Theorem matvsca2 22315

Description: Scalar multiplication in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matvsca2.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matvsca2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
matvsca2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
matvsca2.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐴)
matvsca2.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
matvsca2.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 × 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
matvsca2	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = ((𝐶 × {𝑋}) ∘f × 𝑌))

Proof of Theorem matvsca2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matvsca2.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		matvsca2.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3	1, 2	matrcl 22299	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
4	3	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
5		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
6	1, 5	matvsca 22303	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
7	4, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
8		matvsca2.v	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐴)
9	7, 8	eqtr4di 2782	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = · )
10	9	oveqd 7404	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌) = (𝑋 · 𝑌))
11		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
12		matvsca2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
13	4	simpld 494	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
14		xpfi 9269	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
15	13, 13, 14	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
16		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐾)
17		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
18	1, 5	matbas 22300	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
19	4, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
20	19, 2	eqtr4di 2782	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = 𝐵)
21	17, 20	eleqtrrd 2831	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
22		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
23		matvsca2.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
24	5, 11, 12, 15, 16, 21, 22, 23	frlmvscafval 21675	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f × 𝑌))
25		matvsca2.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑁 × 𝑁)
26	25	xpeq1i 5664	. . . 4 ⊢ (𝐶 × {𝑋}) = ((𝑁 × 𝑁) × {𝑋})
27	26	oveq1i 7397	. . 3 ⊢ ((𝐶 × {𝑋}) ∘f × 𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f × 𝑌)
28	24, 27	eqtr4di 2782	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌) = ((𝐶 × {𝑋}) ∘f × 𝑌))
29	10, 28	eqtr3d 2766	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = ((𝐶 × {𝑋}) ∘f × 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447  {csn 4589   × cxp 5636  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∘_f cof 7651  Fincfn 8918  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221   ·_𝑠 cvsca 17224   freeLMod cfrlm 21655   Mat cmat 22294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-prds 17410  df-pws 17412  df-sra 21080  df-rgmod 21081  df-dsmm 21641  df-frlm 21656  df-mat 22295

This theorem is referenced by:  matvscacell  22323  matassa  22331  matsc  22337  mattposvs  22342  mat1dimscm  22362