Theorem mgmnsgrpex 18944

Description: There is a magma which is not a semigroup. (Contributed by AV, 29-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mgmnsgrpex	⊢ ∃𝑚 ∈ Mgm 𝑚 ∉ Smgrp

Proof of Theorem mgmnsgrpex

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prhash2ex 14438	. 2 ⊢ (♯‘{0, 1}) = 2
2		c0ex 11255	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
3		1ex 11257	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
4	2, 3	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ {0, 1} = {0, 1}
6		prex 5437	. . . . . . 7 ⊢ {0, 1} ∈ V
7		eqeq1 2741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑢 = 0))
8	7	anbi1d 631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0) ↔ (𝑢 = 0 ∧ 𝑦 = 0)))
9	8	ifbid 4549	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0) = if((𝑢 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))
10		eqeq1 2741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑦 = 0 ↔ 𝑣 = 0))
11	10	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → ((𝑢 = 0 ∧ 𝑦 = 0) ↔ (𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0)))
12	11	ifbid 4549	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → if((𝑢 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0) = if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0))
13	9, 12	cbvmpov 7528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0)) = (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0))
14	13	opeq2i 4877	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩ = ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0))⟩
15	14	preq2i 4737	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0))⟩}
16	15	grpbase 17330	. . . . . . 7 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {0, 1} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩}))
17	6, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ {0, 1} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩})
18	17	eqcomi 2746	. . . . 5 ⊢ (Base‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩}) = {0, 1}
19	6, 6	mpoex 8104	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0)) ∈ V
20	15	grpplusg 17332	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0)) ∈ V → (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩}))
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩})
22	21	eqcomi 2746	. . . . 5 ⊢ (+g‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩}) = (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0))
23	5, 18, 22	mgm2nsgrplem1 18931	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) → {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} ∈ Mgm)
24	4, 23	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((♯‘{0, 1}) = 2 → {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} ∈ Mgm)
25		neleq1 3052	. . . 4 ⊢ (𝑚 = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} → (𝑚 ∉ Smgrp ↔ {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} ∉ Smgrp))
26	25	adantl 481	. . 3 ⊢ (((♯‘{0, 1}) = 2 ∧ 𝑚 = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩}) → (𝑚 ∉ Smgrp ↔ {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} ∉ Smgrp))
27	5, 18, 22	mgm2nsgrplem4 18934	. . 3 ⊢ ((♯‘{0, 1}) = 2 → {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} ∉ Smgrp)
28	24, 26, 27	rspcedvd 3624	. 2 ⊢ ((♯‘{0, 1}) = 2 → ∃𝑚 ∈ Mgm 𝑚 ∉ Smgrp)
29	1, 28	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑚 ∈ Mgm 𝑚 ∉ Smgrp

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∉ wnel 3046  ∃wrex 3070  Vcvv 3480  ifcif 4525  {cpr 4628  ⟨cop 4632  ‘cfv 6561   ∈ cmpo 7433  0cc0 11155  1c1 11156  2c2 12321  ♯chash 14369  ndxcnx 17230  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  Mgmcmgm 18651  Smgrpcsgrp 18731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mgm 18653  df-sgrp 18732

This theorem is referenced by:  sgrpssmgm  18946