Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matvsca2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matvsca2 21128
 Description: Scalar multiplication in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
matvsca2.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matvsca2.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
matvsca2.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
matvsca2.v · = ( ·𝑠𝐴)
matvsca2.t × = (.r𝑅)
matvsca2.c 𝐶 = (𝑁 × 𝑁)
Assertion
Ref Expression
matvsca2 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = ((𝐶 × {𝑋}) ∘f × 𝑌))

Proof of Theorem matvsca2
StepHypRef Expression
1 matvsca2.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 matvsca2.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
31, 2matrcl 21112 . . . . . 6 (𝑌𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
43adantl 485 . . . . 5 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
5 eqid 2758 . . . . . 6 (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
61, 5matvsca 21116 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = ( ·𝑠𝐴))
74, 6syl 17 . . . 4 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = ( ·𝑠𝐴))
8 matvsca2.v . . . 4 · = ( ·𝑠𝐴)
97, 8eqtr4di 2811 . . 3 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = · )
109oveqd 7167 . 2 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → (𝑋( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌) = (𝑋 · 𝑌))
11 eqid 2758 . . . 4 (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
12 matvsca2.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
134simpld 498 . . . . 5 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
14 xpfi 8822 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
1513, 13, 14syl2anc 587 . . . 4 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
16 simpl 486 . . . 4 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → 𝑋𝐾)
17 simpr 488 . . . . 5 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
181, 5matbas 21113 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
194, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
2019, 2eqtr4di 2811 . . . . 5 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = 𝐵)
2117, 20eleqtrrd 2855 . . . 4 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
22 eqid 2758 . . . 4 ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
23 matvsca2.t . . . 4 × = (.r𝑅)
245, 11, 12, 15, 16, 21, 22, 23frlmvscafval 20531 . . 3 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → (𝑋( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f × 𝑌))
25 matvsca2.c . . . . 5 𝐶 = (𝑁 × 𝑁)
2625xpeq1i 5550 . . . 4 (𝐶 × {𝑋}) = ((𝑁 × 𝑁) × {𝑋})
2726oveq1i 7160 . . 3 ((𝐶 × {𝑋}) ∘f × 𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f × 𝑌)
2824, 27eqtr4di 2811 . 2 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → (𝑋( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌) = ((𝐶 × {𝑋}) ∘f × 𝑌))
2910, 28eqtr3d 2795 1 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = ((𝐶 × {𝑋}) ∘f × 𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409  {csn 4522   × cxp 5522  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   ∘f cof 7403  Fincfn 8527  Basecbs 16541  .rcmulr 16624   ·𝑠 cvsca 16627   freeLMod cfrlm 20511   Mat cmat 21107 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-ot 4531  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-ixp 8480  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-sup 8939  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-fz 12940  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-ip 16641  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-hom 16647  df-cco 16648  df-prds 16779  df-pws 16781  df-sra 20012  df-rgmod 20013  df-dsmm 20497  df-frlm 20512  df-mat 21108 This theorem is referenced by:  matvscacell  21136  matassa  21144  matsc  21150  mattposvs  21155  mat1dimscm  21175
 Copyright terms: Public domain W3C validator