Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt27 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt27 42232
Description: Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 7-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt27.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt27.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt27.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt27.4 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt27.5 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt27.6 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
metakunt27.7 (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝐼)
metakunt27.8 (𝜑𝑋 < 𝐼)
Assertion
Ref Expression
metakunt27 (𝜑 → (𝐵‘(𝐴𝑋)) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐼   𝑥,𝑀   𝑧,𝑀   𝑥,𝑋   𝑧,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑧)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem metakunt27
StepHypRef Expression
1 metakunt27.5 . . . . 5 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
21a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
3 metakunt27.7 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝐼)
43adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑋 = 𝐼)
5 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
65eqeq1d 2739 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝑥 = 𝐼𝑋 = 𝐼))
76notbid 318 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (¬ 𝑥 = 𝐼 ↔ ¬ 𝑋 = 𝐼))
84, 7mpbird 257 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑥 = 𝐼)
98iffalsed 4536 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))
10 metakunt27.8 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 < 𝐼)
1110adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → 𝑋 < 𝐼)
125breq1d 5153 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝑥 < 𝐼𝑋 < 𝐼))
1311, 12mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → 𝑥 < 𝐼)
1413iftrued 4533 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = 𝑥)
1514, 5eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = 𝑋)
169, 15eqtrd 2777 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑋)
17 metakunt27.4 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
182, 16, 17, 17fvmptd 7023 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑋) = 𝑋)
1918fveq2d 6910 . 2 (𝜑 → (𝐵‘(𝐴𝑋)) = (𝐵𝑋))
20 metakunt27.6 . . . 4 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
2120a1i 11 . . 3 (𝜑𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))))))
22 elfznn 13593 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
2317, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℕ)
2423nnred 12281 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
25 metakunt27.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
2625nnred 12281 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
27 metakunt27.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2827nnred 12281 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
29 metakunt27.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼𝑀)
3024, 26, 28, 10, 29ltletrd 11421 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 < 𝑀)
3124, 30ltned 11397 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑀)
3231neneqd 2945 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝑀)
3332adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 = 𝑋) → ¬ 𝑋 = 𝑀)
34 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 = 𝑋) → 𝑧 = 𝑋)
3534eqeq1d 2739 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 = 𝑋) → (𝑧 = 𝑀𝑋 = 𝑀))
3635notbid 318 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 = 𝑋) → (¬ 𝑧 = 𝑀 ↔ ¬ 𝑋 = 𝑀))
3733, 36mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑𝑧 = 𝑋) → ¬ 𝑧 = 𝑀)
3837iffalsed 4536 . . . 4 ((𝜑𝑧 = 𝑋) → if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))))
3910adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 = 𝑋) → 𝑋 < 𝐼)
4034breq1d 5153 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 = 𝑋) → (𝑧 < 𝐼𝑋 < 𝐼))
4139, 40mpbird 257 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 = 𝑋) → 𝑧 < 𝐼)
4241iftrued 4533 . . . . 5 ((𝜑𝑧 = 𝑋) → if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))) = (𝑧 + (𝑀𝐼)))
4334oveq1d 7446 . . . . 5 ((𝜑𝑧 = 𝑋) → (𝑧 + (𝑀𝐼)) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
4442, 43eqtrd 2777 . . . 4 ((𝜑𝑧 = 𝑋) → if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
4538, 44eqtrd 2777 . . 3 ((𝜑𝑧 = 𝑋) → if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
4617elfzelzd 13565 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℤ)
4727nnzd 12640 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4825nnzd 12640 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
4947, 48zsubcld 12727 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐼) ∈ ℤ)
5046, 49zaddcld 12726 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∈ ℤ)
5121, 45, 17, 50fvmptd 7023 . 2 (𝜑 → (𝐵𝑋) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
5219, 51eqtrd 2777 1 (𝜑 → (𝐵‘(𝐴𝑋)) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  cn 12266  cz 12613  ...cfz 13547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548
This theorem is referenced by:  metakunt29  42234
  Copyright terms: Public domain W3C validator