Theorem modsub12d 14074

Description: Subtraction property of the modulo operation. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
modadd12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
modadd12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
modadd12d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
modadd12d.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
modadd12d.5	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
modadd12d.6	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
modadd12d.7	⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))

Assertion

Ref	Expression
modsub12d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 − 𝐷) mod 𝐸))

Proof of Theorem modsub12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modadd12d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		modadd12d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		modadd12d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4	3	renegcld 11746	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝐶 ∈ ℝ)
5		modadd12d.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
6	5	renegcld 11746	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝐷 ∈ ℝ)
7		modadd12d.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
8		modadd12d.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
9		modadd12d.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))
10	3, 5, 7, 9	modnegd 14072	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -𝐶 mod 𝐸) = ( -𝐷 mod 𝐸))
11	1, 2, 4, 6, 7, 8, 10	modadd12d 14073	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + -𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 + -𝐷) mod 𝐸))
12	1	recnd 11340	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
13	3	recnd 11340	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
14	12, 13	negsubd 11678	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐶) = (𝐴 − 𝐶))
15	14	oveq1d 7435	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + -𝐶) mod 𝐸) = ((𝐴 − 𝐶) mod 𝐸))
16	2	recnd 11340	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
17	5	recnd 11340	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
18	16, 17	negsubd 11678	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + -𝐷) = (𝐵 − 𝐷))
19	18	oveq1d 7435	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + -𝐷) mod 𝐸) = ((𝐵 − 𝐷) mod 𝐸))
20	11, 15, 19	3eqtr3d 2803	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 − 𝐷) mod 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ℝcr 11202   + caddc 11206   − cmin 11544   -cneg 11545  ℝ⁺crp 13123   mod cmo 14012

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-fl 13935  df-mod 14013

This theorem is used by:  modsubmod  14075  modsubmodmod  14076  fermltlchr  21840  znfermltl  33968  proththd  48792