Theorem mgmnsgrpex 18957

Description: There is a magma which is not a semigroup. (Contributed by AV, 29-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mgmnsgrpex	⊢ ∃𝑚 ∈ Mgm 𝑚 ∉ Smgrp

Proof of Theorem mgmnsgrpex

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prhash2ex 14435	. 2 ⊢ (♯‘{0, 1}) = 2
2		c0ex 11253	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
3		1ex 11255	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
4	2, 3	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
5		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ {0, 1} = {0, 1}
6		prex 5443	. . . . . . 7 ⊢ {0, 1} ∈ V
7		eqeq1 2739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑢 = 0))
8	7	anbi1d 631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0) ↔ (𝑢 = 0 ∧ 𝑦 = 0)))
9	8	ifbid 4554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0) = if((𝑢 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))
10		eqeq1 2739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑦 = 0 ↔ 𝑣 = 0))
11	10	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → ((𝑢 = 0 ∧ 𝑦 = 0) ↔ (𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0)))
12	11	ifbid 4554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → if((𝑢 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0) = if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0))
13	9, 12	cbvmpov 7528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0)) = (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0))
14	13	opeq2i 4882	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩ = ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0))⟩
15	14	preq2i 4742	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0))⟩}
16	15	grpbase 17332	. . . . . . 7 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {0, 1} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩}))
17	6, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ {0, 1} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩})
18	17	eqcomi 2744	. . . . 5 ⊢ (Base‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩}) = {0, 1}
19	6, 6	mpoex 8103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0)) ∈ V
20	15	grpplusg 17334	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0)) ∈ V → (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩}))
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩})
22	21	eqcomi 2744	. . . . 5 ⊢ (+g‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩}) = (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0))
23	5, 18, 22	mgm2nsgrplem1 18944	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) → {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} ∈ Mgm)
24	4, 23	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((♯‘{0, 1}) = 2 → {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} ∈ Mgm)
25		neleq1 3050	. . . 4 ⊢ (𝑚 = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} → (𝑚 ∉ Smgrp ↔ {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} ∉ Smgrp))
26	25	adantl 481	. . 3 ⊢ (((♯‘{0, 1}) = 2 ∧ 𝑚 = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩}) → (𝑚 ∉ Smgrp ↔ {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} ∉ Smgrp))
27	5, 18, 22	mgm2nsgrplem4 18947	. . 3 ⊢ ((♯‘{0, 1}) = 2 → {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} ∉ Smgrp)
28	24, 26, 27	rspcedvd 3624	. 2 ⊢ ((♯‘{0, 1}) = 2 → ∃𝑚 ∈ Mgm 𝑚 ∉ Smgrp)
29	1, 28	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑚 ∈ Mgm 𝑚 ∉ Smgrp

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∉ wnel 3044  ∃wrex 3068  Vcvv 3478  ifcif 4531  {cpr 4633  ⟨cop 4637  ‘cfv 6563   ∈ cmpo 7433  0cc0 11153  1c1 11154  2c2 12319  ♯chash 14366  ndxcnx 17227  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  Mgmcmgm 18664  Smgrpcsgrp 18744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mgm 18666  df-sgrp 18745

This theorem is referenced by:  sgrpssmgm  18959