MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgmnsgrpex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mgmnsgrpex 18846
Description: There is a magma which is not a semigroup. (Contributed by AV, 29-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
mgmnsgrpex βˆƒπ‘š ∈ Mgm π‘š βˆ‰ Smgrp

Proof of Theorem mgmnsgrpex
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑣 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prhash2ex 14356 . 2 (β™―β€˜{0, 1}) = 2
2 c0ex 11205 . . . . 5 0 ∈ V
3 1ex 11207 . . . . 5 1 ∈ V
42, 3pm3.2i 470 . . . 4 (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
5 eqid 2724 . . . . 5 {0, 1} = {0, 1}
6 prex 5422 . . . . . . 7 {0, 1} ∈ V
7 eqeq1 2728 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑒 β†’ (π‘₯ = 0 ↔ 𝑒 = 0))
87anbi1d 629 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑒 β†’ ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 0) ↔ (𝑒 = 0 ∧ 𝑦 = 0)))
98ifbid 4543 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑒 β†’ if((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0) = if((𝑒 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))
10 eqeq1 2728 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑣 β†’ (𝑦 = 0 ↔ 𝑣 = 0))
1110anbi2d 628 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑣 β†’ ((𝑒 = 0 ∧ 𝑦 = 0) ↔ (𝑒 = 0 ∧ 𝑣 = 0)))
1211ifbid 4543 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑣 β†’ if((𝑒 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0) = if((𝑒 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0))
139, 12cbvmpov 7496 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0)) = (𝑒 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑒 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0))
1413opeq2i 4869 . . . . . . . . 9 ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩ = ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑒 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑒 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0))⟩
1514preq2i 4733 . . . . . . . 8 {⟨(Baseβ€˜ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} = {⟨(Baseβ€˜ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑒 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑒 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0))⟩}
1615grpbase 17230 . . . . . . 7 ({0, 1} ∈ V β†’ {0, 1} = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩}))
176, 16ax-mp 5 . . . . . 6 {0, 1} = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩})
1817eqcomi 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩}) = {0, 1}
196, 6mpoex 8059 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑒 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0)) ∈ V
2015grpplusg 17232 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑒 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0)) ∈ V β†’ (𝑒 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑒 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0)) = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩}))
2119, 20ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑒 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑒 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0)) = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩})
2221eqcomi 2733 . . . . 5 (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩}) = (𝑒 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑒 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0))
235, 18, 22mgm2nsgrplem1 18833 . . . 4 ((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) β†’ {⟨(Baseβ€˜ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} ∈ Mgm)
244, 23mp1i 13 . . 3 ((β™―β€˜{0, 1}) = 2 β†’ {⟨(Baseβ€˜ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} ∈ Mgm)
25 neleq1 3044 . . . 4 (π‘š = {⟨(Baseβ€˜ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} β†’ (π‘š βˆ‰ Smgrp ↔ {⟨(Baseβ€˜ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} βˆ‰ Smgrp))
2625adantl 481 . . 3 (((β™―β€˜{0, 1}) = 2 ∧ π‘š = {⟨(Baseβ€˜ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩}) β†’ (π‘š βˆ‰ Smgrp ↔ {⟨(Baseβ€˜ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} βˆ‰ Smgrp))
275, 18, 22mgm2nsgrplem4 18836 . . 3 ((β™―β€˜{0, 1}) = 2 β†’ {⟨(Baseβ€˜ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} βˆ‰ Smgrp)
2824, 26, 27rspcedvd 3606 . 2 ((β™―β€˜{0, 1}) = 2 β†’ βˆƒπ‘š ∈ Mgm π‘š βˆ‰ Smgrp)
291, 28ax-mp 5 1 βˆƒπ‘š ∈ Mgm π‘š βˆ‰ Smgrp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ‰ wnel 3038  βˆƒwrex 3062  Vcvv 3466  ifcif 4520  {cpr 4622  βŸ¨cop 4626  β€˜cfv 6533   ∈ cmpo 7403  0cc0 11106  1c1 11107  2c2 12264  β™―chash 14287  ndxcnx 17125  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  Mgmcmgm 18561  Smgrpcsgrp 18641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-oadd 8465  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-hash 14288  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mgm 18563  df-sgrp 18642
This theorem is referenced by:  sgrpssmgm  18848
  Copyright terms: Public domain W3C validator