MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgmnsgrpex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mgmnsgrpex 18809
Description: There is a magma which is not a semigroup. (Contributed by AV, 29-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
mgmnsgrpex βˆƒπ‘š ∈ Mgm π‘š βˆ‰ Smgrp

Proof of Theorem mgmnsgrpex
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑣 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prhash2ex 14356 . 2 (β™―β€˜{0, 1}) = 2
2 c0ex 11205 . . . . 5 0 ∈ V
3 1ex 11207 . . . . 5 1 ∈ V
42, 3pm3.2i 472 . . . 4 (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
5 eqid 2733 . . . . 5 {0, 1} = {0, 1}
6 prex 5432 . . . . . . 7 {0, 1} ∈ V
7 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑒 β†’ (π‘₯ = 0 ↔ 𝑒 = 0))
87anbi1d 631 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑒 β†’ ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 0) ↔ (𝑒 = 0 ∧ 𝑦 = 0)))
98ifbid 4551 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑒 β†’ if((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0) = if((𝑒 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))
10 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑣 β†’ (𝑦 = 0 ↔ 𝑣 = 0))
1110anbi2d 630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑣 β†’ ((𝑒 = 0 ∧ 𝑦 = 0) ↔ (𝑒 = 0 ∧ 𝑣 = 0)))
1211ifbid 4551 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑣 β†’ if((𝑒 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0) = if((𝑒 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0))
139, 12cbvmpov 7501 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0)) = (𝑒 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑒 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0))
1413opeq2i 4877 . . . . . . . . 9 ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩ = ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑒 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑒 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0))⟩
1514preq2i 4741 . . . . . . . 8 {⟨(Baseβ€˜ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} = {⟨(Baseβ€˜ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑒 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑒 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0))⟩}
1615grpbase 17228 . . . . . . 7 ({0, 1} ∈ V β†’ {0, 1} = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩}))
176, 16ax-mp 5 . . . . . 6 {0, 1} = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩})
1817eqcomi 2742 . . . . 5 (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩}) = {0, 1}
196, 6mpoex 8063 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑒 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0)) ∈ V
2015grpplusg 17230 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑒 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0)) ∈ V β†’ (𝑒 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑒 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0)) = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩}))
2119, 20ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑒 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑒 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0)) = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩})
2221eqcomi 2742 . . . . 5 (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩}) = (𝑒 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑒 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0))
235, 18, 22mgm2nsgrplem1 18796 . . . 4 ((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) β†’ {⟨(Baseβ€˜ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} ∈ Mgm)
244, 23mp1i 13 . . 3 ((β™―β€˜{0, 1}) = 2 β†’ {⟨(Baseβ€˜ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} ∈ Mgm)
25 neleq1 3053 . . . 4 (π‘š = {⟨(Baseβ€˜ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} β†’ (π‘š βˆ‰ Smgrp ↔ {⟨(Baseβ€˜ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} βˆ‰ Smgrp))
2625adantl 483 . . 3 (((β™―β€˜{0, 1}) = 2 ∧ π‘š = {⟨(Baseβ€˜ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩}) β†’ (π‘š βˆ‰ Smgrp ↔ {⟨(Baseβ€˜ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} βˆ‰ Smgrp))
275, 18, 22mgm2nsgrplem4 18799 . . 3 ((β™―β€˜{0, 1}) = 2 β†’ {⟨(Baseβ€˜ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} βˆ‰ Smgrp)
2824, 26, 27rspcedvd 3615 . 2 ((β™―β€˜{0, 1}) = 2 β†’ βˆƒπ‘š ∈ Mgm π‘š βˆ‰ Smgrp)
291, 28ax-mp 5 1 βˆƒπ‘š ∈ Mgm π‘š βˆ‰ Smgrp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆ‰ wnel 3047  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475  ifcif 4528  {cpr 4630  βŸ¨cop 4634  β€˜cfv 6541   ∈ cmpo 7408  0cc0 11107  1c1 11108  2c2 12264  β™―chash 14287  ndxcnx 17123  Basecbs 17141  +gcplusg 17194  Mgmcmgm 18556  Smgrpcsgrp 18606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-oadd 8467  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-hash 14288  df-struct 17077  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-plusg 17207  df-mgm 18558  df-sgrp 18607
This theorem is referenced by:  sgrpssmgm  18811
  Copyright terms: Public domain W3C validator