MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matvsca2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matvsca2 22348
Description: Scalar multiplication in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
matvsca2.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
matvsca2.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
matvsca2.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
matvsca2.v ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
matvsca2.t ร— = (.rโ€˜๐‘…)
matvsca2.c ๐ถ = (๐‘ ร— ๐‘)
Assertion
Ref Expression
matvsca2 ((๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = ((๐ถ ร— {๐‘‹}) โˆ˜f ร— ๐‘Œ))

Proof of Theorem matvsca2
StepHypRef Expression
1 matvsca2.a . . . . . . 7 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
2 matvsca2.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
31, 2matrcl 22330 . . . . . 6 (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ V))
43adantl 480 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ V))
5 eqid 2725 . . . . . 6 (๐‘… freeLMod (๐‘ ร— ๐‘)) = (๐‘… freeLMod (๐‘ ร— ๐‘))
61, 5matvsca 22335 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ V) โ†’ ( ยท๐‘  โ€˜(๐‘… freeLMod (๐‘ ร— ๐‘))) = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด))
74, 6syl 17 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( ยท๐‘  โ€˜(๐‘… freeLMod (๐‘ ร— ๐‘))) = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด))
8 matvsca2.v . . . 4 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
97, 8eqtr4di 2783 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( ยท๐‘  โ€˜(๐‘… freeLMod (๐‘ ร— ๐‘))) = ยท )
109oveqd 7433 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹( ยท๐‘  โ€˜(๐‘… freeLMod (๐‘ ร— ๐‘)))๐‘Œ) = (๐‘‹ ยท ๐‘Œ))
11 eqid 2725 . . . 4 (Baseโ€˜(๐‘… freeLMod (๐‘ ร— ๐‘))) = (Baseโ€˜(๐‘… freeLMod (๐‘ ร— ๐‘)))
12 matvsca2.k . . . 4 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
134simpld 493 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
14 xpfi 9341 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘ ร— ๐‘) โˆˆ Fin)
1513, 13, 14syl2anc 582 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ ร— ๐‘) โˆˆ Fin)
16 simpl 481 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐พ)
17 simpr 483 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
181, 5matbas 22331 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ V) โ†’ (Baseโ€˜(๐‘… freeLMod (๐‘ ร— ๐‘))) = (Baseโ€˜๐ด))
194, 18syl 17 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (Baseโ€˜(๐‘… freeLMod (๐‘ ร— ๐‘))) = (Baseโ€˜๐ด))
2019, 2eqtr4di 2783 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (Baseโ€˜(๐‘… freeLMod (๐‘ ร— ๐‘))) = ๐ต)
2117, 20eleqtrrd 2828 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘… freeLMod (๐‘ ร— ๐‘))))
22 eqid 2725 . . . 4 ( ยท๐‘  โ€˜(๐‘… freeLMod (๐‘ ร— ๐‘))) = ( ยท๐‘  โ€˜(๐‘… freeLMod (๐‘ ร— ๐‘)))
23 matvsca2.t . . . 4 ร— = (.rโ€˜๐‘…)
245, 11, 12, 15, 16, 21, 22, 23frlmvscafval 21704 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹( ยท๐‘  โ€˜(๐‘… freeLMod (๐‘ ร— ๐‘)))๐‘Œ) = (((๐‘ ร— ๐‘) ร— {๐‘‹}) โˆ˜f ร— ๐‘Œ))
25 matvsca2.c . . . . 5 ๐ถ = (๐‘ ร— ๐‘)
2625xpeq1i 5698 . . . 4 (๐ถ ร— {๐‘‹}) = ((๐‘ ร— ๐‘) ร— {๐‘‹})
2726oveq1i 7426 . . 3 ((๐ถ ร— {๐‘‹}) โˆ˜f ร— ๐‘Œ) = (((๐‘ ร— ๐‘) ร— {๐‘‹}) โˆ˜f ร— ๐‘Œ)
2824, 27eqtr4di 2783 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹( ยท๐‘  โ€˜(๐‘… freeLMod (๐‘ ร— ๐‘)))๐‘Œ) = ((๐ถ ร— {๐‘‹}) โˆ˜f ร— ๐‘Œ))
2910, 28eqtr3d 2767 1 ((๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = ((๐ถ ร— {๐‘‹}) โˆ˜f ร— ๐‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3463  {csn 4624   ร— cxp 5670  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   โˆ˜f cof 7680  Fincfn 8962  Basecbs 17179  .rcmulr 17233   ยท๐‘  cvsca 17236   freeLMod cfrlm 21684   Mat cmat 22325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-prds 17428  df-pws 17430  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-dsmm 21670  df-frlm 21685  df-mat 22326
This theorem is referenced by:  matvscacell  22356  matassa  22364  matsc  22370  mattposvs  22375  mat1dimscm  22395
  Copyright terms: Public domain W3C validator