Mathbox for metakunt < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt27 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt27 39367
 Description: Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 7-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt27.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt27.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt27.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt27.4 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt27.5 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt27.6 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
metakunt27.7 (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝐼)
metakunt27.8 (𝜑𝑋 < 𝐼)
Assertion
Ref Expression
metakunt27 (𝜑 → (𝐵‘(𝐴𝑋)) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐼   𝑥,𝑀   𝑧,𝑀   𝑥,𝑋   𝑧,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑧)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem metakunt27
StepHypRef Expression
1 metakunt27.5 . . . . 5 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
21a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
3 metakunt27.7 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝐼)
43adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑋 = 𝐼)
5 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
65eqeq1d 2803 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝑥 = 𝐼𝑋 = 𝐼))
76notbid 321 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (¬ 𝑥 = 𝐼 ↔ ¬ 𝑋 = 𝐼))
84, 7mpbird 260 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑥 = 𝐼)
98iffalsed 4439 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))
10 metakunt27.8 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 < 𝐼)
1110adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → 𝑋 < 𝐼)
125breq1d 5043 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝑥 < 𝐼𝑋 < 𝐼))
1311, 12mpbird 260 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → 𝑥 < 𝐼)
1413iftrued 4436 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = 𝑥)
1514, 5eqtrd 2836 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = 𝑋)
169, 15eqtrd 2836 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑋)
17 metakunt27.4 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
182, 16, 17, 17fvmptd 6756 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑋) = 𝑋)
1918fveq2d 6653 . 2 (𝜑 → (𝐵‘(𝐴𝑋)) = (𝐵𝑋))
20 metakunt27.6 . . . 4 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
2120a1i 11 . . 3 (𝜑𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))))))
22 elfznn 12935 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
2317, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℕ)
2423nnred 11644 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
25 metakunt27.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
2625nnred 11644 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
27 metakunt27.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2827nnred 11644 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
29 metakunt27.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼𝑀)
3024, 26, 28, 10, 29ltletrd 10793 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 < 𝑀)
3124, 30ltned 10769 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑀)
3231neneqd 2995 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝑀)
3332adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 = 𝑋) → ¬ 𝑋 = 𝑀)
34 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 = 𝑋) → 𝑧 = 𝑋)
3534eqeq1d 2803 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 = 𝑋) → (𝑧 = 𝑀𝑋 = 𝑀))
3635notbid 321 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 = 𝑋) → (¬ 𝑧 = 𝑀 ↔ ¬ 𝑋 = 𝑀))
3733, 36mpbird 260 . . . . 5 ((𝜑𝑧 = 𝑋) → ¬ 𝑧 = 𝑀)
3837iffalsed 4439 . . . 4 ((𝜑𝑧 = 𝑋) → if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))))
3910adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 = 𝑋) → 𝑋 < 𝐼)
4034breq1d 5043 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 = 𝑋) → (𝑧 < 𝐼𝑋 < 𝐼))
4139, 40mpbird 260 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 = 𝑋) → 𝑧 < 𝐼)
4241iftrued 4436 . . . . 5 ((𝜑𝑧 = 𝑋) → if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))) = (𝑧 + (𝑀𝐼)))
4334oveq1d 7154 . . . . 5 ((𝜑𝑧 = 𝑋) → (𝑧 + (𝑀𝐼)) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
4442, 43eqtrd 2836 . . . 4 ((𝜑𝑧 = 𝑋) → if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
4538, 44eqtrd 2836 . . 3 ((𝜑𝑧 = 𝑋) → if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
4617elfzelzd 12907 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℤ)
4727nnzd 12078 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4825nnzd 12078 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
4947, 48zsubcld 12084 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐼) ∈ ℤ)
5046, 49zaddcld 12083 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + (𝑀𝐼)) ∈ ℤ)
5121, 45, 17, 50fvmptd 6756 . 2 (𝜑 → (𝐵𝑋) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
5219, 51eqtrd 2836 1 (𝜑 → (𝐵‘(𝐴𝑋)) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ifcif 4428   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  1c1 10531   + caddc 10533   < clt 10668   ≤ cle 10669   − cmin 10863  ℕcn 11629  ℤcz 11973  ...cfz 12889 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890 This theorem is referenced by:  metakunt29  39369
 Copyright terms: Public domain W3C validator