Theorem modadd12d 13978

Description: Additive property of the modulo operation. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
modadd12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
modadd12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
modadd12d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
modadd12d.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
modadd12d.5	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
modadd12d.6	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
modadd12d.7	⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))

Assertion

Ref	Expression
modadd12d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 + 𝐷) mod 𝐸))

Proof of Theorem modadd12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modadd12d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		modadd12d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		modadd12d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		modadd12d.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
5		modadd12d.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
6		modadd1 13959	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸)) → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐸))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	syl221anc 1381	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐸))
8	2	recnd 11318	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
9	3	recnd 11318	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
10	8, 9	addcomd 11492	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) = (𝐶 + 𝐵))
11	10	oveq1d 7463	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐶 + 𝐵) mod 𝐸))
12		modadd12d.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
13		modadd12d.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))
14		modadd1 13959	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸)) → ((𝐶 + 𝐵) mod 𝐸) = ((𝐷 + 𝐵) mod 𝐸))
15	3, 12, 2, 4, 13, 14	syl221anc 1381	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐵) mod 𝐸) = ((𝐷 + 𝐵) mod 𝐸))
16	12	recnd 11318	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
17	16, 8	addcomd 11492	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐷))
18	17	oveq1d 7463	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 + 𝐵) mod 𝐸) = ((𝐵 + 𝐷) mod 𝐸))
19	11, 15, 18	3eqtrd 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 + 𝐷) mod 𝐸))
20	7, 19	eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 + 𝐷) mod 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℝcr 11183   + caddc 11187  ℝ⁺crp 13057   mod cmo 13920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fl 13843  df-mod 13921

This theorem is referenced by:  modsub12d  13979  sadasslem  16516