Theorem metakunt27 41470

Description: Construction of one solution of the increment equation system. (Contributed by metakunt, 7-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt27.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt27.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt27.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt27.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt27.5	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt27.6	⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
metakunt27.7	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝐼)
metakunt27.8	⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
metakunt27	⊢ (𝜑 → (𝐵‘(𝐴‘𝑋)) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐼   𝑥,𝑀   𝑧,𝑀   𝑥,𝑋   𝑧,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑧)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem metakunt27

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt27.5	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
3		metakunt27.7	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝐼)
4	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑋 = 𝐼)
5		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
6	5	eqeq1d 2726	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 = 𝐼 ↔ 𝑋 = 𝐼))
7	6	notbid 318	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (¬ 𝑥 = 𝐼 ↔ ¬ 𝑋 = 𝐼))
8	4, 7	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ¬ 𝑥 = 𝐼)
9	8	iffalsed 4531	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))
10		metakunt27.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝐼)
11	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑋 < 𝐼)
12	5	breq1d 5148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
13	11, 12	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 < 𝐼)
14	13	iftrued 4528	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = 𝑥)
15	14, 5	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = 𝑋)
16	9, 15	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑋)
17		metakunt27.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
18	2, 16, 17, 17	fvmptd 6995	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = 𝑋)
19	18	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵‘𝑋))
20		metakunt27.6	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))))
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑧 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))))))
22		elfznn 13526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
23	17, 22	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
24	23	nnred 12223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
25		metakunt27.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
26	25	nnred 12223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
27		metakunt27.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
28	27	nnred 12223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
29		metakunt27.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
30	24, 26, 28, 10, 29	ltletrd 11370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑀)
31	24, 30	ltned 11346	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑀)
32	31	neneqd 2937	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝑀)
33	32	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → ¬ 𝑋 = 𝑀)
34		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → 𝑧 = 𝑋)
35	34	eqeq1d 2726	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → (𝑧 = 𝑀 ↔ 𝑋 = 𝑀))
36	35	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → (¬ 𝑧 = 𝑀 ↔ ¬ 𝑋 = 𝑀))
37	33, 36	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → ¬ 𝑧 = 𝑀)
38	37	iffalsed 4531	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))))
39	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → 𝑋 < 𝐼)
40	34	breq1d 5148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → (𝑧 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
41	39, 40	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → 𝑧 < 𝐼)
42	41	iftrued 4528	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))) = (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)))
43	34	oveq1d 7416	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
44	42, 43	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼))) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
45	38, 44	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑋) → if(𝑧 = 𝑀, 𝑀, if(𝑧 < 𝐼, (𝑧 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑧 + (1 − 𝐼)))) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
46	17	elfzelzd 13498	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
47	27	nnzd 12581	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
48	25	nnzd 12581	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
49	47, 48	zsubcld 12667	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℤ)
50	46, 49	zaddcld 12666	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)) ∈ ℤ)
51	21, 45, 17, 50	fvmptd 6995	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑋) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))
52	19, 51	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘(𝐴‘𝑋)) = (𝑋 + (𝑀 − 𝐼)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ifcif 4520   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  1c1 11106   + caddc 11108   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11440  ℕcn 12208  ℤcz 12554  ...cfz 13480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481

This theorem is referenced by:  metakunt29  41472