![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > matvsca2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Scalar multiplication in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
matvsca2.a | โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) |
matvsca2.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ด) |
matvsca2.k | โข ๐พ = (Baseโ๐ ) |
matvsca2.v | โข ยท = ( ยท๐ โ๐ด) |
matvsca2.t | โข ร = (.rโ๐ ) |
matvsca2.c | โข ๐ถ = (๐ ร ๐) |
Ref | Expression |
---|---|
matvsca2 | โข ((๐ โ ๐พ โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท ๐) = ((๐ถ ร {๐}) โf ร ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | matvsca2.a | . . . . . . 7 โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) | |
2 | matvsca2.b | . . . . . . 7 โข ๐ต = (Baseโ๐ด) | |
3 | 1, 2 | matrcl 22330 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ต โ (๐ โ Fin โง ๐ โ V)) |
4 | 3 | adantl 480 | . . . . 5 โข ((๐ โ ๐พ โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ Fin โง ๐ โ V)) |
5 | eqid 2725 | . . . . . 6 โข (๐ freeLMod (๐ ร ๐)) = (๐ freeLMod (๐ ร ๐)) | |
6 | 1, 5 | matvsca 22335 | . . . . 5 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ V) โ ( ยท๐ โ(๐ freeLMod (๐ ร ๐))) = ( ยท๐ โ๐ด)) |
7 | 4, 6 | syl 17 | . . . 4 โข ((๐ โ ๐พ โง ๐ โ ๐ต) โ ( ยท๐ โ(๐ freeLMod (๐ ร ๐))) = ( ยท๐ โ๐ด)) |
8 | matvsca2.v | . . . 4 โข ยท = ( ยท๐ โ๐ด) | |
9 | 7, 8 | eqtr4di 2783 | . . 3 โข ((๐ โ ๐พ โง ๐ โ ๐ต) โ ( ยท๐ โ(๐ freeLMod (๐ ร ๐))) = ยท ) |
10 | 9 | oveqd 7433 | . 2 โข ((๐ โ ๐พ โง ๐ โ ๐ต) โ (๐( ยท๐ โ(๐ freeLMod (๐ ร ๐)))๐) = (๐ ยท ๐)) |
11 | eqid 2725 | . . . 4 โข (Baseโ(๐ freeLMod (๐ ร ๐))) = (Baseโ(๐ freeLMod (๐ ร ๐))) | |
12 | matvsca2.k | . . . 4 โข ๐พ = (Baseโ๐ ) | |
13 | 4 | simpld 493 | . . . . 5 โข ((๐ โ ๐พ โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ Fin) |
14 | xpfi 9341 | . . . . 5 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Fin) โ (๐ ร ๐) โ Fin) | |
15 | 13, 13, 14 | syl2anc 582 | . . . 4 โข ((๐ โ ๐พ โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ร ๐) โ Fin) |
16 | simpl 481 | . . . 4 โข ((๐ โ ๐พ โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ ๐พ) | |
17 | simpr 483 | . . . . 5 โข ((๐ โ ๐พ โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ ๐ต) | |
18 | 1, 5 | matbas 22331 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ V) โ (Baseโ(๐ freeLMod (๐ ร ๐))) = (Baseโ๐ด)) |
19 | 4, 18 | syl 17 | . . . . . 6 โข ((๐ โ ๐พ โง ๐ โ ๐ต) โ (Baseโ(๐ freeLMod (๐ ร ๐))) = (Baseโ๐ด)) |
20 | 19, 2 | eqtr4di 2783 | . . . . 5 โข ((๐ โ ๐พ โง ๐ โ ๐ต) โ (Baseโ(๐ freeLMod (๐ ร ๐))) = ๐ต) |
21 | 17, 20 | eleqtrrd 2828 | . . . 4 โข ((๐ โ ๐พ โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ (Baseโ(๐ freeLMod (๐ ร ๐)))) |
22 | eqid 2725 | . . . 4 โข ( ยท๐ โ(๐ freeLMod (๐ ร ๐))) = ( ยท๐ โ(๐ freeLMod (๐ ร ๐))) | |
23 | matvsca2.t | . . . 4 โข ร = (.rโ๐ ) | |
24 | 5, 11, 12, 15, 16, 21, 22, 23 | frlmvscafval 21704 | . . 3 โข ((๐ โ ๐พ โง ๐ โ ๐ต) โ (๐( ยท๐ โ(๐ freeLMod (๐ ร ๐)))๐) = (((๐ ร ๐) ร {๐}) โf ร ๐)) |
25 | matvsca2.c | . . . . 5 โข ๐ถ = (๐ ร ๐) | |
26 | 25 | xpeq1i 5698 | . . . 4 โข (๐ถ ร {๐}) = ((๐ ร ๐) ร {๐}) |
27 | 26 | oveq1i 7426 | . . 3 โข ((๐ถ ร {๐}) โf ร ๐) = (((๐ ร ๐) ร {๐}) โf ร ๐) |
28 | 24, 27 | eqtr4di 2783 | . 2 โข ((๐ โ ๐พ โง ๐ โ ๐ต) โ (๐( ยท๐ โ(๐ freeLMod (๐ ร ๐)))๐) = ((๐ถ ร {๐}) โf ร ๐)) |
29 | 10, 28 | eqtr3d 2767 | 1 โข ((๐ โ ๐พ โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท ๐) = ((๐ถ ร {๐}) โf ร ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 394 = wceq 1533 โ wcel 2098 Vcvv 3463 {csn 4624 ร cxp 5670 โcfv 6543 (class class class)co 7416 โf cof 7680 Fincfn 8962 Basecbs 17179 .rcmulr 17233 ยท๐ cvsca 17236 freeLMod cfrlm 21684 Mat cmat 22325 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-rep 5280 ax-sep 5294 ax-nul 5301 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7738 ax-cnex 11194 ax-resscn 11195 ax-1cn 11196 ax-icn 11197 ax-addcl 11198 ax-addrcl 11199 ax-mulcl 11200 ax-mulrcl 11201 ax-mulcom 11202 ax-addass 11203 ax-mulass 11204 ax-distr 11205 ax-i2m1 11206 ax-1ne0 11207 ax-1rid 11208 ax-rnegex 11209 ax-rrecex 11210 ax-cnre 11211 ax-pre-lttri 11212 ax-pre-lttrn 11213 ax-pre-ltadd 11214 ax-pre-mulgt0 11215 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3769 df-csb 3885 df-dif 3942 df-un 3944 df-in 3946 df-ss 3956 df-pss 3959 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-tp 4629 df-op 4631 df-ot 4633 df-uni 4904 df-iun 4993 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5227 df-tr 5261 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7372 df-ov 7419 df-oprab 7420 df-mpo 7421 df-of 7682 df-om 7869 df-1st 7991 df-2nd 7992 df-frecs 8285 df-wrecs 8316 df-recs 8390 df-rdg 8429 df-1o 8485 df-er 8723 df-map 8845 df-ixp 8915 df-en 8963 df-dom 8964 df-sdom 8965 df-fin 8966 df-sup 9465 df-pnf 11280 df-mnf 11281 df-xr 11282 df-ltxr 11283 df-le 11284 df-sub 11476 df-neg 11477 df-nn 12243 df-2 12305 df-3 12306 df-4 12307 df-5 12308 df-6 12309 df-7 12310 df-8 12311 df-9 12312 df-n0 12503 df-z 12589 df-dec 12708 df-uz 12853 df-fz 13517 df-struct 17115 df-sets 17132 df-slot 17150 df-ndx 17162 df-base 17180 df-ress 17209 df-plusg 17245 df-mulr 17246 df-sca 17248 df-vsca 17249 df-ip 17250 df-tset 17251 df-ple 17252 df-ds 17254 df-hom 17256 df-cco 17257 df-prds 17428 df-pws 17430 df-sra 21062 df-rgmod 21063 df-dsmm 21670 df-frlm 21685 df-mat 22326 |
This theorem is referenced by: matvscacell 22356 matassa 22364 matsc 22370 mattposvs 22375 mat1dimscm 22395 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |