Theorem mgmnsgrpex 19032

Description: There is a magma which is not a semigroup. (Contributed by AV, 29-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mgmnsgrpex	⊢ ∃𝑚 ∈ Mgm 𝑚 ∉ Smgrp

Proof of Theorem mgmnsgrpex

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prhash2ex 14455	. 2 ⊢ (♯‘{0, 1}) = 2
2		c0ex 11217	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
3		1ex 11220	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
4	2, 3	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
5		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ {0, 1} = {0, 1}
6		prex 5411	. . . . . . 7 ⊢ {0, 1} ∈ V
7		eqeq1 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑢 = 0))
8	7	anbi1d 643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0) ↔ (𝑢 = 0 ∧ 𝑦 = 0)))
9	8	ifbid 4513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0) = if((𝑢 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))
10		eqeq1 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑦 = 0 ↔ 𝑣 = 0))
11	10	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → ((𝑢 = 0 ∧ 𝑦 = 0) ↔ (𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0)))
12	11	ifbid 4513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → if((𝑢 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0) = if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0))
13	9, 12	cbvmpov 7514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0)) = (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0))
14	13	opeq2i 4844	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩ = ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0))⟩
15	14	preq2i 4705	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0))⟩}
16	15	grpbase 17366	. . . . . . 7 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {0, 1} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩}))
17	6, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ {0, 1} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩})
18	17	eqcomi 2774	. . . . 5 ⊢ (Base‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩}) = {0, 1}
19	6, 6	mpoex 8082	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0)) ∈ V
20	15	grpplusg 17367	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0)) ∈ V → (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩}))
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩})
22	21	eqcomi 2774	. . . . 5 ⊢ (+g‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩}) = (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0))
23	5, 18, 22	mgm2nsgrplem1 19019	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) → {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} ∈ Mgm)
24	4, 23	mp1i 14	. . 3 ⊢ ((♯‘{0, 1}) = 2 → {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} ∈ Mgm)
25		neleq1 3072	. . . 4 ⊢ (𝑚 = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} → (𝑚 ∉ Smgrp ↔ {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} ∉ Smgrp))
26	25	adantl 487	. . 3 ⊢ (((♯‘{0, 1}) = 2 ∧ 𝑚 = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩}) → (𝑚 ∉ Smgrp ↔ {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} ∉ Smgrp))
27	5, 18, 22	mgm2nsgrplem4 19022	. . 3 ⊢ ((♯‘{0, 1}) = 2 → {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} ∉ Smgrp)
28	24, 26, 27	rspcedvd 3585	. 2 ⊢ ((♯‘{0, 1}) = 2 → ∃𝑚 ∈ Mgm 𝑚 ∉ Smgrp)
29	1, 28	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑚 ∈ Mgm 𝑚 ∉ Smgrp

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∉ wnel 3066  ∃wrex 3091  Vcvv 3457  ifcif 4489  {cpr 4593  ⟨cop 4597  ‘cfv 6540   ∈ cmpo 7421  0cc0 11117  1c1 11118  2c2 12312  ♯chash 14386  ndxcnx 17277  Basecbs 17293  +_gcplusg 17334  Mgmcmgm 18720  Smgrpcsgrp 18810

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-fz 13554  df-hash 14387  df-struct 17231  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-plusg 17347  df-mgm 18722  df-sgrp 18811

This theorem is used by:  sgrpssmgm  19034