Theorem metakunt27 42244

Description: Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 7-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt27.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt27.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt27.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt27.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt27.5	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt27.6	⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
metakunt27.7	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝐼)
metakunt27.8	⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
metakunt27	⊢ (𝜑 → (𝐵‘(𝐴‘𝑋)) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐼   𝑥,𝑀   𝑧,𝑀   𝑥,𝑋   𝑧,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑧)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem metakunt27

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt27.5	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
3		metakunt27.7	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝐼)
4	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑋 = 𝐼)
5		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
6	5	eqeq1d 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 = 𝐼 ↔ 𝑋 = 𝐼))
7	6	notbid 318	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (¬ 𝑥 = 𝐼 ↔ ¬ 𝑋 = 𝐼))
8	4, 7	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑥 = 𝐼)
9	8	iffalsed 4511	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))
10		metakunt27.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝐼)
11	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 < 𝐼)
12	5	breq1d 5129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
13	11, 12	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 < 𝐼)
14	13	iftrued 4508	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = 𝑥)
15	14, 5	eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = 𝑋)
16	9, 15	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑋)
17		metakunt27.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
18	2, 16, 17, 17	fvmptd 6993	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = 𝑋)
19	18	fveq2d 6880	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵‘𝑋))
20		metakunt27.6	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))))))
22		elfznn 13570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
23	17, 22	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
24	23	nnred 12255	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
25		metakunt27.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
26	25	nnred 12255	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
27		metakunt27.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
28	27	nnred 12255	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
29		metakunt27.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
30	24, 26, 28, 10, 29	ltletrd 11395	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑀)
31	24, 30	ltned 11371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑀)
32	31	neneqd 2937	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝑀)
33	32	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → ¬ 𝑋 = 𝑀)
34		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → 𝑧 = 𝑋)
35	34	eqeq1d 2737	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → (𝑧 = 𝑀 ↔ 𝑋 = 𝑀))
36	35	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → (¬ 𝑧 = 𝑀 ↔ ¬ 𝑋 = 𝑀))
37	33, 36	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → ¬ 𝑧 = 𝑀)
38	37	iffalsed 4511	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))))
39	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → 𝑋 < 𝐼)
40	34	breq1d 5129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → (𝑧 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
41	39, 40	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → 𝑧 < 𝐼)
42	41	iftrued 4508	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))) = (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)))
43	34	oveq1d 7420	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
44	42, 43	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
45	38, 44	eqtrd 2770	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
46	17	elfzelzd 13542	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
47	27	nnzd 12615	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
48	25	nnzd 12615	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
49	47, 48	zsubcld 12702	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℤ)
50	46, 49	zaddcld 12701	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) ∈ ℤ)
51	21, 45, 17, 50	fvmptd 6993	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑋) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
52	19, 51	eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘(𝐴‘𝑋)) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ifcif 4500   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  1c1 11130   + caddc 11132   < clt 11269   ≤ cle 11270   − cmin 11466  ℕcn 12240  ℤcz 12588  ...cfz 13524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525

This theorem is referenced by:  metakunt29  42246