Theorem mgm2nsgrplem4 18839

Description: Lemma 4 for mgm2nsgrp 18840: M is not a semigroup. (Contributed by AV, 28-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 31-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgm2nsgrp.s	⊢ 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
mgm2nsgrp.b	⊢ (Base‘𝑀) = 𝑆
mgm2nsgrp.o	⊢ (+g‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐴), 𝐵, 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
mgm2nsgrplem4	⊢ ((♯‘𝑆) = 2 → 𝑀 ∉ Smgrp)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦

Proof of Theorem mgm2nsgrplem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgm2nsgrp.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
2	1	hashprdifel 14363	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑆) = 2 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
3		simp1 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑆)
4		simp2 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑆)
5	3, 3, 4	3jca 1127	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆))
6	2, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((♯‘𝑆) = 2 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆))
7		simp3 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
8		mgm2nsgrp.b	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = 𝑆
9		mgm2nsgrp.o	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐴), 𝐵, 𝐴))
10		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
11	1, 8, 9, 10	mgm2nsgrplem2 18837	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ((𝐴(+g‘𝑀)𝐴)(+g‘𝑀)𝐵) = 𝐴)
12	11	3adant3 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝐴(+g‘𝑀)𝐴)(+g‘𝑀)𝐵) = 𝐴)
13	1, 8, 9, 10	mgm2nsgrplem3 18838	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴(+g‘𝑀)(𝐴(+g‘𝑀)𝐵)) = 𝐵)
14	13	3adant3 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴(+g‘𝑀)(𝐴(+g‘𝑀)𝐵)) = 𝐵)
15	7, 12, 14	3netr4d 3017	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝐴(+g‘𝑀)𝐴)(+g‘𝑀)𝐵) ≠ (𝐴(+g‘𝑀)(𝐴(+g‘𝑀)𝐵)))
16	2, 15	syl 17	. 2 ⊢ ((♯‘𝑆) = 2 → ((𝐴(+g‘𝑀)𝐴)(+g‘𝑀)𝐵) ≠ (𝐴(+g‘𝑀)(𝐴(+g‘𝑀)𝐵)))
17	8	eqcomi 2740	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑀)
18	17, 10	isnsgrp 18649	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (((𝐴(+g‘𝑀)𝐴)(+g‘𝑀)𝐵) ≠ (𝐴(+g‘𝑀)(𝐴(+g‘𝑀)𝐵)) → 𝑀 ∉ Smgrp))
19	6, 16, 18	sylc 65	1 ⊢ ((♯‘𝑆) = 2 → 𝑀 ∉ Smgrp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939   ∉ wnel 3045  ifcif 4529  {cpr 4631  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  2c2 12272  ♯chash 14295  Basecbs 17149  +_gcplusg 17202  Smgrpcsgrp 18644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-hash 14296  df-sgrp 18645

This theorem is referenced by:  mgm2nsgrp  18840  mgmnsgrpex  18849