Theorem metakunt27 40151

Description: Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 7-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt27.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt27.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt27.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt27.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt27.5	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt27.6	⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
metakunt27.7	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝐼)
metakunt27.8	⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
metakunt27	⊢ (𝜑 → (𝐵‘(𝐴‘𝑋)) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐼   𝑥,𝑀   𝑧,𝑀   𝑥,𝑋   𝑧,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑧)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem metakunt27

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt27.5	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
3		metakunt27.7	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝐼)
4	3	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑋 = 𝐼)
5		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
6	5	eqeq1d 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 = 𝐼 ↔ 𝑋 = 𝐼))
7	6	notbid 318	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (¬ 𝑥 = 𝐼 ↔ ¬ 𝑋 = 𝐼))
8	4, 7	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑥 = 𝐼)
9	8	iffalsed 4470	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))
10		metakunt27.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝐼)
11	10	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 < 𝐼)
12	5	breq1d 5084	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
13	11, 12	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 < 𝐼)
14	13	iftrued 4467	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = 𝑥)
15	14, 5	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = 𝑋)
16	9, 15	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑋)
17		metakunt27.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
18	2, 16, 17, 17	fvmptd 6882	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = 𝑋)
19	18	fveq2d 6778	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵‘𝑋))
20		metakunt27.6	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))))))
22		elfznn 13285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
23	17, 22	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
24	23	nnred 11988	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
25		metakunt27.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
26	25	nnred 11988	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
27		metakunt27.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
28	27	nnred 11988	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
29		metakunt27.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
30	24, 26, 28, 10, 29	ltletrd 11135	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑀)
31	24, 30	ltned 11111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑀)
32	31	neneqd 2948	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝑀)
33	32	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → ¬ 𝑋 = 𝑀)
34		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → 𝑧 = 𝑋)
35	34	eqeq1d 2740	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → (𝑧 = 𝑀 ↔ 𝑋 = 𝑀))
36	35	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → (¬ 𝑧 = 𝑀 ↔ ¬ 𝑋 = 𝑀))
37	33, 36	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → ¬ 𝑧 = 𝑀)
38	37	iffalsed 4470	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))))
39	10	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → 𝑋 < 𝐼)
40	34	breq1d 5084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → (𝑧 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
41	39, 40	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → 𝑧 < 𝐼)
42	41	iftrued 4467	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))) = (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)))
43	34	oveq1d 7290	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
44	42, 43	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
45	38, 44	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
46	17	elfzelzd 13257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
47	27	nnzd 12425	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
48	25	nnzd 12425	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
49	47, 48	zsubcld 12431	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℤ)
50	46, 49	zaddcld 12430	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) ∈ ℤ)
51	21, 45, 17, 50	fvmptd 6882	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑋) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
52	19, 51	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘(𝐴‘𝑋)) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ifcif 4459   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  1c1 10872   + caddc 10874   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205  ℕcn 11973  ℤcz 12319  ...cfz 13239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240

This theorem is referenced by:  metakunt29  40153