MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgm2nsgrplem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mgm2nsgrplem4 18560
Description: Lemma 4 for mgm2nsgrp 18561: M is not a semigroup. (Contributed by AV, 28-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 31-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mgm2nsgrp.s 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
mgm2nsgrp.b (Base‘𝑀) = 𝑆
mgm2nsgrp.o (+g𝑀) = (𝑥𝑆, 𝑦𝑆 ↦ if((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐴), 𝐵, 𝐴))
Assertion
Ref Expression
mgm2nsgrplem4 ((♯‘𝑆) = 2 → 𝑀 ∉ Smgrp)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦

Proof of Theorem mgm2nsgrplem4
StepHypRef Expression
1 mgm2nsgrp.s . . . 4 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
21hashprdifel 14113 . . 3 ((♯‘𝑆) = 2 → (𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵))
3 simp1 1135 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → 𝐴𝑆)
4 simp2 1136 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → 𝐵𝑆)
53, 3, 43jca 1127 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (𝐴𝑆𝐴𝑆𝐵𝑆))
62, 5syl 17 . 2 ((♯‘𝑆) = 2 → (𝐴𝑆𝐴𝑆𝐵𝑆))
7 simp3 1137 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
8 mgm2nsgrp.b . . . . . 6 (Base‘𝑀) = 𝑆
9 mgm2nsgrp.o . . . . . 6 (+g𝑀) = (𝑥𝑆, 𝑦𝑆 ↦ if((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐴), 𝐵, 𝐴))
10 eqid 2738 . . . . . 6 (+g𝑀) = (+g𝑀)
111, 8, 9, 10mgm2nsgrplem2 18558 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → ((𝐴(+g𝑀)𝐴)(+g𝑀)𝐵) = 𝐴)
12113adant3 1131 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ((𝐴(+g𝑀)𝐴)(+g𝑀)𝐵) = 𝐴)
131, 8, 9, 10mgm2nsgrplem3 18559 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴(+g𝑀)(𝐴(+g𝑀)𝐵)) = 𝐵)
14133adant3 1131 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (𝐴(+g𝑀)(𝐴(+g𝑀)𝐵)) = 𝐵)
157, 12, 143netr4d 3021 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ((𝐴(+g𝑀)𝐴)(+g𝑀)𝐵) ≠ (𝐴(+g𝑀)(𝐴(+g𝑀)𝐵)))
162, 15syl 17 . 2 ((♯‘𝑆) = 2 → ((𝐴(+g𝑀)𝐴)(+g𝑀)𝐵) ≠ (𝐴(+g𝑀)(𝐴(+g𝑀)𝐵)))
178eqcomi 2747 . . 3 𝑆 = (Base‘𝑀)
1817, 10isnsgrp 18379 . 2 ((𝐴𝑆𝐴𝑆𝐵𝑆) → (((𝐴(+g𝑀)𝐴)(+g𝑀)𝐵) ≠ (𝐴(+g𝑀)(𝐴(+g𝑀)𝐵)) → 𝑀 ∉ Smgrp))
196, 16, 18sylc 65 1 ((♯‘𝑆) = 2 → 𝑀 ∉ Smgrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wnel 3049  ifcif 4459  {cpr 4563  cfv 6433  (class class class)co 7275  cmpo 7277  2c2 12028  chash 14044  Basecbs 16912  +gcplusg 16962  Smgrpcsgrp 18374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-hash 14045  df-sgrp 18375
This theorem is referenced by:  mgm2nsgrp  18561  mgmnsgrpex  18570
  Copyright terms: Public domain W3C validator