Theorem metakunt27 39658

Description: Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 7-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt27.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt27.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt27.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt27.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt27.5	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt27.6	⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
metakunt27.7	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝐼)
metakunt27.8	⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
metakunt27	⊢ (𝜑 → (𝐵‘(𝐴‘𝑋)) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐼   𝑥,𝑀   𝑧,𝑀   𝑥,𝑋   𝑧,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑧)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem metakunt27

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt27.5	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
3		metakunt27.7	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝐼)
4	3	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑋 = 𝐼)
5		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
6	5	eqeq1d 2761	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 = 𝐼 ↔ 𝑋 = 𝐼))
7	6	notbid 322	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (¬ 𝑥 = 𝐼 ↔ ¬ 𝑋 = 𝐼))
8	4, 7	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑥 = 𝐼)
9	8	iffalsed 4424	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))
10		metakunt27.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝐼)
11	10	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 < 𝐼)
12	5	breq1d 5035	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
13	11, 12	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 < 𝐼)
14	13	iftrued 4421	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = 𝑥)
15	14, 5	eqtrd 2794	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = 𝑋)
16	9, 15	eqtrd 2794	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑋)
17		metakunt27.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
18	2, 16, 17, 17	fvmptd 6759	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = 𝑋)
19	18	fveq2d 6655	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵‘𝑋))
20		metakunt27.6	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))))))
22		elfznn 12970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
23	17, 22	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
24	23	nnred 11674	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
25		metakunt27.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
26	25	nnred 11674	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
27		metakunt27.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
28	27	nnred 11674	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
29		metakunt27.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
30	24, 26, 28, 10, 29	ltletrd 10823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑀)
31	24, 30	ltned 10799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑀)
32	31	neneqd 2954	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝑀)
33	32	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → ¬ 𝑋 = 𝑀)
34		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → 𝑧 = 𝑋)
35	34	eqeq1d 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → (𝑧 = 𝑀 ↔ 𝑋 = 𝑀))
36	35	notbid 322	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → (¬ 𝑧 = 𝑀 ↔ ¬ 𝑋 = 𝑀))
37	33, 36	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → ¬ 𝑧 = 𝑀)
38	37	iffalsed 4424	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))))
39	10	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → 𝑋 < 𝐼)
40	34	breq1d 5035	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → (𝑧 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
41	39, 40	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → 𝑧 < 𝐼)
42	41	iftrued 4421	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))) = (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)))
43	34	oveq1d 7158	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
44	42, 43	eqtrd 2794	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
45	38, 44	eqtrd 2794	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
46	17	elfzelzd 12942	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
47	27	nnzd 12110	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
48	25	nnzd 12110	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
49	47, 48	zsubcld 12116	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℤ)
50	46, 49	zaddcld 12115	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) ∈ ℤ)
51	21, 45, 17, 50	fvmptd 6759	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑋) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
52	19, 51	eqtrd 2794	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘(𝐴‘𝑋)) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ifcif 4413   class class class wbr 5025   ↦ cmpt 5105  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143  1c1 10561   + caddc 10563   < clt 10698   ≤ cle 10699   − cmin 10893  ℕcn 11659  ℤcz 12005  ...cfz 12924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-nn 11660  df-n0 11920  df-z 12006  df-uz 12268  df-fz 12925

This theorem is referenced by:  metakunt29  39660