbs 16486  ._rcmulr 16569   ·_𝑠 cvsca 16572   freeLMod cfrlm 20893   Mat cmat 21019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-ot 4579  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-of 7412  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-ixp 8465  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-sup 8909  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-ip 16586  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-hom 16592  df-cco 16593  df-prds 16724  df-pws 16726  df-sra 19947  df-rgmod 19948  df-dsmm 20879  df-frlm 20894  df-mat 21020

This theorem is referenced by:  matvscacell  21048  matassa  21056  matsc  21062  mattposvs  21067  mat1dimscm  21087