MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modadd12d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modadd12d 13786
Description: Additive property of the modulo operation. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
modadd12d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
modadd12d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
modadd12d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
modadd12d.4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
modadd12d.5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
modadd12d.6 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
modadd12d.7 (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))
Assertion
Ref Expression
modadd12d (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 + 𝐷) mod 𝐸))

Proof of Theorem modadd12d
StepHypRef Expression
1 modadd12d.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 modadd12d.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 modadd12d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 modadd12d.5 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
5 modadd12d.6 . . 3 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
6 modadd1 13767 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸)) → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐸))
71, 2, 3, 4, 5, 6syl221anc 1381 . 2 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐸))
82recnd 11141 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
93recnd 11141 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
108, 9addcomd 11315 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) = (𝐶 + 𝐵))
1110oveq1d 7366 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐶 + 𝐵) mod 𝐸))
12 modadd12d.4 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
13 modadd12d.7 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))
14 modadd1 13767 . . . 4 (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸)) → ((𝐶 + 𝐵) mod 𝐸) = ((𝐷 + 𝐵) mod 𝐸))
153, 12, 2, 4, 13, 14syl221anc 1381 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 + 𝐵) mod 𝐸) = ((𝐷 + 𝐵) mod 𝐸))
1612recnd 11141 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
1716, 8addcomd 11315 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐷))
1817oveq1d 7366 . . 3 (𝜑 → ((𝐷 + 𝐵) mod 𝐸) = ((𝐵 + 𝐷) mod 𝐸))
1911, 15, 183eqtrd 2781 . 2 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 + 𝐷) mod 𝐸))
207, 19eqtrd 2777 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 + 𝐷) mod 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7351  cr 11008   + caddc 11012  +crp 12869   mod cmo 13728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-rp 12870  df-fl 13651  df-mod 13729
This theorem is referenced by:  modsub12d  13787  sadasslem  16309
  Copyright terms: Public domain W3C validator