Theorem modadd12d 13970

Description: Additive property of the modulo operation. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
modadd12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
modadd12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
modadd12d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
modadd12d.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
modadd12d.5	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
modadd12d.6	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
modadd12d.7	⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))

Assertion

Ref	Expression
modadd12d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 + 𝐷) mod 𝐸))

Proof of Theorem modadd12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modadd12d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		modadd12d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		modadd12d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		modadd12d.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
5		modadd12d.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
6		modadd1 13948	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸)) → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐸))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	syl221anc 1407	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐸))
8	2	recnd 11243	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
9	3	recnd 11243	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
10	8, 9	addcomd 11418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) = (𝐶 + 𝐵))
11	10	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐶 + 𝐵) mod 𝐸))
12		modadd12d.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
13		modadd12d.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))
14		modadd1 13948	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸)) → ((𝐶 + 𝐵) mod 𝐸) = ((𝐷 + 𝐵) mod 𝐸))
15	3, 12, 2, 4, 13, 14	syl221anc 1407	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐵) mod 𝐸) = ((𝐷 + 𝐵) mod 𝐸))
16	12	recnd 11243	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
17	16, 8	addcomd 11418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐷))
18	17	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 + 𝐵) mod 𝐸) = ((𝐵 + 𝐷) mod 𝐸))
19	11, 15, 18	3eqtrd 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 + 𝐷) mod 𝐸))
20	7, 19	eqtrd 2797	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 + 𝐷) mod 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7412  ℝcr 11105   + caddc 11109  ℝ⁺crp 13022   mod cmo 13909

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fl 13832  df-mod 13910

This theorem is used by:  modsub12d  13971  sadasslem  16534