Theorem metakunt27 40131

Description: Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 7-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt27.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt27.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt27.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt27.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt27.5	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt27.6	⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
metakunt27.7	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝐼)
metakunt27.8	⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
metakunt27	⊢ (𝜑 → (𝐵‘(𝐴‘𝑋)) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐼   𝑥,𝑀   𝑧,𝑀   𝑥,𝑋   𝑧,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑧)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem metakunt27

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt27.5	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
3		metakunt27.7	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝐼)
4	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑋 = 𝐼)
5		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
6	5	eqeq1d 2741	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 = 𝐼 ↔ 𝑋 = 𝐼))
7	6	notbid 317	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (¬ 𝑥 = 𝐼 ↔ ¬ 𝑋 = 𝐼))
8	4, 7	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑥 = 𝐼)
9	8	iffalsed 4475	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))
10		metakunt27.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝐼)
11	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 < 𝐼)
12	5	breq1d 5088	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
13	11, 12	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 < 𝐼)
14	13	iftrued 4472	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = 𝑥)
15	14, 5	eqtrd 2779	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = 𝑋)
16	9, 15	eqtrd 2779	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑋)
17		metakunt27.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
18	2, 16, 17, 17	fvmptd 6876	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = 𝑋)
19	18	fveq2d 6772	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵‘𝑋))
20		metakunt27.6	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))))))
22		elfznn 13267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
23	17, 22	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
24	23	nnred 11971	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
25		metakunt27.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
26	25	nnred 11971	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
27		metakunt27.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
28	27	nnred 11971	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
29		metakunt27.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
30	24, 26, 28, 10, 29	ltletrd 11118	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑀)
31	24, 30	ltned 11094	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑀)
32	31	neneqd 2949	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝑀)
33	32	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → ¬ 𝑋 = 𝑀)
34		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → 𝑧 = 𝑋)
35	34	eqeq1d 2741	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → (𝑧 = 𝑀 ↔ 𝑋 = 𝑀))
36	35	notbid 317	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → (¬ 𝑧 = 𝑀 ↔ ¬ 𝑋 = 𝑀))
37	33, 36	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → ¬ 𝑧 = 𝑀)
38	37	iffalsed 4475	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))))
39	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → 𝑋 < 𝐼)
40	34	breq1d 5088	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → (𝑧 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
41	39, 40	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → 𝑧 < 𝐼)
42	41	iftrued 4472	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))) = (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)))
43	34	oveq1d 7283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
44	42, 43	eqtrd 2779	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
45	38, 44	eqtrd 2779	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
46	17	elfzelzd 13239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
47	27	nnzd 12407	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
48	25	nnzd 12407	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
49	47, 48	zsubcld 12413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℤ)
50	46, 49	zaddcld 12412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) ∈ ℤ)
51	21, 45, 17, 50	fvmptd 6876	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑋) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
52	19, 51	eqtrd 2779	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘(𝐴‘𝑋)) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  ifcif 4464   class class class wbr 5078   ↦ cmpt 5161  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  1c1 10856   + caddc 10858   < clt 10993   ≤ cle 10994   − cmin 11188  ℕcn 11956  ℤcz 12302  ...cfz 13221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-fz 13222

This theorem is referenced by:  metakunt29  40133