MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matvsca2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matvsca2 22285
Description: Scalar multiplication in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
matvsca2.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
matvsca2.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
matvsca2.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
matvsca2.v ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
matvsca2.t ร— = (.rโ€˜๐‘…)
matvsca2.c ๐ถ = (๐‘ ร— ๐‘)
Assertion
Ref Expression
matvsca2 ((๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = ((๐ถ ร— {๐‘‹}) โˆ˜f ร— ๐‘Œ))

Proof of Theorem matvsca2
StepHypRef Expression
1 matvsca2.a . . . . . . 7 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
2 matvsca2.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
31, 2matrcl 22267 . . . . . 6 (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ V))
43adantl 481 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ V))
5 eqid 2726 . . . . . 6 (๐‘… freeLMod (๐‘ ร— ๐‘)) = (๐‘… freeLMod (๐‘ ร— ๐‘))
61, 5matvsca 22272 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ V) โ†’ ( ยท๐‘  โ€˜(๐‘… freeLMod (๐‘ ร— ๐‘))) = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด))
74, 6syl 17 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( ยท๐‘  โ€˜(๐‘… freeLMod (๐‘ ร— ๐‘))) = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด))
8 matvsca2.v . . . 4 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
97, 8eqtr4di 2784 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( ยท๐‘  โ€˜(๐‘… freeLMod (๐‘ ร— ๐‘))) = ยท )
109oveqd 7422 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹( ยท๐‘  โ€˜(๐‘… freeLMod (๐‘ ร— ๐‘)))๐‘Œ) = (๐‘‹ ยท ๐‘Œ))
11 eqid 2726 . . . 4 (Baseโ€˜(๐‘… freeLMod (๐‘ ร— ๐‘))) = (Baseโ€˜(๐‘… freeLMod (๐‘ ร— ๐‘)))
12 matvsca2.k . . . 4 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
134simpld 494 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
14 xpfi 9319 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘ ร— ๐‘) โˆˆ Fin)
1513, 13, 14syl2anc 583 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ ร— ๐‘) โˆˆ Fin)
16 simpl 482 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐พ)
17 simpr 484 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
181, 5matbas 22268 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ V) โ†’ (Baseโ€˜(๐‘… freeLMod (๐‘ ร— ๐‘))) = (Baseโ€˜๐ด))
194, 18syl 17 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (Baseโ€˜(๐‘… freeLMod (๐‘ ร— ๐‘))) = (Baseโ€˜๐ด))
2019, 2eqtr4di 2784 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (Baseโ€˜(๐‘… freeLMod (๐‘ ร— ๐‘))) = ๐ต)
2117, 20eleqtrrd 2830 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘… freeLMod (๐‘ ร— ๐‘))))
22 eqid 2726 . . . 4 ( ยท๐‘  โ€˜(๐‘… freeLMod (๐‘ ร— ๐‘))) = ( ยท๐‘  โ€˜(๐‘… freeLMod (๐‘ ร— ๐‘)))
23 matvsca2.t . . . 4 ร— = (.rโ€˜๐‘…)
245, 11, 12, 15, 16, 21, 22, 23frlmvscafval 21661 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹( ยท๐‘  โ€˜(๐‘… freeLMod (๐‘ ร— ๐‘)))๐‘Œ) = (((๐‘ ร— ๐‘) ร— {๐‘‹}) โˆ˜f ร— ๐‘Œ))
25 matvsca2.c . . . . 5 ๐ถ = (๐‘ ร— ๐‘)
2625xpeq1i 5695 . . . 4 (๐ถ ร— {๐‘‹}) = ((๐‘ ร— ๐‘) ร— {๐‘‹})
2726oveq1i 7415 . . 3 ((๐ถ ร— {๐‘‹}) โˆ˜f ร— ๐‘Œ) = (((๐‘ ร— ๐‘) ร— {๐‘‹}) โˆ˜f ร— ๐‘Œ)
2824, 27eqtr4di 2784 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹( ยท๐‘  โ€˜(๐‘… freeLMod (๐‘ ร— ๐‘)))๐‘Œ) = ((๐ถ ร— {๐‘‹}) โˆ˜f ร— ๐‘Œ))
2910, 28eqtr3d 2768 1 ((๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = ((๐ถ ร— {๐‘‹}) โˆ˜f ร— ๐‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3468  {csn 4623   ร— cxp 5667  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โˆ˜f cof 7665  Fincfn 8941  Basecbs 17153  .rcmulr 17207   ยท๐‘  cvsca 17210   freeLMod cfrlm 21641   Mat cmat 22262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-prds 17402  df-pws 17404  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-dsmm 21627  df-frlm 21642  df-mat 22263
This theorem is referenced by:  matvscacell  22293  matassa  22301  matsc  22307  mattposvs  22312  mat1dimscm  22332
  Copyright terms: Public domain W3C validator