Theorem matvsca2 22770

Description: Scalar multiplication in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matvsca2.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matvsca2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
matvsca2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
matvsca2.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐴)
matvsca2.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
matvsca2.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 × 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
matvsca2	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = ((𝐶 × {𝑋}) ∘f × 𝑌))

Proof of Theorem matvsca2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matvsca2.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		matvsca2.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3	1, 2	matrcl 22754	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
4	3	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
5		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
6	1, 5	matvsca 22758	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
7	4, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
8		matvsca2.v	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐴)
9	7, 8	eqtr4di 2816	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = · )
10	9	oveqd 7457	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌) = (𝑋 · 𝑌))
11		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
12		matvsca2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
13	4	simpld 500	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
14		xpfi 9336	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
15	13, 13, 14	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
16		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐾)
17		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
18	1, 5	matbas 22755	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
19	4, 18	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
20	19, 2	eqtr4di 2816	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = 𝐵)
21	17, 20	eleqtrrd 2867	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
22		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
23		matvsca2.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
24	5, 11, 12, 15, 16, 21, 22, 23	frlmvscafval 22099	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f × 𝑌))
25		matvsca2.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑁 × 𝑁)
26	25	xpeq1i 5681	. . . 4 ⊢ (𝐶 × {𝑋}) = ((𝑁 × 𝑁) × {𝑋})
27	26	oveq1i 7450	. . 3 ⊢ ((𝐶 × {𝑋}) ∘f × 𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f × 𝑌)
28	24, 27	eqtr4di 2816	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌) = ((𝐶 × {𝑋}) ∘f × 𝑌))
29	10, 28	eqtr3d 2800	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = ((𝐶 × {𝑋}) ∘f × 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  {csn 4588   × cxp 5653  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   ∘_f cof 7712  Fincfn 8998  Basecbs 17413  ._rcmulr 17455   ·_𝑠 cvsca 17458   freeLMod cfrlm 22079   Mat cmat 22749

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-map 8874  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-sup 9458  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-fz 13664  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-hom 17478  df-cco 17479  df-prds 17644  df-pws 17646  df-sra 21475  df-rgmod 21476  df-dsmm 22065  df-frlm 22080  df-mat 22750

This theorem is used by:  matvscacell  22778  matassa  22786  matsc  22792  mattposvs  22797  mat1dimscm  22817