Theorem mgmnsgrpex 18894

Description: There is a magma which is not a semigroup. (Contributed by AV, 29-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mgmnsgrpex	⊢ ∃𝑚 ∈ Mgm 𝑚 ∉ Smgrp

Proof of Theorem mgmnsgrpex

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prhash2ex 14353	. 2 ⊢ (♯‘{0, 1}) = 2
2		c0ex 11130	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
3		1ex 11132	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
4	2, 3	pm3.2i 471	. . . 4 ⊢ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
5		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ {0, 1} = {0, 1}
6		prex 5368	. . . . . . 7 ⊢ {0, 1} ∈ V
7		eqeq1 2743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑢 = 0))
8	7	anbi1d 637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0) ↔ (𝑢 = 0 ∧ 𝑦 = 0)))
9	8	ifbid 4479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0) = if((𝑢 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))
10		eqeq1 2743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑦 = 0 ↔ 𝑣 = 0))
11	10	anbi2d 636	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → ((𝑢 = 0 ∧ 𝑦 = 0) ↔ (𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0)))
12	11	ifbid 4479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → if((𝑢 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0) = if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0))
13	9, 12	cbvmpov 7452	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0)) = (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0))
14	13	opeq2i 4809	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩ = ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0))⟩
15	14	preq2i 4670	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0))⟩}
16	15	grpbase 17244	. . . . . . 7 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {0, 1} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩}))
17	6, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ {0, 1} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩})
18	17	eqcomi 2748	. . . . 5 ⊢ (Base‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩}) = {0, 1}
19	6, 6	mpoex 8022	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0)) ∈ V
20	15	grpplusg 17245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0)) ∈ V → (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩}))
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩})
22	21	eqcomi 2748	. . . . 5 ⊢ (+g‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩}) = (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0))
23	5, 18, 22	mgm2nsgrplem1 18881	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) → {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} ∈ Mgm)
24	4, 23	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((♯‘{0, 1}) = 2 → {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} ∈ Mgm)
25		neleq1 3044	. . . 4 ⊢ (𝑚 = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} → (𝑚 ∉ Smgrp ↔ {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} ∉ Smgrp))
26	25	adantl 482	. . 3 ⊢ (((♯‘{0, 1}) = 2 ∧ 𝑚 = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩}) → (𝑚 ∉ Smgrp ↔ {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} ∉ Smgrp))
27	5, 18, 22	mgm2nsgrplem4 18884	. . 3 ⊢ ((♯‘{0, 1}) = 2 → {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} ∉ Smgrp)
28	24, 26, 27	rspcedvd 3562	. 2 ⊢ ((♯‘{0, 1}) = 2 → ∃𝑚 ∈ Mgm 𝑚 ∉ Smgrp)
29	1, 28	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑚 ∈ Mgm 𝑚 ∉ Smgrp

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∉ wnel 3038  ∃wrex 3063  Vcvv 3431  ifcif 4455  {cpr 4558  ⟨cop 4562  ‘cfv 6486   ∈ cmpo 7359  0cc0 11030  1c1 11031  2c2 12228  ♯chash 14284  ndxcnx 17155  Basecbs 17171  +_gcplusg 17212  Mgmcmgm 18598  Smgrpcsgrp 18678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-oadd 8400  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-dju 9817  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-fz 13454  df-hash 14285  df-struct 17109  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-plusg 17225  df-mgm 18600  df-sgrp 18679

This theorem is referenced by:  sgrpssmgm  18896